2024年七年级数学暑假预习课讲义第六讲 有理数的减法

七年级暑假预习课讲义 第六讲 有理数的减法 1、 专题导航 2、 知识点梳理 知识点1有理数减法法则及运算 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 步骤：（1）变减为加，把减数的相反数变成加数； （2）按照加法运算的步骤去做。 注意： （1）被减数和减数可以为任意有理数，当两个数都是正数且被减数大于减数，直接运算，必须要转化. （2）注意减法运算2个要素发生变化：减号变成加号；减数变成它的相反数 例1-1 .比小5的数是__________． 例1-2．利用减法法则计算： （1）； （2）； （3）； （4）. 知识点2 有理数减法法则的实际应用 根据问题中提供的信息数据建立有理数减法模型，进而解决实际问题。 例2-1．某市冬季中的一天，中午12时的气温是，经过6小时气温下降了，那么当天18时的气温是( ) A. B. C. D. 例2-2．光盘的质量标准中规定：厚度为的光盘是合格品，则下列经测量得到的数据中，不合格的是( ) A. B. C. D. 知识点3 有理数加减混合运算 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算. 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式. 1. 把加减混合运算的算式转化为加法运算后，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号。 2. 省略括号和加号的算式有两种读法，（1）将所有数都看成加数，即相邻两个加数的加号省掉，直接读成所有数的和。（2）将两个数之间的符号看成运算符号来读，读成加或减的形式。 例3-1.不改变原式的值，把7-（+6）-（-3）+（-5）写成省略括号的和的形式为（　　） A. 7-6+3-5 B. 7-6-3+5 C. -7-6+3-5 D. -7+6+3-5 例3-2. 9，6，-3三个数的和比它们绝对值的和小_____． 知识点4 有理数加减混合运算的简便运算方法 相反数结合法 互为相反数的两个数先相加 同号结合法 符号相同的数先相加 同分母结合法 分母相同(或易化成同分母)的数先相加 凑整法 几个数相加得到整数的数先相加 同形结合法 整数与整数、小数与小数先相加 拆分法 带分数相加时,可先将其拆成数与分数的和,再分别相加 例4-1．用简便方法计算： 例4-2．计算． (1) (2) 例4-3．阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 知识点5有理数加减混合运算的应用 例5-1．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： +14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5． （1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 例5-2．每箱苹果标准重量为25kg,检查8箱苹果，记录如下数据，正数为超过标准的数量，负数为不足标准的数量：0.35，0.47，-0.52，-0.17，-1.20，0.32，-0.32，0.23．求这8箱苹果的总重量． 3、 易错点点拨 易错点1 运算法则不清 异号两数相加，较大的加数绝对值减去较小加数的绝对值，往往相加出错。 例1．计算（-13）+6的结果等于（　　） A. -19 B. -7 C. -5 D. 19 错解：A 正解 B 易错点2 有理数减法变成加法时加上原数，出错 例2 计算（-8）-8的值是（　　） A. -16 B. 0 C. 16 D. 64 错解：B 正解A： 易错点3 有理数加减混合运算统一为加法运算符号出错 例3 .甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（　　） 甲：11+（-14）+19-（-6）=11+19+[（-14）+（-6）]=10 乙： A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 错解：A 正解 D 易错点4 有理数加减混合运算时不能选择简便运算出错 明明同学计算（-4）-1-（-18）+（-13）时，他是这样做的： （1）明明的解法从第几步开始出现错误，改正后并计算出正确的结果： （2）仿照明明的解法，请你计算：（-102）-（-96）+54+（-48）． 四、针对训练 1.有理数减法法则及运算 1.（1）计算________； （2）_________. 2．与的和是的数是_________. 2.有理数减法法则的实际应用 1．数轴上点A表示-3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是______. 2．在计算时两个数减法■时，由于不小心，减数被墨水污染； （1）嘉淇误将后面的“﹣”看成了“+”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； （2）请你正确计算此道题. 3．矿井下A,B,C三处的高度分别是m,m,m,A处比B处高多少米?C处比B处高多少米?A处比C处高多少米? 3.有理数加减混合运算 1.把（+1）-（-2）+（-）-（+）+（+1）写成省略加号和的形式为_____． 2.计算： （1）8+（-10）+（-2）-（-5） （2 ）-7+13-6+20． 3．计算题： （1）8+（-11）-|-5|； （2）12+（-）-（-8）-； （3）0.125+3-+5-0.25； （4）（-5）-（-12）-（+3）+（+6）． 4.有理数加减混合运算的简便运算 1.计算： ； 2．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． (1)； (2)． 3．计算：． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（要求用运算律计算）． 5.有理数加减混合运算的应用 1.“疫情无情人有情”．在抗击新冠病毒疫情期间，一志愿小组某天早晨从A地出发沿南北方向运送抗疫物资，晚上最后到达B地．约定向北为正方向，当天志愿小组行驶记录如下（单位：千米）：+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8，-27． （1）试问B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米？ （2）若汽车行驶每千米耗油0.07升，则志愿小组该天共耗油多少升？ 2．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） +3 -5 -2 +11 -7 +13 +5 （1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ （3）若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 3．2020年“双十一”期间某淘宝商家提前搞促销活动，计划平均每天销售某品牌学习机100台，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．如表是双十一的一周销售倩况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +2 -3 +25 +8 -4 +2 -6 （1）根据记录的数据，计算该店一周日销量最多比最少多多少台？ （2）本周实际销售总量达到了计划数量吗，通过计算说明理由． （3）该店实行每日按销售台数计算工资，每销售一台学习机可得10元，若超额完成任务，则超过部分每台另奖20元；少销售一台扣30元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？ 五、能力提升 提升1 .有理数减法法则及运算 1. 已知，求的值. 2．若，且，求的值. 提升2有理数减法法则的应用 1.水库在汛期来临之际加强了对水位的观测，若以警戒水位33 m作为0点，用正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，7月3号的水位刚好在警戒水位，其后5天的观察记录如下：（单位：m） 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 +1.2 -1 +3.4 -2.5 +4.1 （1）这5天中，求哪天的水位最高，最高的水位为多少米？ （2）第5天与7月3日相比，水位是上升了还是下降了？为什么？ 2．若规定用表示不超过x的最大的整数，如，. 计算：（1）；（2）.. 8．某中学抽查了某次月考中某班10名同学的成绩，以100分为基准，超过的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：. （1）这10名同学中最高分是多少?最低分是多少?最高分与最低分相差多少? （2）小明在这次考试中考了116分，按这种计分方法，应记作什么? 提升3 有理数加减混合运算 1.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： +14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5． （1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 2.兴华粮食中转站仓库在9月1日至9月10日的时间内运进、运出粮食情况如下（运进记作“+”，运出记作“-”）：+1050吨，-500吨，+2300吨，-80吨，-150吨，-320吨，+600吨，-360吨，+500吨，-210吨，在9月1日前仓库内没有粮食． （1）求9月3日仓库内共有粮食多少吨． （2）求哪一天仓库内的粮食最多，最多是多少． （3）若每吨粮食的运费（包括运进、运出）10元，从9月1日到9月10日仓库共需付运费多少元． 3．出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“-”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客） -2，+10，+1，-3，+2，-12，请回答： （1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？ （2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？ （3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？ 提升4.有理数混合运算简便运算 1.下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 2．阅读下列第（1）题中的计算方法，再计算第（2）题中式子的值． （1）﹣+（﹣9）+17+（﹣3） 解：原式=[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+[（+17）+（+）]+[（﹣3）+（﹣）] =[（﹣5）+（﹣9）+（+17）+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）+（+）+（﹣）] =0+（﹣1） =﹣1 上面这种方法叫拆项法．仿照上述方法计算： （2）（﹣2008）+（﹣2007）+4017+（﹣1） 3．符号“H”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：，…，求的结果． 提升5 有理数混合运算的应用 1.出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“-”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客） -2，+10，+1，-3，+2，-12，请回答： （1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？ （2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？ （3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？ 2．某水果商店经销一种苹果，共有20筐，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正，负数来表示，记录如下表：（单位：千克） 与标准质量的差值 -3 -2 -1.5 0 +1 +2.5 筐数 1 4 2 3 2 8 （1）与标准质量比较，这20筐苹果总计超过或不足多少千克？ （2）若苹果每千克售价2元，则出售这20筐苹果可卖多少元？ 3．某股民上星期五买进某公司股票1000股，每股20元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（“+”号表示与前一天相比涨，“一”号表示与前一天相比跌）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） +1.2 +0.4 -1 -0.5 +0.9 （1）星期三收盘时，每股是多少元？ （2）本周内最高收盘价是每股多少元？收盘价最低是每股多少元？ （3）已知此股民买进和卖出股票时都要付0.15%的手续费和卖出时0.1%的交易税，如果他在星期五以收盘价将股票全部卖出，他的收益情况如何？ 4．七名学生的体重，以48.0kg为标准，把超过标准体重的千克计记为正数，不足的千克记为负数，将其体重记录如下表： 学生 1 2 3 4 5 6 7 与标准体重之差 -3.0 +1.5 +0.8 -0.5 +0.2 +1.2 +0.5 （1）最接近标准体重的学生体重是多少？ （2）求七名学生的平均体重； （3）按体重的轻重排列时，恰好居中的是哪个学生？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级暑假预习课讲义 第六讲 有理数的减法（解析版） 1、 专题导航 2、 知识点梳理 知识点1有理数减法法则及运算 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 步骤：（1）变减为加，把减数的相反数变成加数； （2）按照加法运算的步骤去做。 注意： （1）被减数和减数可以为任意有理数，当两个数都是正数且被减数大于减数，直接运算，必须要转化. （2）注意减法运算2个要素发生变化：减号变成加号；减数变成它的相反数 例1-1 .比小5的数是__________． 【答案】 【分析】用减5即可求解． 【详解】解：， 即比小5的数是， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的减法，根据题意列出算式是解题的关键． 例1-2．利用减法法则计算： （1）； （2）； （3）； （4）. 答案：（1）8 （2）0 （3） （4） 解析：（1）； （2）； （3）； （4）. 知识点2 有理数减法法则的实际应用 根据问题中提供的信息数据建立有理数减法模型，进而解决实际问题。 例2-1．某市冬季中的一天，中午12时的气温是，经过6小时气温下降了，那么当天18时的气温是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：中午12时的气温是，经过6小时气温下降了， 当天18时的气温是. 故选B. 例2-2．光盘的质量标准中规定：厚度为的光盘是合格品，则下列经测量得到的数据中，不合格的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：，， 当光盘厚度时，是合格品， ， 的光盘不合格. 故选：D. 知识点3 有理数加减混合运算 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算. 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式. 1. 把加减混合运算的算式转化为加法运算后，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号。 2. 省略括号和加号的算式有两种读法，（1）将所有数都看成加数，即相邻两个加数的加号省掉，直接读成所有数的和。（2）将两个数之间的符号看成运算符号来读，读成加或减的形式。 例3-1.不改变原式的值，把7-（+6）-（-3）+（-5）写成省略括号的和的形式为（　　） A. 7-6+3-5 B. 7-6-3+5 C. -7-6+3-5 D. -7+6+3-5 【答案】A 【解析】根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式 解：原式=7-6+3-5， 故选：A． 例3-2. 9，6，-3三个数的和比它们绝对值的和小_____． 【答案】24 【解析】根据绝对值的性质及其定义即可求解． 解：（9+6+3）-（-9+6-3）=24． 答：-9，6，-3三个数的和比它们绝对值的和小24． 知识点4 有理数加减混合运算的简便运算方法 相反数结合法 互为相反数的两个数先相加 同号结合法 符号相同的数先相加 同分母结合法 分母相同(或易化成同分母)的数先相加 凑整法 几个数相加得到整数的数先相加 同形结合法 整数与整数、小数与小数先相加 拆分法 带分数相加时,可先将其拆成数与分数的和,再分别相加 例4-1．用简便方法计算： 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数的加法运算律计算，即可求解． 【详解】解：原式 例4-2．计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 例4-3．阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】11 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：原式 知识点5有理数加减混合运算的应用 例5-1．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： +14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5． （1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【解析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方； （2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可； （3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量． 解：（1）∵14-9+8-7+13-6+12-5=20， ∴B地在A地的东边20千米； （2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为： 14千米；14-9=5千米； 14-9+8=13千米； 14-9+8-7=6千米； 14-9+8-7+13=19千米； 14-9+8-7+13-6=13千米； 14-9+8-7+13-6+12=25千米； 14-9+8-7+13-6+12-5=20千米． ∴最远处离出发点25千米； （3）这一天走的总路程为：14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|=74千米， 应耗油74×0.5=37（升）， 故还需补充的油量为：37-28=9（升） 例5-2．每箱苹果标准重量为25kg,检查8箱苹果，记录如下数据，正数为超过标准的数量，负数为不足标准的数量：0.35，0.47，-0.52，-0.17，-1.20，0.32，-0.32，0.23．求这8箱苹果的总重量． 【解析】先计算出8箱苹果的总质量比标准质量少0.84千克，进而求出这8箱苹果的总重量． 解：0.35+0.47+（-0.52）+（-0.17）+（-1.2）+0.32+（-0.32）+0.23=-0.84（千克）， 25×8+（-0.84）=199.16（千克）， 答：这8箱苹果的总质量是199.16千克． 3、 易错点点拨 易错点1 运算法则不清 异号两数相加，较大的加数绝对值减去较小加数的绝对值，往往相加出错。 例1．计算（-13）+6的结果等于（　　） A. -19 B. -7 C. -5 D. 19 错解：A 正解 B 【解析】根据有理数的加法计算法则求解即可． 解：（-13）+6=-（13-6）=-7， 故选：B． 易错点2 有理数减法变成加法时加上原数，出错 例2 计算（-8）-8的值是（　　） A. -16 B. 0 C. 16 D. 64 错解：B 正解A： 【解析】根据有理数的减法法则计算即可． 解：（-8）-8=-16， 故选：A． 易错点3 有理数加减混合运算统一为加法运算符号出错 例3 .甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（　　） 甲：11+（-14）+19-（-6）=11+19+[（-14）+（-6）]=10 乙： A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 错解：A 正解 D 【解析】先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解． 解：甲：11+（-14）+19-（-6） =11+19+[（-14）+6] =30-8 =22， 乙：原式=（-）+（-）+（-） =[（-）+（-）]+（-） =（-1）+（-） =-， 故选：D． 易错点4 有理数加减混合运算时不能选择简便运算出错 明明同学计算（-4）-1-（-18）+（-13）时，他是这样做的： （1）明明的解法从第几步开始出现错误，改正后并计算出正确的结果： （2）仿照明明的解法，请你计算：（-102）-（-96）+54+（-48）． 【解析】（1）根据明明的计算过程可以看出在第几步出现问题，然后根据有理数的加减进行计算即可解答本题； （2）根据明明的计算方法可以解答本题． 解：（1）明明的解法从第三步开始出现错误， 改正：原式= =+18+ =[（-4）+（-1）+18+（-13）]+[] =0+（-） =-； （2）（-102）-（-96）+54+（-48） =（-102）+96+54+（-48） = =[（-102）+96+54+（-48）]+[] =0+ =． 四、针对训练 1.有理数减法法则及运算 1.（1）计算________； （2）_________. 答案：（1） （2）10 解析：（1）； 故答案为：； （2）. 故答案为：10. 2．与的和是的数是_________. 答案： 解析：， 故答案为：. 2.有理数减法法则的实际应用 1．数轴上点A表示-3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是______. 答案：1或-7 解析：当B点在A的左边，则B表示的数为：； 若B点在A的右边，则B表示的数为. 故答案为：1或-7. 2．在计算时两个数减法■时，由于不小心，减数被墨水污染； （1）嘉淇误将后面的“﹣”看成了“+”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； （2）请你正确计算此道题. 答案：（1） （2） 解析：（1）由题意得： 被墨水污染的减数为. （2）. 3．矿井下A,B,C三处的高度分别是m,m,m,A处比B处高多少米?C处比B处高多少米?A处比C处高多少米? 答案：见解析 解析:A处比B处高:(m), C处比B处高:(m), A处比C处高:(m). 3.有理数加减混合运算 1.把（+1）-（-2）+（-）-（+）+（+1）写成省略加号和的形式为_____． 【答案】+2--+1 【解析】原式利用减法法则变形即可． 解：原式=+2--+1． 故答案为：+2--+1． 2.计算： （1）8+（-10）+（-2）-（-5） （2 ）-7+13-6+20． 【解析】（1）将减法转化为加法后，利用加法交换律和结合律，依据加法的运算法则计算可得； （2）利用加法交换律和结合律，依据加法的运算法则计算可得． 解：（1）原式=8+5+（-10）+（-2）=13-12=1； （2）原式=（-7-6）+（13+20）=-13+33=20． 3．计算题： （1）8+（-11）-|-5|； （2）12+（-）-（-8）-； （3）0.125+3-+5-0.25； （4）（-5）-（-12）-（+3）+（+6）． 【解析】（1）去括号，去绝对值，再加减运算； （2）分数和分数相加减，整数和整数相加减； （3）把前两个分数化为小数，相加减，再和分母为3的分数相加减； （4）分母相同的分数相加减，最后再加减． 解：（1）8+（-11）-|-5| =8-11-5 =-3-5 =-8； （2）12+（-）-（-8）- =--+12+8 =-3+12+8 =17； （3）0.125+3-+5-0.25 =0.125+3.25-0.125+5-0.25 =0.125-0.125+3.25-0.25+5 =3+5 =8； （4）（-5）-（-12）-（+3）+（+6） =-5+12-3+6 =-5-3+6+12 =-9+19 =10． 4.有理数加减混合运算的简便运算 1.计算： ； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．通常将分母相同的两个数分别结合为一组求解． 【详解】解： ； 2．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1.9 【分析】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算． （1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果； （2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果． 【详解】（1） ； （2） ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用加法交换律和结合律计算即可求解，掌握有理数的运算律和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（要求用运算律计算）． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加减混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键； （1）利用交换律与结合律化为，再计算即可； （2）先求解绝对值，再计算即可； （3）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （4）利用交换律与结合律化为，再计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 5.有理数加减混合运算的应用 1.“疫情无情人有情”．在抗击新冠病毒疫情期间，一志愿小组某天早晨从A地出发沿南北方向运送抗疫物资，晚上最后到达B地．约定向北为正方向，当天志愿小组行驶记录如下（单位：千米）：+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8，-27． （1）试问B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米？ （2）若汽车行驶每千米耗油0.07升，则志愿小组该天共耗油多少升？ 【解析】（1）首先根据有理数的加减混合运算，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可． （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，再用汽车汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出该天共耗油多少升即可． 解：（1）+18-9+7-14-6+13-6-8-27 =18+7+13-9-14-6-6-8-27 =38-70 =-32， ∴B地在A地的南方，它们相距32千米． （2）（|+18|+|-9|+|+7|+|-14|+|-6|+|+13|+|-6|+|-8|+|-27|）×0.07 =（18+9+7+14+6+13+6+8+27）×0.07 =108×0.07 =7.56（升）， ∴汽车行驶每千米耗油0.07升，则志愿小组该天共耗油7.56升． 2．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） +3 -5 -2 +11 -7 +13 +5 （1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ （3）若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【解析】（1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （2）根据第一周实际销售柚子的数量相加计算即可； （3）将总数量乘以价格差解答即可． 解：（1）13-（-7）=13+7=20（千克）． 答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克． （2）3-5-2+11-7+13+5+100×7 =18+700 =718（千克）． 答：小王第一周实际销售柚子的总量是718千克． （3）718×（8-3） =718×5 =3590（元）． 答：小王第一周销售柚子一共收入3590元． 3．2020年“双十一”期间某淘宝商家提前搞促销活动，计划平均每天销售某品牌学习机100台，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．如表是双十一的一周销售倩况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +2 -3 +25 +8 -4 +2 -6 （1）根据记录的数据，计算该店一周日销量最多比最少多多少台？ （2）本周实际销售总量达到了计划数量吗，通过计算说明理由． （3）该店实行每日按销售台数计算工资，每销售一台学习机可得10元，若超额完成任务，则超过部分每台另奖20元；少销售一台扣30元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？ 【解析】（1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （2）求出这7天的实际销售量的和即可； （3）根据题意，列式计算． 解：（1）25-（-6）=25+6=31（台）， 答：该店一周日销量最多比最少多31台； （2）2-3+25+8-4+2-6=24＞0， ∴本周实际销量达到了计划数量； （3）（100×7+24）×10+（2+25+8+2）×20+（-3-4-6）×30=7590（元）． 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是7590元． 五、能力提升 提升1 .有理数减法法则及运算 1. 已知，求的值. 答案：解： 2．若，且，求的值. 答案：－2或－6. 解析 ：由|a|=4,|b|=2,得：a=, b=, 因为a<b , 所以 a=-4, b= 所以a-b=-4-2=-6 ,或a-b=-4-(-2)=-2 提升2有理数减法法则的应用 1.水库在汛期来临之际加强了对水位的观测，若以警戒水位33 m作为0点，用正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，7月3号的水位刚好在警戒水位，其后5天的观察记录如下：（单位：m） 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 +1.2 -1 +3.4 -2.5 +4.1 （1）这5天中，求哪天的水位最高，最高的水位为多少米？ （2）第5天与7月3日相比，水位是上升了还是下降了？为什么？ 答案：（1）第5天的水位最高，最高的水位为米 （2）上升了，见解析 解析：（1）第1天水位为米， 第2天的水位为米， 第3天的水位为米， 第4天水位为米， 第5天的水位为米， 则第5天的水位最高，最高水位是米； （2）上升了，理由： 第5天的水位为米，7月3号的水位刚好在警戒水位，警戒水位33 m， ， 第5天与7月3日相比，水位是上升了. 2．若规定用表示不超过x的最大的整数，如，. 计算：（1）；（2）. 答案：（1）. （2）. 8．某中学抽查了某次月考中某班10名同学的成绩，以100分为基准，超过的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：. （1）这10名同学中最高分是多少?最低分是多少?最高分与最低分相差多少? （2）小明在这次考试中考了116分，按这种计分方法，应记作什么? 答案：（1）解：由题意，知这10名同学中最高分为（分）， 最低分为（分），（分） （2）若小明在这次考试中考了116分，则小明的分数可记作. 提升3 有理数加减混合运算 1.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： +14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5． （1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【解析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方； （2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可； （3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量． 解：（1）∵14-9+8-7+13-6+12-5=20， ∴B地在A地的东边20千米； （2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为： 14千米；14-9=5千米； 14-9+8=13千米； 14-9+8-7=6千米； 14-9+8-7+13=19千米； 14-9+8-7+13-6=13千米； 14-9+8-7+13-6+12=25千米； 14-9+8-7+13-6+12-5=20千米． ∴最远处离出发点25千米； （3）这一天走的总路程为：14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|=74千米， 应耗油74×0.5=37（升）， 故还需补充的油量为：37-28=9（升） 2.兴华粮食中转站仓库在9月1日至9月10日的时间内运进、运出粮食情况如下（运进记作“+”，运出记作“-”）：+1050吨，-500吨，+2300吨，-80吨，-150吨，-320吨，+600吨，-360吨，+500吨，-210吨，在9月1日前仓库内没有粮食． （1）求9月3日仓库内共有粮食多少吨． （2）求哪一天仓库内的粮食最多，最多是多少． （3）若每吨粮食的运费（包括运进、运出）10元，从9月1日到9月10日仓库共需付运费多少元． 【解析】（1）将记录的数字相加即可得到结果； （2）求出1日到9日的粮食数，得出仓库内的粮食最多的天数，求出最多的数量即可； （3）求出记录数字的绝对值之和，乘以10即可得到结果． 解：（1）1050-500+2300=2850（吨）， 答：9月3日仓库内共有粮食2850吨； （2）9月9日仓库内的粮食最多， 最多是2850-80-150-320+600-360+500=3040（吨）， 答：9月9日仓库内的粮食最多，最多是3040吨； （3）运进1050+2300+600+500=4450（吨），运出|-500-80-150-320-210|=1 620（吨）， 10×（4450+1620）=10×6070=60700（元）， 答：从9月1日到9月10日仓库共需付运费60700元． 3．出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“-”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客） -2，+10，+1，-3，+2，-12，请回答： （1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？ （2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？ （3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？ 【解析】（1）求出这些有理数的和即可判断． （2）求出这些有理数的绝对值的和，乘以0.4，可得结论． （3）根据收费标准，一一计算即可． 解：（1）-2+10+1-3+2-12=-4（千米）． 所以小王在下午出车的出发地的正西方向，距下午出车的出发地4千米． （2）（2+10+1+3+2+12）×0.4=12（元）， 答：小王这天下午共需要12元油费． （3）10×4+10+2（10-3）+10+2（12-3）=92（元）． 所以小王这天下午收到乘客所给车费共92元． 提升4.有理数混合运算简便运算 1.下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键． 2．阅读下列第（1）题中的计算方法，再计算第（2）题中式子的值． （1）﹣+（﹣9）+17+（﹣3） 解：原式=[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+[（+17）+（+）]+[（﹣3）+（﹣）] =[（﹣5）+（﹣9）+（+17）+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）+（+）+（﹣）] =0+（﹣1） =﹣1 上面这种方法叫拆项法．仿照上述方法计算： （2）（﹣2008）+（﹣2007）+4017+（﹣1） 【答案】- 【分析】首先分析（1）的运算方法：将带分数分解为一个整数和一个分数；然后重新组合分组：整数一组，分数一组；再分别计算求值． 【详解】解：原式=（﹣2008）+（﹣）+（﹣2007）+（﹣）+4017++（﹣1）+（﹣）， =（﹣2008﹣2007+4017﹣1）+（﹣﹣+﹣）， =1﹣， =﹣． 【点睛】此题是一个阅读理解题，要求学生首先阅读（1），结合有理数运算的法则，理解拆项法的原理及应用，然后仿照（1）的方法，进行计算． 3．符号“H”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：，…，求的结果． 【答案】． 【分析】根据符号“H”表示一种运算，对正奇数结果都是负的，数的绝对值比奇数大1；对偶数符号不变结果比偶数大1，得到新定义后的有理数，利用结合律进行连续两数相加，再计算结果即可． 【详解】解：根据题中的新定义得： = ． ． 【点睛】本题考查有理数的新定义，掌握有理数的新定义实质，利用定义转化为有理数加减混合运算，适当利用运算律巧算是解题关键． 提升5 有理数混合运算的应用 1.出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“-”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客） -2，+10，+1，-3，+2，-12，请回答： （1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？ （2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？ （3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？ 【解析】（1）求出这些有理数的和即可判断． （2）求出这些有理数的绝对值的和，乘以0.4，可得结论． （3）根据收费标准，一一计算即可． 解：（1）-2+10+1-3+2-12=-4（千米）． 所以小王在下午出车的出发地的正西方向，距下午出车的出发地4千米． （2）（2+10+1+3+2+12）×0.4=12（元）， 答：小王这天下午共需要12元油费． （3）10×4+10+2（10-3）+10+2（12-3）=92（元）． 所以小王这天下午收到乘客所给车费共92元． 2．某水果商店经销一种苹果，共有20筐，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正，负数来表示，记录如下表：（单位：千克） 与标准质量的差值 -3 -2 -1.5 0 +1 +2.5 筐数 1 4 2 3 2 8 （1）与标准质量比较，这20筐苹果总计超过或不足多少千克？ （2）若苹果每千克售价2元，则出售这20筐苹果可卖多少元？ 【解析】（1）根据表格中的数据可以求得20筐苹果总计超过或不足多少千克； （2）根据（1）中的答案和题意，可以求得出售这20筐苹果的钱数． 解：（1）由表格可得， （-3）×1+（-2）×4+（-1.5）×2+0×3+2×1+2.5×8 =（-3）+（-8）+（-3）+0+2+20 =8（千克）， 答：与标准重量比较，20筐苹果总计超过8千克； （2）由题意可得，（20×25+8）×2=1016（元）． 答：出售这20筐苹果可卖1016元． 3．某股民上星期五买进某公司股票1000股，每股20元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（“+”号表示与前一天相比涨，“一”号表示与前一天相比跌）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） +1.2 +0.4 -1 -0.5 +0.9 （1）星期三收盘时，每股是多少元？ （2）本周内最高收盘价是每股多少元？收盘价最低是每股多少元？ （3）已知此股民买进和卖出股票时都要付0.15%的手续费和卖出时0.1%的交易税，如果他在星期五以收盘价将股票全部卖出，他的收益情况如何？ 【解析】（1）星期三收盘时，每股的价格=20+1.2+0.4-1． （2）由表格可知，本周内最高收盘价是星期二的收盘价；收盘价最低价是星期四的收盘价，再直接进行计算即可； （3）先计算星期五以收盘价将股票全部卖出的价格，再减去手续费和交易税，最后与买进的价格进行比较即可． 解：（1）周三收盘时，股价为20+1.2+0.4-1=20.6（元）； （2）本周内最高收盘价是每股20+1.2+0.4=21.6元；最低20+1.2+0.4-1-0.5=20.1（元）； （3）星期五以收盘价将股票全部卖出的价格是1000×（20+1.2+0.4-1-0.5+0.9）=21000（元）， 手续费和交易税为1000×20×0.15%+21000×0.15%+21000×0.1%=82.5（元）． 他的最后收益是21000-20000-82.5=917.5（元）． 4．七名学生的体重，以48.0kg为标准，把超过标准体重的千克计记为正数，不足的千克记为负数，将其体重记录如下表： 学生 1 2 3 4 5 6 7 与标准体重之差 -3.0 +1.5 +0.8 -0.5 +0.2 +1.2 +0.5 （1）最接近标准体重的学生体重是多少？ （2）求七名学生的平均体重； （3）按体重的轻重排列时，恰好居中的是哪个学生？ 【解析】（1）与标准体重之差的绝对值越小，就最接近标准体重，直接观察绝对值最小的数即可； （2）用标准体重加上七名学生与标准体重之差的平均数，即为七名学生的平均体重； （3）把与标准体重之差从小到大排序即可． 解：（1）因为与标准体重相差最小的是第五名学生，他与标准体重之差为+0.2kg,所以最接近标准体重的学生体重是48.2kg； （2）七名学生的平均体重为：48.0+（-3.0+1.5+0.8-0.5+0.2+1.2+0.5）÷7=48.1（kg）； （3）恰好居中的是第七名学生． 学科网（北京）股份有限公司 $$