专题01 集合的概念与表示重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题01 集合的概念与表示重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断是否为同一集合 题型三 判断元素与集合的关系 题型四 根据元素与集合的关系求参数 题型五 集合中元素的特性 题型六 利用集合元素的互异性求参数 题型七 自然语言表示集合 题型八 描述法表示集合 题型九 列举法表示集合 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点03：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点04：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【经典例题一 判断元素能否构成集合】 【例1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 1．（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）以下对象的全体能否构成集合？ (1)河北红星工厂的员工； (2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手； (3)一次函数的图象上的若干个点； (4)不超过2 019的非负数． 【经典例题二 判断是否为同一集合】 【例2】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 1．（21-22高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·上海·课前预习）集合的相等:如果两个集合的组成元素 ，就称这两个集合相等． 3．（18-19高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由． （1）集合与集合表示同一集合； （2）集合与集合表示同一集合； （3）集合与集合表示同一集合； （4）集合与集合表示同一集合； 【经典例题三 判断元素与集合的关系】 【例3】（13-14高一上·内蒙古包头·期中）集合，，，且，，则（　　） A． B． C． D．不属于，，中的任意一个 1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合． (1)若为整数，试判断是否为集合中的元素； (2)求证：若，则． 【经典例题四 根据元素与集合的关系求参数】 【例4】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 1．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 2．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，若，求实数的值． 【经典例题五 集合中元素的特性】 【例5】（23-24高一上·河北·期中）梯形的边长构成集合A，则集合A中元素个数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．39．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）集合用列举法表示为 ． 3．（2022高三·全国·专题练习） ，，，求中元素个数. 【经典例题六 利用集合元素的互异性求参数】 【例6】（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，集合，，若，且的所有元素和为12，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 1．（23-24高一上·广东东莞·期中）若，则x的可能值为（    ） A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合含有两个元素和，求实数的取值范围． 【经典例题七 自然语言表示集合】 【例7】（16-17高二下·山西朔州·期末）下列常数集表示正确的是(　　) A．实数集R B．整数集Q C．有理数集N D．自然数集Z 1．（19-20高一上·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 3．（21-22高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 【经典例题八 描述法表示集合】 【例8】（24-25高一上·上海·课后作业）集合，、为实数是指（　　） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第二、四象限的所有点组成的集合 1．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）描述法 （1）定义：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法． （2）书写形式： ，其中代表集合中的元素，为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)正偶数组成的集合； (2)被5除余3的正整数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 【经典例题九 列举法表示集合】 【例9】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 1．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·全国·模拟预测） 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 1．（23-24高一下·江西·阶段练习）若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，定义集合，则中元素的个数为（    ） A．77 B．49 C．45 D．30 3．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 4．（2022高三·全国·专题练习）当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A．， B．， C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 8．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（    ） A．若,则 B．的取值范围为 C．若,则 D． 9．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 10．（20-21高一上·江苏镇江·阶段练习）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ） A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1 C．若，则 D．若n=1，则 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 12．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合A具有性质. （1）集合具有性质，则的最小值 ； （2）已知A具有性质，若，则的最大正整数为 . 13．（2024高一上·全国·专题练习）已知，若，则实数的值为 ． 14．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）非空集合具有下列性质：（1）若，则；（2）若,则,下列判断一定成立的是 .（填题编号） ①；②；③,则；④若，则． 15．（23-24高一上·北京海淀·期中）对集合，定义 ①若的元素个数为4，则可以为： ， （写出一组即可） ②若集合满足：存在的子集，使得的元素个数不小于100，且对任意，均有，则集合的元素个数的最小值是 ． 16．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，且满足，则． (1)求出只含2个元素的集合； (2)满足题设条件的集合共有几个？列举出来． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 18．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 19．（23-24高一下·北京·期中）设为正整数，若满足：①；②对于，均有.则称具有性质.对于和，定义集合. (1)设，若具有性质，写出一个及相应的； (2)设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由. 20．（23-24高一下·安徽宿州·期中）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合的概念与表示重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断是否为同一集合 题型三 判断元素与集合的关系 题型四 根据元素与集合的关系求参数 题型五 集合中元素的特性 题型六 利用集合元素的互异性求参数 题型七 自然语言表示集合 题型八 描述法表示集合 题型九 列举法表示集合 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点03：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点04：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【经典例题一 判断元素能否构成集合】 【例1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可. 【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 1．（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【答案】C 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断. 【详解】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 故选：C. 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【答案】①②④ 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）以下对象的全体能否构成集合？ (1)河北红星工厂的员工； (2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手； (3)一次函数的图象上的若干个点； (4)不超过2 019的非负数． 【答案】(1)能构成一个集合 (2)不能构成一个集合 (3)不能构成一个集合 (4)能构成一个集合 【详解】（1）能构成集合．河北红星工厂的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合． （2）“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合． （3）“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数的图象上的若干个点”不能构成一个集合． （4）任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过2019的非负数”，故“不超过2 019的非负数”能构成一个集合． 【经典例题二 判断是否为同一集合】 【例2】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 1．（21-22高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 2．（24-25高一上·上海·课前预习）集合的相等:如果两个集合的组成元素 ，就称这两个集合相等． 【答案】完全相同 【分析】根据集合相等的概念，即可求解. 【详解】根据集合相等的定义知，只有两个集合的组成元素完全相同时，两个集合相等. 故答案为：完全相同. 3．（18-19高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由． （1）集合与集合表示同一集合； （2）集合与集合表示同一集合； （3）集合与集合表示同一集合； （4）集合与集合表示同一集合； 【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）错误 【分析】（1）根据元素的无序性可知两集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合. 【详解】（1）集合元素具有无序性，与元素完全相同，故为同一集合，正确 （2）两集合为点集，与表示的点不同     两集合表示的不是同一集合，命题错误 （3）与均表示大于的所有实数的集合     即两集合表示的是同一集合，命题正确 （4）为数集；为点集 两集合表示的不是同一集合，命题错误 【点睛】本题考查同一集合的判定，关键是明确只有元素完全相同时，两集合为同一集合；易错点是忽略点集和数集的区别. 【经典例题三 判断元素与集合的关系】 【例3】（13-14高一上·内蒙古包头·期中）集合，，，且，，则（　　） A． B． C． D．不属于，，中的任意一个 【答案】B 【分析】由已知可得，，可得，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题首先可根据题意分为“、均为正数”，“、为一正一负”，“、均为负数”三种情况进行讨论，然后确定集合中所包含的元素，即可得出结果. 【详解】当、均为正数时，代数式； 当、为一正一负时，代数式或； 当、均为负数时，代数式， 故集合， 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 【分析】根据集合定义，确定元素与集合关系. 【详解】（1）不是自然数，则； （2）是整数，则； （3）是无理数，则； （4）是实数，则. 故答案为：（1）（2）（3）（4） 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合． (1)若为整数，试判断是否为集合中的元素； (2)求证：若，则． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合的表示方法，以及元素与集合的关系，即可求解. （2）若，则，，且，计算 的形态，从而确定它与集合的关系. 【详解】（1）是．∵，∴，其中，，∴整数． （2）证明：∵， ∴可设，，且， ∴ ． 又，， ∴． 【经典例题四 根据元素与集合的关系求参数】 【例4】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系，分类讨论、、，即可求解. 【详解】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故. 故选：B. 1．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【答案】D 【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合. 【详解】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 2．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】由且，得所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，若，求实数的值． 【答案】 【分析】根据，分三种情况进行讨论，计算出的值，然后代入集合中，需要留意是否满足集合中元素的互异性． 【详解】解：①当，即时，而，， 不满足集合中元素的互异性，舍去； ②当，即时，而，，符合题意； ③当时，，而，，不满足集合中元素的互异性，舍去． 综上可知，实数的值为． 【经典例题五 集合中元素的特性】 【例5】（23-24高一上·河北·期中）梯形的边长构成集合A，则集合A中元素个数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据梯形的特征分析即可. 【详解】因为梯形的四条边可以都不相等，所以集合中最多有4个元素. 故选：D. 1．（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用集合的描述法计算即可. 【详解】由题意可知只有，符合题意.即. 故选：A 2．39．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）集合用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】根据4能被整除分类即可. 【详解】时，时，时，时，时，；时，. 故． 故答案为：. 3．（2022高三·全国·专题练习） ，，，求中元素个数. 【答案】33个. 【分析】集合B中的元素为300以内3的倍数，集合C中的元素为200以内2的倍数，即可解出. 【详解】由题意，集合B中的元素为300以内3的倍数，集合C中的元素为200以内2的倍数， 所以中元素为200以内6的倍数，故共有个，即有33个元素. 【经典例题六 利用集合元素的互异性求参数】 【例6】（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，集合，，若，且的所有元素和为12，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先确定集合中可能的元素，根据两集合中元素的和求出的值，再根据集合中元素的互异性取值. 【详解】集合中的元素可能为：，， 因为，. 若，则，，则，元素和不为12； 若，则，，则，元素和不为12； 当时，，因为中所有的元素和为12， 所以，解得或（舍去）. 综上：. 故选：A 1．（23-24高一上·广东东莞·期中）若，则x的可能值为（    ） A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性，即可求解. 【详解】因为， 当时，，不满足元素的互异性， 当时，，满足互异性， 当时，即或（舍）时，，满足互异性， 所以或2. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合中元素的互异性可知，，解得且， 故答案为：且 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合含有两个元素和，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合中元素的互异性直接构造不等式求解即可. 【详解】根据集合中元素的互异性可知：，解得：， 实数的取值范围为. 【经典例题七 自然语言表示集合】 【例7】（16-17高二下·山西朔州·期末）下列常数集表示正确的是(　　) A．实数集R B．整数集Q C．有理数集N D．自然数集Z 【答案】A 【详解】因为Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，N表示自然数数集，所以A正确故选A. 故选：A 1．（19-20高一上·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“类”的定义对上述五个结论的正误进行判断. 【详解】对于①，，，结论①正确； 对于②，，，结论②错误； 对于③，对于任意一个整数，它除以的余数可能是、、、、，，结论③正确； 对于④，整数、属于同一“类”，设、，、、、、，则存在、，使得，，，结论④正确.故选C. 【点睛】本题考查集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考查推理能力，属于中等题. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 【答案】 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 3．（21-22高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合； (2)大于的实数构成的集合； (3)大于2且小于20的所有质数构成的集合. 【分析】根据题设中的集合，集合中元素的性质进行描述，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合表示：小于10的正奇数构成的集合； （2）解：集合表示：大于的实数构成的集合； （3）解：集合表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合. 【经典例题八 描述法表示集合】 【例8】（24-25高一上·上海·课后作业）集合，、为实数是指（　　） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第二、四象限的所有点组成的集合 【答案】C 【分析】由已知判断出同号，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】解：集合，、为实数， ， 同号， 当时，集合指第一象限内的所有点组成的集合， 当时，集合指第三象限内的所有点组成的集合， 故是指第一和第三象限内的所有点组成的集合． 故选：C． 1．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏. 【详解】当时，； 当时，； 当或时，； 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）描述法 （1）定义：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法． （2）书写形式： ，其中代表集合中的元素，为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确 ． 【答案】 共同特征 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)正偶数组成的集合； (2)被5除余3的正整数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的描述法来表示集合. 【详解】（1）正偶数组成的集合是； （2）被5除余3的正整数组成的集合是； （3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合是. 【经典例题九 列举法表示集合】 【例9】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是. 故选：D 1．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. 【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 2．（2024·全国·模拟预测） 【答案】/ 【分析】用列举法表示即可. 【详解】. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定出集合中的元素，然后写出集合； （2）确定出集合中的元素，然后写出集合； （3）解方程组得定出集合中的元素，然后写出集合； 【详解】（1）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示； （3）由得，方程组的解集可累表示为． 1．（23-24高一下·江西·阶段练习）若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解. 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，定义集合，则中元素的个数为（    ） A．77 B．49 C．45 D．30 【答案】C 【分析】根据题意作出图示表示集合A、B所表示的点，由数形结合思想可得出表示的点集的横坐标和纵坐标的范围，从而可得出中元素的个数. 【详解】， 则集合中有5个元素，即5个点，如下图中黑点所示， 集合中有25个元素（即25个点）， 即下图中正方形内部及正方形边上的整点， 所以或或或或或或，共7个值； 所以或或或或或或，共7个值， 所以集合中的元素可看作下图中正方形内部及正方形边上除去四个顶点外的整点，共（个）． 故选：C. 3．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 4．（2022高三·全国·专题练习）当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据任意相同元素之差0，可判断①；根据当时，，利用定义依次推导，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④. 【详解】对于①，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对于②，根据当时，，则，即，进而，，故②正确； 对于③，对，但，不满足题意，所以集合不是一个数域，故③不正确； 对于④，若是有理数，则，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确; 所以其中真命题的个数是3个. 故选：C. 5．（23-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】依题意从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和必为的倍数，从而得到这个和为、、、，即可得到，即可求出这四个数. 【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数， 又，，， 所以这个和为、、、， 则， 所以，，， 即这个数分别为、、、， 故这个数中最小的数为. 故选：C 6．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A．， B．， C． D． 【答案】AC 【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果． 【详解】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，， 使得，当时，该式不成立，故错误； 对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在， 使得，故正确； 对于，集合，，，当时，， 时，使得不成立，故错误． 故选：． 7．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 8．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（    ） A．若,则 B．的取值范围为 C．若,则 D． 【答案】ACD 【分析】对于A,当时,,此时,分类讨论判断正误;对于B,由题意得,则,所以判断B的正误;对C,若,,此时,则求出范围判断即可;对于D,因为,则,所以,将转化为求解即可. 【详解】对于A,当时,,此时.若,则,满足题意;若,则,综上,若,则,故A正确; 对于B,因为,则,所以,解得或,故B错误; 对于C,若,,此时,则,解得,综上,故C正确; 对于D,因为,则,所以,所以,故D正确. 故选:ACD. 9．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 10．（20-21高一上·江苏镇江·阶段练习）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ） A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1 C．若，则 D．若n=1，则 【答案】BC 【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可 【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S. ∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或； 同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： . 对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误； 对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确； 对于C: 若，有，解得：，故C正确； 对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解. 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）中变形得到，故，，一一对应，（1）正确，同理判断（2）和（3）；对于（4），可举出反例. 【详解】对于（1），由，可得，，一一对应， 则，故（1）符合； 对于（2），由，可得，，一一对应， 则，故（2）符合； 对于（3），由， 可得，， 一一对应，则，故（3）符合； 对于（4），，但方程无实数解， 则与不相同，（4）不符合. 故答案为：（1）（2）（3） 12．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合A具有性质. （1）集合具有性质，则的最小值 ； （2）已知A具有性质，若，则的最大正整数为 . 【答案】 6 134 【分析】（1）根据新定义列不等式组求解即可； （2）设，且，利用累加即可求解. 【详解】（1）由性质定义知： ，解得，且， 所以的最小值为6. （2）由题设，且， 所以， 所以， 所以，所以M的最大正整数为134. 故答案为：6；134. 13．（2024高一上·全国·专题练习）已知，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意知集合，利用分类讨论及集合元素的互异性从而可求解. 【详解】由题意知集合， 所以当时，得，所以，故满足； 当时，得，所以，故不满足； 当时，无解，故不满足； 综上，可得实数的值为. 故答案为：. 14．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）非空集合具有下列性质：（1）若，则；（2）若,则,下列判断一定成立的是 .（填题编号） ①；②；③,则；④若，则． 【答案】①②③ 【分析】利用本题已知中集合和元素的性质逐个分析即可. 【详解】对于①，若，则，因此，而对于时，无意义，不满足，故①正确； 对于②，若，则依次类推，对任意，所以，故②正确； 对于③，若，则，由②的解析过程可知，,，∴，故③正确； 对于④，由②解析过程可知，，取，则，故④错误； 故答案为：①②③ 15．（23-24高一上·北京海淀·期中）对集合，定义 ①若的元素个数为4，则可以为： ， （写出一组即可） ②若集合满足：存在的子集，使得的元素个数不小于100，且对任意，均有，则集合的元素个数的最小值是 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据题目中集合的新定义，结合元素与集合的关系求解即可. 【详解】设集合中元素个数为，集合中元素个数为， 根据题意可知集合的元素个数为， 若的元素个数为4，则可以为，， 若对任意，均有，则，， 又的元素个数不小于100，则，解得， 因为是集合的子集，所以集合的元素个数的最小值是. 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）， 16．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，且满足，则． (1)求出只含2个元素的集合； (2)满足题设条件的集合共有几个？列举出来． 【答案】(1)，， (2)7个，，，，，，， 【分析】（1）根据的形式，先确定的取值，再代入验证； （2）根据（1）的结果，列举满足条件的集合. 【详解】（1）∵只有2个元素，且且， ∴可取2或3或4或5或7或13，代入， 当代入，得13，将13再代入，得2，满足双元素集合， 当代入，得7，将7再代入，得3，满足双元素集合， 当代入，得5，将5再代入，得4，满足双元素集合， 都是对应上述双元素集合中的元素，不需再代入，不合要求， 所以双元素集，，． （2）满足题设条件的集合共有（个），分别是，，，，，，． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据好集合的新定义来确定元素； （2）根据满足好集合的新定义来确定元素所满足的特征. 【详解】（1）， （2）由题意：，故，即， 考虑、，可知， ∴或． 若，则考虑，， ∵，∴，则， ∴，但此时，不满足题意； 若，此时，满足题意， ∴，其中、为相异正整数． 18．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若，则或，进而求解即可得答案. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 19．（23-24高一下·北京·期中）设为正整数，若满足：①；②对于，均有.则称具有性质.对于和，定义集合. (1)设，若具有性质，写出一个及相应的； (2)设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）根据性质的定义可得答案； （2）利用反证法以及性质的定义推出相互矛盾的结论可得解. 【详解】（1），； ，； ，； ，； ，； ，. （2）假设存在和均具有性质，且， 则， 因为与同奇同偶，所以与同奇同偶， 又因为为奇数，为偶数， 这与与同奇同偶矛盾，所以假设不成立. 综上所述：不存在具有性质的和，满足. 20．（23-24高一下·安徽宿州·期中）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用数域的定义直接判断即可. （2）利用关于乘法运算封闭的定义推理即得. （3）利用数域的定义，逐一验证各个条件被满足即可. 【详解】（1）由于，而，因此不是数域； 由于，而，因此不是数域； 中，都有零元：0和单位元：1； 关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； 对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律， 所以可以是数域. （2）设(都为整数)，显然,且， 则 显然，因此， 所以集合A关于乘法运算是封闭的. （3）①显然,当时，；当时，， 显然对任意，都有，所以集合中有零元0和单位元1； ②设，则， 因为都为有理数，则也都为有理数， 因此； 又由（2）同理可得，都为有理数时，也都为有理数， 于是； 当时，令， 显然都是有理数，则，于是， 因此集合A关于加、减、乘、除运算都是封闭的； ③显然任意，都有，由中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律， 因此集合A中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律， 所以集合A是一个数域. 学科网（北京）股份有限公司 $$