宁夏青铜峡市宁朔中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

第 1 页，共 2 页 青铜峡市宁朔中学 2023-2024 学年第二学期 高二年级数学期末测试卷 时间：2024.7 出卷人 叶正龙 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.设集合𝐴 = {𝑥 ∣ 𝑦 = √ 𝑥 − 1}, 𝐵 = {𝑥 ∣ −1 < 𝑥 < 2}，则𝐴 ∩ 𝐵 =( ) A. [1,2) B. (1,2) C. (−1, +∞) D. [0,2) 2.命题“∀𝑥 ∈ [1,3]，𝑥2 − 𝑎 ≤ 0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A. 𝑎 ≥ 9 B. 𝑎 ≤ 9 C. 𝑎 ≥ 10 D. 𝑎 ≤ 10 3.若正数𝑥，𝑦满足𝑥 + 2𝑦 = 2，则 𝑦 𝑥 + 1 𝑦 的最小值为( ) A. √ 2 + 1 B. 2√ 2 + 1 C. 2 D. 5 2 4.已知函数𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 4𝑥 + 1，𝑎 = 𝑓(ln 4)，𝑏 = 𝑓(ln 3)，𝑐 = 𝑓(1)，则𝑎，𝑏，𝑐的大 小关系为 ( ) A. 𝑏 > 𝑐 > 𝑎 B. 𝑐 > 𝑏 > 𝑎 C. 𝑏 > 𝑎 > 𝑐 D. 𝑎 > 𝑏 > 𝑐 5.数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}满足𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛 = 1，𝑎𝑛 = 𝑛 2 + 3𝑛 + 2，则{𝑏𝑛}的前100项之和等于( ) A. 1 3 B. 25 51 C. 1 2 D. 7 12 6.已知(2𝑥 + 1)(𝑥 − 1)4 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥 2 + 𝑎3𝑥 3 + 𝑎4𝑥 4 + 𝑎5𝑥 5 则𝑎1 + 𝑎4的值 为( ) A. −5 B. −7 C. −9 D. −13 7.已知某公司生产的一种产品的质量(单位：千克)服从正态分布𝑁(90,64)，现从该产品 的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间(82,106)内的产品估计有( )附： 若𝑋∽𝑁(𝜇, 𝜎2)，则𝑃(𝜇 − 𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝜎) ≈ 0.6827, 𝑃(𝜇 − 2𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 2𝜎) ≈ 0.9545 A. 8718件 B. 8772件 C. 8128件 D. 8186件 8.函数𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥在区间(𝑎2 − 12, 𝑎)上有最小值，则实数𝑎的取值范围是( ) A. (−1, √ 11) B. (−1,2) C. (−1,2] D. (1,4) 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.已知𝑋的分布列为 则下列说法正确的有( ) A. 𝑃(𝑋 = 2) = 5 12 B. 𝑃(𝑋 > 0) = 2 3 C. 𝐸(𝑋) = 1 D. 𝑃(𝑋 = 0) < 𝑃(𝑋 = 2) 10.2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动．重庆市物价局派人对5个商场某商品同 一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价𝑥元和销售量𝑦件之间的一组数据 如下表所示： 价格𝑥 90 95 100 105 110 销售量𝑦 11 10 8 6 5 用最小二乘法求得𝑦关于𝑥的经验回归直线是𝑦 = −0.32𝑥 + 𝑎，相关系数𝑟 = −0.9923， 则下列说法正确的有( ) A. 变量𝑥与𝑦负相关且相关性较强 B. ?̂? = 40 C. 当𝑥 = 85时，𝑦的估计值为13 D. 相应于点(105,6)的残差为−0.4 11. 已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎2 = 18，𝑎5 = 12，则下列选项正确的是( ) A. 𝑑 = −2 B. 𝑎1 = 22 C. 𝑎3 + 𝑎4 = 30 D. 当且仅当𝑛 = 11时，𝑆𝑛取得最大值 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。 12.用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数_________． 13.在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第1次抽到男生的条 件下，第2次抽到女生的概率为 ． 14.已知随机变量𝜉 𝐵(2, 𝑝)(0 < 𝑝 < 1)，当𝐸(𝜉) ⋅ 𝐷(𝜉)取最大值时，𝑝 = ． 第 2 页，共 2 页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)已知递增的等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑎2 = 2，𝑆3 = 7． (1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式； (2)设𝑏𝑛 = (𝑙𝑜𝑔2𝑎𝑛 + 1) ⋅ 𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛． 16.(本小题15分)某种产品 2014年到 2018年的年投资额 x（万元）与年利润 y（万元） 的数据统计如下，由散点图知，y与 x之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知 5年 利润的平均值是 4.7． 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年投资金额 (x 万元 ) 1 2 3 4 5 年利润 (y 万元 ) 2.4 2.7 t 6.4 7.9 (1)求表中实数 t的值； (2)求 y 关于 x的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a= + ． 参考公式：回归直线方程 ˆˆ ˆy bx a= + 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x = = − − = −   或 1 2 2 1 n i i i n i i x y nx y b x nx = = −  = −   ， ˆâ y bx= − ． 17.(本小题15分)某城市地铁将于2022年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会， 拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下： 月收入(单 位：百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 赞成定价 者人数 1 2 3 5 3 4 认为价格 偏高者人数 4 8 12 5 2 1 (1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者” 与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(所有计算结果四舍五入保留整数); (2)由以上统计数据填下面2 × 2列联表，依据小概率值𝛼 = 0.01的独立性检验，可否认 为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”． 月收入不低于 55百元的人数 月收入低于55 百元的人数 合计 认为价格偏高者 赞成定价者 合计 附：𝜒2 = 𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2 (𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑) ． 参考数据： 𝛼 0.1 0.05 0.01 0.005 𝑥𝛼 2.706 3.841 6.635 7.879 18.(本小题17分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上 40 件 产品称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为 490,495 ， ( 495,500 ，…， ( 510,515 ．由此得到样本的频率分布直方图如图． (1)根据频率分布直方图，求质量超过 505 克的产品 数量； (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 X 为质 量超过 505 克的产品数量，求 X 的份布列和数学期 望； (3)从流水线上任取 2 件产品，设 Y 为质量超过 505 克的产品数量，求 Y 的分布列和方差． 19.(本小题17分)已知函数 ( ) ( )2 2 exf x x x= − （ xR ， e为自然对数的底数）. (1)求函数 f（x）的单调区间； (2)求函数 f（x）在区间[0，m]上的最大值和最小值. 答案和解析 一、单选题（每小题5分，共计8*5=40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A D B C D C 二、多选题（每小题6分，共计3*6=18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 题号 9 10 11 答案 ABD ABD AC 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题． 先化简集合，再求，集合的交集． 【解答】 解：由解得，则 ． 故选A． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查全称量词，充分条件和必要条件的判断，属于基础题． 先求命题“，”为真命题的一个充要条件即可求解． 【解答】 解：命题“，”“，”， 所以是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，属基础题． 利用基本不等式及不等式的性质即可求解． 【解答】 解：因为正数  满足  ， 所以  ． 所以  ， 当且仅当  ，即  时，取等号， 当  时，  取得的最小值为  ． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查的是函数的单调性，对数函数的单调性，利用函数的单调性比较大小，属于中档题． 根据条件易得为增函数，利用对数函数的单调性比较，，大小即可求解． 【解答】解：函数的定义域为，且是增函数， 因为，所以，即． 故选D． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了数列求和，属于基础题． 先求出数列的通项公式，利用裂项的方法求和即可． 【解答】解：， ， 故选B． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二项展开式的特定项的系数，属于基础题． 对所给二项式合理变形，求展开项系数即可． 【解答】 解：显然， 在的展开式中，，，所以． 故选： 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正态曲线及其性质、正态分布的概率的应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属于中档题． 根据正态分布，计算对应的概率值，从而求得所需的概率，即可得答案． 【解答】 解：由题意可得：， 则质量在内的概率， 质量在内的概率， 所以质量在内的概率 ， 所以质量在区间内的产品估计有件， 故选D． 8. 【答案】  【解析】【分析】 本题考查用导数研究函数的最值． 求函数导数，研究其最小值取到的位置，由于函数在区间上有最小值，故最小值点的横坐标是集合的元素，由此可以得到关于参数的等式，又当时，，得，进而求得实数的取值范围． 【解答】 解：由题 ， 令解得；令解得或， 由此得函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数， 故函数在处取到极小值，判断知此极小值必是区间上的最小值， ，解得， 又当时，，故有， 综上知． 故选C． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查离散型随机变量的概率及其分布列，数学期望，属基础题． 由可得，根据选项逐一计算即可判定． 【解答】 解：由分布列的性质可知，即， ，故A正确 ，故B正确 ，故C不正确  ，故D正确． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查相关系数的定义，线性回归方程的性质，以及残差的定义，属于中档题． 根据已知条件，结合相关系数的定义，线性回归方程的性质，以及残差的定义，即可求解． 【解答】 解：对于，由回归直线可得变量，线性负相关，且由相关系数，可知相关性强，故A正确， 对于，由表中数据可得，，， 故回归直线恒过点，故，解得，故B正确， 对于，当时，，故C错误， 对于，相应于点的残差，故D正确． 故选：． 11.【答案】 【解析】【分析】 本题考查等差的通项公式、性质及前n项和性质，属中档题题． 【解答】 解：因为，， 解得，d=-2 故A正确，B错误 故C正确 又，由得，n11, 故n=10,11时，取得最大值，故D错误 故选AC． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 根据题意，分步进行分析：不能在百位，易得百位有种情况，在剩下的个数字中任选个，安排在个位与十位，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】 解：根据题意，分步进行分析： 不能在百位，则百位有种情况， 在剩下的个数字中任选个，安排在个位与十位，有种情况， 则共有种情况，即有个无重复数字的三位数． 故答案为． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查条件概率与古典概型的计算，是基础题． 设事件表示“第次抽到男生”，事件表示“第次抽到女生”，则，，由此利用条件概率计算公式即可求解． 【解答】 解：设事件表示“第次抽到男生”，事件表示“第次抽到女生”， 则，， 则在第次抽到男生的条件下，第次抽到女生的概率为： ． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二项分布的数学期望、方差的运算，考查利用导数分析函数的最值，属中档题利用二项分布数学期望、方差的计算公式先列出，然后构造函数，利用导数求解最大值及取得最值时的值． 【解答】 解：因为， 所以，，故， 设函数， 则，令得，或舍，故当时，，当，，所以在上递增，上递减， 故在处取最大值，其最大值为． 故答案为：． 15.【答案】（13分）解：设等比数列  公比为， 由题意有  ，解得  ， 所以  ．  ， 所以  ，     ， ．   【解析】本题考查等比数列的通项公式，等比数列的求和，错位相减法求和，属于基础题． 根据题意求出首项和公比，即可得通项公式 利用错位相减法即可求解． 16【分析】（15分） （1）由5年利润的平均值是4.7结合平均数公式求得值； （2）由已知数据求得和的值，即可得到线性回归方程. 【详解】（1）由题意得，，解得 （2） 由题意得，,， ，故， 则， 故所求线性回归方程为． 17.【答案】（15分）解：． “认为价格偏高者”的月平均收入为 ， “赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是百元． 根据条件可得列联表如下： 月收入不低于百元人数 月收入低于百元人数 合计 认为价格偏高者 赞成定价者 合计 零假设为月收入以百元为分界点对地铁定价的态度无差异． ． 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为“月收入以百元为分界点对地铁定价的态度没有差异”．   【解析】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，比较基础． 利用组中值，计算月平均收入，即可得出结论； 根据提供数据，可填写表格，利用公式，可计算的值，根据临界值表，即可得到结论． 18.【答案】(1)12件； (2)分布列见解析，数学期望为； (3)分布列见解析，方差为. 【分析】（1）根据频率分布直方图直接可计算产品数量； （2）由已知可知该分布为超几何分布，进而可得分布列与期望； （3）由已知可知该分布为二项分布，进而可得分布列及方差. 【详解】（1）质量超过克的产品的频率为， 所以质量超过克的产品数量为（件）. （2）质量超过克的产品数量为， 则质量未超过克的产品数量为，的取值为，，， ，，， 所以的分布列为 数学期望为. （3）根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过克的概率为， 从流水线上任取件产品互不影响， 因此质量超过克的件数可能的取值为，，，且， ，，， 所以的分布列为 方差为. 19.【分析】（1）求导后求解导函数的正负区间即可； （2）根据（1）中的单调区间，分，和三种情况讨论即可 【详解】（1），求导得，因为， 令，即，解得或. 令，即，解得. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）①当时，因为在上递减， 所以在区间上的最大值为，最小值为. ②当时，因为在上递减，在上递增，且， 所以在上的最大值为，最小值为. ③当时，因为在上递减，在上递增，且， 所以在上的最大值为，最小值为. 第8页，共9页 第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$