1.5.1 全称量词与存在量词课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5.1 全称量词与存在量词 我们知道,命题是可以判断真假的陈述句.在数学中,有时会遇到一些含有变量的陈述句,由于不知道变量代表什么数,无法判断真假,因此它们不是命题.但是,如果在原 语句的基础上,用一个短语对变量的取值范围进行限定,就可以使它们成为一个命题,我们把这样的短语称为量词.本 节将学习全称量词和存在量词,以及如何正确地对含有一个 量词的命题进行否定． 思考:下列语句是命题吗? 比较(1)和 (3), (2)和 (4),它们之间有什么关系? (1) x>3; (2) 2x+1是整数; (3) 对所有的x∈R, x>3; (4) 对任意一个x∈Z, 2x+1是整数. 语句(1)(2)含有变量x,由于不知道x代表什么数,无法判断它们的真假,所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语 “所有的”对变量狓进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语 “任意一个”对变量x进行限定,从而使 (3)(4)成为可以判断真假的语句,因此语句 (3)(4)是命题． 新课讲解 例如,命题:“对任意的n∈Z, 2n+1是奇数” “所有的正方形都是矩形” 常见的全称量词还有“一切”、“每一个” 、“任给”、“所有的”等. 短语“所有的”,“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier),并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题(universal proposition). 都是全称命题. 新课讲解 通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x), …表示.变量x的取值范围用M表示.那么全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”.可用符号简记为： xM, p(x) 读做“对任意x属于M,有p(x)成立”. 新课讲解 例1:判断下列全称量词命题的真假： 所有的素数①都是奇数; x∈R,|x|+1≥1; 对任意一个无理数x,x2也是无理数. 例题精讲 ①如果一个大于1的 整数,除1和自身外无其 他正因数,则称这个正整数为素数. 分析:要判定全称量词命题“xM, p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题②. 例题精讲 ②这个方法就是 “举反例”． 解: (1) 2是素数,但2 不是奇数.所以,全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题. (2) x∈R,总有|x|≥0,因而|x|+1≥1,所以,全称量词命题“x∈R,|x|+1≥1”是真命题. (3) 是无理数,但是 是有理数.所以全称量词命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题. 例题精讲 要判断一个全称命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假. 1、判断下列命题的真假： (1) x∈N,x4≥1; (2) x∈R,x2+2>0; 假命题 真命题 课堂练习 课堂总结 1、短语“所有的”,“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier).用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 2、通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x) …表示, 变量x的取值范围用M表示.那么全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”. 可用符号简记为：xM, p(x) 读做“对任意x属于M,p(x)成立”. 思考:下列语句是命题吗? 比较(1)和 (3), (2)和(4),它们 之间有什么关系? (1) 2x+1=3; (2) x能被2和3整除; (3) 存在一个x∈R, 使2x+1=3; (4) 至少有一个x∈Z, x能被2和3整除. 容易判断,(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础之上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础之上,用 “至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句,因此语句(3)(4)是命题. 新课讲解 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. 短语“存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier).用符号“ ”表示.含有存在量词的命题,叫做特称量词命题(existential proposition). 例如,命题 “有的平行四边形是菱形” “有一个素数不是奇数” 都是存在量词命题. 新课讲解 例1:判断下列存在量词命题的真假: (1)有一个实数x, 使x2+2x+3=0; (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线; (3)有些平行四边形是菱形. 分析:要判定存在量词命题“xM, p(x)”是真命题,只需要在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中, 使p(x)不成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题就是假命题. 例题精讲 存在量词命题 “存在M中的一个x, p(x)成立”可用符号简记为: 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解:(1)由于△=22-4×3=-12,因此一元二次方程x2+2x+3=0无实根.所以,存在量词命题 “有一个实数x,使x2+2x+3=0”是假命题． (2) 由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,因此平面内不可能存在两条 相交直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题 “平面内存在两条相交直线垂直于同一 条直线”是假命题. (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形,所以存在量词命题 “有些平行四边形是菱形”是真命题. 例题精讲 要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假. 1、判断下列命题的真假： (1) (2) 真命题 假命题 课堂练习 2、判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题? (1) 方程2x=5只有一解; (2) 凡是质数都是奇数; (3) 方程2x2＋1=0有实数根; (4) 没有一个无理数不是实数; (5) 如果两直线不相交,则这两条直线平行; (6) 集合A∩B是集合A的子集. 课堂练习 存在量词命题 全称量词命题 存在量词命题 全称量词命题 全称量词命题 全称量词命题 3、判断下列语句是不是命题,如果是是全称量词命题还是存在量词命题. (1) 中国的所有江河都注入太平洋; (2) 0不能作除数； (3) 任何一个实数除以1，仍等于这个实数； (4) 每一个向量都有方向吗？ 4、判断下列命题的真假: (1) (2) (3) (4) 课堂练习 全称量词命题 全称量词命题 全称量词命题 不是命题 真 假 真 假 5、判断下列全称量词命题的真假: ①末位是0的整数,可以被5整除; ②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; ③负数的平方是正数; ④梯形的对角线相等. 6、判断下列存在量词命题的真假: ①有些实数是无限不循环小数; ②有些三角形不是等腰三角形; ③有些菱形是正方形. 课堂练习 真 真 真 假 真 真 真 回顾反思 要判断一个特称命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个特称命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假. 要判断一个全称命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假. 1、完成练习册相应内容 课后作业 $$