1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦全称量词命题和存在量词命题的否定，通过“所有矩形都是平行四边形”等具体命题导入，引导学生写出否定形式并分析结构变化，衔接命题概念，以问题链和表格梳理为支架构建知识脉络。 其特色是问题驱动结合分层训练，通过实例辨析（如“都是”否定为“不都是”）培养逻辑推理（数学思维），提能点用二次函数性质求参数范围（数学语言），课堂小结明确易错点，助力学生发展推理能力，教师可直接用分层作业提升教学效率。

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 1 知识点一　命题的否定与全称量词命题的否定 01 知识点二　存在量词命题的否定 02 提能点　根据命题的否定求参数范围 03 目录 课时作业 04 2 知识点一 命题的否定与全称量词命题的否定 01 PART 目 录 问题1　阅读下面的命题，并回答提出的问题： ①所有的矩形都是平行四边形； ②每一个素数都是奇数. （1）试写出上面命题的否定，并指出真假； 提示：①并非所有的矩形都是平行四边形，假命题. ②存在一个素数不是奇数，真命题. （2）上述命题的否定与原命题在形式上有什么变化？ 提示：这两个命题都是全称量词命题，其否定都变成了存在量词命题. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 命题的否定 （1）定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命 题，这一新命题称为原命题的否定.命题p的否定可用“􀱑p”来表示， 读作非p. 数学·必修第一册 目 录 （2）常见词语的否定词语 原 词 等于 （＝） 大于 （＞） 小于 （＜） 是 都是 至多有 一个 至多有n个 至少有 一个 否 定 不等于 （≠） 不大于 （≤） 不小于 （≥） 不 是 不都是 至少有 两个 至少有（n ＋1）个 一个 也没有 　　提醒：（1）命题p的否定就是条件不变，只否定结论；（2）注意非 p与p的否命题的区别. 数学·必修第一册 目 录 2. 全称量词命题的否定 全称量词命题 它的否定 结论 ∀x∈M，p （x） ⁠ ⁠ 全称量词命题的否定是 ⁠命题 【例1】　（链接教材P29例3）写出下列全称量词命题的否定： （1）所有能被2整除的整数都是偶数； 解：该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数. （2）每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； 解：该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上. （3）∀x∈R，5x－12＝0. 解：该命题的否定：∃x∈R，5x－12≠0. ∃x∈M， 􀱑p（x） 存在量词　 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 全称量词命题否定的关注点 （1）全称量词命题：∀x∈M，p（x），它的否定：∃x∈M，􀱑p （x），即“改变量词，否定结论”； （2）全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词 命题可补上量词后进行否定. 数学·必修第一册 目 录 训练1　写出下列命题的否定并判断真假： （1）等圆的面积相等； 解：该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等 圆，其面积不相等”.由等圆的概念知原命题的否定是假命题. （2）对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3； 解：该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3，因为02＝0， 12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝ 81，…，所以这是一个假命题. 数学·必修第一册 目 录 （3）平面内与同一条直线垂直的两条直线平行. 解：命题省略了全称量词“任意”，即“平面内任意两条与同一条直线垂 直的直线平行”，因此其否定为“平面内存在两条与同一条直线垂直的直 线不平行”，是假命题. 数学·必修第一册 目 录 知识点二 存在量词命题的否定 02 PART 目 录 问题2　阅读下面的命题，并回答提出的问题： ①存在一个实数的绝对值是正数； ②有些平行四边形是菱形. （1）试写出上面命题的否定； 提示：①不存在一个实数，它的绝对值是正数. ②没有一个平行四边形是菱形. （2）上述命题的否定与原命题在形式上有什么变化？ 提示：这两个命题都是存在量词命题，其否定都变成了全称量词命题. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 存在量词命题 它的否定 结论 ∃x∈M，p （x） ⁠ ⁠ 存在量词命题的否定是 ⁠命题 ∀x∈M􀱑 p（x） 全称量词　 数学·必修第一册 目 录 【例2】　（链接教材P30例4）写出下列命题的否定并判断真假： （1）p：∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； 解：􀱑p：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点.因为当a＝0 时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以􀱑p是假命题. （2）q：有的有理数没有倒数； 解：􀱑q：所有的有理数都有倒数.因为0为有理数且没有倒数，所以􀱑q 为假命题. （3）s：有些三角形是锐角三角形. 解：􀱑s：所有三角形都不是锐角三角形（或任意三角形都不是锐角三角 形），假命题. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 存在量词命题否定的关注点 （1）存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变 其中的量词和判断词.即∃x∈M，p（x），它的否定：∀x∈M，􀱑p （x），即改变量词，否定结论； （2）存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词 命题可补上量词后进行否定. 数学·必修第一册 目 录 训练2　写出下列存在量词命题的否定： （1）∃x∈R，x＋1≤0； 解：该命题的否定：∀x∈R，x＋1＞0. （2）有的三角形是等腰三角形； 解：该命题的否定：所有的三角形都不是等腰三角形. （3）有一个偶数是素数. 解：该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. 数学·必修第一册 目 录 03 PART 提能点 根据命题的否定求参数范围 目 录 【例3】　已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m 的取值范围. 解：法一　􀱑p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，即m＞－x2＋2x＝ －（x－1）2＋1，x∈R恒成立， 设函数y＝－（x－1）2＋1，由二次函数的性质知， 当x＝1时，ymax＝1，∴m＞ymax＝1， 即实数m的取值范围是{m｜m＞1}. 数学·必修第一册 目 录 法二　􀱑p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，设函数y＝x2－2x＋m， 由二次函数的图象和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ＜ 0， 即4－4m＜0，得m＞1， 即实数m的取值范围是{m｜m＞1}. 数学·必修第一册 目 录 变式　若命题“∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0”为真命题，则m的取值范 围是 ⁠. 解析：∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实 根，∴Δ＝4－4m≥0，解得m≤1. {m｜m≤1} 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 由命题的否定求参数范围的两个关注点 （1）命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转 化； （2）求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意 义列不等式求范围. 数学·必修第一册 目 录 训练3　已知命题p：∀x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a ＋5}，且􀱑p是假命题，求实数a的取值范围. 解：􀱑p是假命题即p是真命题， 即∀x∈{x｜－3≤x≤2}，x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}成立， 所以 解得－3≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{a｜－3≤a≤1}. 数学·必修第一册 目 录 1. 命题“∀x＞1，x2－x＞0”的否定为（　　） A. ∀x＞1，x2－x≤0 B. ∃x＞1，x2－x≤0 C. ∀x≤1，x2－x≤0 D. ∃x≤1，x2－x≤0 解析：命题“∀x＞1，x2－x＞0”的否定是“∃x＞1，x2－x≤0”.故选B. √ 数学·必修第一册 目 录 2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　） A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数 B. 任意一个无理数，它的平方是有理数 C. 存在一个无理数，它的平方是有理数 D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数 解析：　命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意 一个无理数，它的平方不是有理数”.故选A. √ 数学·必修第一册 目 录 3. 命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为 ⁠ ，此命题的否定是 （填“真”或“假”）命题. 解析：此命题用符号表示为∃x，y∈R，x＋y＞1，此命题的否定是∀x， y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，它的否定为假命题. 4. 已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，求a的取值范围. 解：由题意得，􀱑p为真命题， 即∀x＞0，x＋a－1≠0， 则当x＞0时，1－a≠x， 故1－a≤0，解得a≥1. 故a的取值范围为{a｜a≥1}. ∃x，y∈R， x＋y＞1 假 数学·必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）全称量词命题、存在量词命题的否定及命题真假的判断； （2）根据命题的否定求参数. 2.应体会 利用p与􀱑p的真假性相反的规律，巧妙解决参数问题，体现转化思想. 3.避易错 （1）命题否定可能不唯一； （2）全称量词“都是”的否定是“不都是”. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 命题“任意x∈A，2x∈B”的否定为（　　） A. 任意x∈A，2x∉B B. 任意x∉A，2x∉B C. 存在x∉A，2x∈B D. 存在x∈A，2x∉B 解析：　命题“任意x∈A，2x∈B”是一个全称量词命题，其命题的否 定为“存在x∈A，2x∉B”，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 已知命题p：∀x∈R，｜x｜≥0，则下列说法正确的是（　　） A. p的否定是存在量词命题，且是真命题 B. p的否定是全称量词命题，且是假命题 C. p的否定是全称量词命题，且是真命题 D. p的否定是存在量词命题，且是假命题 解析：　命题p是全称量词命题，且是真命题，故p的否定是存在量词命 题，且是假命题. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 3. 对某次考试，有命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是 （　　） A. 所有学生都不会做第1题 B. 存在一个学生不会做第1题 C. 存在一个学生会做第1题 D. 至少有一个学生会做第1题 解析：　根据全称量词命题的否定是存在量词命题，命题p：所有学生都 会做第1题的否定是存在一个学生不会做第1题.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 4. 已知命题p：∀x∈R，x＜｜x｜＜x3，命题q：∃x∈R，x2－5x＋4＝ 0，则下列命题中为真命题的是（　　） A. p，q B. 􀱑p，q C. p，􀱑q D. 􀱑p，􀱑q 解析：对于命题p，采用特殊值法，取x＝1，可知p为假命题，则􀱑p为真命题；命题q：当x0＝1时， －5x0＋4＝0成立，故q为真命题，则􀱑q为假命题.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 5. 〔多选〕关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（　） A. 􀱑p：∃x∈R，x2＋1＝0 B. 􀱑p：∀x∈R，x2＋1＝0 C. p是真命题，􀱑p是假命题 D. p是假命题，􀱑p是真命题 解析：命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命题，􀱑p是假命题. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕下列说法正确的有（　　） A. 命题“∃x∈R，1＜y≤2”的否定是“∀x∈R，y≤1或y＞2” B. “至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题 C. “∃x∈R，x－2＞ ”是真命题 D. “∀x∈R，x2＞0”的否定是真命题 解析：由存在量词命题的否定是全称量词命题，知选项A中说法正确；“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故选项B中说法错误；当x＝9时，x－2＞ ，即7＞3成立，故选项C中说法正确；命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，当x＝0时，x2≤0 成立，故选项D中说法正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 7. “有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是 命题（填 “真”或“假”）. 解析：原命题是一个真命题，因此其否定是一个假命题. 假 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 8. 已知命题“∃x≥2，2x－3＜a”是假命题，则实数a的取值范围 是 ⁠. 解析：由题意可知，∀x≥2，2x－3≥a为真命题，故a≤（2x－3）min＝ 2×2－3＝1. {a｜a≤1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 9. 已知命题p：“∀x≥3，2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值 是 ⁠. 解析：当x≥3时，2x≥6⇒2x－1≥5，因为“∀x≥3，2x－1≥m”是真 命题，所以m≤5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 10. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否 定，并判断这些命题的否定的真假. （1）对任意的实数x，都有x2≥｜x｜； 解：全称量词命题. 原命题的否定：存在一个实数x，使得x2＜｜x｜.原命题的否定是真命题. （2）存在实数x，使得x2＋x－2≤0； 解：存在量词命题. 原命题的否定：对任意的实数x，都有x2＋x－2＞0.原命题的否定是假 命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （3）所有有理数的平方都是有理数； 解：全称量词命题. 原命题的否定：存在一个有理数，它的平方不是有理数，是假命题. （4）方程x2－3x＋1＝0的每一个根都是正数. 解：全称量词命题. 原命题的否定：方程x2－3x＋1＝0至少有一个根不是正数.原命题的否定 是假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 11. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2＜－1” B. 命题“∃x∈{x｜x＞－3}，x2≤9”的否定是“∀x∈{x｜x＞－3}，x2 ＞9” C. “x2＞y2”是“x＞y”的必要不充分条件 D. “m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要 条件 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，故A错误；命题“∃x∈{x｜x＞－3}，x2≤9”的否定是“∀x∈{x｜x＞－3}，x2＞9”，B正确；x2＞y2⇔｜x｜＞｜y｜，｜x｜＞｜y｜不能推出x＞y，x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜，所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根⇔ ⇔m＜0，所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x ＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，D正确，故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 12. 某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出 题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范 围，乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m＞ 0”是真命题，求m的取值范围.你认为，两位同学题中m的取值范围是否 一致？ （填“是”或“否”）. 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定 “∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围 是一致的. 是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 13. 已知命题p：∀x∈{x｜1≤x≤3}，都有m≥x；命题q：∃x∈{x｜ 1≤x≤3}，使m≥x.若命题p为真命题，q的否定为假命题，则实数m的 取值范围是 ⁠. 解析：因为q的否定为假命题，所以q为真命题，所以m≥1.因为命题p为 真命题，所以m≥3，故实数m的取值范围为{m｜m≥3}∩{m｜m≥1}＝ {m｜m≥3}. {m｜m≥3} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 14. 已知方程（a＋5）x2＋2（a＋1）x＋a－5＝0. （1）若∃a∈R，使方程只有一个实根，求a的值； 解：当a＋5＝0，即a＝－5时，方程化为－8x－10＝0，解得x＝－ ，符合题意； 当a＋5≠0，即a≠－5时，方程只有一个实根， 则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－25）＝8（a＋13）＝0，解得a＝－13. 综上所述，a的值为－5或－13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）若∀a∈M，方程至少有一个实根，求集合M. 解：由（1）知，a＝－5时符合题意； 当a≠－5时，方程至少有一个实根，则Δ＝8（a＋13）≥0，解得a≥－13. 综上所述，集合M＝{a｜a≥－13}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 15. 已知命题p：∀x∈{x｜1≤x≤2}，x2＋x－a≥0，命题q：∃x∈R， x2＋3x＋2－a＝0. （1）当p为假命题时，求实数a的取值范围； 解：由p为假命题，得􀱑p为真命题， 即∃x∈{x｜1≤x≤2}，x2＋x－a＜0， 即a＞x2＋x在x∈{x｜1≤x≤2}时有解， 所以a＞（x2＋x）min，x∈{x｜1≤x≤2}， 易知当x＝1时，（x2＋x）min＝2， 所以a＞2，即实数a的取值范围是{a｜a＞2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围. 解：由（1）可知，当p为真命题时，a≤2；当p为假命题时，a＞2. 当q为真命题时，方程x2＋3x＋2－a＝0在x∈R上有解，故Δ＝9－4（2 －a）≥0，解得a≥－ ； 当q为假命题时，a＜－ . 所以当p为真命题，q为假命题时，a＜－ ；当p为假命题，q为真命题 时，a＞2. 所以当p和q中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是{a｜a＜ － 或a＞2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $