1.5.1 全称量词与存在量词课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第 1 章 集合与常用逻辑用语 1.5.1 全称量词与存在量词 人教A版2019必修第一册 概念讲解 探究1：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，你有什么发现？ （1） （2）是整数 （3）对所有的； （4）对任意一个是整数 命题：可以判断真假的陈述句。 (1)无法判断真假,不是命题！x范围不明确； (2)无法判断真假,不是命题！x范围不明确； (3)可以判断真假，是命题！x范围明确.(有了量词“所有的”) (4)可以判断真假！是命题！x范围明确，(有了量词“任意一个”) 概念讲解 全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示. 定义 全称量词命题 含有全称量词的命题,叫做全称量词命题。 符号语言：∀x∈M，p(x)，读作：“对M中任意一个x，p(x)成立” 定义 常见的全称量词还有哪些？ 如“一切”、“每一个”、“任给”等. 探究1中 （3）对所有的； （4）对任意一个是整数 用全称量词符号表示 ∀ ； ∀ 是整数 概念讲解 要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立； 但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可． 探究2：全称量词命题真假判断 ★ 要判断全称量词命题是真命题，需要从左往右地推导； ★ 要判断全称量词命题是假命题，只需找一个反例即可. 概念讲解 例1.判断下列全称量词命题的真假 解：（1）2是素数，但是2不是奇数，所以命题为假. （2）因为，所以，命题为真. （3）因为是无理数，但是是有理数， 所以命题为假. （1）所有的素数都是奇数； （2）； （3）对任意一个无理数，也是无理数 素数，即质数，一个正整数，除了1和自身之外没有其他整数的因数，则成为素数(质数). 概念讲解 练习：用量词符号表示下列全称量词命题,并判断其真假: (1)任意一个实数乘以0都等于0; (2)自然数的平方是正数; (3)任意两个有理数的和仍是有理数. 解:(1)∀x∈R,x·0=0,是真命题. (2)∀x∈N,x2>0,当x=0时,不成立,故是假命题. (3)∀x,y∈Q,x+y∈Q,是真命题. 概念讲解 探究3：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. (1)无法判断真假,不是命题！x范围不明确； (3)可以判断真假，是命题！x范围明确. (有了量词“存在一个”) (2)无法判断真假,不是命题！x范围不明确； (4)可以判断真假！是命题！x范围明确. (有了量词“有一个”) 概念讲解 存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”“有些” “有一个” “对某些”“有的”在逻辑中一般叫做存在量词。用符号“ ”表示 定义 存在量词命题 含有存在量词的命题,叫做存在量词命题。 符号语言：∃x∈M，p(x)，读作：“存在一个x属于Ｍ，有p(x)成立” 定义 常见的存在量词还有哪些？ 如“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等. 探究3 (3)存在一个x∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 用存在量词符号表示 x∈Z，x能被2和3整除. 概念讲解 解：（1）全称量词命题 （2）存在量词命题 （3）全称量词命题 （4）存在量词命题 概念讲解 探究4：存在量词命题真假判断 要判断存在量词命题“”是真命题，只需在集合M中找到一个元素，证明成立即可； 如果在集合M中找不到任何元素，使得成立，那么这个存在量词命题就是假命题. ★ 要判断存在量词命题是真命题， 只需要找出一个满足条件； ★ 要判断存在量词命题是假命 题，需要推导证明. 概念讲解 例3. 判断下列存在量词命题的真假： （１）有一个实数x，使x²＋２x＋３＝０； （２）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （３）有些平行四边形是菱形． 假 假 真 全称量词命题的否定 04 想一想 问题 什么是逆命题？ 即若原命题为：“若p，则q”, 逆命题为：“若q，则p” 命题的否定： 是逻辑联结词“非”作用于判断 ,只否定结论不否定条件. 则它的命题的否定为：“若 p,则￢q”. 概念讲解 探究1：写出下列命题的否定，并分析它们与原命题在形式上有什么变化？ （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）. 这三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，p(x)”的形式. 命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平 行四边形； 命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数； 命题（3）的否定是“并非所有的. ”，也就是说 概念讲解 一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“∀x∈M，p(x)”，则它的否定为“并非∀x∈M，p(x) ”，也就是“不成立”.通常，用符号“”表示“不成立”. 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 概念讲解 全称量词命题的否定 全称量词命题：） 它的否定： 定义 否定全称量词命题的步骤 2）否定结论：把全称量词命题的结论否定 1）更换量词：把全称量词变成存在量词 全称量词命题的否定是存在量词命题 概念讲解 例1. 写出下列全称量词命题的否定： （1）所有能被3整除的整数都是奇数； （2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； （3）对任意的个位数字不等于3. 解：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数. （2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上. （3）该命题的否定：的个位数字等于3. 存在量词命题的否定 05 概念讲解 探究2：写出下列命题的否定，并分析它们与原命题在形式上有什么变化 （1）存在一个实数的绝对值是正数； （2）有些平行四边形是菱形； （3）. 这三个命题都是存在量词命题，即具有“的形式. 命题（1）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都 不 是正数； 命题（2）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 命题（3）的否定是“不存在 ”，也就是说，. 概念讲解 一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“p(x) ”，则它的否定为“不存在，使p(x)成立”，也就是“∀x∈M，p(x)不成立”. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 概念讲解 全称量词命题的否定 全称量词命题：） 它的否定： 定义 否定全称量词命题的步骤 2）否定结论：把存在量词命题的结论否定 1）更换量词：把存在量词变成全称量词 存在量词命题的否定是全称量词命题 概念讲解 例2.写出下列存在量词命题的否定： （1） ； （2）有的三角形是等边三角形； （3）有一个偶数是素数. 解：（1）该命题的否定：. （2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形. （3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. 概念讲解 两种命题否定的注意点 06 概念讲解 （2）存在量词命题的否定是一个全称量词命题.给出存在量词命题的否定时，既要否定存在量词，又要否定性质，所以找出存在量词，明确命题所提供的性质是对存在量词命题否定的关键 （1）全称量词命题的否定是一个存在量词命题.给出全称量词命题的否定时，既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是对全称量词命题否定的关键. 概念讲解 常见词语的否定： 词语 词语的否定 等于 不等于 大于 不大于(即小于或等于) 小于 不小于(即大于或等于) 是 不是 都是 不都是(注意和都不是区别开来) 至多一个 至少两个 至少一个 一个也没有 任意 某个 所有的 某些 课堂小结 06 课堂小结 课堂小结 例2.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)∀x∈N,2x+1是奇数; (2)存在一个x∈R,使=0; (3)对任意实数a,|a|>0; (4)有一个角α,使sin α=. 练习：写出下列命题的否定并判断其真假: (1)p:∀x∈R,≥0; (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:∃x∈R,x2+2x+3≤0; (4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0. 解: (1) ¬p:∃x∈R,<0,假命题. (2) ¬q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)¬r:∀x∈R,x2+2x+3>0,真命题. (4) ¬s:∀x∈R,x3+1≠0,假命题. $$