1.4.1 充分条件与必要条件课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.1 充分条件与必要条件 在初中,我们已经对命题有了初步的认识.一般地, 我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成 “若p,则q”“如果p,那么q”等形式.其中p称为命题的条件,q称为命题的结论.本节主要讨论这种形式的命题.下面我们将进一步考察“ ”若p,则q”形式的命题中p和q的关系,学习数学中的三个常用的逻辑用语———充分条件、必要条件和充要条件． 新课讲解 思考:下列 “若p,则q”形式的命题中,哪些是真命题?哪些是假命题? (1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形; (2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等; (3)若x2-4x+3=0.则x=1; (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b. 在命题(1)(4)中,由条件p通过推理可以得出结论q,所以它们是真命题.在命题(2)(3)中,由条件p不能得出结论q,所以它们是假命题． 思考1:判断下列命题是真命题还是假命题： 真 假 (1) 若x>a2+b2,则x>2ab; (2) 若ab=0,则a=0; 新课讲解 思考2:用恰当的语言表述下列语句的意义. ①一个人如果骄傲自满,那么就必然落后; ②鱼活着需要水． 答案:①如果不骄傲自满,那就可能不落后,也可能落后,骄傲自满是落后的充分条件． ②水是鱼活着的必要条件． 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得到q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作： 那么就说, p 是q 的充分条件, q 是p 的必要条件． 例如： 对充分条件、必要条件的理解 一般地,若p⇒q,则p是q的充分条件． “充分”的意思是:要使q成立,条件p成立就足够了.即是说有条件p成立,q就一定成立． 另一方面,q又是p的必要条件． “必要”是说缺少q,p就不会成立． 例题精讲 新课讲解 思考:p是q的充分条件;p的充分条件是q.有何不同? 新课讲解 思考:下列 “若p,则q”形式的命题中,哪些是真命题?哪些是假命题? (1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形; (2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等; (3)若x2-4x+3=0.则x=1; (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b. 上述命题(1)(4)中的p是q的充分条件,q是p必要条件,而命题(2)(3)中的p不是q的充分条件,q不是p的必要条件． 新课讲解 例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的若p是q的充分条件? (1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形; (2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似; 解:这是一条平行四边形的判定定理, p q,所以p是q的充分条件． 解:这是一条相似三角形的判定定理, p q,所以p是q的充分条件． 新课讲解 (3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直; (4)若x2=1,则x=1; 解:这是一条菱形的性质定理, p q,所以p是q的充分条件． 解:由于(-1)2=1,但-1≠1,p q,所以p不是q的充分条件． 新课讲解 (5)若a=b,则ac=bc; (6)若x,y为无理数,则xy为无理数． 解:由等式的性质知, p q,所以p是q的充分条件． 解: 为无理数,但 为有理数, p q,所以p不是q的充分条件． 新课讲解 思考:例1中命题(1)给出了 “四边形是平行四边形”的一个充分条件,即 “四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗?如果不唯一,那么你能再给出几个不同的充分条件吗? 我们说p是q的充分条件,是指由条件p可以推出结论q,但这并不意味着只能由这个条件p才能推出结论q.一般来说,对给定结论q,使得狇成立的条件p是不唯一的． 例如,我们知道,下列命题均为真命题: ①若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形; ②若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形; ③若四边形的两条对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形. 所以,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件． 所以,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是 “四边形是平行四边形”的充分条件． 事实上,例1中命题(1)及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理.所以.平行四边形的每一条判定定理都给出了 “四边形是平行四边形”的一个充分条件,即这个条件能充分保证四边形是平行四边形.类似地.平行线的每一条判定定理都给出了 “两直线平行”的一个充分条件,例如 “内错角相等”这个条件就充分保证了 “两条直线平行”. 一般地.数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 新课讲解 例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的若p是q的必要条件? (1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形; (2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似; 解:这是一条平行四边形的判定定理, p q,所以q是p的必要条件． 解:这是一条相似三角形的判定定理, p q,所以q是p的必要条件． 新课讲解 (3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直; 解:如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,但它不是菱形,p q,所以,q不是p的必要条件 新课讲解 (4)若x2=1,则x=1; (5)若a=b,则ac=bc; (6)若x,y为无理数,则xy为无理数． 解:由于(-1)×0=1×0,但-1≠1, p q,所以p不是q的充分条件． 解:显然, p q,所以q是p的充分条件． 解: 由于 为无理数,但 不全是无理数, p q,所以q不是p的充分条件． 新课讲解 一般地,要判断 “若p,则q”形式的命题中p是否为q的必要条件,只需判断是否有 “p q”,即 “若p,则q”是否为真命题． 新课讲解 思考:例2中命题 (1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,即 “这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗?如果不唯一,你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗? 新课讲解 我们说p是q的必要条件,是指以q为条件可以推出结论p,但这并不意味着由条件p只能推出结论q.一般来说,给定条件p,由q可以推出的结论q是不唯一的.例如,下列命题都是真命题: ①若四边形是平行四边形,则这个四边形的两组对边分别相等; ②若四边形是平行四边形,则这个四边形的一组对边平行且相等; ③若四边形是平行四边形,则这个四边形的两条对角线互相平分． 新课讲解 这表明,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是 “四边形是平行四边形”的必要条件. 我们知道,例2中命题(1)及上述命题①②③均为平行四边形的性质定理.所以,平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件.类似地,平行线的每条性质定理都给出了 “两直线平行”的一个必要条件,例如 “同位角相等”是 “两直线平行”的必要条件,也就是说,如果同位角不相等,那么就不可能有 “两直线平行”.一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 课堂练习 课堂练习 新课讲解 课堂练习 5、下列各题中,p是q的什么条件? (1)p:a+b=0 , q:a2+b2=0; (2)p:四边形的对角线相等, q:四边形是矩形; (3)p:x>5 , q:x>3. p是q的必要不充分条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充分不必要条件 课堂总结 课后作业 1、完成练习册相应内容 $$