1.4.2 充要条件 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2 充要条件 复习回顾 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 pq p⇏q 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 充分条件与必要条件： 小范围 大范围 ⇍ ⇒ 老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，吃饭时：只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说:“该来的没有来。”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了；老张愣了片刻，又道了句:“不该走的又走了。”李四听了大怒，拂袖而去。 1.张三走的原因：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”， 张三觉得自己是不该来的. 思考：张三为什么走了?李四为什么走了? 情景引入 2.李四走的原因：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”， 李四觉得自己是应该走的. 这种逻辑关系在数学中也有广泛的应用. 通过这些逻辑关系，我们可以更好地理解和解决数学问题. 思考：找出下列命题的条件p和结论q，并判断条件p和结论q的关系. (2)若小贾是高中生，则小贾是高一学生. q⇏p 条件p：小贾是高一学生 结论q：小贾是高中生 (1)若小贾是高一学生，则小贾是高中生. 条件p：小贾是高中生 结论q：小贾是高一学生 pq 将命题“若p，则q”中的条件p 和结论q 互换，得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 逆命题 探究：已知整数是的倍数；整数是的倍数，请判断 是的充分条件吗？是的必要条件吗？ ，所以的充分条件； ，所以是的必要条件 是的充分必要条件（简称充要条件） 充要条件 我们就说：p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 如果“若p则q”和它的逆命题“若q则p”均是真命题， 即既有pq，又有qp，就记作pq 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件， 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件. 四种逻辑关系 p能否推q q能否推p p与q的关系 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的_________________条件 充分必要(充要) 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 qp q⇏p pq pq p⇏q p⇏q qp q⇏p 例1 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 充要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 例2 下列各题中，哪些p是q的充要条件? (1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； (3)p:xy>0，q:x>0，y>0； (4)p:x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0(a≠0). p不是q的充要条件 充分不必要条件 p是q的充要条件 p不是q的充要条件 必要不充分条件 p是q的充要条件 例3 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？ (3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除； (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：a是自然数；q：a是正数. 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 充要条件 充分不必要条件 思考：已知A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}， (1)如果A⫋B，那么p是q的什么条件? (2)如果B⫋A，那么p是q的什么条件? (3)如果A=B，那么p是q的什么条件? A B B A A(B) 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 例4 已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2， (1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？ (2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？ 小范围 大范围 例5 已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 探究1 若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 探究2 本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 课堂小结 p能否推q q能否推p p与q的关系 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的_________________条件 充分必要(充要) 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 qp q⇏p pq pq p⇏q p⇏q qp q⇏p 四种逻辑关系 $