1.4.1充分条件和必要条件教学 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

1.4.1充分条件和必要条件 高一年级 谭雪兰 核心素养目标 1、核心价值：符号表达和逻辑推理 2、学科素养目标 ①知识目标：掌握充分条件和必要条件的概念并能求这两个条件；②能力目标：逆向思维和系统思维能力； ③情感目标：体验充分条件和必要条件的乐趣，增强逻辑推理能力。 一、情景引入，感知主题 1、伟大的印度数学家拉马努金非常喜欢研究数字，他研究了数的划分（几个数字之和），比如1=1（一种划分），2=2=1+1（两种划分），3=3=2+1=1+1+1（三种划分），那么4有几种划分，请列出来。 解：4=4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1，这四种划分。 通常我们用p表示条件，q表示结论，今天我们就来学习 如果p，那么q形式的命题 命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 如1+1=2，2>1,矩形的四个角是直角，菱形的对角线相等等 真命题：判断为真的语句是真命题，如以上命题1+1=2，2>1,矩形的四个角是直角。 假命题：判断为假的语句是假命题，如以上命题菱形的对角线相等。 2、命题、真命题、假命题 ①下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题?哪些是假命题? (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形; (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若x2-4x+3=0，则x=1； (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a⊥b. 二、自主探究，引出主题 1、探究充分条件和必要条件的概念 解：在命题(1)、（4)中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题，在命题(2)、(3)中，由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题. 二、自主探究，引出主题 说明：在命题(2)、(3)中，它们是假命题，由条件p不能得出结论q，所以p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q时，我们就说，由p可以推出q，记作 p→q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件 ②定义： 反馈练习1： 1.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是（ ） A、p：四边形是平行四边形 q：对角线互相垂直； B、p：两个三角形的周长相等 q：这两个三角形全等； C、p: x2-4x+3=0 q:x=1； D、p：平面内两条直线a和b均垂直于直线l q：a⊥b. D 反馈练习1： 2.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（ ） A、p：四边形是平行四边形 q：对角线互相垂直； B、p：两个三角形的周长相等 q：这两个三角形全等； C、p: x2-4x+3=0 q:x=1； D、p：平面内两条直线a和b均垂直于直线l q：a⊥b. D 三、精例精讲 例1、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形; (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似; (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)若x2=1，则x=1; (5)若a=b，则ac=bc; (6)若x，y为无理数，则xy为无理数 解:(1)这是一条平行四边形的判定定理，p→q，所以p是q的充分条件. (2)这是一条相似三角形的判定定理，p→q，所以p是q的充分条件. (3)这是一条菱形的性质定理，p→q，所以p是q的充分条件. (4)由于x2=1，则x=1，p q，所以p不是q的充分条件. （5)由等式的性质知，p→q，所以p是q的充分条件 (6)为无理数，但x=2为有理数，p q，所以p不是q的充分条件. 思考 【例1】中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”。这样的充分条件唯一吗?如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗? 解：①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形; ②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形. 所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件，q的充分条件不唯一 例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等; (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例; (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形; (4)若x=1，则x2=1; (5)若ac=bc，则a=b; (6)若xy为无理数，则x，y为无理数. 解:(1)这是一条平行四边形的性质定理，p→q，所以q是p的必要条件. (2)这是一条相似三角形的性质定理，p→q，所以q是p的必要条件. (3)这不是一条菱形的判定定理，pq，所以q不是p的必要条件. (4)由于x=1，则x2=1，p q，所以q是p的必要条件.. （5)c=0时，pq，所以q不是p的必要条件. (6)x=为无理数，p q，所以q不是p的必要条件. 一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p→q”，即“若p，则 q”是否为真命题. 由【例2】命题（1）中平行四边形的性质定理不只对角相等这一条，可知，p→q的命题中，q也不唯一 三、巩固练习 1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB; (2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； (3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 解：（1）（3） 2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若直线l与O有且仅有一个交点，则l为O的一条切线； (2)若x是无理数，则x2也是无理数. 解：（1） 3.如图，直线a与b 被直线l所截，分别得到∠1，∠2，∠3 和∠4.请根据这些信息，写出几个“a∥b”的充分条件和必要条件. 1 3 2 4 a b 解：充分条件：∠1=∠4， ∠1=∠2， ∠1+∠3=180° 必要条件： ∠1=∠4， ∠1=∠2， ∠1+∠3=180° 4、下列命题中p是q的充分条件的是（ ） A、p：AB=A q：AB B、p：AB=A q：AB C、p：AB q： AB=B D、p：AB q： AB=A 5、下列命题中q是p的必要条件的是（ ） A A A、p：AB=A q：AB B、p：AB=A q：AB C、p：AB q： AB=B D、p：AB q： AB=A 四、课堂小结 p是q的充分条件 p q是p的必要条件 $$