1.4 空间向量的应用 讲义-2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4 空间向量的应用 知识点一 直线的方向向量 【解题思路】 直线方向向量 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 【例1】（23-24高二上·山西·阶段练习）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式】 1．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知经过点和点的直线的方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高二上·吉林长春·期末）过，两点的直线的一个方向向量为，则（    ） A．2 B．2 C．1 D．1 3．（22-23高二上·贵州黔东南·期中）一束光线从点出发，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 知识点二 求平面的法向量 【解题思路】 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，； (2)设平面的法向量为＝(x，y，z)； (3)联立方程组并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 【例2】（2024湖南·课后作业）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面． 【变式】 1．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆喀什·期中）（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 3．（2024湖北）如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系. （1）求平面ABCD的一个法向量； （2）求平面SAB的一个法向量； （3）求平面SCD的一个法向量. 知识点三 空间向量证明空间平行 【解题思路】 1.利用向量证明线线平行的思路：证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 2.证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 3.证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【例3-1】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【例3-2】（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【变式】 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与的位置关系不能判断 2．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 3．（2023高三·全国·专题练习）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．证明：//平面；    知识点四 空间向量证明空间垂直 【解题思路】 1.证明两直线垂直的基本步骤 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 2.用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直 ①将直线的方向向量用坐标表示． ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量． ③ 判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量 ①将直线的方向向量用坐标表示． ②求出平面的法向量． ③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 3.证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【例4-1】（2023高三·全国·专题练习）如图，棱台中，，底面ABCD是边长为4的正方形，底面是边长为2的正方形，连接，BD，.证明：. 【例4-2】（2024湖北）如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．求证：平面． 【例4-3】（2024江西）在正方体中，如图、分别是，的中点．求证：平面平面； 【变式】 1．（2024河北）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 2．（24-25高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    3．（2023高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.证明：平面平面ACE； 知识点五 空间距离 【解题思路】 1.用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 2.用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 【例5-1】（22-23高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 【例5-3】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【例5-4】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【例5-5】（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知，则到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 2．（22-23高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）（多选）已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 知识点六 空间角 【解题思路】 1.求异面直线夹角的方法 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解． (2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cos θ＝. 2 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为θ，则sin θ＝ . 3.求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，代入夹角公式 【例6-1】（23-24高二下·甘肃金昌·期末）如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【例6-2】（23-24高二下·上海·期末）如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)若为的中点，求二面角的正切值． 【变式】 1．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ． 2．（22-23高二下·四川成都·期末）如图，正方体中，为的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 3．（23-24高二下·山东东营·期末）如图，在三棱锥中，，，设分别为棱的中点，且． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 【题组一 直线的方向向量】 1．（2024湖南）（选项）下列结论正确的是（    ） A．直线的方向向量是唯一确定的. B．平面的单位法向量是唯一确定的. C．若两平面的法向量平行，则两平面平行. D．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行. 2．（23-24高二上·山东·阶段练习）（多选）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 B．空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定 C．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 D．在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示 3．（23-24高二·全国·课后作业）[多选题]下列命题中真命题有（    ）． A．直线l的方向向量有无穷多个 B．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反 C．若向量是直线l的一个方向向量，则向量也是直线l的一个方向向量 D．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直 4．（22-23高二上·陕西西安·期末）已知，若直线的一个方向向量为，则 . 【题组二 求平面的法向量】 1．（22-23高二下·江西赣州·阶段练习）已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）平面α经过三点，则平面α的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·全国·专题练习）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是 （填序号） 4．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    5．（2024云南）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．    【题组三 空间向量证明空间平行】 1．（23-24高三上·福建·阶段练习）（多选）如图，点A，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则直线平面的是（    ） A． B．   C．   D．   2 ．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 . 3．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 4．（2023高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD的中点，.求证：PB平面AEC； 【题组四 空间向量证明空间垂直】 1．（2023高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的动点..证明：； 2．（2023高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．证明：．    3．（2024新疆）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明平面. 4．（24-25高二上·全国·假期作业）如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面； 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB. 6．（2024河北）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点. 求证：平面平面. 7．（2023高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 【题组五 空间距离】 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东茂名·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24 山东德州·期末）（多选）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 5．（22-23高二上·黑龙江·期中）（多选）已知正方体的棱长为，点，分别是，的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．与平面所成角的正弦值是 B．点到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 6．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知空间中有三点，，，则点O到直线的距离为 . 7．（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 【题组六 空间角】 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图所示，在三棱锥中，DA、DB、DC两两垂直，且，E为BC的中点． (1)证明：； (2)求直线AE与DC的夹角的余弦值． 2．（23-24高二下·福建莆田·期末）如图，在四棱锥中，，，，，，为等边三角形. (1)若为的中点，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 3．（23-24高二下·甘肃·期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形，是的中点． (1)证明：平面． (2)若，四棱锥的体积为72，且，求平面与平面的夹角． 4．（23-24高二下·甘肃·期末）如图，在梯形中，分别为边，的中点，沿将梯形翻折，使平面平面． (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值． 5．（23-24高二下·四川·期末）如图，已知四棱锥中，底面是一个边长为的正方形，平面，是棱的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（23-24高二下·四川宜宾·期末）如图，在四棱锥中，平面，．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 空间向量的应用 知识点一 直线的方向向量 【解题思路】 直线方向向量 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 【例1】（23-24高二上·山西·阶段练习）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为，直线的一个方向向量为，所以有向量与向量为共线， 所以，解得，，所以，故选：A. 【变式】 1．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知经过点和点的直线的方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由题过点和点的直线的方向向量为，所以.故选：D 2．（23-24高二上·吉林长春·期末）过，两点的直线的一个方向向量为，则（    ） A．2 B．2 C．1 D．1 【答案】C 【解析】由题设，，则且，所以，即，可得. 故选：C 3．（22-23高二上·贵州黔东南·期中）一束光线从点出发，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设关于的对称点为，则， 又因为点与都在反射光线所在的直线上， 所以反射光线所在直线的斜率， 对于A，方向向量对应的直线斜率为，故A错误； 对于B，方向向量对应的直线斜率为，故B正确； 对于C，方向向量对应的直线斜率为，故C错误； 对于D，方向向量对应的直线斜率为，故D错误. 故选：B. 知识点二 求平面的法向量 【解题思路】 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，； (2)设平面的法向量为＝(x，y，z)； (3)联立方程组并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 【例2】（2024湖南·课后作业）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 因为平面，所以为平面的一个法向量，所以平面的一个法向量为， （2）设平面的法向量为， 因为，所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， （3）设平面的法向量为， 因为，所以，令，则 所以平面的一个法向量为 【变式】 1．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知， 设平面的一个法向量为，取，解得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.故选：A. 2．（23-24高二上·新疆喀什·期中）（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】AC 【解析】由题意，，，，，.对于A、B项，可知， ∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确； 对于C项，设平面的法向量为，则. 又，，所以有.令，可得，则C正确； 对于D项，设平面的法向量为，则. 又，，所以有.令，得，故D不正确.故选：AC. 3．（2024湖北）如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系. （1）求平面ABCD的一个法向量； （2）求平面SAB的一个法向量； （3）求平面SCD的一个法向量. 【答案】（1）(0，0，1)；（2），0，0 ；（3）(2，-1，1). 【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1). （1）∵SA⊥平面ABCD， ∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量. （2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB， ∴=，0，0是平面SAB的一个法向量. （3）在平面SCD中，=，1，0，=(1，1，-1). 设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，则⊥，⊥，∴ 得方程组 令，则，，∴=(2，-1，1). 所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量. 知识点三 空间向量证明空间平行 【解题思路】 1.利用向量证明线线平行的思路：证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 2.证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 3.证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【例3-1】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【答案】证明见解析 【解析】因为底面为矩形，底面，所以AB，AD，AO两两互相垂直， 所以分别以AB，AD，AO所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，即 ，取，得 所以 又平面，所以直线平面 【例3-2】（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【解析】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 【变式】 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与的位置关系不能判断 【答案】A 【解析】由于，故直线的方向向量与平面法向量平行，故，故选：A 2．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】以为原点，分别以所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，， 又因为分别为和的中点，可得， 又由向量为平面的一个法向量，且, 由此可得，又因为直线平面，所以平面. 3．（2023高三·全国·专题练习）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．证明：//平面；    【答案】证明见解析 【解析】证明：过点作的平行线，由题意可知以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，，，，，， 因为，的中点分别为，， 所以，，则， 设平面的法向量为，，， 则，，令，则， 因为， 所以， 因为平面， 所以平面. 知识点四 空间向量证明空间垂直 【解题思路】 1.证明两直线垂直的基本步骤 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 2.用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直 ①将直线的方向向量用坐标表示． ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量． ③ 判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量 ①将直线的方向向量用坐标表示． ②求出平面的法向量． ③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 3.证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【例4-1】（2023高三·全国·专题练习）如图，棱台中，，底面ABCD是边长为4的正方形，底面是边长为2的正方形，连接，BD，.证明：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：由题意，该棱台是正四棱台. 连接交于，以所在直线为轴，经过且垂直于平面的直线为轴，交上底面于，连接，建立空间直角坐标系如图. 根据正四棱台的性质，过作底面的垂线，则垂足在上. 由题意得，为上底面正方形对角线长的一半， 显然，故，又， 则，故. 于是，， 则，所以. 【例4-2】（2024湖北）如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】过点E作底面ABCD的垂线交A1D1于F， 以E为坐标原点，EA、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ），D（00），B1（0）， 所以，（1），（1）， 因为，， 所以A1C1⊥DB1，A1B⊥DB1， 又A1B∩A1C1＝A1，A1B、A1C1⊂平面BA1C1， 所以DB1⊥平面BA1C1． 【例4-3】（2024江西）在正方体中，如图、分别是，的中点．求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【解析】证明：设棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 所以，所以， 则平面平面． 【变式】 1．（2024河北）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 【答案】证明见解析 【解析】以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则由题意得，，，， ， ， ∴，即：， ∴． 2．（24-25高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    【答案】证明见解析． 【解析】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    可得，，，则． 设点的坐标为，因为，所以， 即，，， 所以点的坐标为，即． 因为，所以，则． 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 3．（2023高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.证明：平面平面ACE； 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为底面ABCD是菱形，所以， 因为平面ABCD，平面， 所以， 所以BO，CO，PO互相垂直， 所以以点O为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 由，，可知相关点坐标如下： ，，，，， 因为平面， 所以平面 所以平面PBD的一个法向量为， 因为，所以， 故平面PBD， 因为平面， 所以平面平面ACE. 知识点五 空间距离 【解题思路】 1.用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 2.用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 【例5-1】（22-23高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，，所以， 所以点C到直线AB的距离=，故选：C． 【例5-2】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则. 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为. 故答案为：. 【例5-3】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【答案】/ 【解析】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 【例5-4】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      【例5-5】（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 【变式】 1．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知，则到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由可知, 则与同方向的单位向量为， 又 , , 故点到直线的距离为. 故选：D. 2．（22-23高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）（多选）已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】BC 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，所以，.    设，则，. 故到直线的距离，故A错误.， 平面的一个法向量，则点到平面的距离，故B正确. ，，. 设平面的法向量为，则，所以令，得，，所以. 所以点到平面的距离.    ，所以，又因平面，平面， 所以平面，同理平面，所以平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面间的距离为，故C正确. 因为，所以，又，则， 所以点到的距离，故D错.故选：BC 知识点六 空间角 【解题思路】 1.求异面直线夹角的方法 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解． (2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cos θ＝. 2 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为θ，则sin θ＝ . 3.求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，代入夹角公式 【例6-1】（23-24高二下·甘肃金昌·期末）如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2)． 【解析】（1）以为原点，的方向分别作为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 设直线与所成的角为， 则， 即直线与所成角的余弦值是． （2）由（1）知，，， 设平面的法向量为，则 取，得，所以平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 【例6-2】（23-24高二下·上海·期末）如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)若为的中点，求二面角的正切值． 【答案】(1)(2) 【解析】（1） 以点为原点，以向量分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设， ，，，， ，， 设异面直线与所成的角为， 则,所以, 异面直线与所成的角为； （2），，，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，， 所以平面的法向量为， 平面的法向量为， 设平面二面角的平面角为，由图可知为锐角， 则，， ，二面角的正切值是． 【变式】 1．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】取的中点，连接，，因为，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又，所以， 可得，，两两垂直，所以以为坐标原点， ，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以， ， 所以， 又异面直线所成角的取值范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 2．（22-23高二下·四川成都·期末）如图，正方体中，为的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）连接，设，连接，则为中点， 在中，因为为的中点，所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则， ， 设为平面的一个法向量，由， 得，即，令得 设与平面所成角大小为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 3．（23-24高二下·山东东营·期末）如图，在三棱锥中，，，设分别为棱的中点，且． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1） 由分别为棱的中点，得， 分别为棱的中点， 且，， 平面平面， 平面， 因为平面， 所以平面平面． （2）由（1）知平面，又是等腰直角三角形，E是中点，， 以E为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， ， 记平面与平面所成角为，， 平面与平面所成角的正弦值为. 【题组一 直线的方向向量】 1．（2024湖南）（选项）下列结论正确的是（    ） A．直线的方向向量是唯一确定的. B．平面的单位法向量是唯一确定的. C．若两平面的法向量平行，则两平面平行. D．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行. 【答案】CD 【解析】对于A，因与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量，A不正确； 对于B，因与平面垂直的直线的方向向量都是平面的法向量，法向量方向不唯一，则平面的单位法向量也不唯一，B不正确； 对于C，因两平面的法向量平行，即这二平面可以垂直于同一直线，则二平面平行，C正确； 对于D，若两直线平行，则它们的方向向量平行与已知两直线的方向向量不平行矛盾，即两直线平行是错的，则两直线不平行，D正确. 故选：CD 2．（23-24高二上·山东·阶段练习）（多选）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 B．空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定 C．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 D．在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示 【答案】BCD 【解析】当时，不能作为直线方向向量，A错误； 由确定直线的条件可知，B正确； 根据空间向量基本定理可知，C正确； 由空间向量的坐标定义和空间点的坐标定义可知，D正确. 故选：BCD 3．（23-24高二·全国·课后作业）[多选题]下列命题中真命题有（    ）． A．直线l的方向向量有无穷多个 B．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反 C．若向量是直线l的一个方向向量，则向量也是直线l的一个方向向量 D．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直 【答案】AB 【解析】AB选项，由直线的方向向量的定义易知A，B正确； C选项，当时，结论不成立，故C错误； D选项，两直线的方向向量平行，则两直线平行或重合，故D错误． 故选：AB． 4．（22-23高二上·陕西西安·期末）已知，若直线的一个方向向量为，则 . 【答案】 【解析】根据题意，,,，若直线的一个方向向量为,2,， 则设,2,，即,,,2,,,，则，解得.故答案为：． 【题组二 求平面的法向量】 1．（22-23高二下·江西赣州·阶段练习）已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，，得，， 设是平面的一个法向量，则即, 取，则，故，则与共线的向量也是法向量， 经验证，只有C正确.. 故选：C． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）平面α经过三点，则平面α的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意可得， 设平面α的法向量， 则， 得，取，则，得是平面α的一个法向量，即A正确； C项的也是平面α的一个法向量，即C正确； B、D选项中，向量均与不共线， 故可以作平面α的法向量的是A，C. 故选：AC 3．（2024高二上·全国·专题练习）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【解析】设正方体的棱长为1. 因为，且，所以①正确； 因为，，所以②正确； 因为平面，，所以③正确； 因为正方体中平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，而与相交，不平行，与平面不垂直， 故不是平面的法向量，所以④错误. 故答案为：①②③. 4．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一）. 【解析】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：    由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 5．（2024云南）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．    【答案】答案见解析 【解析】∵⊥底面，底面是直角梯形 且， ∴两两垂直． 以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，      则， 则，易知向量是平面的一个法向量． 设为平面的法向量， 则即， 取，则， 所以平面的一个法向量为. 【题组三 空间向量证明空间平行】 1．（23-24高三上·福建·阶段练习）（多选）如图，点A，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则直线平面的是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】BC 【解析】对于A项，如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则， 所以, 设平面的一个法向量为，则， 令，即， 显然，即与不垂直，故直线与平面不平行，故A错误；    对于B项，如图所示取侧棱中点D，连接AD，BD，由正方体的特征可知， 所以平面即平面，平面，平面， 所以直线平面，故B正确；    对于C项，由正方体的特征易知平面侧面，侧面， 所以直线平面，故C正确； 对于D项，如图所示取正方体一棱中点G，连接， 由正方体的特征可知：， 易知六点共面，故D错误.    故选：BC 2 ．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 . 【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3， ，设， 所以设平面的法向量为， 所以，取，则， ， 由于∥平面，所以，即， 故，所以 所以， 故答案为： 3．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 【答案】证明见解析 【解析】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以平面. 4．（2023高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD的中点，.求证：PB平面AEC； 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为平面ABCD，且平面ABCD，则， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 所以AB，AD，AP两两互相垂直， 如图，以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，，. 设平面AEC的法向量为， 则，取，可得， 所以平面AEC的一个法向量为， 可知，即， 又因为平面AEC，所以PB//平面AEC， 【题组四 空间向量证明空间垂直】 1．（2023高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的动点..证明：； 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为三棱柱是直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，即两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则 ，，，，，，，， 设，所以，， 因为， 所以，即. 2．（2023高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．证明：．    【答案】证明见解析 【解析】如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，    ∵，，点为棱的中点， ∴，，，，， ∵，， ∴，即，∴． 3．（2024新疆）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， 可得，，， 则且， 所以，，且，平面， 所以平面. 4．（24-25高二上·全国·假期作业）如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】方法一：因为是的中点， 所以和是等腰直角三角形， 所以， 所以， 因为平面平面，所以， 又平面，且， 所以平面； 方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ， 所以， 所以， 所以，， 又平面，且， 所以平面. 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】证明：（1）取BC的中点O，连接PO，△PBC为等边三角形，即PO⊥BC. ∵ 平面PBC⊥底面ABCD，BC为交线，PO⊂平面PBC， ∴ PO⊥底面ABCD. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图. 不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝， ∴ A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，)， ∴ ＝(－2，－1，0)，＝(1，－2，－). ∵ ＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0， ∴ ⊥，∴ PA⊥BD. （2）取PA的中点M，连接DM，则M(，－1，). ∵ ＝(，0，)，＝(1，0，－)， ∴ ·＝×1＋0×0＋×(－)＝0， ∴ ⊥，即DM⊥PB. ∵ ＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0， ∴ ⊥，即DM⊥PA. ∵ PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴ DM⊥平面PAB. ∵ DM⊂平面PAD，∴ 平面PAD⊥平面PAB. 6．（2024河北）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点. 求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 则 所以 所以即， 所以即， 又，平面PAD， 所以平面PAD， 又平面，所以平面平面PAD. 7．（2023高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，因为，所以， 所以，即， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以， 所以， 所以平面平面. 【题组五 空间距离】 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， . 故选：A. 2．（23-24高二上·广东茂名·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为， 设，， 则 ， ， 由题意可知：， 因为，则， 可得，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与之间距离是； 解法2：以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设，且，，则， 取，则，，可得， 则在上的投影就是两异面直线间的距离. 故选：D. 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以顶点到底面的距离为. 故选：A. 4．（23-24 山东德州·期末）（多选）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【解析】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系， 对于A，，， 所以点到的距离，故A正确； 对于B，， ，， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，，， 设为平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，因为平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为， 故D错误. 故选：AB. 5．（22-23高二上·黑龙江·期中）（多选）已知正方体的棱长为，点，分别是，的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．与平面所成角的正弦值是 B．点到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 所以，0，，，0，，，1，，，0，，， 则，而平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值是， 故选项A正确； 因为，而平面的一个法向量为， 则点到平面的距离， 故选项B错误； 因为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，故， 所以点到平面的距离， 因为平面平面， 则平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 故平面与平面间的距离为， 故选项C正确； 因为，则， 又，则， 所以点到的距离， 故选项D正确． 故选：ACD． 6．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知空间中有三点，，，则点O到直线的距离为 . 【答案】 【解析】因为，，， 所以, 所以，. 所以, 所以. 所以点O到直线的距离为. 故答案为：. 7．（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 【答案】/ 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 【题组六 空间角】 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图所示，在三棱锥中，DA、DB、DC两两垂直，且，E为BC的中点． (1)证明：； (2)求直线AE与DC的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）以为空间直角坐标系原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系. 则，，，， 故，， 则，故. （2）由（1），， 则， 故直线AE与DC的夹角的余弦值为. 2．（23-24高二下·福建莆田·期末）如图，在四棱锥中，，，，，，为等边三角形. (1)若为的中点，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）取中点，连接， 因为为的中点，所以且，又且， 所以且，所以是平行四边形， 得到，又面，面，所以平面. （2）过作于，因为，，，， 所以，又为等边三角形，所以， 又，所以，得到， 又，，面， 所以面， 又面，所以面面， 取中点，连接，则，又面面，面面，面，所以面， 过作，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，， 知， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 设二面角的平面角为，， 因为， 所以. 3．（23-24高二下·甘肃·期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形，是的中点． (1)证明：平面． (2)若，四棱锥的体积为72，且，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解析】（1）连接，交于点，连接，由是菱形，得为的中点， 而E为的中点，则，平面，平面， 所以平面. （2）由底面，得， 则，即，于是菱形为正方形， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，由，得，则， ， 设平面的法向量为，，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，所以平面与平面的夹角为. 4．（23-24高二下·甘肃·期末）如图，在梯形中，分别为边，的中点，沿将梯形翻折，使平面平面． (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）沿将梯形翻折后，因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面又， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 则，， 所以． 因为，所以． （2）易得，． 设平面的法向量为，则即 令，解得，故． 设与平面所成的角为，则． 故与平面所成角的正弦值为. 5．（23-24高二下·四川·期末）如图，已知四棱锥中，底面是一个边长为的正方形，平面，是棱的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）如图所示，连接，交于点，连接， 因为是正方形对角线的交点， 所以是的中点， 又因为是棱的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，得证. （2）如图所示，以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．（23-24高二下·四川宜宾·期末）如图，在四棱锥中，平面，．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【解析】（1）    过点作，所以 在中，因为，则，所以 于是，，过点作交于点,连接, 因为，所以，因,则且， 于是，四边形是平行四边形 则平面平面， 所以//平面 （2）    法一：因为平面，所以 因为，所以平面，因平面, 所以平面平面 过点作交直线于， 因平面,平面平面,故平面. 过点作交直线于点， 因平面，平面,则,得矩形，则, 故,连接，因平面，平面,则, 因,故平面, 平面,则, 所以为二面角的平面角. 易得,由,则, 即，故. 在中，则，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为； 法二：   如图建系， 因为，． 所以 设平面的法向量， 所以， 不妨设，于是，，所以， 设平面的法向量，所以， ，不妨设，于是， 所以，于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$