精品解析：山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

青岛二中2023-2024学年第二学期期末考试高二试题数学 一、单选题 1. 设复数, 则 A. –3 B. 1 C. -3i D. 3i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算求解即可 【详解】解：因为复数, 则， 故选：A 2. 设集合，，且，则（ ） A. –2 B. –3 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 求出集合A，B，即可根据交集结果求出. 【详解】，， ， ，. 故选：B. 3. 已知A为抛物线上一点，点A到抛物线C的焦点的距离为10，到y轴的距离为9，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，解得. 故选：A. 4. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 5. 已知正实数，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式由可得，可得充分性不成立；当时可得必要性不成立，即可得出结果. 【详解】根据基本不等式可得，即，可得， 所以充分性不成立； 若，可令满足，此时； 即必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6. 已知函数的部分图象如图所示，则将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定图象求出函数的解析式，再平移，代入计算作答. 【详解】观察图象得，令函数周期为，有，解得，则， 而当时，，则有，又，则， 因此，，将的图象向左平移个单位得：， 所以将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为. 故选：C 7. 设函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A. 1 B. C. D. - 【答案】A 【解析】 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 8. 已知函数的定义域为，，，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法对进行赋值结合函数的周期可得答案. 【详解】令，得，即， 令，得，得，所以函数为偶函数， 令，得， 令，得， ，或， 若，解得与已知矛盾， ，即，解得，， 令，得， ，，， ，所以函数的周期为4. . 故选：A. 二、多选题 9. 在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩，且，，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令，，则（ ） A. ， B. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为 C. 从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为 D. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：借助正态分布中于的意义即可得；对B：结合题意可得，，结合正态分布的性质计算即可得的值；对C、D：由正态分布的性质可得，，结合相互独立事件的概率公式及条件概率公式计算即可得. 【详解】对A：由，，则，，故A错误； 对B：由，，则，则， ，故有，， 则，则， 即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为， 故B正确； 对C：，则从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生， 这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为， 故C正确； 对D：，又， 故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生， 该生测试成绩及格的概率为，该生测试成绩优秀的概率为， 则在已知该生测试成绩及格条件下，该生测试成绩优秀的概率为， 故D正确. 故选：BCD. 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率 C. 当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D. 为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得双曲线的渐近线方程判断选项A；求得双曲线的离心率判断选项B；求得的内切圆的圆心与直线的位置关系判断选项C；求得的值判断选项D. 【详解】对于选项A：双曲线的渐近线方程是， 圆的圆心是，半径是1， 则，（舍去）， 由，，可得双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：由，则离心率，故B正确； 对于选项C：设的内切圆与轴， 分别相切于点， 由圆的切线性质知 ， 即，所以， 因此内心在直线，即直线上，故C正确； 对于选项D：设，则，即， 又渐近线方程是， 则，， ，则，故D错误. 故选:ABC. 11. 函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数在上为减函数，则 B. 若函数的对称中心为，则 C. 当时，若有三个根，且，则 D. 当时，若过点可作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导得到导函数，根据单调区间解得A正确，代入点计算得到，B错误，求导得到函数的单调区间，确定，，代入计算得到C正确，设出切点，计算切线方程，得到，构造函数，计算极值得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，， 函数在上为减函数，则，解得，正确； 对选项B：函数的对称中心为，则，，错误； 对选项C：，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； ，，，故，， 要证，即， 整理得到，，不等式成立，正确； 对选项D：设切点为，则，， 则切线方程， 将代入上式，整理得，方程有三个不同解， 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 极小值，极大值，故，正确； 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的切线问题，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将参数的范围转化为求函数的极值是解题的关键. 三、填空题 12. 在中，角的对边分别为且若三角形的面积为且则_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换求得，根据三角形面积公式可得，由可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 由正弦定理，得，又， 所以， 得，又， 所以，即，又，所以； 由，得， 由，得，所以， 由余弦定理，得， 由，解得. 故答案为：. 13. 若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】 先通过函数在存在极值点，求出的范围，再根据在单调，求出和之间的不等关系，再结合已求出的的范围，得最终的范围. 【详解】解：因为函数在存在极值点，所以，即， 当，又在单调， 所以，即， 解得，只能取，即， 综上，， 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的单调性和极值问题，关键是要建立关于和之间的不等关系，是中档题. 14. 已知，则_____________. 【答案】243 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算即得. 【详解】在中， 取，得， 两边同时乘以32得. 故答案为：243 四、解答题 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式得到关于的方程，解出值即可； （2）根据等差数列和等比数列求和公式进行分组求和即可. 【小问1详解】 设数列的公差为，由已知有 ，即，解得（舍）， ，； 【小问2详解】 ， . 16. 已知函数. （1）若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）1 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，再根据切线过点，可求的值. （2）求导，在函数的定义域内讨论导函数的符号，确定函数的单调区间. 【小问1详解】 由，有，， 可得曲线在点处切线方程为， 整理为， 代入原点，有，可得， 故实数的值为1. 【小问2详解】 由，. ①当时，在上恒成立，可得函数的增区间为，没有减区间； ②当时，令，可得，故函数的减区间为，增区间为. 综上可知，当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 17. 如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证： （1）平面； （2） 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形得到线线平行，进而证得线面平行； （2）由线面垂直得到，再由勾股定理的逆定理证得，进而证得平面，从而得证. 【小问1详解】 取线段的中点，连接， 分别为中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. 【小问2详解】 平面，平面，； 取线段的中点，连接，则，， 又，，∴四边形为正方形， 设，则， ，， ，； 又，平面，平面， 平面，. 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的焦点求出的值，然后由椭圆的离心率计算，再由平方关系得到，可写出椭圆的方程； （2）设的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点的坐标. 【小问1详解】 依题意得： ，即，解得 ，解得 椭圆的方程为 【小问2详解】 如图所示： 设，中点为， 所以 则 又两点在椭圆上，可得， 两式相减可得，整理得 ，①. 过点斜率为的直线为. 因为在直线上，故，② 联立①②，解得 所以中点坐标为. 19. 对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． （1）试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数ω的值； （3）若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分讨论即可， （3）求解讨论得 【小问1详解】 因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． 【小问2详解】 设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． 【小问3详解】 因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 【点睛】新结构问题利用题目给的定义，结合已经掌握的知识求解，合理推理. 20. 已知椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设是椭圆的右顶点，过点作两条直线分别与椭圆交于另一点，若直线的斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标. 【答案】（Ⅰ ）（Ⅱ）直线恒过点 【解析】 【详解】分析: （Ⅰ）由题意布列关于a，b的方程组，解之即可；（Ⅱ）设直线，与椭圆方程联立可得，利用根与系数的关系表示直线的斜率之积为，可得值，从而得证. 详解: （Ⅰ）依题意：，解得，即椭圆； （Ⅱ）设直线， 则， 即， ； 设，而，则由得 , ， 即， 整理得，解得或（舍去） 直线，知直线恒过点． 点睛: 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆C的方程； （2）A、B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线AM与直线x＝4交于点P.记PA、PF、BN的斜率分别为k1、k2、k3，是否为定值？并说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知，再根据离心率为可求，进而可求椭圆方程； （2）设，，，，直线的方程为，与椭圆联立，由韦达定理可得，的值，联立直线与直线，求出交点的坐标，进而得到的表达式，代入已知求解即可． 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合， 所以． 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，，，，直线的方程为， 与椭圆联立， 得， 因为直线交椭圆于，两点，所以， 所以，， 所以． 直线与直线的交点的坐标为，则． 设，则， 所以 ，即定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青岛二中2023-2024学年第二学期期末考试高二试题数学 一、单选题 1. 设复数, 则 A. –3 B. 1 C. -3i D. 3i 2. 设集合，，且，则（ ） A. –2 B. –3 C. 2 D. 3 3. 已知A为抛物线上一点，点A到抛物线C的焦点的距离为10，到y轴的距离为9，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 4. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正实数，则“”是“”的（ ） A 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数的部分图象如图所示，则将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若存在最小值，则最大值为（    ） A. 1 B. C. D. - 8. 已知函数的定义域为，，，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、多选题 9. 在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩，且，，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令，，则（ ） A. ， B. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为 C. 从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为 D. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率 C. 当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D. 为定值 11. 函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数在上为减函数，则 B. 若函数的对称中心为，则 C. 当时，若有三个根，且，则 D. 当时，若过点可作曲线的三条切线，则 三、填空题 12. 在中，角的对边分别为且若三角形的面积为且则_________________. 13. 若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为___________ 14 已知，则_____________. 四、解答题 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数. （1）若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值； （2）讨论函数的单调性. 17. 如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证： （1）平面； （2） 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 19. 对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． （1）试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数ω的值； （3）若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 20. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设是椭圆右顶点，过点作两条直线分别与椭圆交于另一点，若直线的斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标. 21. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆C方程； （2）A、B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线AM与直线x＝4交于点P.记PA、PF、BN的斜率分别为k1、k2、k3，是否为定值？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$