精品解析：浙江省舟山市定海区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

定海区2023学年第二学期七年级学科素养监测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分100分，考试时间90分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 计算：结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了解某校七年级800名学生的体重情况，从中抽查100名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是指（ ） A. 800名学生 B. 被抽取的100名学生 C. 800名学生的体重 D. 被抽取的100名学生的体重 3. 如图，直线、被所截，下列个角中，与是同位角的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列由左边到右边变形中，属于因式分解的（ ） A. B. C D. 5. 已知方程，则下列解满足此方程的是（ ） ①；②；③；④ A ①② B. ①④ C. ②④ D. ①②④ 6. 某电瓶车厂根据去年第三、四季度各月产量，制作了统计图．根据图中信息，可以判断相邻两个月中，月产量增长最大的是（ ） A. 月到月 B. 月到月 C. 月到月 D. 月到月 7. 已知关于，的方程组的解满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 每尺绫布比每尺罗布贵120文 B. 每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D. 绫布的总价比罗布总价便宜120文 9. 边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 28 B. 39 C. 61 D. 68 10. 小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为元/升，第二次加油汽油单价都为元/升（），妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（ ） A. 爸爸 B. 妈妈 C. 一样 D. 不确定 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式的值为0，则x的值是______． 12. 如图，将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置．已知点A，D之间的距离为1，CE＝2，则BF的长为________． 13. 若，，则_____． 14. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 15. 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n的正方形图案，则其中完整的圆共有__个． 16. 如图①，已知长方形纸带，，，，点分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则______． 三、解答题（本题有8小题，第17~22每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 下面是甲、乙两位同学解分式方程过程： 甲同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 乙同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解． （1）请判断甲、乙的解法是否正确？如果正确，请在框内打√；如果不正确，请在框内打×． （2）请写出你认为正确的过程解答此方程． 20. 如图，直线被所截取，直线分别交直线于点与点，已知． （1）判断直线与是否平行，并说明理由． （2）计算的度数． 21. 为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题． （1）求参与调查的学生中喜爱篮球的人数． （2）该校九年级共有520名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？ 22. 问题提出】 欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】 （3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 23. 如图，已知，连结和交于点． （1）求证：； （2）如图，，点分别在线段上，，． ①请直接写出和（用含的代数式表示）． ②请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 24. 许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题． 信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下： 小明出发时刻 智能手表数据 小明结束时刻 智能手表数据 小红出发时刻 智能手表数据 小红结束时刻 智能手表数据 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 信息二：小明每步比小红每步多跑米，小明每分钟比小红多跑步，请根据以上信息完成下列解答． （1）起点与终点的距离为多少米？ （2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红多少分钟？ （3）周日，小明和小红继续以信息一和信息二中的跑步速度进行跑步健身，相约在智能运动手表中设置运动时间为整数分钟后跑步结束．此时发现智能运动手表中，显示两人跑步的步数之和恰为步，则小明与小红的运动时间各是多少分钟？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 定海区2023学年第二学期七年级学科素养监测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分100分，考试时间90分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 计算：结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， 故正确． 故选：． 2. 为了解某校七年级800名学生的体重情况，从中抽查100名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是指（ ） A. 800名学生 B. 被抽取的100名学生 C. 800名学生的体重 D. 被抽取的100名学生的体重 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本的定义进行判断即可． 【详解】样本是观测或调查的一部分个体，所以样本是指被抽取的100名学生的体重． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了样本的定义，掌握样本的定义进行判断是解题的关键． 3. 如图，直线、被所截，下列个角中，与是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查内错角、同位角、同旁内角定义，熟记这些角的基本概念是解决问题的关键． 根据三线八角及相关角的定义，数形结合，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、与两角是同旁内角，故选项不符合题意； B、与两角是同位角，故选项符合题意； C、与两角不是同位角，故选项不符合题意； D、与两角是内错角，故选项不符合题意； 故选：． 4. 下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解定义的是解题的关键． 根据因式分解的定义求解即可，因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、，是因式分解，故该选项符合题意； B、，没有分解成几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； C、，没有分解成几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项符合题意； D、，没有分解成几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； 故选． 5. 已知方程，则下列解满足此方程的是（ ） ①；②；③；④ A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的解，运算正确是解题的关键． 将四个选项中的解分别代入原方程，等式成立的即为此解满足此方程，即可选出答案． 【详解】解：①将代入到中，得，故此解满足此方程； ②将代入到中，得，故此解满足此方程； ③将代入到中，得，故此解不满足此方程； ④将代入到中，得，故此解不满足此方程； 即①②满足此方程． 故选． 6. 某电瓶车厂根据去年第三、四季度各月产量，制作了统计图．根据图中信息，可以判断相邻两个月中，月产量增长最大的是（ ） A. 月到月 B. 月到月 C. 月到月 D. 月到月 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，根据折线统计图，分别计算出相邻两个月销售额的差，即可得到答案，掌握折线统计图的特征，是解题的关键． 【详解】、月到月增加了（辆）， 、月到月增加了（辆）， 、月到月增加了（辆）， 、月到月增加了（辆）， ∴月产量增长最大是月到月， 故选：． 7. 已知关于，的方程组的解满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，根据二元一次方程组得解法得到，又，代入求值即可，熟练掌握知识点的应用及整体思想是解题的关键． 【详解】解： 得：， 又∵， ∴，解得：， 故选：． 8. 记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 每尺绫布比每尺罗布贵120文 B. 每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D. 绫布的总价比罗布总价便宜120文 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解方程的意义是解题的关键． 设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可． 【详解】设绫布有尺，则罗布有尺， ∵绫布和罗布分别出售均能收入896文， ∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元， ∵， ∴， ∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文． 故选：C． 9. 边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 28 B. 39 C. 61 D. 68 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入，计算即可． 【详解】解：由图可知：， 正方形边长为a，正方形边长为b， ， ， ， ， ， 将，代入得： ， 故选：B． 10. 小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为元/升，第二次加油汽油单价都为元/升（），妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（ ） A. 爸爸 B. 妈妈 C. 一样 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算的实际应用，根据题意列出式子通分时解题的关键． 根据题意可得妈妈每次加油共需付款钱元，爸爸两次能加油的升数为，设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，则，，故爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值与零的关系，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，得妈妈每次加油共需付款元，爸爸两次能加升油， 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升， ∵爸爸两次加油总共花了元，妈妈加了升油， ∴爸爸两次加油的平均单价为，妈妈两次加油的平均单价为， ∵爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值为， ∴爸爸的加油方式更合算． 故选． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分式的值为0，即分母不为0，分子为0得到x-2=0，且x+3≠0，求出x即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x-2=0，且x+3≠0， ∴x=2． 故答案为:2. 【点睛】本题考查了分式值为0的条件：分式的值为0，要满足分母不为0，分子为0．也考查了解方程和不等式． 12. 如图，将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置．已知点A，D之间的距离为1，CE＝2，则BF的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平移的性质，得到BE和CF的长度，再根据，即可求出． 【详解】解：∵平移，点A，D之间的距离为1， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查平移的距离：对应点间线段的长度即为平移的距离． 13. 若，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆运算，解答本题的关键是掌握同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． 根据同底数幂的除法的逆运算法则求解． 【详解】解：． 故答案为：2． 14. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【详解】解：四个独立图形的面积和： 组合图形面积： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 15. 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n的正方形图案，则其中完整的圆共有__个． 【答案】n2+（n﹣1）2 【解析】 【详解】因为组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为； 又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为， ∴若这样铺成一个n×n的正方形图案，所得到的完整圆的个数共有： ． 故答案为． 【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题． 16. 如图①，已知长方形纸带，，，，点分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了折叠性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由折叠得，根据，得到，由折叠的性质得到，即，再根据求出，代入数值即可求出答案． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ∵， ∴， 又∵根据折叠的性质可得， ∴， ∵根据折叠的性质可得， ∴， ∵，，， ∴， 将代入上式，即， 解得， 故答案为． 三、解答题（本题有8小题，第17~22每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂和整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和公式． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂，再进行加减运算． （2）根据完全平方公式、积的乘方进行计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式直接解题即可； （2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式， ． 19. 下面是甲、乙两位同学解分式方程的过程： 甲同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 乙同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解． （1）请判断甲、乙的解法是否正确？如果正确，请在框内打√；如果不正确，请在框内打×． （2）请写出你认为正确的过程解答此方程． 【答案】（1）甲、乙的解法都是错误的，理由见解析； （2）分式方程的解为． 【解析】 【分析】（）根据分式方程的解法逐步进行判断即可； （）根据分式方程解法进行解答即可； 本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． 【小问1详解】 ∵甲同学漏乘分母，乙同学应为， ∴甲、乙的解法都是错误的； 即 甲同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 乙同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解． 【小问2详解】解： ， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 20. 如图，直线被所截取，直线分别交直线于点与点，已知． （1）判断直线与是否平行，并说明理由． （2）计算的度数． 【答案】（1）平行，理由见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，邻补角的定义，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据对顶角相等可得，因为，所以，根据同位角相等，两条直线平行，即可判断直线与平行． （2）根据，可得，再根据邻补角可得，即可求出的度数． 【小问1详解】 解：平行． 理由：由已知可得， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 21. 为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题． （1）求参与调查的学生中喜爱篮球的人数． （2）该校九年级共有520名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？ 【答案】（1）参与调查的学生中喜爱篮球的有21人 （2）估计该校九年级学生中喜爱足球的有208人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体． （1）根据排球的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再用总人数乘以喜爱篮球的人数所占的百分比即可； （2）用总人数乘以喜爱足球的人数所占的百分比即可． 小问1详解】 解：调查的总人数有：（人）， 调查的学生中喜爱篮球的人数：（人）； 【小问2详解】 解：根据题意得：（人）， 答：估计该校九年级学生中喜爱足球的有208人． 22. 【问题提出】 欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】 （3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（1）． （2） （3） （4）30 【解析】 【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． （1）根据图②线段数量进行作答． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段，即可得求出比赛的场数． （3）根据题意可得，一个小组会有场比赛，故六个小组则共有有场比赛． （4）因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票，得出六个车站一共形成了种车票． 【详解】（1）由图②可知，图中实际共有条线段， ∴根据题意，可得支队伍进行单循环比赛一共要安排场比赛． 故答案为：． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段， 即根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排场比赛， 故答案为：． （3）根据题意可得，欧洲杯支参赛球队分成个小组， 由上可得一个小组会有场比赛， 故六个小组则共有有场比赛， 即本次欧洲杯总计有36场小组赛比赛， 故答案为． （4）由题意可得一共有六个车站，因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即每两个车站就会有两种车票， ∴一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票， ∴这样六个车站一共形成了种车票． 故答案为． 23. 如图，已知，连结和交于点． （1）求证：； （2）如图，，点分别在线段上，，． ①请直接写出和（用含的代数式表示）． ②请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2）①， ②是定值，定值为 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可证明． （2）①根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合题意，即可得出，． ②根据平行线的性质可得，即，因为，∴，结合，，可得，代入中，得是定值． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ①解：∵，，， ∴， 即． ∵， ∴， 又∵，， ∴， 即． 故，． ②解：是定值． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 化简得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是定值． 24. 许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题． 信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下： 小明出发时刻 智能手表数据 小明结束时刻 智能手表数据 小红出发时刻 智能手表数据 小红结束时刻 智能手表数据 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 信息二：小明每步比小红每步多跑米，小明每分钟比小红多跑步，请根据以上信息完成下列解答． （1）起点与终点的距离为多少米？ （2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红多少分钟？ （3）周日，小明和小红继续以信息一和信息二中的跑步速度进行跑步健身，相约在智能运动手表中设置运动时间为整数分钟后跑步结束．此时发现智能运动手表中，显示两人跑步的步数之和恰为步，则小明与小红的运动时间各是多少分钟？ 【答案】（1） （2） （3）小明与小红的运动时间各是、分钟，或、分钟，或、分钟，或、分钟四种情况． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握速度乘以时间等于路程，根据题意，找得等量关系，列出方程． （1）设小红每步跑米，则小明每步跑米，根据题意，则，解出，即可求出总路程． （2）根据题意，求出小明每分钟跑的步数为，根据小明每分钟比小红多跑步，求出小红每分钟跑的步数为，根据小红的总步数为步，即可求出跑完步的用时，即可求出答案． （3）设则小明的运动时间是分钟，小红的运动时间是分钟，根据题意可列式，即，根据和是非负整数，即可可取，，，，的值为，，，，即可求出四种情况，得出结果． 【小问1详解】 解：设小红每步跑米， ∴小明每步跑米， ∵小明从起点到终点跑了步，小红从起点到终点跑了步， ∴， 解得：， ∴总路程为：（米）； 故答案为：． 【小问2详解】 ∵跑完全程小明的用时为分钟， ∴小明每分钟跑：（步）， ∵小明每分钟比小红多跑步， ∴小红每分钟跑：（步）， ∴小红跑完全程的时间为：（分钟）， ∴小明要在终点处等小红的时间为：． 故答案为：． 【小问3详解】 解：设则小明的运动时间是分钟，小红的运动时间是分钟， ∵小明每分钟跑：步，小红每分钟跑：步， ∴， ∴， ∵和是非负整数， ∴可取，，，， ∴的值为，，，， ∴小明与小红的运动时间各是、分钟，或、分钟，或、分钟，或、分钟四种情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$