精品解析：山西省运城市盐湖区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末质量监测 初二数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，监测时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．监测结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在交通行驶中，看到“停”，表示车主需要停下车让行，一般情况会出现在路口视线较差的地方，需停车观察后再通行，其形状是一个正八边形，则其中一个外角度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值( ) A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 缩小为原来的2倍 4. 下列各数中，能整除是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 5. 解分式方程的结果是（ ） A. x="2" B. x="3" C. x="4" D. 无解 6. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，其中，，，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 2 7. 如图，在四边形中，，E、F、G分别是中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若点的坐标为，则旋转中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 为迎接区级运动会，我校决定对操场进行翻新，工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，据调查甲、乙两队完成翻新效果一样，但工作时间不同，方案如下：甲队单独完成这项工程，比规定时间多2天；乙队单独完成这项工程，比规定时间多6天；若甲、乙两队先合作5天，余下的工程由乙队单独做完，正好按规定时间完成，若设规定时间为x天，则下列所列方程不正确的是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________________． 12. 已知m2＋km＋81是完全平方式，则k＝_____． 13. 如图，四边形是平行四边形，其周长为20厘米，对角线相交于点，过点作直线交分别于点，其中厘米，则四边形的周长为__________厘米． 14. 如图，在中，，，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线，分别交于两点，已知厘米，则__________厘米． 15. 如图，是等边三角形，点为三角形内一点，连接，且，，，则阴影部分的面积为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来． （2）因式分解：． 17. 下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并回答问题． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空 ①在以上化简过程中，第__________步对分式进行了通分，通分的依据是__________． ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确答案________________________________________． 任务三：除纠正以上错误外，请你根据平时学习经验，就分式化简时还需要注意什么事项，给其他同学一条建议________________________________________． 18. 为了配合初三学生的体育训练，学校计划购买100个篮球和若干根跳绳（跳绳的数量不少于60根）．现有甲、乙两家体育用品店经营这两种体育用品，且品牌和标价均相同，篮球标价为每个200元，跳绳标价为每根40元．经过协商，甲、乙两店都可以给以优惠．甲店的优惠方法：若学校本次的全部体育用品都在该店购买，则全部给予八折优惠；乙店的优惠方法：若学校本次的全部体育用品都在该店购买，则篮球给予八五折优惠，跳绳给予六折优惠．请帮学校分析在哪家商店购买更合算？ 19. 如图，已知AB=DC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为，，且DE=BF． 求证：四边形是平行四边形． 20. 洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素C、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于临近初二中考，考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱． （1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共1392人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 21. 阅读下列材料，并完成相应任务． 关于同一种多边形的平面密铺 平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题① 铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为___________，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题② 认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③ 观察图2，可以发现任意__________和任意__________都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④ 图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 22 综合与探究 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中边在轴上且，边在轴上，且，平分，交轴于点． （1）请直接写出点的坐标：__________，__________． （2）求点的坐标． （3）在平面直角坐标系中是否存在一点，使四点组成的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 【问题情境】 在数学课上，老师让同学们探究旋转中数学问题，如图1，在中，，，点为线段上一动点，连接．若将线段绕点沿逆时针的方向旋转得到，连接，易证与的数量关系为：__________，位置关系为：__________． 【变式探究】 “创新”小组提出：当点在如图2所示位置时，若将线段绕点沿顺时针的方向旋转，得到，过点作垂直于交于点，连接，试探究的度数． ①“善思”小组经过研究发现线段与的关系为：，，请你帮“善思”小组写出此结论的证明过程． ②从而“明辨”小组得出__________． 【问题拓展】 同学们提出当点在上继续向右运动时，的度数会发生变化，那么当点运动到如图3所示的位置时，__________，（请你直接写出答案）此时“变通”小组发现之间存在某种数量关系，请你写出三条线段之间的数量关系__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末质量监测 初二数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，监测时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．监测结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2. 在交通行驶中，看到“停”，表示车主需要停下车让行，一般情况会出现在路口视线较差的地方，需停车观察后再通行，其形状是一个正八边形，则其中一个外角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角，根据多边形的外角公式为（为边形的边数）即可求． 【详解】正八边形的一个外角度数为： 故选：C 3. 如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值( ) A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 缩小为原来的2倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的x和y，得 ， 可见新分式扩大为原来的2倍． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 4. 下列各数中，能整除的是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式分解得到，即可得出答案． 【详解】解： ， ∴能整除的是2024， 故选：D． 5. 解分式方程的结果是（ ） A. x="2" B. x="3" C. x="4" D. 无解 【答案】D 【解析】 【详解】解：去分母得：1﹣x+2x﹣4=﹣1， 解得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解． 故选D． 考点：解分式方程． 6. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，其中，，，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质，由勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，，再由勾股定理求出的长，即可得解． 详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点M，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可． 详解】如图，延长交于点M， ∵，E、F、G分别是的中点，，， ∴， ∴，，， ∴， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 8. 如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一次函数的图像的交点求不等式的解集，观察函数图象得到，当时，直线都在直线的下方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 由图象可知，不等式的解集为． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若点的坐标为，则旋转中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了确定旋转中心的位置，旋转的性质，连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，则点D即为旋转中心，根据图形得出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，如图所示： 则点D为旋转中心，观察图形可知，点D的坐标为， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 同理可得：为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴绕点D逆时针旋转正好得到， ∴旋转中心的坐标为． 故选：B． 10. 为迎接区级运动会，我校决定对操场进行翻新，工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队投标书，据调查甲、乙两队完成翻新效果一样，但工作时间不同，方案如下：甲队单独完成这项工程，比规定时间多2天；乙队单独完成这项工程，比规定时间多6天；若甲、乙两队先合作5天，余下的工程由乙队单独做完，正好按规定时间完成，若设规定时间为x天，则下列所列方程不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，设规定时间为x天，则甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天，根据题意列出分式方程即可得出答案． 【详解】解：设规定时间为x天，则甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天， 由题意得：或 由，得到即， 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知m2＋km＋81是完全平方式，则k＝_____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】两个完全平方式： 根据完全平方式的特点可得答案. 【详解】解： m2＋km＋81 而m2＋km＋81是完全平方式， 或 故答案为：或 【点睛】本题考查的是完全平方式，掌握利用完全平方式的特点求解未知系数的值是解题的关键. 13. 如图，四边形是平行四边形，其周长为20厘米，对角线相交于点，过点作直线交分别于点，其中厘米，则四边形的周长为__________厘米． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，由平行四边形的性质得出，，，证明得出，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，周长为20厘米， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的周长（厘米）， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线，分别交于两点，已知厘米，则__________厘米． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，求出，由线段垂直平分线的性质结合等边对等角得出，从而得出，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∵中，，， ∴， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 15. 如图，是等边三角形，点为三角形内一点，连接，且，，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、勾股定理逆定理，由等边三角形的性质可得，，将绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得：，，，，证明为等边三角形，得出，由勾股定理逆定理得出为直角三角形，作于，则，，再由计算即可得出答案． 【详解】解：三角形为等边三角形， ，， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， ， 由旋转的性质可得：，，，， 为等边三角形， ， ， 为直角三角形， 作于，则，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来． （2）因式分解：． 【答案】（1），数轴见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解法以及因式分解：（1）分别解出两个不等式，求出解集后用数轴表示即可；（2）提取公因式后，再根据完全平方公式即可． 【详解】解：（1） 解不等式得：， 解不等式得：， 所以原不等式组的解集为：， 该解集在数轴上表示为： （2） 17. 下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并回答问题． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空 ①在以上化简过程中，第__________步对分式进行了通分，通分的依据是__________． ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确答案________________________________________． 任务三：除纠正以上错误外，请你根据平时学习经验，就分式化简时还需要注意什么事项，给其他同学一条建议________________________________________． 【答案】任务一： ①二；分式的基本性质 ②三；减去整体要带括号或者去掉括号括号里各项要变号 任务二： 任务三：最后要化为最简分式或最简整式 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算、分式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：①根据计算过程即可得出答案；②根据计算过程即可得出答案； 任务二：根据分式混合运算法则计算即可得出答案； 任务三：根据分式的混合运算过程提出建议即可． 【详解】解：任务一： 由计算过程可得：在以上化简过程中，第二步对分式进行了通分，通分的依据是分式的基本性质； ②由计算过程可得：第三步开始出现错误，这一步错误的原因是减去整体要带括号或者去掉括号括号里各项要变号； 任务二： ； 任务三：建议为：最后要化为最简分式或最简整式． 18. 为了配合初三学生的体育训练，学校计划购买100个篮球和若干根跳绳（跳绳的数量不少于60根）．现有甲、乙两家体育用品店经营这两种体育用品，且品牌和标价均相同，篮球标价为每个200元，跳绳标价为每根40元．经过协商，甲、乙两店都可以给以优惠．甲店的优惠方法：若学校本次的全部体育用品都在该店购买，则全部给予八折优惠；乙店的优惠方法：若学校本次的全部体育用品都在该店购买，则篮球给予八五折优惠，跳绳给予六折优惠．请帮学校分析在哪家商店购买更合算？ 【答案】当时在甲店购买更合算；当时，两家店购买一样合算；当时在乙店购买更合算 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，设学校需购买跳绳x根，分别表示出在甲、乙店购买需付多少钱，再列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：设学校需购买跳绳x根， 在甲店购买需付元， 在乙店购买需付元 当时，解得，此时两家店购买一样合算； 当时，解得，此时在乙店购买更合算； 当时，解得， 又因为， 所以当时在甲店购买更合算； 综上所述：当时在甲店购买更合算；当时，两家店购买一样合算；当时在乙店购买更合算． 19. 如图，已知AB=DC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为，，且DE=BF． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定和性质结合平行四边形的判定方法分析得出答案． 【详解】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC=∠BFC=90°， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴∠DCE=∠BAF， ∴AB∥DC， 又∵AB=DC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，正确得出Rt△DEC≌Rt△BFA是解题关键． 20. 洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素C、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于临近初二中考，考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱． （1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共1392人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 【答案】（1）上周生物老师购买洋葱的单价为1元/斤 （2）生物老师至少要再购买20斤洋葱 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程与一元一次不等式是解此题的关键． （1）设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为元/斤，根据“生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱”列出分式方程，求解即可得出答案； （2）设生物老师还需再购买洋葱m斤，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为元/斤， 根据题意可列方程： 解得 经检验：是原方程的根且符合题意． 答：上周生物老师购买洋葱的单价为1元/斤 【小问2详解】 解：设生物老师还需再购买洋葱m斤 则有 解得 答：生物老师至少要再购买20斤洋葱． 21. 阅读下列材料，并完成相应任务． 关于同一种多边形的平面密铺 平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题① 铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为___________，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题② 认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③ 观察图2，可以发现任意__________和任意__________都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④ 图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 【答案】任务一：问题①360；问题②不能，理由见解析 任务二：问题③三角形，四边形；问题④ 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和、平面镶嵌，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：问题①：根据题意即可得出答案；问题②：求出正五边形的内角度数，结合①的结论即可得出答案； 任务二：问题③：结合图形即可得出答案；问题④：由图形并结合题意计算可得答案． 【详解】解：任务一： 问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺； 问题②：正五边形不可以进行密铺，理由如下： ∵正五边形的每一个内角度数为，， ∴正五边形不以进行密铺； 任务二：问题③：观察图2，可以发现任意三角形和任意四边形都可以单独密铺； 问题④：由图形并结合题意可得：的度数为． 22. 综合与探究 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中边在轴上且，边在轴上，且，平分，交轴于点． （1）请直接写出点的坐标：__________，__________． （2）求点的坐标． （3）在平面直角坐标系中是否存在一点，使四点组成的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，，， 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接写出点的坐标； （2）由勾股定理得出，作于，由角平分线的性质定理得出，再根据三角形的面积求出的长，即可得解； （3）分三种情况，分别利用平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：边在轴上且，点在轴正半轴；边在轴上，且，点在轴正半轴， ∴，； 【小问2详解】 解：，，， ， 如图，作于， ， 平分， ， ，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得：， ∴， 如图，当点在第一象限时，此时四边形为平行四边形， ， 则，， 此时点的坐标为； 如图，当点在第四象限时，此时四边形为平行四边形， ， 则，， 此时点的坐标为； 如图，当点在第二象限时，此时四边形平行四边形，作轴于， ， 则，，， ， ， ， ， ，， ， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为，，． 【点睛】本题考查了坐标与图形、勾股定理、角平分线的性质定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 23. 综合与实践 【问题情境】 在数学课上，老师让同学们探究旋转中的数学问题，如图1，在中，，，点为线段上一动点，连接．若将线段绕点沿逆时针的方向旋转得到，连接，易证与的数量关系为：__________，位置关系为：__________． 【变式探究】 “创新”小组提出：当点在如图2所示位置时，若将线段绕点沿顺时针的方向旋转，得到，过点作垂直于交于点，连接，试探究的度数． ①“善思”小组经过研究发现线段与的关系为：，，请你帮“善思”小组写出此结论的证明过程． ②从而“明辨”小组得出__________． 【问题拓展】 同学们提出当点在上继续向右运动时，的度数会发生变化，那么当点运动到如图3所示的位置时，__________，（请你直接写出答案）此时“变通”小组发现之间存在某种数量关系，请你写出三条线段之间的数量关系__________． 【答案】问题情境：，；变式探究：见解析，②；问题拓展：， 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 问题情境：由题意得出，由旋转的性质可得：，，证明，得出，，从而得出，即可得解； 变式探究：①由题意得出，证明为等腰直角三角形，得出，，，由旋转的性质可得：，，证明，得出，，求出，得到，从而推出；②证明四边形为矩形，得出，即可得解； 问题拓展：由变式探究可得：四边形为矩形，为等腰直角三角形，从而得出，，，可得出答案． 【详解】问题情境：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即； 变式探究：①在中，，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②由①可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； 问题拓展：由变式探究可得：四边形为矩形，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$