1.1.1 空间向量及其线性运算（8大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1 空间向量及其线性运算 知识点 1 空间向量的有关概念 1、空间向量的定义及表示 （1）定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． （2）长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模． （3）表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或． 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行． （2）单位向量：长度为1的空间向量，即． （3）相等向量：方向相同且模相等的向量． （4）相反向量：方向相反但模相等的向量． （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 知识点 2 空间向量的线性运算 1、空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 2、空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：． 3、空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）几何意义：当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． 的长度是的长度的倍． （3）运算律：分配律：；结合律：． 知识点 3 共线向量 1、空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使得. 2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得． 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． 知识点4 共面向量 1、共面向量的定义：如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行与直线l．如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2、向量共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 1、向量线性运算的解题技巧 （1）向量加法的三角形法则是解决空间向量加法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果． （3）利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量． 2、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立． （2）对空间任一点O，有． （3）对空间任一点O，有． 3、向量共面证明思路 （1）证明点在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足． （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中）． 题型一 空间向量的概念辨析 【例1】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，可知是的相反向量.故选：A 【变式1-1】（23-24高二上·新疆·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【解析】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确.故选：D 【变式1-2】（23-24高二上·山东日照·月考）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等， 如向量与的模相等，所以D错误；故选：A. 【变式1-3】（23-24高二上·重庆·月考）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等． 但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同， 但③中向量与的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1， 但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．故选：D. 题型二 空间向量的线性运算 【例2】（23-24高二上·广东潮州·月考）空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量的加法、减法法则，得.故选：A. 【变式2-1】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为四面体中，是的中点， 所以.故选：B. 【变式2-2】（23-24高二上·河南南阳·月考）求为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原式.故选：B. 【变式2-3】（23-24高二上·河南周口·月考）在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】在中，因为，所以，故，即. ，故选：BD. 【变式2-4】（23-24高二上·河北·月考）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【解析】如图，因为，为的中点，所以， 又因为， 所以， 又，所以，解得：．故选：B. 题型三 空间向量共线的判定及应用 【例3】（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（    ） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【解析】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ，即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即，所以点在棱上，故正确； 对于，当时，所以，，所以， 即，即，所以点在线段上，故正确．故选：． 【变式3-1】（23-24高二上·湖北·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【答案】A 【解析】由于，所以四点共面， 由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）. 所以A选项正确，BCD选项错误.故选：A 【变式3-2】（23-24高二上·河北秦皇岛·期中）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)． 【答案】②③④ 【解析】①中，若，根据共线向量的定义，可得或四点共线， 所以①不正确； ②中，若，且和由公共点点，所以三点共线，所以②正确； ③中，由，可得，所以，所以③正确； ④中，由，可得，所以，所以④正确． 故答案为：②③④. 【变式3-3】已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【解析】因为，，， 所以， ， 所以，所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 题型四 由空间向量共线求参数 【例4】（22-23高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由，，得， 因为A，C，D三点共线，所以， 则存在唯一实数，使得， 则，解得.故选：C. 【变式4-1】（23-24高二上·山东淄博·月考）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 . 【答案】/ 【解析】∵，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∵，不共线，∴， ∴，∴. 故答案为： 【变式4-2】（23-24高二上·河南周口·月考）已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（    ） A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8 【答案】A 【解析】因为且，则存在实数，使得，即， 又因为，，不共面，则，解得.故选：A 【变式4-3】（22-23高二下·江西南京·期末）已知是空间的一个基底，若，，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】，， 因为，所以存在实数，使， 所以， 所以，所以，得，， 所以，故选：C 题型五 空间向量（四点）共面的判定 【例5】（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件．故选：B． 【变式5-1】（22-23高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【解析】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面.故选：B. 【变式5-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【答案】ABD 【解析】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的；故选：ABD． 【变式5-3】（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误， 对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误， 对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数， 使， 所以三个向量共面， 因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面， 所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确， 对于D，因为， 所以，，三个向量共面，所以D错误，故选：C 题型六 由空间向量（四点）共面求参数 【例6】（23-24高二上·安徽六安·期中）已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点在平面内，可知 ， 又， 所以，三项相加可得.故选：B. 【变式6-1】（23-24高二上·贵州·期中）已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点为所在平面内一点，设，其中、， 即， 所以，， 所以，，所以，.故选：B. 【变式6-2】（23-24高二上·江西宜春·期中）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ． 【答案】 【解析】法一：由题意， ，， 因为，，共面， 所以存在实数唯一实数对，使得， 即， 所以，解得． 法二：由，，共面得四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，，即． 故答案为：. 【变式6-3】（22-23高二上·湖北黄冈·期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则 . 【答案】3 【解析】因为点在平面内，所以，，共面， 所以存在与 使得, 即， 所以，解得，故. 故答案为:3. 【变式6-4】（22-23高二上·辽宁锦州·期末）已知向量，，是空间向量的一组基底，，，，若A，B，C，D四点共面．则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由于A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的实数对， 使得,即， 所以 ， 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1 空间向量及其线性运算 知识点 1 空间向量的有关概念 1、空间向量的定义及表示 （1）定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． （2）长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模． （3）表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或． 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行． （2）单位向量：长度为1的空间向量，即． （3）相等向量：方向相同且模相等的向量． （4）相反向量：方向相反但模相等的向量． （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 知识点 2 空间向量的线性运算 1、空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 2、空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：． 3、空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）几何意义：当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． 的长度是的长度的倍． （3）运算律：分配律：；结合律：． 知识点 3 共线向量 1、空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使得. 2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得． 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． 知识点4 共面向量 1、共面向量的定义：如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行与直线l．如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2、向量共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 1、向量线性运算的解题技巧 （1）向量加法的三角形法则是解决空间向量加法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果． （3）利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量． 2、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立． （2）对空间任一点O，有． （3）对空间任一点O，有． 3、向量共面证明思路 （1）证明点在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足． （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中）． 题型一 空间向量的概念辨析 【例1】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·新疆·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【变式1-2】（23-24高二上·山东日照·月考）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【变式1-3】（23-24高二上·重庆·月考）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型二 空间向量的线性运算 【例2】（23-24高二上·广东潮州·月考）空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·河南南阳·月考）求为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·河南周口·月考）在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（23-24高二上·河北·月考）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 题型三 空间向量共线的判定及应用 【例3】（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（    ） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【变式3-1】（23-24高二上·湖北·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【变式3-2】（23-24高二上·河北秦皇岛·期中）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)． 【变式3-3】已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 题型四 由空间向量共线求参数 【例4】（22-23高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（23-24高二上·山东淄博·月考）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 . 【变式4-2】（23-24高二上·河南周口·月考）已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（    ） A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8 【变式4-3】（22-23高二下·江西南京·期末）已知是空间的一个基底，若，，若，则（    ） A． B． C．3 D． 题型五 空间向量（四点）共面的判定 【例5】（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式5-1】（22-23高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【变式5-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【变式5-3】（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型六 由空间向量（四点）共面求参数 【例6】（23-24高二上·安徽六安·期中）已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·贵州·期中）已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·江西宜春·期中）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ． 【变式6-3】（22-23高二上·湖北黄冈·期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则 . 【变式6-4】（22-23高二上·辽宁锦州·期末）已知向量，，是空间向量的一组基底，，，，若A，B，C，D四点共面．则实数的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$