第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算（知识清单+7类热点题型讲练+分层强化训练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（

第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 【即学即练2】（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【即学即练3】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【即学即练4】（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 第三部分 题型精讲 题型01空间向量的有关概念 【典例1】（多选）（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【典例2】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【变式2】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（多选）（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 题型02空间向量加减运算及几何表示 【典例1】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）在空间四边形中， ． 【典例2】（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·重庆·期末）在正四面体中，过点P作四面体的高PO，用向量，，表示（   ） A． B． C． D． 题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定） 【典例1】（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 ．（填“平行”“相等”或“相反”） 【变式1】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二·全国·课后作业）若，，，则､､（    ） A．可组成锐角三角形 B．可组成直角三角形 C．可组成钝角三角形 D．不构成三角形 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数） 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间的一组基底为，且满足，则 ． 【变式1】（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ． 【变式2】（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为 ． 【变式3】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知、、为不共面的三个空间向量，若与共线，则的值为 . 题型05空间向量共面（空间向量共面的判定） 【典例1】（多选）（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）下列哪个条件可以作为四点共面的充分条件（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）如图，M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，则向量与、 ．（填“共面”或“不共面”）    【变式1】（23-24高二上·广东揭阳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（24-25高二·福建·阶段练习）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数） 【典例1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）在四面体OABC中，，，，，N为BC的中点，若，则λ=（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【变式1】（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【变式3】（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则 . 题型07空间向量共面（推论及其应用） 【典例1】（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【典例2】（2025高三下·全国·专题练习）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M （填“属于”或“不属于”）平面ABC． 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为 ． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（22-23高二上·湖南·期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 3．（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二上·全国·期中）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．9 C．10 D．11 6．（2024高三·全国·专题练习）下列条件中，一定使空间四点，，，共面的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二下·江苏连云港·期中）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 8．（多选）（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，则 ， ． 10．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 12．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). B能力提升 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 4．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 5．（2024·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，． (1)证明：当取最小值时，； (2)设，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可 【详解】 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 【即学即练2】（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量相等及线性运算法则计算可得. 【详解】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选：C. 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【即学即练3】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【即学即练4】（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【详解】因为为空间任意一点，， 又因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 第三部分 题型精讲 题型01空间向量的有关概念 【典例1】（多选）（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 【典例2】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 【变式3】（多选）（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 题型02空间向量加减运算及几何表示 【典例1】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）在空间四边形中， ． 【答案】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故答案为：. 【典例2】（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组，即可求解. 【详解】由于， 所以，，. 故选：B 【变式1】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， , 故选：A 【变式3】（24-25高二上·重庆·期末）在正四面体中，过点P作四面体的高PO，用向量，，表示（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正四面体的性质可得为重心，则有，再借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】在正四面体中，为正三角形，则点为重心， 故，故， 故. 故选：B. 题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定） 【典例1】（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 ．（填“平行”“相等”或“相反”） 【答案】平行 【分析】利用向量共线定理求解. 【详解】解：如图所示： 设G是AC的中点，连接EG，FG， 则， 所以， 从而∥． 故答案为：平行 【变式1】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 【变式2】（24-25高二·全国·课后作业）若，，，则､､（    ） A．可组成锐角三角形 B．可组成直角三角形 C．可组成钝角三角形 D．不构成三角形 【答案】D 【分析】由共线定理判断是否共线可知. 【详解】由题知， 所以共线 所以､､不构成三角形. 故选：D 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【分析】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【详解】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数） 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【答案】 【分析】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间的一组基底为，且满足，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共线列方程组，解方程求得，进而求得. 【详解】由题得存在实数满足，则． 又为空间的一组基底，则满足，解得则． 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ． 【答案】 【分析】先求出向量，再根据，，三点共线得出与的关系，从而求出的值. 【详解】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为 ． 【答案】0 【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值. 【详解】由于共线，则，即， 所以，则. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知、、为不共面的三个空间向量，若与共线，则的值为 . 【答案】0 【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值. 【详解】因为于共线，则，即， 所以，则. 故答案为：. 题型05空间向量共面（空间向量共面的判定） 【典例1】（多选）（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）下列哪个条件可以作为四点共面的充分条件（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量平行以及三点共线，结合共面的性质即可求解AB,根据平面，因此点可能在平面外，即可判断C，根据共面定理即可求解D. 【详解】对于A，，，，，，四点共面，故A正确； 对于B，，则，，三点共线，故四点共面，B正确； 对于C，, 同理,平面，故平面，因此点可能在平面外，因此不一定共面，C错误， 对于D， 即，．、、四点共面，故D正确． 故选:ABD 【典例2】（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）如图，M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，则向量与、 ．（填“共面”或“不共面”）    【答案】共面 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算，再利用共面向量定理判断即得. 【详解】依题意，， 所以向量与、共面. 故答案为：共面 【变式1】（23-24高二上·广东揭阳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据共面向量的充要条件是其中一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合判断答案. 【详解】由平面向量基本定理，得 对于A选项，，所以，，三个向量共面； 对于B选项，，所以，，三个向量共面； 对于C选项，若存在实数使得： 则，从而共面，与已知矛盾，因此C选项中向量不共面； 对于D选项，，所以三个向量共面． 故选：C． 【变式2】（24-25高二·福建·阶段练习）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【详解】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】取，，，由向量的线性运算得与、共面可得答案. 【详解】取，，， 则 所以与共面，又，， 所以与、共面， 所以四点共面． 题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数） 【典例1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）在四面体OABC中，，，，，N为BC的中点，若，则λ=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算，求得，结合已知条件，即可求解. 【详解】如图所示，因为N为BC的中点，所以， 又因为，所以， 因为，所以. 故选：B. 【典例2】（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【答案】 【分析】根据空间向量共面定理列出方程组计算可得结果. 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以， 解得，，. 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，根据空间向量的线性运算法则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共面定理设，用待定系数法法解出，，﹒ 【详解】因为，，是三个不共面的非零向量， 又，，共面，所以存在实数，，使得， 则， 则，解得． 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则 . 【答案】 【分析】根据向量共面，由共面基本定理即可列方程求解，或者利用共面的结论求解. 【详解】方法一：由共面，故存在实数使得 , 故,化简得, 又，所以，解得， 方法二：因为共面，所以，解得. 故答案为:. 题型07空间向量共面（推论及其应用） 【典例1】（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 【典例2】（2025高三下·全国·专题练习）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M （填“属于”或“不属于”）平面ABC． 【答案】属于 【分析】将已知式子变成，由此即可判断. 【详解】 ， 四点共面．即点平面ABC． 故答案为：属于 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量减法运算可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面的充要可得，求解即可. 【详解】是平面外任意一点，且， 若，，，四点共面的充要条件是，即. 故选：B. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】因为． 由题意得，所以． 故答案为：. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，只能说明，的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误； 对于D，相等向量方向相同大小相等，故D正确. 故选：D. 2．（22-23高二上·湖南·期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】C 【分析】根据个选项，可判断选项A、B、D正确，选项C，零向量方向是无限的，但是任意向量方向是确定的，故可作出判断. 【详解】由已知， 选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确； 选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确； 选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误； 选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确. 故选：C. 3．（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案. 【详解】由已知得，， . 故 故选：A 4．（21-22高二上·全国·期中）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用向量共面的判定方法可得答案. 【详解】因为构成空间的一组基底，所以不共面； 由于，所以，，共面，A不正确； 由于，所以，，共面，B不正确； 由于，所以，，共面，D不正确； 对于C，不存在实数，使得成立，所以，，不共面. 故选：C 5．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】因为向量共面，所以存在实数使得， 即 所以，解得，. 故选：C． 6．（2024高三·全国·专题练习）下列条件中，一定使空间四点，，，共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四点共面的结论，即可判断. 【详解】对于A选项，，，所以点与，，三点不共面； 对于B选项，，，所以点与，，三点不共面； 对于C选项，，，所以点与，，三点不共面； 对于D选项，，，所以点与，，三点共面． 故选：D 7．（多选）（24-25高二下·江苏连云港·期中）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 【答案】AC 【分析】对于AC：根据平面向量基本定理分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面； 综上所述：与，共面，故A正确； 对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误； 对于选项C：若向量共线，则取，可得； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得， 即，可得； 综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确； 对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立， 此时无法判断，，是否共面，故D错误. 故选：AC. 8．（多选）（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 9．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，则 ， ． 【答案】 【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得、，即可求，再由知，即可求. 【详解】在中，，，则， 在中，，，则， ∵在中，E是CD的中点， ∴，而，即， ∴在中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、. 故答案为：，. 10．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 11．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，，三点不共线，平面外一点，满足，判断，，三个向量是否共面． 【答案】，，三个向量共面 【分析】根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可说明． 【详解】，，三个向量共面． 因为， 所以， 化简得，， 即， 即， 故，，三个向量共面． 12．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【详解】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    B能力提升 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值. 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 3．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 【答案】/ 【分析】用表示，根据四点共面的向量表达关系，即可求得参数的值. 【详解】根据题意可得：， 又因为四点共面，故，解得. 故答案为：. 4．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【详解】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 5．（2024·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，． (1)证明：当取最小值时，； (2)设，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据条件确定点的位置，再证明线线垂直. （2）先探究与的关系，再利用二次函数的性质求范围. 【详解】（1）如图：取中点，中点，连接， 则，. 因为，， 所以三点共线. 又四面体为正四面体，所以，当为中点时，，此时取得最小值. 又，所以. （2）易知， . 所以，，， 故（）. 根据二次函数的性质，当时，有最小值，为； 当或时，有最大值，为. 故的取值范围为： 学科网（北京）股份有限公司 $$