第07讲 函数的应用（10类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（上海专版）

第07讲 函数的应用（10类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年春考9、16、21题 分段函数的应用，函数与方程的关系，函数与方程的综合运用 2023春考9、19题 函数的零点与方程根的关系，根据实际问题选择合适的函数模型 2022秋考8题 2022春考21题 分段函数的应用 函数与方程的综合运用 2021年秋考19题 函数的实际应用 2020年秋考11、19题 2020年春考19题 函数的零点与方程根的关系，分段函数的实际应用 根据实际问题选择函数类型 2. 命题规律及备考策略 【备考策略】 1.判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两2.个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 3.解函数应用题的步骤 (1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义． 知识讲解 一．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 二．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 常用结论 1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 三．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值的变化而各有不同 四．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 考点一．函数的零点 1．（2023•宝山区校级模拟）已知函数是定义域在上的奇函数，且当时，，则关于在上零点的说法正确的是　　 A．有4个零点，其中只有一个零点在内 B．有4个零点，其中只有一个零点在内，两个在内 C．有5个零点，都不在内 D．有5个零点，其中只有一个零点在内，一个在 【分析】本题可以先从函数图象右侧入手借助于图象或性质找到其零点，然后根据奇函数特性是定义在上的奇函数，故，加上奇函数对称性应用，即可以找到所有零点位置． 【解答】解：根据对称性可以分三种情况研究： （1）的情况，是把抛物线与轴交点为向上平移了0.02， 则与轴交点变至之间了．所以在之间有两个零点． （2）当时，，根据对称性之间也有两个零点， （3）是定义在上的奇函数，故（奇函数特性）， 所以有五个零点． 故选：． 【点评】本题考查学生灵活运用函数零点和运用奇函数性质的能力，属于难题． 2．（2023•青浦区校级模拟）设，求方程的解集 　 ． 【分析】利用绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，分别求解即可；另解，运用绝对值不等式的性质可得所求． 【解答】解：当时，则方程为，解得； 当时，则方程为，解得，舍去； 当时，则方程为，解得，舍去； 当时，则方程为，解得． 综上所述，方程的解集为． 另解：因为， 可得，解得，或． 故答案为：． 【点评】本题考查了含有绝对值得方程的求解，解题的关键是利用绝对值的定义去掉绝对值，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 3．（2023•闵行区校级三模）已知，则　　． 【分析】转化为方程有两个等根1，再根据根与系数的关系即可求解结论． 【解答】解：， 方程有两个等根1， 且， 可得，， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题． 4．（2023秋•徐汇区期末）函数的零点是 　　． 【分析】利用对数运算及零点含义可得答案． 【解答】解：由题意可得函数的定义域为． ，令可得，解得或（舍． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的零点，属于基础题． 考点二．判定函数零点的存在性 5．（2022秋•徐汇区校级月考）设且，则函数的零点的个数为 　　． 【分析】函数零点个数等价于函数与的交点个数，分和画出两个函数的图象，由函数图象判断交点个数． 【解答】解：等价于， 函数的零点个数等价于函数与的交点个数， 当时，画出两个函数的图象，并且时，， 由函数图象可知函数有两个交点，即函数的零点的个数是2个， 当时，时，， 如图： 由图象可知两个函数有两个交点，即函数的零点的个数是2个， 综上所述，无论还是，两者均有两个交点， 故答案为：2． 【点评】本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 6．（2022春•杨浦区校级期中）设是定义在上的周期为4的函数，且，记，若函数在区间，上零点的个数是8个，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】分别作出与直线的图像，观察交点个数即可． 【解答】解：作出，，的图像如下： 令，则， 则函数在区间，上零点的个数，即为与直线的图像交点个数， 由图可知当时，图像有8个交点． 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数的零点，也考查了数形结合思想，作出图象是解答本题的关键，属于中档题． 7．（2022•宝山区校级开学）已知集合对于，存在，使得（1）成立． （1）判断和是否属于集合，并说明理由； （2）设，求实数的取值范围； （3）已知，时，，且对任意，，恒有（1），令，，试讨论函数，，的零点的个数． 【分析】（1）直接按照集合的定义进行验证； （2）设，整理得：，由，解得实数的取值范围； （3）先求出，得到，先验证为的一个零点，当时，用分离参数法得到，作出和的图象，借助于图象分析的范围． 【解答】解：（1）对于，定义域为， 若属于集合， 则存在，满足（1）， 即，所以，， 所以不属于集合； 对于，定义域为， 若属于集合，则存在，满足（1）， 即，所以， 解得：， 所以属于集合； （2）设，则存在，满足（1）， 即，整理得：， 因为恒成立，所以，解得：， 所以实数的取值范围为，； （3）当，时，，，， 所以， 令，， 当时，得到， 所以为的一个零点， 当时，令， 作出和的图象， 由图象易知， 当，时，有1个零点； 当，时，有2个零点； 当，，有4个零点；． 当，，有3个零点． 【点评】本题属于新概念题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题． 8．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数的定义域为．若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质（a）． （1）分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明） （2）若函数的定义域为，且具有性质（1），证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件； （3）已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，，具有性质（a），求的值． 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）由定义结合必要不充分条件证明即可； （3）将问题转化为，，再对进行分类讨论，求得的值域，结合的唯一性求得的值，从而得解． 【解答】解：（1）不具有性质，具有性质，理由如下： 因为指数函数的定义域为， 对于，，恒成立， 所以不存在满足， 因此函数不具有性质； 因为一次函数的定义域为， 对于，，取， 则，因此具有性质． （2）证明：当时，由于函数具有性质（1）， 取，则存在，使得， 所以，因此函数存在零点，即充分性成立； 当函数存在零点时， 设，，则， 因为对于任意，取，则， 且满足， 所以函数具有性质（1），但，即必要性不成立； 因此“”是“函数存在零点”的充分非必要条件． （3）依题意，存在唯一的实数，使得函数，，具有性质（a）， 即存在唯一的实数，对任意，，都存在，满足，即， 因为，则，故， 记的值域为，则，， 当时，，，，即，， 所以，得，显然不唯一，不符合题意； 当时，的对称轴为，△， 当，即时，在，上递增，所以，， 所以，得， 由于唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时，在，上递增， 所以，，则，得， 由于唯一，所以，解得，符合题意； 当，即时， 的最大值是，最小值是，则， 所以，得， 由于唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时， 的最大值是，最小值是（2），则， 所以，得， 由于唯一，所以，解得舍去），满足题意； 综上，的值为或． 【点评】本题主要考查函数方程的综合应用，属于难题． 9．（2023春•嘉定区月考）已知定义域为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质（a）． （1）判断函数是否具有性质，说明理由； （2）若函数的定义域为，且具有性质（1），求证：“函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件； （3）若存在唯一的实数，使得函数，，具有性质（a），求实数的值． 【分析】（1）根据新定义证明即可； （2）由定义结合必要不充分条件证明即可； （3）由唯一，则函数的定义域与值域关于对称，因为，，值域为，，则，然后对进行分类讨论即可． 【解答】解：（1）指数函数不具有性质． 理由如下：指数函数的定义域为， 对于，， 因为，， 所以不存在满足， 因此函数不具有性质． （2）证明：因为，由于函数具有性质（1）， 取，则存在，使得， 所以， 因此函数存在零点． 即“函数存在零点”是“”的必要条件． 若函数存在零点， 设，，，则， 因为对于任意，，则，则， 且满足， 所以函数具有性质（1），但，， 因此“函数存在零点”不是“”的充分条件． “函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件； （3）由唯一，则函数的定义域与值域关于对称， 因为，，值域为，，则， ：当时，的值域为，，此时不满足题意； ：当时，的对称轴为， 开口向上且，（2）， 值域为：，，此时， 所以不满足题意， ：当时，的对称轴为， 开口向下， ①当即时， 且， 解得或（舍去）， ②当即时， 且， 不满足题意； ③当即时， 且，满足题意； 综上所述：或． 【点评】本题主要考查函数的新定义，函数与方程的综合，考查运算求解能力，属于难题． 考点三．求解函数零点所在区间 10．（2023秋•宝山区校级期末）函数的零点所在区间为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据零点存在性定理判断零点所在区间即可． 【解答】解：由题意，可知是定义域在上连续不断的递增函数， 又， 所以由零点存在定理可知，零点所在区间为． 故选：． 【点评】本题考查了零点存在定理，属基础题． 11．（2023秋•长宁区期末）设函数的零点为，则　　 A． B． C． D． 【分析】通过，（1），可得（1），故函数的零点在区间内，得到结果． 【解答】解：函数的零点为，，（1）， （1）， 又数在，上连续， 函数的零点在区间内． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 12．（2023秋•虹口区期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，、、，则实数和分别等于　　 A．、 B．2、3 C．、2 D．、 【分析】直接根据二分法求零点所在区间的方式进行计算即可． 【解答】解：依次确定了零点所在区间为，、、， 又， ，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查二分法的应用，考查计算能力，属于基础题． 13．（2023秋•黄浦区校级期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据零点定理（a）（b），说明在上有零点，已知第一次经计算，，可得其中一个零点，根据二分法的定义即可得到第二次应计算的函数值． 【解答】解：令， 则，， ， 其中一个零点所在的区间为， 第二次应计算的函数值应该为． 故选：． 【点评】本题考查的是二分法研究函数零点的问题，在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力，属中档题． 考点四．函数的零点与方程根的关系 14．（2024•闵行区校级三模）已知函数在上恰有5个零点，则实数的最大值为 　 　． 【分析】根据正弦的二倍角公式可得或，进而可得的零点情况，结合区间即可确定的最大值． 【解答】解：由得，令，可得，解得或， 当，，，当时，或，， 所以当，，的零点按从小到大排列有：，，，，0，，，，， 故在上恰有5个零点，则这5个零点为，，0，，， 故的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，涉及二倍角公式及三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 15．（2024•闵行区校级三模）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数的取值为 　 　． 【分析】函数的零点，即的零点，由于，则零点一共有3个，即可转化为时，有一个根即可，整理成方程以在时有一个根，令，求，判断函数的单调性及取值情况，即可得的取值． 【解答】解：的零点满足， 即的根， 由于， 所以， 则是的一个根； 所以的根三个，则满足当时，有一个根即可， 又时，，所以， 所以在时有一个根，即在时有一个根， 令， 所以， 令，得， 所以时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增； 又趋于0，趋于；比增长的快， 所以趋于，趋于． 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及导数的综合运用，属于中档题． 16．（2024•普陀区模拟）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是 　 　． 【分析】原式可化为，然后研究函数的图象，只需当时，在下方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解． 【解答】解：原不等式可化为：， 令，，显然时，，递减；时，，递增， 所以，且时，， 同一坐标系中，做出与（过定点的图象： 据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查函数零点个数的判断方法，数形结合思想的应用，属于中档题． 17．（2024•青浦区二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的零点，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】结合函数的性质分析函数的特征，作出函数的图象，关于的方程有两个不同的零点转化为与有两个交点，结合函数图象即可求解． 【解答】解：①当时，函数 单调递减可得：； ②当时，由函数单调递增可得：， 作出函数的图象， 由图象可知：由，可得， 故当 时，函数与的图象有且只有两个交点， 满足关于的方程有两个不同的实根的实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了由方程根的个数求解参数范围，体现了数形结合思想的应用，属于中档题． 考点五．求解方程根的存在性和分布 18．（2023秋•浦东新区校级月考）设函数，则方程的不同实根的个数可以是 　 　． 【分析】作出函数的图象，根据方程求出的根，再对根分类讨论，结合函数图象判断根的个数，即可得解． 【解答】解：当时，，图象为抛物线的一部分， 抛物线开口向下，对称轴为，顶点为，过和； 当时，，图象过，如图所示： 方程等价于，所以或， 当时，，由的图象得有2个不同实根，有4个不同实根，故原方程有6个不同实根； 当时，，由的图象得有3个不同实根，故原方程有3个不同实根； 当时，，由的图象得有4个不同实根，有2个不同实根，故原方程有6个不同实根； 当时，，由的图象得有1个实根，故原方程有1个实根； 当且时，且，由的图象得有1个实根，有1个实根，故原方程有2个不同实根； 综上所述，方程的不同实根的个数可能是1，2，3，6． 故答案为：1，2，3，6． 【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题． 19．（2022•松江区二模）已知函数，是定义在上的奇函数，且满足，当，时，．则当，时，方程实根的个数为 　 　． 【分析】根据函数的解析式可得的图象关于对称，由，图象关于对称，又可得，所以函数的周期为4的周期函数，易得方程实根的个数 【解答】解：函数的图象关于对称，且，可得在单调递减， 由，图象关于对称， 又可得，所以，所以函数的周期为8的周期函数， 当，时，．可知函数在，上单调递增，且，， 所以当，时，有1个实根，当，6时，有1个实根， 当，时，有2个实根，由函数周期性可知在的每个周期内有2个实根， 故，时，方程实根的个数为506个． 故答案为：506． 【点评】本题考查方程的根的个数，可转化为函数图象交点的个数，属中档题． 20．（2020秋•虹口区期末）已知函数． （1）作出这个函数的大致图象； （2）讨论关于的方程的根的个数． 【分析】（1）把已知函数解析式变形，再由函数图象的平移与翻折变换可得的图象； （2）对分类，数形结合得答案． 【解答】解：（1）， 首先将的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位， 得到的图象，最后将的图象在轴下方的部分翻折到轴上方， 便可得到的图象； （2）当时，方程的根的个数为0； 当或时，的根的个数为1； 当或时，的根的个数为2． 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想，是中档题． 21．（2023•徐汇区二模）设函数，现有如下命题，①若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8．下列判断正确的是　　 A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【分析】首先画出函数的图象．根据二次函数的对称性得，根据得，从而求得的取值范围，进而判断出命题①的真假；先根据方程求出的根，再对根的大小分类讨论，并结合的图象判断出根的个数，进而判断出命题②的真假． 【解答】解：当时，，图象为抛物线的一部分，抛物线开口向下，对称轴为，顶点为，过和； 当时，，图象过，如图所示． 对于①，当方程有四个不同的实根、、、时，不妨假设， 则，，且，， 所以，所以． 因此，， 所以，故①为真命题． 对于②，方程等价于且，所以或． 当时，，由的图象得有2个不同实根，有4个不同实根，故原方程有6个不同实根； 当时，，由的图象得有3个不同实根，故原方程有3个不同实根； 当时，，由的图象得有4个不同实根，有2个不同实根，故原方程有6个不同实根； 当时，，由的图象得有1个实根，故原方程有1个实根； 当且时，且，由的图象得有1个实根，有1个实根，故原方程有2个不同实根； 综上所述，方程的不同实根的个数可能是1，2，3，6． 故②为假命题． 故选：． 【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题． 考点六．由方程根的分布求解函数或参数 22．（2023秋•长宁区期末）若关于的方程在区间，上有解，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在，上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围． 【解答】解：方程可变形为，由于方程在，上有解， 而当，时，， 所以， 解得， 即实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了对数函数的图象和性质，属于中档题． 23．（2023秋•浦东新区校级期中）已知函数， （1）当时，求函数在，的值域； （2）若关于的方程有解，求的取值范围． 【分析】（1）由题意整理，换元可得函数的值域； （2）方程整理可得的解析式，由函数的范围，可得的取值范围． 【解答】解：（1）当时，， 令，，，，， 所以，， 所以函数是开口向上的抛物线，且对称轴，， 当时，， 又因为，所以当时，函数的最大值为， 的值域是，； （2）方程有解，有解， 即， 所以， 所以可得． 即的取值范围为． 【点评】本题考查换元法求函数的值域及由函数的最值求参数的范围的方法，属于中档题． 24．（2022秋•青浦区校级月考）已知函数，若存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是 　 ． 【分析】通过分析可得直线与函数，的图象和，的图象的交点都是两个，分别讨论直线与，的图象有两交点时的范围和直线与二次函数的图象有两交点时的范围，最后再根据图象列出关于的不等式组即可求出的范围． 【解答】解：要使方程有四个不同的实根， 则需使直线与的图象有四个不同的交点． 因为直线与的图象及直线与二次函数的图象的交点都是最多为两个， 所以直线与函数，的图象和，的图象的交点都是两个． （1）若存在实数，使直线与，的图象有两个交点，则需，此时； （2）因为，的图象的顶点的纵坐标为， 所以要使直线与，的图象有两个交点， 只需． 综上，因为直线与的图象有四个不同的交点，如图所示， 所以， 解得， 即实数的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想及分类讨论思想，作出图象是难点，属于中档题． 25．（2023秋•青秀区校级月考）已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【分析】（1）由恒成立，即恒成立，转化为二次不等式问题，对进行讨论可得实数的取值范围； （2）将因式分解，对进行讨论，可得不等式的解集； （3）令，求解的最小值，有四个不同的实根，即与有4个交点，即可求解实数的取值范围． 【解答】解：（1）由恒成立， 即恒成立， 可得恒成立，当时，恒成立，满足题意； 当时，要使恒成立，则， 即，解得． 综上，可得实数的取值范围是，． （2）函数 即，又， 所以当时，可得，不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，，； 当时，原不等式的解集为，，； （3）令，则， 由方程有四个不同的实根，即与有4个不同的交点， 当，显然与不能有4个不同的交点， 当，作出的图象（如图）， 从图象，显然与不能有4个不同的交点， 当，作出的图象（如图）， 从图象可得：当时，取得最大值为， 要使与能有4个不同的交点，则且． 即且，所以， 综上，可知实数的取值范围． 【点评】本题考查了函数的零点，不等式的解法，讨论思想，同时考查了学生的作图能力，属于中档题． 考点七．二分法求函数零点的近似值 26．（2023秋•徐汇区期末）函数的零点，对区间利用一次“二分法”，可确定所在的区间为 　 　． 【分析】根据二分法的定义求解． 【解答】解：设， 则， 取区间的中点为，， 所以可确定所在的区间为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二分法的定义与应用，属于基础题． 27．（2023•杨浦区校级开学）利用二分法计算函数在区间的零点，第一次操作后确认在内有零点，那么第二次操作后确认在区间 　　内有零点． 【分析】利用二分法的定义即可求解． 【解答】解：由题意可知，取区间的中点， （9），， 所以（9）， 所以第二次操作后确认在区间内有零点． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二分法的应用，考查计算能力，属于基础题． 28．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间，上零点的近似值，第一次计算（1）、（3）的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则　 　． 【分析】根据二分法的定义，求解即可． 【解答】解：二分法计算此函数在区间，上零点的近似值， 第一次计算（1）、（3）的值， ，则（1），（3）， 故零点所在区间为， 第二次计算（2）的值， （2）， 故零点所在区间为， 所以第三次计算的值，即． 故答案为：． 【点评】本题考查二分法的定义，属于基础题． 考点八．函数与方程的综合运用 29．（2024•长宁区校级三模）设函数的定义域为，对于区间，，若满足以下两个性质之一，则称区间是的一个“好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知函数，．分别判断区间，，区间，是否为的“好区间”，并说明理由； （2）已知，若区间，是函数，的一个“好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续的曲线，且对于任意，都有（a）（b），求证：存在“好区间”，且存在，为不属于的任意一个“好区间”． 【分析】（1）由“好区间”的定义判断即可； （2）利用导数求出函数的单调区间及极值，根据“好区间”的定义可判断出上满足性质②，再由，，，求解即可； （3）由题意可得在任意区间，上对应的函数值区间长度必大于，从而可得在任意区间，上都不满足性质①，且在上单调递减，即有即存在，分，，证明即可． 【解答】解：（1）， 当，时，，，满足性质①， 所以，是的“好区间”； 当，时，，， 既不满足性质①，也不满足性质②， 所以，不是的“好区间”； （2）， 0 3 0 12 单调递减 极小值3 单调递增 若在区间，上满足性质①，则，，， 而，，， 所以在区间，上不满足性质① 若在区间上满足性质②， 当时，（3）， 所以，，， 当时，因为（3），所以不符合； 综上所述，实数的取值范围是； （3）证明：因为任意，都有（a）（b）． 所以在任意区间，上对应的函数值区间长度必大于， 即在任意区间，上都不满足性质①， 因为对于任意，都有（a）（b）， 所以在上单调递减， 所以不恒成立，即存在， 若， 取，则（a）（b）， 在区间，上对应函数值的区间（b），（a）， （b），（a），， 所以，是一个“好区间”； 若， 取， 则（b）（a）， 在区间，上对应函数值的区间（b），（a）， （b），（a），， ，是一个“好区间”； 所以存在“好区间”； 记， 因为在上单调递减，所以在上单调递减； 又图像是一条连续的曲线， 所以图像也是一条连续的曲线， 先证明有零点， 设， 若，则有零点为， 若，则，，，在区间上有零点； 若，则，，，在区间上有零点； 所以必有零点，记为， 即的“好区间” 都满足性质②， 所以不属于任意一个“好区间”． 【点评】本题属于新概念题，考查了导数的综合应用、分类讨论思想，理解定义是关键，属于中档题． 30．（2024•杨浦区校级三模）设函数定义域为．若整数、满足，则称与 “相关”于． （1）设，，写出所有与2“相关”于的整数； （2）设满足：任取不同的整数、，，与均“相关”于．求证：存在整数，，使得、、都与2024“相关”于； （3）是否存在实数，使得函数，满足：存在，能使所有与 “相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和0的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由． 【分析】（1）直接根据定义解不等式即可； （2）根据定义可以确定（1），（2），，中至多有两个非零数，再直接推知结论； （3）对命题进行等价转化，然后使用分类讨论方法即可确定的取值范围，并得到． 【解答】解：（1）若要整数与2“相关”于，即（2）， 由于（2），故这等价于，即， 得到满足条件的全部为，，，0，1． （2）由题意知，（1），（2），，这十个数中，任取其中两个，其乘积都不为正数， 这意味着，这十个数中至多有一个正数，也至多有一个负数， 所以这十个数中至多有两个数不等于零． 假设（1），（2），（3）不全为零， （4），（5），（6）不全为零， （7），（8），（9）也不全为零． 那么这十个数中已经出现了三个不为零的数，矛盾． 所以必定存在整数，4，，，使得， 此时， 所以，，都与2024“相关”于． （3）原条件等价于下列两个命题之一成立： ①存在使得且集合，是非空有限集； ②存在使得，且集合，是非空有限集． 设，则， 从而当时，当时， 所以在，上递增，在，上递减，从而． 对求导可得． 若，则当时，由且知， ； 当时，有， 所以，， 从而，都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立； 若， 则当时，得； 当时，由有， ， 所以在，上递减， 从而对有（1）， 所以对任意都有，从而命题①不成立； 而同时这意味着包含一切非零整数，所以命题②不成立； 若，则当时，由， 得； 当时，由知， 从而， 故，从而一定是有限集． 而， 因为，，所以，从而一定是非空有限集． 同时，上面已经证明，所以此时命题②成立； 若，则当时，有； 当时，有． 所以，，从而，都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立． 综上，的取值范围是，且此时存在使得， 且集合，是非空有限集． 这表明对每个满足条件的，都有． 【点评】本题考查了函数性质的综合应用，考查了函数思想．属于难题． 31．（2024•黄浦区校级模拟）已知为实数．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”． （1）若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由； （2）证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有； （3）已知对任意，，都是的“正向数组”，求的取值范围． 【分析】（1）代入有，根据函数性质得到的正负时不同取值情况即可； （2）假设存在，使得，通过正向数组定义转化得对任意，恒成立，设，再利用函数的性质即可证明假没不成立： （3）代入有恒成立或恒成立，设，求出是的最大值或最小值时的取值范围即可． 【解答】（1）解：若，， 对，，，即， 而当，时， ，， 即，不满足题意， 所以不是的“正向数组“； （2）证明：假设存在，使得， 为的“正向数组“， 对任意，都有， 对任意，恒成立， 令，则在上恒成立， ， 设， 则， 则当时，在上为负，在上为正， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，当，，当，， 即存在，使在上为正，在，上为负，在，上为正， 所以在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增， 又当，，当，，则的值域为， 若，，在上单调递增， 又当，，当，，则的值域为， 当时，，在上单调递增， 又当，，当，，则的值域为，， 由值域可看出，与在上恒成立矛盾． 对任意，都有； （3），都是的“正向数组”， 对任意，，都有， 则恒成立或恒成立， 即恒成立或恒成立， 设， 则， 即是的最大值或最小值， ， 且， 当时，由（2）可得，的值域为，无最大值或最小值， 当时，在上单调递增， 又，则在上为负，在，上为正， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 则是的最小值，满足， 此时对任意，，都有 ， 的取值范围是，． 【点评】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，含参分类讨论求函数的单调区间，函数新定义，属于难题． 考点九．分段函数的应用 32．（2024•杨浦区二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为 　 　． 【分析】根据题意，当时，，求出此时的值域，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【解答】解：根据题意，当时，， 当时，有，则有， 又由为奇函数，则时，为值域为． 故答案为：． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域，属于基础题． 33．（2024•闵行区校级模拟）若，，则满足的的最大值为 　 　． 【分析】根据指数函数的图象与性质，判断出在上先减后增，结合为偶函数建立关于的不等式，解之可得的最大值． 【解答】解：当时，，为，上的增函数， 当时，，为上的减函数． 而对任意成立，所以为上的偶函数， 因此，不等式等价于， 即，解得，即实数的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查指数的图象与性质、函数的单调性与奇偶性、分段函数及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 34．（2024•浦东新区校级四模）已知函数，给出下列四个结论： ①若有最小值，则的取值范围是； ②当时，若无实根，则的取值范围是，，； ③当时，不等式的解集为； ④当时，若存在，满足，则． 其中，所有正确结论的序号为 　 　． 【分析】①若有最小值，则，当时，求出函数的最小值，当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，从而列出不等式组，解此不等式组，即可求得结果； ②当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，根据无实根，求出的范围； ③当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，从而得出在单调递减，利用单调性解不等式； ④当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，若存在，满足，则，， 利用分析法和函数的单调性，构造函数，，利用导数研究该函数的单调性，即可证明结论． 【解答】解：①若有最小值，则， 当时，当时，， 当时，在，单调递减，， 当时，在单调递减，， 有最小值； 当时， 当时，在单调递减，， 当时，在，单调递减，， 当时，在单调递减，， ，解得， 综上，有最小值，则的取值范围是，故①错误； ②当时，当时，在单调递增，， 当时，在，单调递减，， 当时，在单调递减，， 若无实根，则的取值范围是，，，故②正确； ③当时，当时，在，单调递减，， 当时，在单调递减，， 在，单调递减， ，， ，解得，故③正确； ④当时，当时，在单调递增，当时，在，单调递减， 若存在，满足， 则，， 要证，即证， 而在单调递增，， 令，， ， 在，单调递增，， 成立， ，故④正确． 故答案为：②③④． 【点评】本题考查分段函数单调性及应用，函数零点，极值点偏移问题，属中档题． 35．（2024•黄浦区校级模拟）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】通过讨论和1的大小，结合函数图像即可求解结论． 【解答】解：函数， 由，得， 当时，，不等式无解； 当时，由得，此时不合题意． 当时，由得， 若不等式恰有一个整数解，则整数解为， 又，，再结合图像知， ， 综上所述，实数的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查函数性质的综合应用，考查数形结合思想，属于中档题． 考点十．根据实际问题选择函数类型 36．（2024•闵行区三模）对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义： ①小雨 ②中雨 ③大雨 ④暴雨 小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级 　　．（只填入雨水等级所对应的序号） 【分析】由圆锥的体积公式，求出雨水的体积，再除以圆的面积，即可求解． 【解答】解：设圆锥形容器中积水水面半径为，则，解得， 所以积水厚度为， 所以． 所以一天的雨水属于中雨． 故答案为：②． 【点评】本题考查圆锥的体积计算，考查分析问题解决问题以及运算求解能力，属于基础题． 37．（2024•静安区二模）我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程．现将一边在轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点到“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为 　 　． 【分析】由方程得，则曲线上的任意一点求出的最小值为，即可求出心吧面积的最大值． 【解答】解：由，时， 则曲线上的任意一点，， 有， 的最小值为，所以最小值为， 当时，心吧面积的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了两点间的距离公式应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题． 38．（2024•长宁区二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量（单 7831 8225 8338 油费（元 107150 110264 110376 平均每单里程（公里） 15 15 15 平均每公里油费（元 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，，，，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为、、，则　 　（精确到． 【分析】根据甲乙两车的空驶率可得空驶率的模型，再将丙车的相关数据代入求解即可． 【解答】解：由题意可知甲车行驶的总里程为：（公里）， 甲车接单行驶的总里程为：（公里）， 所以甲车没有载客行驶的总里程为：（公里）， 所以甲车的空驶率； 同理可得乙车的空驶率为； 由此可得空驶率的模型； 所以丙车的空驶率为． 故答案为：20.68． 【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了学生的计算能力，属于中档题． 39．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸的处，河岸边处与处相距（其中，两家工厂要在此岸边建一个供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米元和元，供水站建在岸边距离处 　　才能使水管费用最省． 【分析】根据题意建立数学模型，通过适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导，求出最值，可确定供水站的位置． 【解答】解：根据题意可知点在线段上某一适当位置时，才能使总运费最省， 设点距点，则，， ， 又设总的水管费用为元， 由题意得， 令，解得， 在上，只有一个极值点， 根据实际意义，函数在处取得最小值， 此时， 故供水站建在岸边、之间距甲厂处，能使铺设水管的费用最省． 故答案为：20． 【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，导数的综合运用，属于中档题． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•普陀区校级模拟）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是　　 A． B． C． D． 【分析】由二分法求函数零点的条件即可得解． 【解答】解：当函数的图象在轴的同一侧时，不能用二分法进行求解， 选项、、的图象均在轴的两侧，可用二分法求解， 只有选项的图象在轴的同一侧，不能用二分法求解． 故选：． 【点评】本题考查用二分法求函数的近似零点，属于基础题． 2．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数，①若函数有最大值，并将其记为（a），则的最大值为，（a）的最小值为；②若函数有零点，并将零点个数记为（a），则函数（a）为偶函数　　 A．①成立 ②成立 B．①成立 ②不成立 C．①不成立 ②成立 D．①不成立 ②不成立 【分析】求函数，的极大值2及对应的值，再按，，讨论取得最大值的条件，函数（a）的最小值判断①；再取，，分别求出函数的零点个数判断②即可． 【解答】解：令，， 求导得，当或时，， 当时，，即函数在， 上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，当时，取得极大值（1）， 令，即，整理得，解得， 当时，函数在，上单调递减，在上单调递增， 由函数有最大值，得，则，（a）（a）； 当时，函数在，上的最大值为2， 若，则，因此当时，（a）； 当时，，，恒成立， 而在，上单调递减，（a）， 显然，有， 因此当时，（a）， 于是， 此时的最大值为，显然（a）在上单调递减，（a），在上单调递减，， 所以函数（a）在，上有最小值，命题①成立； 当时，，由，得 或 解得， 即函数只有一个零点，因此（2），当时，， 由，得或，解得或，即函数有3个零点， 因此，显然（2）， 所以（a）不是偶函数，命题②不成立． 故选：． 【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题． 二．填空题（共2小题） 3．（2024•奉贤区三模）若函数为奇函数，则　3　． 【分析】根据题意，当时，，求出、的表达式，由奇函数的定义分析可得、、的值，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设， 当时，， 则，， 又由为奇函数，则恒成立， 必有，，， 则． 故答案为：3． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 4．（2024•浦东新区校级模拟）方程的解是　3　． 【分析】解关于对数的方程，求出的值即可． 【解答】解：， ， ，解得：， 故答案为：3． 【点评】本题考查了解对数的运算，考查解对数方程问题，是一道基础题． 三．解答题（共6小题） 5．（2024•宝山区三模）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为． （1）当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）； （2）当变化时，求的最大值及对应的值． 【分析】（1）设正方形的边长为，则，，计算得到，代入数据计算得到答案． （2）确定，，计算，根据函数的单调性计算最值得到答案． 【解答】解：（1）设正方形的边长为，则，， 则，，，即， 整理得到， 当时，． （2），，，则，，， 则， 令， 在，上单调递减，故， 故的最大值为，此时，，故． 【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题． 6．（2024•闵行区校级三模）如图所示，为沿海岸的高速路，海岛上码头离高速路最近点的距离是，在距离的处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点到的距离为，已知汽车速度为，快艇速度为．（参考数据： （1）写出运输时间关于的函数； （2）当选在何处时运输时间最短？ 【分析】（1）根据题意先求出和，然后利用勾股定理以及时间距离速度，即可得到答案； （2）对进行求导，利用导数求解函数单调性，从而得到函数的最值，即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意知， ； （2）， 令，得， 当时，，当时，， 所以时，取最小值， 所以当点选在距点时运输时间最短． 【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题． 7．（2022•宝山区模拟）如图，某市在两条直线公路，上修建地铁站和，，为了方便市民出行，要求公园到的距离为．设． （1）试求的长度关于的函数关系式； （2）问当取何值时，才能使的长度最短，并求其最短距离． 【分析】（1），，作于点，利用三角形面积公式可得，又，，进而求出的长度关于的函数关系式． （2）利用三角恒等式化简可得，再结合三角函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）设，，作于点， 由题意可得，， 又，， 代入得． （2）由三角公式得， 当，即时，分母最大，此时的值最小， 当时，的长度最短，最短距离为． 【点评】本题主要考查了三角函数的实际应用，考查了学生的计算能力，属于中档题． 8．（2022•崇明区二模）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速．经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：与速度（单位：的数据如表所示： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：与速度（单位：的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【分析】（1）对于③，当时，它无意义，故不符合题意；对于②，该函数为减函数，故不符合题意，故选①，再利用待定系数法即可求解． （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）对于③，当时，它无意义，故不符合题意， 对于②，该函数为减函数，故不符合题意， 故选①， 由表中数据可得，，解得， ． （2）高速路段长，所用时间为， 则所耗电量为， 由对勾函数的性质可知，在，上单调递增， ， 国道路段，所用时间为， 则所耗电量为， ，当时，， 当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，该车从地行驶到地的总耗电量最少，最少为． 【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对勾函数和二次函数的性质，属于中档题． 9．（2022•金山区二模）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如表所示： 第天 1 3 10 30 日销售量（百件） 2 3 6.5 16.5 未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元与时间第天的函数关系式为，且为整数），而后15天此商品每天每件的利润（元与时间第天的函数关系式为，且为整数）． （1）现给出以下两类函数模型：①、为常数）；②、为常数，且．分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式； （2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型．请判断该公司是否需要转型？并说明理由． 【分析】（1）将将以及分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算判断是否满足即可； （2）记日销售利润为，根据一次函数与二次函数的单调性分析的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可 【解答】解：（1）若选择模型①，将以及代入可得， 解得，即，经验证，符合题意； 若选择模型②，将以及代入可得， 解得，即， 当时，，故此函数模型不符题意， 因此选择函数模型①，其解析式为且为整数）； （2）记日销售利润为， 当且为整数时， 对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元） 当且为整数时，， 当时，利润单调递减， 故当时取得最大值，且最大值为375.25（百元） 所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型． 【点评】本题考查函数模型的运用，考查二次函数及双勾函数的性质，了考查了学生的计算能力，属于中档题． 10．（2022•宝山区校级模拟）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有活性不低于3.5时才能产生有效作用． （1）试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间（结果精确到0.1小时）； （2）由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到 【分析】（1）由题意首先求得函数的解析式，然后分段求解不等式即可求得复合剂入水后产生有效作用的时间； （2）结合函数的解析式分段讨论可得的最大值． 【解答】解：（1）由题意可得（4），． 当时，， 即， 整理可得， 注意到二次函数的对称轴， 故函数在，上单调递减， 时，， 时，， 故不等式的解集为， 当时，，． 综上可得，每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间为小时． （2）当时， ， 当时，， 此时随着自变量的增大函数值变小， 并且注意到当时，， 故． 【点评】本题主要考查函数模型及其应用，二次函数的性质，基本不等式求最值的方法等知识，属于中等题． 一．填空题（共2小题） 1．（2024•杨浦区二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起．若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 　134　． 【分析】设最下层堆放的钢管为，共堆放了层，可得每一次堆放的钢管数为，由题意可得，即，再根据与的奇偶性不同及，分、和、分别求解即可． 【解答】解：设最下层堆放的钢管为，共堆放了层， 则每一次堆放的钢管数为以为首项，为公差的等差数列， 即， 又因为共有2024根钢管， 所以， 即， 因为与的奇偶性不同， 所以与的奇偶性不同， 又因为， 所以当时，，解得， 此时最上层有119根， 等腰梯形的上底为，下底为，两腰长为， 求得等腰梯形的高为：，满足题意； 当时，，解得， 此时最上层有，不符题意． 综上， 即最下层圆钢根数为134． 故答案为：134． 【点评】本题考查了数列在生活实际中的应用，考查了等差数列的求和公式及通项公式，属于中档题． 2．（2022•徐汇区校级模拟）已知函数的最小值为，则实数的取值范围是　，　． 【分析】讨论与0，1的大小关系，判断在两区间，和上的单调性与最小值，列不等式解出的范围． 【解答】解：（1）若，即时，， 在，上单调递减，最小值为，在上最小值为， 故只需即可，解得； （2）若，即时，则， 在，上先减后增，最小值为，在上最小值为， 故只需即可，解得， 又，， （3）若，即时，， 在，上先减后增，最小值为， 在上的最小值为， 而的最小值为，故只需令即可，解得或（舍， 综上，的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了分段函数的单调性与最值计算，分类讨论思想，属于中档题． 二．解答题（共3小题） 3．（2024•浦东新区校级模拟）函数． （1）当时，是否存在实数，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数的取值范围． 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先把点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，函数， 当时，，定义域为，，， 假设为奇函数，则（1）， 而（1），，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； （2）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为，，， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或． 由题意得，所以实数的取值范团且，即的取值范围为且． 【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性的性质，属于中档题． 4．（2024•金山区二模）已知函数，记，，，． （1）若函数的最小正周期为，当时，求和的值； （2）若，，函数有零点，求实数的取值范围． 【分析】（1）由周期公式求解，由，求解； （2）设，将问题转化为，在，有解，结合二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）因为函数的最小正周期为， 所以，解得， 又因为当时，， 所以，得， 因为，所以取， 得， 所以，； （2）当，时，，， 设． 由题意得，在，有解． 即， 又因为在，上单调递减， 所以，． 【点评】本题考查了三角函数的性质、二次函数的性质及转化思想，属于中档题． 5．（2022•浦东新区校级二模）某电器专卖店销售某种型号的空调，记第天的日销售量为（单位；台）．函数图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横坐标为，已知时，函数． （1）当时，求函数的解析式； （2）求的值及该店前天此型号空调的销售总量； （3）按照经验判断，当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？ 【分析】（1）根据题意，当时，设，，利用，，求出参数，进而得到 的表达式； （2）利用时，函数；当时，，建立方程，求出，利用等差数列的求和公式求出前天此型号空调的销售总量； （3）设该店此型号空调销售到第天时，才可被认为开始旺销，则销售总量，求出，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意，当时，设， ，， ，，， ， （2）时，函数；当时，， ，． 该店前天此型号空调的销售总量台； （3）设该店此型号空调销售到第天时，才可被认为开始旺销，则销售总量， ，， 设该店此型号空调销售到第18天时，才可被认为开始旺销． 【点评】已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，利用待定系数法设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函数的解析式． 一．选择题（共1小题） 1．（2024•上海）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论　　 （1）存在，；，与有无穷个交点 （2）存在，；，与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立 【分析】根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得是周期为1的周期函数，结合一次函数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，当时，与均为延展函数， 对于①，对于，， 则是周期为1的周期函数，其值域为， 因为，与不会有无穷个交点，所以（1）错； 对于②，当时，存在使得直线可以与在区间的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确． 故选：． 【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题． 二．填空题（共4小题） 2．（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为 　　． 【分析】分和分别求解即可． 【解答】解：当时，，解得； 当时，，解得（舍； 所以的解为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题． 3．（2024•上海）已知，求的的取值范围 　，　． 【分析】根据已知求得，再分以及分别求解即可． 【解答】解：根据题意知， 所以当时，，解得，； 同理当时，，解得； 综上所述：，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查分段函数的相关知识，考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题． 4．（2022•上海）若函数，为奇函数，求参数的值为 　1　． 【分析】由题意，利用奇函数的定义可得，故有（1），由此求得的值． 【解答】解：函数，为奇函数，， （1），，即，求得或． 当时，，不是奇函数，故； 当时，，是奇函数，故满足条件， 综上，， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题． 5．（2020•上海）设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件： （1）对任意的，的值为或； （2）关于的方程无实数解， 则的取值范围是　，，，　． 【分析】根据条件（1）可知或1，进而结合条件（2）可得的范围 【解答】解：根据条件（1）可得或（1）， 又因为关于的方程无实数解，所以或1， 故，，，， 故答案为：，，，． 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题． 三．解答题（共6小题） 6．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）． （1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示） （2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小． 【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中的定义求解即可； （2）利用导函数求的单调性，即可求出最小时的值． 【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得： ， 所以． （2）由题意可得，， 所以， 令，解得， 所以在，单调递减，在，单调递增， 所以的最小值在或7取得， 当时，， 当时，， 所以在时，该建筑体最小． 【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题． 7．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长． （1）求今年起的前20个季度的总营业额； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？ 【分析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项，公差，再利用等差数列的前项和公式求解即可． （2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的，则，令，，递推作差可得当时，递减；当时，递增，注意到（1），所以若，则只需考虑的情况即可，再验证出，，即可得到利润首次超过该季度营业额的的时间． 解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为，则，所以数列满足，再由，的值即可判断出结果． 【解答】解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列， 则首项，公差， ， 即营业额前20季度的和为31.5亿元． （2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的， 则， 令，， 即要解， 则当时，， 令，解得：， 即当时，递减；当时，递增， 由于（1），因此的解只能在时取得， 经检验，，， 所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的． 解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为， 则， 数列满足， 注意到，，， 今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的． 【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题． 8．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定 时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量． （1）若交通流量，求道路密度的取值范围； （2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值． 【分析】（1）由交通流量随着道路密度的增大而减小，知是单调递减函数，进而知，于是只需，解不等式即可； （2）把，代入的解析式中，求出的值，利用可得到关于的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上的最大值，取较大者即可． 【解答】解：（1）按实际情况而言，交通流量随着道路密度的增大而减小， 故是单调递减函数， 所以， 当时，最大为85， 于是只需令，解得， 故道路密度的取值范围为． （2）把，代入中， 得，解得． ， ①当时，， ． ②当时，是关于的二次函数，， 对称轴为，此时有最大值，为． 综上所述，车辆密度的最大值为． 【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题． 9．（2022•上海）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数． （1）设，，为做变换后的结果，解方程：； （2）设，为做变换后的结果，解不等式：； （3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到．若恒成立，证明：函数在上单调递增． 【分析】（1）推导出，由此能求出． （2）推导出，当时，恒成立；当时，，由此能求出的解集． （3）先求出，从而，先求出，从而，由，得，再由在上单调递增，能证明函数在上单调递增． 【解答】解：（1），，为做变换后的结果，， ， 解得． （2），为做变换后的结果，， ， 当时，恒成立； 当时，， 解得，或， 综上，不等式：的解集为，，． （3）证明：先做变换后得到，再做变换后得到， ，， 先做变换后得到，再做变换后得到， ，， ，在上单调递增， ， 对恒成立， 函数在上单调递增． 【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 10．（2020•上海）有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离． （1）若，求、、的值，并写出的函数解析式； （2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？ 【分析】（1）利用题目所给定义表示出，，分类讨论可得； （2）利用题意可得，表示出与坐标轴围成的面积，进而表示出面积不等式，解出不等式即可 【解答】解：（1）投放点，，表示与距离最近的投放点（即的距离， 所以，同理分析，，， 由题意得，，， 则当，即时，； 当，即时，； 综上； （2）由题意得，， 所以，则与坐标轴围成的面积如阴影部分所示， 所以， 由题意，，即， 解得，即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利． 【点评】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题． 11．（2024•上海）记（a）（a），，（a）（a），． （1）若，求（1）和（1）； （2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）． （3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”． 【分析】（1）根据条件，直接求出（1）和（1）即可； （2）由题意知，（a），，记，判断的单调性，求出极值，再对分类讨论，进一步证明结论成立即可； （3）必要性：若为偶函数，则，，（c）（c），，结合条件，得到（c）即可；充分性：若对于任意正实数，均有（c），其中，，（c）（c），，由有最小值，不妨设（a），进一步证明是偶函数即可． 【解答】解：（1）由题意，得（1），，； ． （2）证明：由题意知，（a），， 记，则或2． 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论，当，有，为严格增函数， 因为（a），所以此时（a），，符合条件； 当时，，先增后减，， 因为取等号），所以， 则此时（a），，也符合条件； 当时，，，在，严格增，在，严格减，在，严格增， ， 因为（a），当时，（a），则（a）， 则此时（a），，成立； 综上可知，对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）． （3）证明：必要性：若为偶函数， 则，，（c）（c），， 当，（c），因为，故（c）； 充分性：若对于任意正实数，均有（c）， 其中，，（c）（c），， 因为有最小值，不妨设（a）， 由于任意，令，则，，所以最小元素为（a）． （c）中最小元素为（c），又（c）（c）对任意成立， 所以（a）， 若，则（c）对任意成立是偶函数； 若，此后取，， 综上，任意，（c），即是偶函数． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，充分必要条件的证明，函数的奇偶性与集合间的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 函数的应用（10类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年春考9、16、21题 分段函数的应用，函数与方程的关系，函数与方程的综合运用 2023春考9、19题 函数的零点与方程根的关系，根据实际问题选择合适的函数模型 2022秋考8题 2022春考21题 分段函数的应用 函数与方程的综合运用 2021年秋考19题 函数的实际应用 2020年秋考11、19题 2020年春考19题 函数的零点与方程根的关系，分段函数的实际应用 根据实际问题选择函数类型 2. 命题规律及备考策略 【备考策略】 1.判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两2.个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 3.解函数应用题的步骤 (1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义． 知识讲解 一．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 二．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 常用结论 1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 三．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值的变化而各有不同 四．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 考点一．函数的零点 1．（2023•宝山区校级模拟）已知函数是定义域在上的奇函数，且当时，，则关于在上零点的说法正确的是　　 A．有4个零点，其中只有一个零点在内 B．有4个零点，其中只有一个零点在内，两个在内 C．有5个零点，都不在内 D．有5个零点，其中只有一个零点在内，一个在 2．（2023•青浦区校级模拟）设，求方程的解集 　 ． 3．（2023•闵行区校级三模）已知，则　　． 4．（2023秋•徐汇区期末）函数的零点是 　　． 考点二．判定函数零点的存在性 5．（2022秋•徐汇区校级月考）设且，则函数的零点的个数为 　　． 6．（2022春•杨浦区校级期中）设是定义在上的周期为4的函数，且，记，若函数在区间，上零点的个数是8个，则实数的取值范围是 　 　． 7．（2022•宝山区校级开学）已知集合对于，存在，使得（1）成立． （1）判断和是否属于集合，并说明理由； （2）设，求实数的取值范围； （3）已知，时，，且对任意，，恒有（1），令，，试讨论函数，，的零点的个数． 8．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数的定义域为．若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质（a）． （1）分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明） （2）若函数的定义域为，且具有性质（1），证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件； （3）已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，，具有性质（a），求的值． 9．（2023春•嘉定区月考）已知定义域为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质（a）． （1）判断函数是否具有性质，说明理由； （2）若函数的定义域为，且具有性质（1），求证：“函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件； （3）若存在唯一的实数，使得函数，，具有性质（a），求实数的值． 考点三．求解函数零点所在区间 10．（2023秋•宝山区校级期末）函数的零点所在区间为　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•长宁区期末）设函数的零点为，则　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•虹口区期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，、、，则实数和分别等于　　 A．、 B．2、3 C．、2 D．、 13．（2023秋•黄浦区校级期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 考点四．函数的零点与方程根的关系 14．（2024•闵行区校级三模）已知函数在上恰有5个零点，则实数的最大值为 　 　． 15．（2024•闵行区校级三模）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数的取值为 　 　． 16．（2024•普陀区模拟）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是 　 　． 17．（2024•青浦区二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的零点，则实数的取值范围是 　 　． 考点五．求解方程根的存在性和分布 18．（2023秋•浦东新区校级月考）设函数，则方程的不同实根的个数可以是 　 　． 19．（2022•松江区二模）已知函数，是定义在上的奇函数，且满足，当，时，．则当，时，方程实根的个数为 　 　． 20．（2020秋•虹口区期末）已知函数． （1）作出这个函数的大致图象； （2）讨论关于的方程的根的个数． 21．（2023•徐汇区二模）设函数，现有如下命题，①若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8．下列判断正确的是　　 A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 考点六．由方程根的分布求解函数或参数 22．（2023秋•长宁区期末）若关于的方程在区间，上有解，则实数的取值范围是 　 　． 23．（2023秋•浦东新区校级期中）已知函数， （1）当时，求函数在，的值域； （2）若关于的方程有解，求的取值范围． 24．（2022秋•青浦区校级月考）已知函数，若存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是 　 ． 25．（2023秋•青秀区校级月考）已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 考点七．二分法求函数零点的近似值 26．（2023秋•徐汇区期末）函数的零点，对区间利用一次“二分法”，可确定所在的区间为 　 　． 27．（2023•杨浦区校级开学）利用二分法计算函数在区间的零点，第一次操作后确认在内有零点，那么第二次操作后确认在区间 　 　内有零点． 28．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间，上零点的近似值，第一次计算（1）、（3）的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则　 　． 考点八．函数与方程的综合运用 29．（2024•长宁区校级三模）设函数的定义域为，对于区间，，若满足以下两个性质之一，则称区间是的一个“好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知函数，．分别判断区间，，区间，是否为的“好区间”，并说明理由； （2）已知，若区间，是函数，的一个“好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续的曲线，且对于任意，都有（a）（b），求证：存在“好区间”，且存在，为不属于的任意一个“好区间”． 30．（2024•杨浦区校级三模）设函数定义域为．若整数、满足，则称与 “相关”于． （1）设，，写出所有与2“相关”于的整数； （2）设满足：任取不同的整数、，，与均“相关”于．求证：存在整数，，使得、、都与2024“相关”于； （3）是否存在实数，使得函数，满足：存在，能使所有与 “相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和0的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由． 31．（2024•黄浦区校级模拟）已知为实数．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”． （1）若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由； （2）证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有； （3）已知对任意，，都是的“正向数组”，求的取值范围． 考点九．分段函数的应用 32．（2024•杨浦区二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为 　 　． 33．（2024•闵行区校级模拟）若，，则满足的的最大值为 　 　． 34．（2024•浦东新区校级四模）已知函数，给出下列四个结论： ①若有最小值，则的取值范围是； ②当时，若无实根，则的取值范围是，，； ③当时，不等式的解集为； ④当时，若存在，满足，则． 其中，所有正确结论的序号为 　 　． 35．（2024•黄浦区校级模拟）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 　 　． 考点十．根据实际问题选择函数类型 36．（2024•闵行区三模）对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义： ①小雨 ②中雨 ③大雨 ④暴雨 小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级 　　．（只填入雨水等级所对应的序号） 37．（2024•静安区二模）我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程．现将一边在轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点到“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为 　 　． 38．（2024•长宁区二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量（单 7831 8225 8338 油费（元 107150 110264 110376 平均每单里程（公里） 15 15 15 平均每公里油费（元 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，，，，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为、、，则　 　（精确到． 39．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸的处，河岸边处与处相距（其中，两家工厂要在此岸边建一个供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米元和元，供水站建在岸边距离处 　　才能使水管费用最省． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•普陀区校级模拟）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数，①若函数有最大值，并将其记为（a），则的最大值为，（a）的最小值为；②若函数有零点，并将零点个数记为（a），则函数（a）为偶函数　　 A．①成立 ②成立 B．①成立 ②不成立 C．①不成立 ②成立 D．①不成立 ②不成立 二．填空题（共2小题） 3．（2024•奉贤区三模）若函数为奇函数，则　　． 4．（2024•浦东新区校级模拟）方程的解是　　． 三．解答题（共6小题） 5．（2024•宝山区三模）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为． （1）当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）； （2）当变化时，求的最大值及对应的值． 6．（2024•闵行区校级三模）如图所示，为沿海岸的高速路，海岛上码头离高速路最近点的距离是，在距离的处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点到的距离为，已知汽车速度为，快艇速度为．（参考数据： （1）写出运输时间关于的函数； （2）当选在何处时运输时间最短？ 7．（2022•宝山区模拟）如图，某市在两条直线公路，上修建地铁站和，，为了方便市民出行，要求公园到的距离为．设． （1）试求的长度关于的函数关系式； （2）问当取何值时，才能使的长度最短，并求其最短距离． 8．（2022•崇明区二模）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速．经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：与速度（单位：的数据如表所示： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：与速度（单位：的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 9．（2022•金山区二模）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如表所示： 第天 1 3 10 30 日销售量（百件） 2 3 6.5 16.5 未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元与时间第天的函数关系式为，且为整数），而后15天此商品每天每件的利润（元与时间第天的函数关系式为，且为整数）． （1）现给出以下两类函数模型：①、为常数）；②、为常数，且．分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式； （2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型．请判断该公司是否需要转型？并说明理由． 10．（2022•宝山区校级模拟）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有活性不低于3.5时才能产生有效作用． （1）试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间（结果精确到0.1小时）； （2）由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到 一．填空题（共2小题） 1．（2024•杨浦区二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起．若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 　　． 2．（2022•徐汇区校级模拟）已知函数的最小值为，则实数的取值范围是　　． 二．解答题（共3小题） 3．（2024•浦东新区校级模拟）函数． （1）当时，是否存在实数，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数的取值范围． 4．（2024•金山区二模）已知函数，记，，，． （1）若函数的最小正周期为，当时，求和的值； （2）若，，函数有零点，求实数的取值范围． 5．（2022•浦东新区校级二模）某电器专卖店销售某种型号的空调，记第天的日销售量为（单位；台）．函数图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横坐标为，已知时，函数． （1）当时，求函数的解析式； （2）求的值及该店前天此型号空调的销售总量； （3）按照经验判断，当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？ 一．选择题（共1小题） 1．（2024•上海）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论　　 （1）存在，；，与有无穷个交点 （2）存在，；，与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立 二．填空题（共4小题） 2．（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为 　　． 3．（2024•上海）已知，求的的取值范围 　　． 4．（2022•上海）若函数，为奇函数，求参数的值为 　　． 5．（2020•上海）设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件： （1）对任意的，的值为或； （2）关于的方程无实数解， 则的取值范围是　　． 三．解答题（共6小题） 6．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）． （1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示） （2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小． 7．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长． （1）求今年起的前20个季度的总营业额； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？ 8．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定 时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量． （1）若交通流量，求道路密度的取值范围； （2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值． 9．（2022•上海）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数． （1）设，，为做变换后的结果，解方程：； （2）设，为做变换后的结果，解不等式：； （3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到．若恒成立，证明：函数在上单调递增． 10．（2020•上海）有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离． （1）若，求、、的值，并写出的函数解析式； （2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？ 11．（2024•上海）记（a）（a），，（a）（a），． （1）若，求（1）和（1）； （2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）． （3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$