专题07全等三角形与相似三角形解答题汇编-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（福建专用）

专题07全等三角形与相似三角形解答题汇编 一、解答题 1．（2024·福建·中考真题）如图，在菱形中，点分别在边上，，求证：． 2．（2023·福建·中考真题）如图，．求证：． 3．（2023·福建·中考真题）如图1，在中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若是的中点，如图2．求证：．    4．（2023·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．   小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大宽度为___________． (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)小明求得用到的几何知识是___________； (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 5．（2021·福建·中考真题）如图，在正方形中，E，F为边上的两个三等分点，点A关于的对称点为，的延长线交于点G． （1）求证：； （2）求的大小； （3）求证：． 6．（2022·福建·中考真题）如图，点C，F在BE上，，，．求证：． 7．（2022·福建·中考真题）已知，AB＝AC，AB＞BC． (1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形； (2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明； (3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数． 8．（2021·福建·中考真题）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上． （1）求证：； （2）求证：． 9．（2021·福建·中考真题）如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：． 一、解答题 1．（2024·福建南平·二模）如图，线段，相交于点，，．求证：． 2．（2024·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点E，F在BC上，且，连接．求证：． 3．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F．求证：． 4．（2024·福建厦门·二模）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 5．（2024·福建厦门·二模）如图，求证：． 6．（2024·福建宁德·一模）如图，，，，求证：． 7．（2024·福建宁德·二模）如图，点在同一条直线上，，，．求证：．    8．（2024·福建福州·模拟预测）如图，点，，，在同一直线上，已知，，．求证：． 9．（2024·福建厦门·二模）在中，，平分，点是段上的动点（不与重合） (1)如图，若，求证：． (2)如图，点是线段延长线上的一点，且， 求证：是的中点； 将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求证． 10．（2024·福建福州·模拟预测）如图，中，，，为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得线段，沿方向平移得线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求四边形的面积． 11．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，，E，F分别为线段上的两点，于E，于F，且，交于点M． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．（2024·福建宁德·一模）如图1，在中，，点在边上（不与重合），点在边上，且，过点作于点，点是的中点，连接． (1)当时，求证：； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，过点作于点，求证：． 13．（2024·福建南平·一模）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为，小明同学将整条绳子斜拉直，测出绳子靠地面的末端C到旗杆底部B的距离为． (1)小红说测量出的数据b一定大于a，请判断小红的说法是否正确？并说明理由； (2)求旗杆的高度．（结果用含a，b的代数式表示） 14．（2024·福建福州·三模）如图，在中，，于点，为锐角． (1)将线段绕点顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点的对应点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，过点作于点，连接，，若，求的值． 15．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，中，分别为的中点，连接． (1)尺规作图：在的延长线上确定点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形为菱形． 16．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在等腰直角中，，点在边上，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．    (1)如图1，若，求证∶； (2)如图2，若点在边上，与交于点，已知，，求的长； (3)如图3，点F与点重合，点为边的中点，且三点共线，以和为邻边作，连接，若，求的最小值． 17．（2024·福建厦门·三模）（1）问题情境：“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动． 第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处； 第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．若翻折后的纸片如图1所示，求的度数； （2）拓展应用：若一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，求该矩形纸片的面积． 18．（2024·福建三明·三模）综合实践：阅读下列材料，解答问题． 任务：如图1，现要测量某校旗杆的高度（系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段）． 工具：一把皮尺（测量长度达不到旗杆长一半）． 李明学习小组测量过程和部分求解过程如下（如图2）： 测量过程： 步骤1：测得多出一小段绳子的长度为； 步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为A，测得A点到旗杆底部C点距离． 部分求解过程：设旗杆高度， ∵在中，， ． ∵， (1)根据李明学习小组求解过程，请直接写出旗杆高度　　（用含a，b的代数式表示）； (2)李明学习小组求解过程，所用到的几何知识是　　； (3)请你利用所提供的工具，通过2次测量，设计另外一种方案，写出你的测量和求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示） 19．（2024·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务 费马点的思考 问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”． 素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”． 素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．    任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明： 任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（   ） A．内的区域 B．内的区域 任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？ 20．（2024·福建福州·一模）如图1，在中，，为的平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)如图2，在（2）的条件下，是线段上的一点，连接并延长，交边于点是边上的一点，连接，，于点，交的延长线于点，若，求的长． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07全等三角形与相似三角形解答题汇编 一、解答题 1．（2024·福建·中考真题）如图，在菱形中，点分别在边上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．根据菱形的性质证得，，再根据全等三角形的判定证明即可． 【详解】证明：四边形是菱形， ，， ， ， ． 2．（2023·福建·中考真题）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， 即． 在和中， ． 【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（2023·福建·中考真题）如图1，在中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)若是的中点，如图2．求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再证明、，即可证明结论； （2）如图1：设与的交点为，先证明可得，再证明可得，最后运用角的和差即可解答； （3）如图2：延长交于点，连接，先证明可得，再证可得；进而证明即，再说明则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】（1）解： 是由线段绕点顺时针旋转得到的， ， ， ． ， ． ． ， ． ． （2）解：如图1：设与的交点为，   ， ， ， ． ， ， ． 又， ． ， ． （3）解：如图2：延长交于点，连接，   ， ， ． 是的中点， ． 又， ， ． ， ， ． 由（2）知，， ．   ， ， ， ，即． ， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 4．（2023·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．   小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大宽度为___________． (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)小明求得用到的几何知识是___________； (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 【答案】(1)①；② (2)相似三角形的判定与性质 (3)最大宽度为，见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可； （2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可； （3）测量过程：在小水池外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得； 求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得． 【详解】（1）∵， ，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故小水池的最大宽度为． （2）根据相似三角形的判定和性质求得， 故答案为：相似三角形的判定与性质． （3）测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；    （ⅱ）用皮尺测得． 求解过程： 由测量知，在中，，，． 过点作，垂足为． 在中，， 即，所以． 同理，． 在中，， 即，所以． 所以． 故小水池的最大宽度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键． 5．（2021·福建·中考真题）如图，在正方形中，E，F为边上的两个三等分点，点A关于的对称点为，的延长线交于点G． （1）求证：； （2）求的大小； （3）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）见解析 【分析】（1）设直线与相交于点T，证明是的中位线即可； （2）连接，取的中点O，连接，证明点，F，B，G四点共圆即可； （3）设，则，设，则，根据勾股定理找到k与a的关系，根据列比例求解即可． 【详解】解：（1）设直线与相交于点T， ∵点A与关于对称， ∴垂直平分，即． ∵E，F为边上的两个三等分点， ∴， ∴是的中位线， ∴，即． （2）连接，∵四边形是正方形， ∴， ∵，∴， ∴，∴． ∴， ∴，又， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 取的中点O，连接， 在和中， ， ∴， ∴点，F，B，G都在以为直径的上， ∴． （3）设，则． 由（2）得， ∴，即，∴． 设，则，在中，由勾股定理，得， ∴． 在中，由勾股定理，得． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）知，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本小题考查正方形的性质、轴对称的性质、多边形内角与外角的关系、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、圆的基本概念与性质、解直角三角形等基础知识，考查推理能力、运算能力，考查空间观念与几何直观，考查化归与转化思想． 6．（2022·福建·中考真题）如图，点C，F在BE上，，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用得出，再利用SAS证明，根据全等三角形的对应角相等，即可得出． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答本题的关键． 7．（2022·福建·中考真题）已知，AB＝AC，AB＞BC． (1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形； (2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明； (3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)30° 【分析】（1）先证明四边形ABDC是平行四边形，再根据AB＝AC得出结论；（2）先证出，再根据三角形内角和，得到，等量代换即可得到结论；（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，证得，得到，设，，则，得到α+β的关系即可． 【详解】（1）∵， ∴AC＝DC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC， ∵CB平分∠ACD， ∴， ∴， ∴， ∴四边形ABDC是平行四边形， 又∵AB＝AC， ∴四边形ABDC是菱形； （2）结论：． 证明：∵， ∴， ∵AB＝AC， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM， ∵AB＝CD，， ∴， ∴BM＝BD，， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∵CA＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∴，即∠ADB＝30°． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键． 8．（2021·福建·中考真题）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）通过两角和等于，然后通过等量代换即可证明； （2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明． 【详解】证明：（1）在等腰直角三角形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）连接． 由平移的性质得． ∴， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． 由（1）得， ∴， ∴，∴． 【点睛】本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质． 9．（2021·福建·中考真题）如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】由得出，由SAS证明，得出对应角相等即可． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观． 一、解答题 1．（2024·福建南平·二模）如图，线段，相交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用“”证明即可作答． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 2．（2024·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点E，F在BC上，且，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，． 在和中， ∵， ∴． 3．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形性质和判定，根据题意可得，再利用全等三角形判定，继而得到本题答案． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2024·福建厦门·二模）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． 根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，利用证明全等即可得． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 5．（2024·福建厦门·二模）如图，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，根据，可知，再根据“”得出，根据全等三角形的对应角相等得出，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， 即． ∵，， ∴， ∴， ∴． 6．（2024·福建宁德·一模）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 利用“”即可证明全等； 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． 7．（2024·福建宁德·二模）如图，点在同一条直线上，，，．求证：．    【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明是解题关键．利用证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“同位角相等，两直线平行”证明结论即可． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 8．（2024·福建福州·模拟预测）如图，点，，，在同一直线上，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，易证和，即可证明，根据全等三角形的性质解答即可．本题中求证是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 9．（2024·福建厦门·二模）在中，，平分，点是段上的动点（不与重合） (1)如图，若，求证：． (2)如图，点是线段延长线上的一点，且， 求证：是的中点； 将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求证． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析；证明见解析． 【分析】（）证明即可求证； （）①设，，则，可得，，即得，即可求证 证明，得到，再根据三线合一即可求证； 本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，余角性质，相似三角形的判定和性质，中点的定义，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：设，，则， ∴，， ∴ ∴， ∴是的中点； 延长至使，连接， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 10．（2024·福建福州·模拟预测）如图，中，，，为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得线段，沿方向平移得线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过证明，得，则，即可解答； （2）根据沿方向平移得线段知：四边形是平行四边形，由（1）得：，则，得出和的长即可求出面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点A作于H， ∵， ∴， ∵沿方向平移得线段， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、旋转的性质，等腰直角三角形的性质、平移的性质等知识，得出四边形是平行四边形是解题的关键． 11．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，，E，F分别为线段上的两点，于E，于F，且，交于点M． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质： （1）先证明，再根据证明，根据全等三角形对应边相等可得出； （2）根据证明即可得出，代入数据可得结论． 【详解】（1）∵， ∴，即 在和中， ∴ ∴； （2）∵，， ∴, 在和中, ∴ ∴ ∴ 12．（2024·福建宁德·一模）如图1，在中，，点在边上（不与重合），点在边上，且，过点作于点，点是的中点，连接． (1)当时，求证：； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，过点作于点，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)见解析． 【分析】（1）根据等边对等角可得，，然后利用三角形外角的性质分析可得，从而可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”进行判定； （2）延长至点，使得，连接，，通过证明，，结合三角形中位线定理分析推理； （3）连接，通过证明，分析推理． 【详解】（1）证明：如图． ∵， ∴． ∵，，且， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接，． ∵， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴是的中位线． ∴． ∴． ∵， ∴． 即． （3）证明：如图，连接． ∵，， ∴． ∵，且， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴ ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质定理以及相似三角形判定和性质，添加合适的辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 13．（2024·福建南平·一模）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为，小明同学将整条绳子斜拉直，测出绳子靠地面的末端C到旗杆底部B的距离为．    (1)小红说测量出的数据b一定大于a，请判断小红的说法是否正确？并说明理由； (2)求旗杆的高度．（结果用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)小红的说法正确，证明见解析 (2)旗杆的高度为 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）如图，在上截取，，设，而，证明，在的上方，即，从而可得答案； （2）设旗杆的长为，根据题意，得，，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：小红的说法正确，理由如下： 如图，在上截取，，    ∴， 设，而， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴在的上方，即， ∴； （2）设旗杆的长为， 根据题意，得，，， 在中，， ， 解方程得：． ∴旗杆的高度为． 14．（2024·福建福州·三模）如图，在中，，于点，为锐角． (1)将线段绕点顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点的对应点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，过点作于点，连接，，若，求的值． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，斜边上的中线： （1）分别以点，点为圆心，，的长为半径画弧，两弧的交点即为所求； （2）证明，得到，再证明，得到，三角函数得到，设，则，斜边上的中线得到，即可得出结果． 【详解】（1）如图，点即为所求； ∵，， ∴， 由作图可知：， ∴点即为所求； （2）如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，中，分别为的中点，连接． (1)尺规作图：在的延长线上确定点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)详见解析（作图方法不唯一） (2)详见解析 【分析】（1）在的延长线上截取，根据三角形的中位线性质得到，再根据平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形，进而可得，作图方法不唯一； （2）根据含30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边中线性质证得，然后根据菱形的判定可得结论． 【详解】（1）解： 如图，点为所求作的点． 作图理由： 在的延长线上截取， 分别为的中点， 为的中位线， ，即 由（1）作图知， 四边形为平行四边形． ∴，即点为所求作的点； 作图方法不唯一，如图，作，则四边形为平行四边形，∴，则点为所求作的点； ； 如图，作，则，则点为所求作的点； （2）证明：由（1）知，四边形为平行四边形， ，E为的中点． ． 四边形为菱形． 【点睛】本题考查尺规作图、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、三角形的中位线性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出图形是解答的关键． 16．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在等腰直角中，，点在边上，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．    (1)如图1，若，求证∶； (2)如图2，若点在边上，与交于点，已知，，求的长； (3)如图3，点F与点重合，点为边的中点，且三点共线，以和为邻边作，连接，若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，则，可推出，从而得出； （2）作于，可依次求得，，，，，，可证得，从而，从而得出，从而得出； （3）取的中点，作，截取，连接，可推出，从而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于点，当运动在时，最小，作，交的延长线于，根据勾股定理求得，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：设， ∵ 则， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，    作于， 线段绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图所示， 取的中点，作，截取，连接， 以和为邻边作， ∴四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 是的中点，， ， ， ， ， ∵取的中点，作，截取，连接， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于点，当运动在时，最小，    作，交的延长线于，与的交点记为，连接 ∵取的中点，作，此时点与重合 ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，确定点的运动轨迹． 17．（2024·福建厦门·三模）（1）问题情境：“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动． 第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处； 第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．若翻折后的纸片如图1所示，求的度数； （2）拓展应用：若一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，求该矩形纸片的面积． 【答案】（1）的度数为；（2） 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由折叠性质得出，结合平角定义，化简得，即可作答． （2）补全矩形，过点作，连接，由折叠得出，，运用勾股定理，得，则，即可作答． 【详解】解：（1）如图： ∵点沿翻折，使点落在矩形内部处，与所在直线重合，点落在直线上的点处， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （3）如图：补全矩形，过点作，连接 由折叠情景，得出 由勾股定理，得出 ∴ ∵ ∴ 18．（2024·福建三明·三模）综合实践：阅读下列材料，解答问题． 任务：如图1，现要测量某校旗杆的高度（系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段）． 工具：一把皮尺（测量长度达不到旗杆长一半）． 李明学习小组测量过程和部分求解过程如下（如图2）： 测量过程： 步骤1：测得多出一小段绳子的长度为； 步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为A，测得A点到旗杆底部C点距离． 部分求解过程： 设旗杆高度， ∵在中，， ． ∵， (1)根据李明学习小组求解过程，请直接写出旗杆高度　　（用含a，b的代数式表示）； (2)李明学习小组求解过程，所用到的几何知识是　　； (3)请你利用所提供的工具，通过2次测量，设计另外一种方案，写出你的测量和求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示） 【答案】(1) (2)勾股定理 (3)测量方案见解析， 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，把所求线段放在直角三角形中利用勾股定理求解是解决本题的关键． （1）把整理后可得h的值； （2）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是勾股定理； （3）可构造一个以旗杆高为斜边的直角三角形求解，先在旗杆底端的绳子上打一个结，然后举起绳结拉到点D处，将绳结举至离旗杆远，此时绳结离地面远，根据勾股定理可得旗杆的高度． 【详解】（1）解：设旗杆高度， ∵在中，， ． ∵， ， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． （2）解：在（1）中知，在中，，根据勾股定理得： ，即， ∴所用到的几何知识是勾股定理， 故答案为：勾股定理． （3）解：测量方案如下： 先在旗杆底端的绳子上打一个结，然后举起绳结拉到点处，将绳结举至离 旗杆远，此时绳结离地面远， 解答过程：作 垂足为点E，如图： 由测量得， ， 在中， ， ， 19．（2024·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务 费马点的思考 问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．    素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”．      素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．    任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明： 任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（   ） A．内的区域 B．内的区域 任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？ 【答案】任务一：见解析；任务二：A；任务三：研发区E应建在内部，且满足时花费最少，最少费用为元 【分析】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题． 任务一：证明是等边三角形即可证明结论； 任务二：结合任务一结论选择即可； 任务三：把绕点B逆时针旋转60度得到，连接，为等边三角形，证出，当且仅当在上时，的值为最小，为，过点作，交延长线于点H，求出最小值，即可求出结论． 【详解】解：任务一：如图，由旋转得：， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴；    任务二：在素材2中，由题意得：要找一点E到A、B、C三点距离和最小， 研发区E建在内的区域比较合适， 故选：A； （3）如图， 把绕点B逆时针旋转60度得到， 则 ， 连接， 为等边三角形， ， 绕点B逆时针旋转60度得到， ， ， ， 当且仅当在上时，的值为最小，为， 此时，点E在内部，且满足， 过点作，交延长线于点H， 在中，， ， ， 在中，， 最小值为，此时费用为元．    20．（2024·福建福州·一模）如图1，在中，，为的平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)如图2，在（2）的条件下，是线段上的一点，连接并延长，交边于点是边上的一点，连接，，于点，交的延长线于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （2）由勾股定理可求的长，通过证明，即可求解； （3）由相似三角形的性质可求，由锐角三角函数可求的值，可求的长，由锐角三角函数和勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； （3）解：如图，过点作，交于，作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ( 45 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$