福建省福州市闽侯县闽江口协作校（七校）2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题

2023~2024学年第二学期闽江口协作体（七校）期末联考 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5,本卷主要考查内容：必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知复数x= 则：的虚部为 A-司 B号 C.-zi 2.在平行四边形ABCD中，点E满足CE=2EB,则AE A.A+号市 BA店+号A方 C.AB+AD D.A店+圣A可 3.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8,P(B)=0.3,则P(AUB)= A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 4.如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该圆柱的表面积与球的表 面积之比为 A.1 B.T十2 c D.T十4 5.欧拉恒等式e十1=0(i为虚数单位，e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式.它是 复分析中欧拉公式e=cosx+isin z的特例：当自变量x=元时，e=cosπ十isinπ=一l.得 e十1=0.根据欧拉公式，复数z=e在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【高一数学第1页（共4页）】 24678A 6.为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同 学的体温记录（从低到高）： 高三（一）班：36.1,36.2,36.3,36.4,36.5,36.7,36.7,36.8,36.8,37.0（单位：℃）， 高三（二）班：36.1,36.1,36.3,36.3,36.4,36.4,36.5,36.7,36.9,37.1（单位：℃） 则高三（一）班这组数据的第25百分位数和高三（二）班第80百分位数分别为 A.36.3,36.7 B.36.3,36.8 C.36.25,36.7 D.36.25,36.8 7.已知数据1,2,3,5，m(m为整数)的平均数是极差的子倍，从这5个数中任取2个不同的数， 则这2个数之和不小于7的概率为 .io c D.2 8.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中 记载的几何图形一八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太G 极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH的 边长为4，点P是正八边形ABCDEFGH的内部（包含边界）任一点，则 AP·EF的取值范围是 A.[-8w2,16+8√2] B.[-16-82,82] C.[-16-82,16+82 D.[-8v2,8√2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是 A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D.“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 10.已知m,n是两条不同的直线，a,3,Y是三个不同的平面，则下列说法正确的是 A.若m∥a,a∥B,则m∥B B.若m⊥n,m⊥a,n⊥B,则a⊥3 C.若a∥B,B∥y,则a∥y D.若a⊥3，a∩y=m,3∩y=,则m⊥n 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则下列说法正确的是 A.若ccos C=bcos B,则△ABC是等腰三角形 B.若a>b,则sinA>sinB C.若asin A十bsin B<csin C,则△ABC是钝角三角形 D.若△ABC不是直角三角形，则tanA十tanB+tanC=tan Atan Btan C 【高一数学第2页（共4页）】 24678A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数之满足(1一i)x=(i为虚数单位)，则z= 13.在△ABC中，A=于，AB=8,若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为 14.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，若AB⊥BC,AC=6,球O的表面积为100π，则三棱 锥O-ABC的体积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分)》 已知向量a=(1,0),b=(m,-1),a-2b=(-3,2). (1)求a+b: (2)设向量a,b的夹角为0，求cos0的值. 16.(本小题满分15分) 近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了 一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加2次考核，一旦第一次 考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每 次考核通过的概率为了，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立. (1)求乙通过考核的概率： (2)求甲、乙两人考核的次数之和为3的概率. 【高一数学第3页（共4页）】 24678A 17.(本小题满分15分) 为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机 抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在[80,150]内），将所得成绩分成7组： [80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],整理得到 样本频率分布直方图如图所示： 筑料 L .028 0.022 0.018 0.012 0.010------ 0.02= 80901011012013014w150数学坡绩 (1)求a的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数：（同一组中的数据用该组数 据的中间值作为代表，中位数精确到0.1) (2)从样本内数学分数在[130,140)，[140,150]的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名 学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有 一人成绩在[140,150]中的概率. 18.(本小题满分17分) 如图，已知扇形OAB的半径为2，∠AOB=,P是AB上的动点，M是线段OA上的一点， 且∠OMP- (1)若BP=√3，求PM的长； (2)求△OMP的面积最大值. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBD⊥平面ABCD,四边形ABCD是梯形，AB∥CD, BC⊥CD,BC=CD=2AB=2V2,E是棱PA上的一点 (1)若PE=2EA,求证：PC∥平面EBD: (2)若PA⊥平面EBD,且PA=4,求直线BC与平面EBD所成 角的正弦值. 【高一数学第4页（共4页）】 24678A2023~2024学年第二学期闺江口协作体(七校)期末联考·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.A 2 2.B 因为CE-2EB,所以BE-BC.所以AE-AB+BE-AB+BC-AB+AD.故选B. 3.D 由A和C对立,可得P(A)十P(C)=1,解得P(A)-0.2 又由随机事件A和B互斥可知P(AB)一0. 由P(AB)-P(A)+P(B)-P(AB). 将P(A)=0.2,P(B)=0.3代入计算可得P(AB)-0.5.故选D. 4.C 设球的半径为R,所以球的表面积S.三4xR,圆柱的表面积S.-2xR{}+2xR·2R-6xR^{},所以该圆柱的 5.B 由题意得z-cos3+isin3.又<3<x,所以cos3<0.sin3>0,所以复数z-e*在复平面内对应的点为 (cos3,sin3),位于第二象限.故选B 6.B 由10×0.25-2.5,高三(一)班这组数据的第25百分位数为36.3; 2 一36.8,故选B 7.A 当m二5时,1 11 当n1时, (1,4),(1,5).(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种,符合题意(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共4 8.B 延长BA,GH交于点M,延长AB,DC交于点N,根据正八边形的特征,可知AM-BN=2V2,又AP. FF-AP.BA,所以(AP.BA)=AM·BA-8V2.(AP.BA)=AN·BA--16-8②.则AP.EF 取值范围是[-16-82,82].故选B. 9.BD“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生,不是互斥事 件,故A错误; “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”,“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红 球或两个红球”,可以同时发生,故B正确; “恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”,与“恰好有两个黑球”,不同时发生,还有可能都是红球,不 是对立事件,故C错误; “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”,与“都是红球”,不同时发生,但一定会有一个 发生,是对立事件,故D正确,故选BD 10.BC若m/a.a/3.则n/3或nC3,故A错误 【高一数学参考答案 第1页(共4页)】 24678A 若nn,n|g,n|8.则g|8.故B正确 若。/③.③//,则g/,故C正确; 在正方体ABCD-A BC D 中,平面ABCD 平面ADDA,平面ABCDO平面ABCD =BC,平面 ADD.A.O平面A.BCD.=A.D,但BC/A.D.,故D错误.故选BC 11.BCD 因为ccosC=bcosB,由正弦定理得sinCcosC-sinBcosB.即sin 2C=sin2B,所以2C=2B或2C+ .由正弦定理得a-2RsinA,b-2RsinB,a>b..'.2RsinA>2RsinB...sinA>sinB,故B正确; 2b △ABC是钝角三角形,故C正确; tanB十tanC 由△ABC不是直角三角形且A-n-(B+C),得tanA一-tan(B+C)=- tanB+tanC-tanAtanBtanC,故D正确,故选BCD 13.(4/2,8) ) 若△ABC恰有两解,则ABsin吾<BC<AB,解得4v2<BC<8,即边BC长度的取值范围 为(4/2,8). 14.12 设球O的半径为R,则4xR}-100n,所以R-5,因为AB BC,AC-6. 设AB-a,BC-b,则a{}+b-36,所以ab 18,当且仅当a=b-3v2时等号成立 15.解:(1)由a-(1,0),b-(m,-1)可得,a-2b-(1,0)-2(m,-1)-(1-2m,2)-(-3,2) 即1-.2n...m-2.b-(2.-1.............................................. a+b-(1,0)+(2.-1)-(3,-1).a+b-3+(-1)-10; (2)因a·b-(1,0)·(2.-1)-1x2-0x1-2.al-1,lb-5. .............................. la.b 1×/5 ............................................ (2) .甲考核1次,乙考核2次的概率-x(1-)-; .......................... 13分 【高一数学参考答案 第2页(共4页)】 24678A .......................................... 15分 17.解:(1)由题意知(0.012+0.028+0.022+0.018+0.010+a+0.002)×10-1, 解得a-0.008. 数学成绩的平均数为--85×0.12+95×0.22+105×0.28+115×0.18+125×0.10+135×0.08+145$ 0.02-1074......................................................... 由频率分布直方图知,分数在区间[80,100)、[80,110)内的频率分别为0.34,0.62, 所以该校数学成绩的中位数m[100,110).则(m-100)×0.028=0.16,解得n-105.7:............7分 (2)抽取的5人中,分数在[130,140)内的有o.08十0.02 0.08 ×5-4(人),在[140,150]内的有1人. 记在[130,140)内的4人为a,b.c,d,在[140,150]内的1人为A 从5人中任取3人, 有(a,b,c),(a,b,d),(a,b,A),(a,c,d),(a,c,A),(a,d,A),(b,c,d),(b,c,A),(b,d,A),(c,d,A). 共10种. 选出的3人中恰有一人成绩在[140,150]中,有(a,b,A),(a,c,A),(a,d,A),(b,c,A),(b,d,A), (c.d,A),共6种, ................... 18.解:(1)在△OBP中,由余弦定理得cosBOP一 2OB·OP 8 ..............................................分 所以sin/POM-sin-BOP)-sincos/BOP-cogin/BOP-5339. 16 ...........6分 0p 25-39 16 所以PM-OPsin POM 5-13 sin_OMP ................................. 2 (2)设OM=x,PM=y,则在△OMP中,由余弦定理得OP=OM+MP-2OM·MP·cos OMP,.... .........分. 即4-++xy>2xy十xy-3xy,所以xy<寸 3 .#_ 23 ,当且仅当:一y一 -时取等号, 2 2 3 19.(1)证明:连接AC,交BD于点O,连接OE,如图所示. 【高一数学参考答案 第3页(共4页)】 24678A 又PE-2EA,所以OE//PC. 又OEFC平.显.B,P早平... BD,.以..平...E. B..............6分 (2)解:取CD中点M,连接AM交BD于点N,连接EN. 则AB/CM,且AB=CM,所以四边形ABCM是平行四边形, 所以直线EN是直线PN在平面EBD内的射影, 所以 ANE是直线AM与平面EBD所成的角, 7 即为直线BC与平面EBD所成的角. 过点A作AGIBD,垂足为G,连接AG,GP,如图所示,易得AG-1 因为平面PBD1平面ABCD,平面PBDO平面ABCD=BD,AGC平面ABCD. 所以.,-.............................................1.分 又PGC平面PBD,所以AG1PG,所以PG=PA-AG- 15. 8 ......................7分 【高一数学参考答案 第4页(共4页)】 24678A