2024年四川省自贡市中考数学试卷

2024年四川省自贡市中考数学试卷 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）在0，﹣2，，π四个数中，最大的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．π D． 2．（4分）据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界.70000用科学记数法表示为（　　） A．0.7×105 B．7×104 C．7×105 D．0.7×104 3．（4分）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB．若∠A＝40°，则∠MBN＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．140° 4．（4分）下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．3，4 B．4，4 C．4，5 D．5，5 6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，D（4，﹣2），将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置．则点B坐标为（　　） A．（2，4） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，4） 7．（4分）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（　　） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 8．（4分）关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 9．（4分）一次函数y＝x﹣2n+4，二次函数y＝x2+（n﹣1）x﹣3，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（　　） A．n＞﹣1 B．n＞2 C．﹣1＜n＜1 D．1＜n＜2 10．（4分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ＝CD出现的次数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（4分）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（　　） A．（24﹣12）m B．（24﹣8）m C．（24﹣6）m D．（24﹣4）m 12．（4分）如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD、BC上的点A′，B′处，EF，A′F分别交AC于点G，H．若GH＝2，HC＝8，则BF的长为（　　） A． B． C． D．5 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13．（4分）分解因式：x2﹣3x＝　 　． 14．（4分）计算：　 　． 15．（4分）凸七边形的内角和是 　 　度． 16．（4分）一次函数y＝（3m+1）x﹣2的值随x的增大而增大，请写出一个满足条件的m的值 　 　． 17．（4分）龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图），扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB长30cm，扇面的BD边长为18cm，则扇面面积为 　 　cm2（结果保留π）． 18．（4分）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6m，OE＝1.4m，OB＝6m，OC＝5m，OD＝3m，班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 　 　m2． 三、解答题（共8个题，共78分） 19．（8分）计算：（tan45°﹣2）0+|2﹣3|． 20．（8分）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C． （1）求证：∠BDF＝∠A； （2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状． 21．（8分）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子． 22．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． （1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝　 　，BD＝　 　；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 　 　； （2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线． 23．（10分）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）． 学生体质健康统计表 成绩 频数 百分比 不及格 3 a 及格 b 20% 良好 45 c 优秀 32 32% （1）如表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）请补全如图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标； （3）点Q在反比例函数y位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出Q点坐标． 25．（12分）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 　 　m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）． 26．（14分）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，顶点为P．（1）求抛物线的解析式及P点坐标； （2）抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段CD的长； （3）过点P的直线y＝kx+n分别与抛物线、直线x＝﹣1交于x轴下方的点M，N，直线NB交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，MH⊥x轴于点H．请判断点H与直线NQ的位置关系，并证明你的结论． 2024年四川省自贡市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）在0，﹣2，，π四个数中，最大的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．π D． 【答案】C 【解答】解：∵﹣20＜π， ∴最大的数为π， 故选：C． 2．（4分）据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界.70000用科学记数法表示为（　　） A．0.7×105 B．7×104 C．7×105 D．0.7×104 【答案】B 【解答】解：70000用科学记数法表示为7×104， 故选：B． 3．（4分）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB．若∠A＝40°，则∠MBN＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．140° 【答案】A 【解答】解：由作图可知AM＝AN＝MB＝NB， ∴四边形AMBN是菱形， ∴∠MBN＝∠A＝40°． 故选：A． 4．（4分）下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项A不符合题意； 圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故B不符合题意 正方体的主视图和俯视图都是正方形，故C符合题意； 棱台的主视图是梯形，俯视图是正方形，故D不符合题意； 故选：C． 5．（4分）学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．3，4 B．4，4 C．4，5 D．5，5 【答案】D 【解答】解：将数据从小到大排列为：3，4，5，5，7， ∴中位数是5，众数是5， 故选：D． 6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，D（4，﹣2），将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置．则点B坐标为（　　） A．（2，4） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，4） 【答案】A 【解答】解：∵D（4，﹣2）， ∴OC＝4，CD＝2， ∵旋转， ∴OA＝OC＝4，AB＝CD＝2， ∴B（2，4）， 故选：A． 7．（4分）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（　　） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【解答】解：“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形． 故选：B． 8．（4分）关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：关于x的方程x2+mx﹣2＝0中， ∵a＝1，b＝m，c＝﹣2， ∴Δ＝m2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9．（4分）一次函数y＝x﹣2n+4，二次函数y＝x2+（n﹣1）x﹣3，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（　　） A．n＞﹣1 B．n＞2 C．﹣1＜n＜1 D．1＜n＜2 【答案】C 【解答】解：根据题意得， 解得﹣1＜n＜1， ∴n的取值范围是﹣1＜n＜1， 故选：C． 10．（4分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ＝CD出现的次数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B（或从B到C）需4s， 设P，Q运动时间为t s， ①当0≤t≤4时，过Q作QH⊥AD于H，过C作CG⊥AD于G，如图： 由题可知，AP＝t cm，CQ＝3t cm＝GH， ∵PD∥CQ，PQ＝CD， ∴四边形CQPD是等腰梯形， ∴∠QPH＝∠D＝∠B＝60°， ∵PQ＝CD＝AB＝6cm， ∴PHPQ＝3cm，DGCD＝3cm， ∵AP+PH+GH+DG＝AD＝BC＝12， ∴t+3+3t+3＝12， 解得t＝1.5； 当四边形CQPD是平行四边形时，如图： 此时PD＝CQ＝3t cm， ∴t+3t＝12， 解得t＝3， ∴t为1.5s或3s时，PQ＝CD； ②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： 此时BQ＝3（t﹣4）cm，AP＝t cm， ∵AD＝BC，PD＝CQ， ∴BQ＝AP， ∴3（t﹣4）＝t， 解得t＝6； 由①知，若四边形CQPD是CD，PQ为腰的等腰梯形，则PD＞6cm，这种情况在4＜t≤8时不存在； ∴t为6s时，PQ＝CD； ③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： 此时CQ＝3（t﹣8），PD＝12﹣t， ∴3（t﹣8）＝12﹣t， 解得t＝9， ∴t为9s时，PQ＝CD； 综上所述，t为1.5s或3s或6s或9s时，PQ＝CD； 故选：B． 11．（4分）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（　　） A．（24﹣12）m B．（24﹣8）m C．（24﹣6）m D．（24﹣4）m 【答案】D 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12，BD＝6， ∴CD， ∵∠BED＝60°， ∴DE，BE＝AE， ∴减少用钢为（AB+AC+BC+CD）﹣（AE+BE+AB+DE）＝AC+BC+CD﹣AE﹣BE﹣DE＝24（cm）， 故选：D． 12．（4分）如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD、BC上的点A′，B′处，EF，A′F分别交AC于点G，H．若GH＝2，HC＝8，则BF的长为（　　） A． B． C． D．5 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴AG， ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠FAC， ∵EF∥AB， ∴∠BAF＝∠AFG， ∴∠GAF＝∠GFA， ∴FG＝AG， ∵CF， ∵BF：CF＝AG：CG＝1：3， ∴BFCF． 故选：A． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13．（4分）分解因式：x2﹣3x＝　x（x﹣3）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝x（x﹣3）， 故答案为：x（x﹣3） 14．（4分）计算：　1　． 【答案】1． 【解答】解： ＝1， 故答案为：1． 15．（4分）凸七边形的内角和是 　900　度． 【答案】900． 【解答】解：∵n＝7， ∴内角和为：180°（7﹣2）＝900°， 故答案为：900． 16．（4分）一次函数y＝（3m+1）x﹣2的值随x的增大而增大，请写出一个满足条件的m的值 　1　． 【答案】1． 【解答】解：∵y＝（3m+1）x﹣2的值随x的增大而增大， ∴3m+1＞0， ∴m， ∴m可以为：1， 故答案为：1． 17．（4分）龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图），扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB长30cm，扇面的BD边长为18cm，则扇面面积为 　252π　cm2（结果保留π）． 【答案】252π． 【解答】解：扇面面积＝扇形BAC的面积﹣扇形DAE的面积 ＝252π（cm2）， 故答案为：252π． 18．（4分）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6m，OE＝1.4m，OB＝6m，OC＝5m，OD＝3m，班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 　46.4　m2． 【答案】46.4． 【解答】解：设矩形在射线OA上的一段长为x m． （1）当x≤8时 ， 当x＝8时，S＝46.4， （2）当x＞8时． ， 由于在x＞8的范围内，S均小于46.4． 所以由于（1）（2）得最大面积为 46.4m2． 故答案为：46.4． 三、解答题（共8个题，共78分） 19．（8分）计算：（tan45°﹣2）0+|2﹣3|． 【答案】﹣1． 【解答】解：（tan45°﹣2）0+|2﹣3| ＝1+1﹣3 ＝﹣1． 20．（8分）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C． （1）求证：∠BDF＝∠A； （2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状． 【答案】（1）见解析； （2）△ABC是等腰直角三角形． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠C＝∠AED， ∵∠EDF＝∠C， ∴∠AED＝∠EDF， ∴DF∥AC， ∴∠BDF＝∠A； （2）解：∵∠A＝45°， ∴∠BDF＝45°， ∵DF平分∠BDE， ∴∠BDE＝2∠BDF＝90°， ∵DE∥BC， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 21．（8分）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子． 【答案】甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子． 【解答】解：设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包（x+20）个粽子， 根据题意得， 解得x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解， x+20＝100． 答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子． 22．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． （1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝　AD　，BD＝　BE　；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 　1　； （2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线． 【答案】（1）AD，BE，1； （2）证明见解答过程． 【解答】（1）解：连接OE，OF，如图： 由切线长定理可知，AF＝AD，BD＝BE， ∵∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形， 设OE＝OF＝CF＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x＝BD，AF＝AC﹣CF＝3﹣x＝AD， ∵BD+AD＝AB5， ∴4﹣x+3﹣x＝5， 解得x＝1， ∴OE＝1，即⊙O半径长为1； 故答案为：AD，BE，1； （2）证明：过O作OH⊥MN于H，连接OD，OE，OF，如图： ∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB， ∴△AMN≌△ABC（AAS）， ∴AN＝AC， ∵AD＝AF， ∴AN﹣AD＝AC﹣AF，即DN＝CF， 同（1）可知，CF＝OE， ∴DN＝OE， ∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN， ∴四边形OHND是矩形， ∴OH＝DN， ∴OH＝OE，即OH是⊙O的半径， ∵OH⊥MN， ∴MN是⊙O的切线． 23．（10分）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）． 学生体质健康统计表 成绩 频数 百分比 不及格 3 a 及格 b 20% 良好 45 c 优秀 32 32% （1）如表中a＝　3%　，b＝　20　，c＝　45%　； （2）请补全如图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率． 【答案】（1）3%，20，45%； （2）见解析，462； （3）． 【解答】解：（1）这次调查的人数为：32÷32%＝100（人）， a100%＝3%，b＝100×20%＝20，c100%＝45%， 故答案为：3%，20，45%； （2）补全条形统计图如下： 600×（45%+32%）＝462（人）， 估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人； （3）设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁， 画树状图如图： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中两人均为“良好”的结果有6种， ∴所抽取的两人均为“良好”的概率为． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标； （3）点Q在反比例函数y位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出Q点坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y；一次函数的解析式为y＝﹣x﹣5； （2）P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣9）； （3）Q的坐标为（，）或（3，﹣2）． 【解答】解：（1）把A（﹣6，1）代入y得：1， ∴m＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为y； 把B（1，n）代入y得：n＝﹣6， ∴B（1，﹣6）， 把A（﹣6，1），B（1，﹣6）代入y＝kx+b得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣5； （2）设直线x＝﹣2交直线AB于H，如图： 在y＝﹣x﹣5中，令x＝﹣2得y＝﹣3， ∴N（﹣2，﹣3）， ∵△PAB的面积为21， ∴PH•|xB﹣xA|＝21，即PH×（1+6）＝21， ∴PH＝6， ∵﹣3+6＝3，﹣3﹣6＝﹣9， ∴P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣9）； （3）过Q作QM∥x轴交直线AB于M，如图： 设Q（t，）， 在y＝﹣x﹣5中，令y得x5， ∴M（5，）， ∴MQ＝|5﹣t|， ∵△QAB的面积为21， ∴MQ•|yA﹣yB|＝21， 即|5﹣t|×7＝21， ∴5﹣t＝6或5﹣t＝﹣6， 解得t或t＝﹣2或t＝3， 经检验，t，t＝3符合题意， ∴Q的坐标为（，）或（3，﹣2）． 25．（12分）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 　11.3　m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）． 【答案】（1）11.3； （2）旗杆高度为12米； （3）雕塑高度约为29m． 【解答】解：（1）∵影长EF恰好等于自己的身高DE， ∴△DEF是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝11.3m， 故答案为：11.3； （2）如图： 由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB， 又∠DEC＝90°＝∠ABC， ∴△DEC∽△ABC， ∴，即， 解得AB＝12， ∴旗杆高度为12米； （3）如图： ∵∠CDG＝∠ADB，∠CGD＝90°＝∠ABD， ∴△DCG∽△DAB， ∴， 设AB＝x m，BD＝y m，则， ∴yx， 同理可得， ∴， ∴， 解得x＝28.8； 经检验，x＝28.8是原方程的解， 故AB≈29m， ∴雕塑高度AB约为29m． 26．（14分）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，顶点为P．（1）求抛物线的解析式及P点坐标； （2）抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段CD的长； （3）过点P的直线y＝kx+n分别与抛物线、直线x＝﹣1交于x轴下方的点M，N，直线NB交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，MH⊥x轴于点H．请判断点H与直线NQ的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）抛物线解析式为yx2x﹣2，抛物线顶点P的坐标为（，）； （2）CD＝4； （3）H在直线NQ上，证明见解答过程． 【解答】解：（1）∵抛物线 与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为yx2x﹣2， 而， ∴抛物线顶点P的坐标为（，）； （2）如图： 在yx2x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2， ∴点C（0，﹣2）， ∵A（﹣1，0），B（4，0）， ∴tan∠ACO，tan∠CBO， ∴∠ACO＝∠CBO， ∵∠CBO+∠OCB＝90°， ∴∠ACO+∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°， ∴AB是经过点A、B、C的圆的直径， ∵AB⊥CD，AB经过圆心， ∴CD＝2CO＝4； （3）H在直线NQ上，证明如下： 如图： 将 代入y＝kx+n得：， ∴nk， ∴直线MN解析式为y＝kxk， 联立， 解得或， ∴M（2k，2k2）， ∵MH⊥x轴于点H， ∴H（2k，0）， 在y＝kxk中，令x＝﹣1得y＝﹣kkk， ∴N（﹣1，k）， ∵GE⊥x轴，AN⊥x轴， ∴GE∥AN，点G为AB中点， ∴， ∴点E为BN中点， ∵N（﹣1，k），B（4，0）， ∴E（，k）， ∵P，Q关于E对称，即E为PQ中点， ∴Q（，k）， 由N（﹣1，k），Q（，k）可得直线NQ解析式为yxk， 在yxk中，令y＝0得x＝2k， ∴直线NQ与x轴交于（2k，0），即直线NQ与x轴交于点H， ∴H在直线NQ上． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/18 8:17:07；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$