2024年四川省宜宾市中考数学试卷

2024年四川省宜宾市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．（4分）2的绝对值是（　　） A．2 B． C． D．﹣2 2．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a+a＝a2 B．5a﹣3a＝2 C．3x•2x＝6x2 D．（﹣x）3÷（﹣x）2＝x 3．（4分）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（　　） A．方差为0 B．众数为75 C．中位数为77.5 D．平均数为75 4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 5．（4分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（　　） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 6．（4分）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且6＝1+2+3，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（　　） A．8 B．18 C．28 D．32 7．（4分）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（　　） A．B点 B．C点 C．D点 D．E点 8．（4分）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（　　） A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 9．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则的值为（　　） A． B． C．2 D．2 10．（4分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则的值为（　　） A． B． C． D． 11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（　　） A．2+3 B．6+2 C．5 D．8 12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C．以下结论：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c；④当c＝3时，在△AOC内有一动点P，若OP＝2，则CPAP的最小值为．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13．（4分）分解因式：2a2﹣2＝　 　． 14．（4分）分式方程3＝0的解为 　 　． 15．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 　 　． 16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE＝DF．当AE+CF的值最小时，则CE＝　 　． 17．（4分）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 　 　（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN＝45°，则MN的最小值为 　 　． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（10分）（1）计算：（﹣2）0+2sin30°﹣|2|； （2）计算：（）． 20．（10分）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组；B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了 　 　名学生，并将条形统计图补充完整； （2）话剧组所对应扇形的圆心角为 　 　度； （3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 21．（10分）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE． 22．（10分）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB＝100米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，cos21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39） 23．（12分）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式ax+b的解集； （3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若tan∠ABE，求CD和DE的长． 25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点为D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点E在以点P（3，0）为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围． 2024年四川省宜宾市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．（4分）2的绝对值是（　　） A．2 B． C． D．﹣2 【解答】解：∵2＞0， ∴|2|＝2． 故选：A． 2．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a+a＝a2 B．5a﹣3a＝2 C．3x•2x＝6x2 D．（﹣x）3÷（﹣x）2＝x 【解答】解：A、a+a＝2a，故A不符合题意； B、5a﹣3a＝2a，故B不符合题意； C、3x•2x＝6x2，故C符合题意； D、（﹣x）3÷（﹣x）2＝﹣x，故D不符合题意； 故选：C． 3．（4分）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（　　） A．方差为0 B．众数为75 C．中位数为77.5 D．平均数为75 【解答】解：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80中， 平均数（65+67+75+65+75+80+75+88+78+80）＝74.8， 65，67，75，65，75，80，75，88，78，80按从小到大的顺序排序为65，65，67，75，75，75，78，80，80，88， ∴中位数75，众数为75，方差[（65﹣74.8）2×2+（67﹣74.8）2+（75﹣74.8）2×3+（78﹣74.8）2+（80﹣74.8）2×2+（88﹣74.8）2]≈61， 故选：B． 4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CDB＝60°， ∴∠A＝∠CDB＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°， 故选：A． 5．（4分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（　　） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【解答】解：设快马追上慢马的天数是x天， 根据题意得：240x＝150（x+12）， 解得：x＝20， ∴快马追上慢马的天数是20天． 故选：D． 6．（4分）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且6＝1+2+3，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（　　） A．8 B．18 C．28 D．32 【解答】解：A．8的因数有：1，2，4，8；1+2+4＝7，8不是“完美数”，故A错误； B．18的因数有1，2，3，6，9，18；1+2+3+6+9＝21，18不是“完美数”，故B错误； C．28的因数有：1，2，4，7，14，28；1+2+4+7+14＝28，28是“完美数”，故C正确； D．32的因数有：1，2，4，8，16，32，1+2+4+8+16＝31，32不是“完美数”，故D错误； 故选：C． 7．（4分）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（　　） A．B点 B．C点 C．D点 D．E点 【解答】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点A距离最远的顶点是C， 故选：B． 8．（4分）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（　　） A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 【解答】解：设可以装x箱大箱，y箱小箱， 根据题意得：4x+3y＝32， ∴x＝8y， 又∵x，y均为自然数， ∴或或， ∴x+y＝8或9或10， ∴所装的箱数最多为10箱． 故选：C． 9．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则的值为（　　） A． B． C．2 D．2 【解答】解：如图，连接BD、CD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝∠BDC＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴BD＝CD， 在四边形ABDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠ACD+∠ABD＝180°， ∴△ADC绕D点逆时针旋转90°，则A，B，A'三点共线，如图所示， ∴AB+AC＝AB+A′B＝AA′， ∵由旋转可知∠A′DB＝∠ADC，A′D＝AD， ∴∠A′DA＝∠A′DB+∠BDA＝∠ADC+∠BDA＝∠BDC＝90°， ∴在等腰直角三角形A′DA中，， ∴． 故选：A． 10．（4分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：作过A作BC的垂线垂足为D，BC与y轴交于E点，如图， 在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，D是BC中点， 设，， 由BC中点为D，AB＝AC， 在等腰三角形ABC中， ∴BD＝DC＝a﹣b， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由M在反比例函数上得， ∴， 解得：b＝﹣3a， 由题可知，AD∥NE， ∴， 故选：B． 11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（　　） A．2+3 B．6+2 C．5 D．8 【解答】解：如图，将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE， ∴BE＝AB，∠ABE＝90°， ∴AEAB＝6， ∵∠DBC＝90°＝∠EBA， ∴∠DBE＝∠CBA， 又∵BD＝BC，AB＝BE， ∴△DBE≌△CBA（SAS）， ∴DE＝AC＝2， 在△ADE中，AD＜AE+DE， ∴当A，D，E三点共线时，AD有最大值， ∴AD的最大值＝6+2＝8， 故选：D． 12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C．以下结论：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c；④当c＝3时，在△AOC内有一动点P，若OP＝2，则CPAP的最小值为．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点B（1，0）， ∴a+b+c＝0，故①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0）， ∴1， ∴b＝2a， ∵a+b+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴a+3b+2c＝a+6a﹣6a＝a， ∵a＜0， ∴a+3b+2c＜0，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴AC≠BC， ∵A（﹣3，0）、B（1，0），C（0，c）， ∴AB＝4， 当AC＝AB＝4时，则AC2＝OA2+OC2， ∴42＝32+c2， 解得c或c（不合题意，舍去）， 当AB＝BC＝4时，BC2＝OB2+OC2， ∴42＝12+c2， 解得c（负数舍去）， 综上，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c或c，故③错误； 当c＝3时，C（0，3），则OC＝3， 如图所示，取点H（，0），连接PH，则OH， ∴， ∵， ∴， ∵∠HOP＝∠POA， ∴△HOP∽△POA， ∴， ∴PHPA， ∴CPAP＝CP+PH， 当C、P、H共线时，CP+PH的值最小，即此时CPAP的最小，最小值为CH， 在Rt△CHO中，CH，故④正确； 故选：C． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13．（4分）分解因式：2a2﹣2＝　2（a+1）（a﹣1）　． 【解答】解：2a2﹣2 ＝2（a2﹣1） ＝2（a+1）（a﹣1）， 故答案为：2（a+1）（a﹣1）． 14．（4分）分式方程3＝0的解为 　x＝2　． 【解答】解：去分母得：x+1﹣3（x﹣1）＝0， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣1＝1≠0， ∴x＝2是原方程的解． 故答案为：x＝2． 15．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 　22　． 【解答】解：连接BE交AC于O，如图： ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠CBA＝∠BAC＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，BC＝AB＝AE， ∴∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣108°）÷2＝36°， ∴∠CBO＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°， ∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCA＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠CBO＝∠BOC＝72°， ∴CO＝BC＝4， ∵∠BAO＝∠CAB，∠ABO＝36°＝∠BCA， ∴△ABO∽△ACB， ∴，即， 解得AC＝22或AC＝22（小于4，舍去）， 经检验，AC＝22符合题意； 故答案为：AC＝22． 16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE＝DF．当AE+CF的值最小时，则CE＝　　． 【解答】解：如图，延长BC至H，使CH＝CD，连接EH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝2，AD∥BC， ∴∠D＝∠DCH， 又∵CD＝CH，DF＝CE， ∴△CDF≌△HCE（SAS）， ∴CF＝EH， ∴AE+CF＝AE+EH， ∴当点A，点E，点H三点共线时，AE+CF有最小值， 此时：∵CD∥AB， ∴△CEH∽△BAH， ∴， ∴， ∴CE， 故答案为：． 17．（4分）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 　乙槽　（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【解答】方法一：∵三次操作相同，且总得分是20+10+9＝39分． ∴一次操作的总分，即三个球数字之后为39÷3＝13， 则有以下情况： ， 其中只有1，4，8这一组能同时满足三个数组合相加得20，10，9； ， ∴第一次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为4，8，1； 第二次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，1； 第三次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，1； ∴第二次操作计分最低的是乙槽． 方法二：设乙第一，第二，第三次操作计分分别为x、y、z． 则x+y+z＝10， x不可能为9，否则yz出现为0的情况，与题意矛盾． 所以x最大为8，此时8+1+1＝10， 1已经是最小了，所以第二次操作计分最小的是乙槽． 故答案为：乙槽． 18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN＝45°，则MN的最小值为 　22　． 【解答】解：如图，延长CD到点G，使DG＝BM． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝BC，∠MAD＝∠ADM＝90°， ∴∠ADG＝∠ADN＝90°＝∠ABM， 又∵BM＝DG，AD＝BC， ∴△ABM≌△ADG（SAS）， ∴∠BAM＝∠DAG，AM＝AG， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAM+∠DAN＝45°， ∴∠DAG+∠DAN＝45°，即∠GAN＝45°， 在△GAN和△MAN中， ， ∴△GAN≌△MAN（SAS）， ∴GN＝MN． 设BM＝x，MN＝y，则GN＝y，DG＝x． ∵BC＝CD＝1， ∴CM＝1﹣x，CN＝x﹣y+1， 在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN2＝CM2+CN2， 即y2＝（1﹣x）2+（x﹣y+1）2， 整理可得：yx+12， ∵x+122， ∴y≥22，此时 x1． 故：MN的最小值为22 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（10分）（1）计算：（﹣2）0+2sin30°﹣|2|； （2）计算：（）． 【解答】解：（1）原式＝1+22 ； （2）原式 • ＝1． 20．（10分）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组；B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了 　40　名学生，并将条形统计图补充完整； （2）话剧组所对应扇形的圆心角为 　72　度； （3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 【解答】（1）此次调查的学生人数为：4÷10%＝40（人），“C”类兴趣课的人数为：40﹣4﹣16﹣12＝8（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：40； （2）“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为：360°72°； 故答案为：72； （3）将1名女生记为A，3名男生分别记为B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种， ∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为． 21．（10分）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE． 【解答】证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． 22．（10分）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB＝100米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，cos21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39） 【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，垂足为F， ∵AB∥CD， ∴AE＝BF， 由题意得：AB＝EF＝100m， 设AE＝BF＝x m， 在Rt△ACE中，∠CAE＝18.17°， ∴CE＝AE•tan18.17°≈0.33x（m）， 在Rt△BDF中，∠DBF＝18.17°， ∴DF＝BF•tan18.17°≈0.33x（m）， 在Rt△AED中，∠EAD＝21.34°， ∴DE＝AE•tan21.34°≈0.39x（m）， ∵DE＝EF+DF， ∴0.39x＝100+0.33x， 解得：x， ∴CD＝CE+DE＝0.33x+0.39x＝0.72x＝1200（m）， ∴长江口的宽度CD的值约为1200m． 23．（12分）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式ax+b的解集； （3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×1＝﹣n， 解得：k＝4，n＝﹣4， 即反比例函数的表达式为：y，点B（﹣4，﹣1）； 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ，解得：， 则一次函数表达式为：y＝x+3； （2）观察函数图象知，当0＜x＜1或x＜﹣4时，ax+b成立； （3）设点C的坐标为：（m，），点D（x，0）， 当AB为对角线时， 由中点坐标公式得：4﹣1， 解得：m，则点C（，3）； 当AC或AD为对角线时， 同理可得：41或41， 解得：m＝±， 则点C（，﹣5）或（，5）， 综上，点C的坐标为：（，3）或（，﹣5）或（，5）． 24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若tan∠ABE，求CD和DE的长． 【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OB＝OC， ∵AB＝AC， ∴∠AOB＝∠AOC， ∴∠FOB＝∠FOC， ∴OF⊥BC， ∵AE∥BC， ∴∠OAE＝∠OFB＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：∵OB＝OA， ∴∠BAF＝∠ABE， ∴tan∠BAF＝tan∠ABE， ∴AF＝2BF， ∵ABBF＝10， ∴BF＝2，AF＝4， ∵BF2+FO2＝OB2，且OB＝OA＝4FO， ∴（2）2+FO2＝（4FO）2， 解得FO， ∴OD＝OB＝OA＝4， ∵OB＝OD，BF＝CF， ∴CD＝2FO＝23， ∵cos∠AOE＝cos∠FOB， ∴OE， ∴DE＝OE﹣OD， ∴CD的长是3，DE的长是． 25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点为D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点E在以点P（3，0）为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4； ∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x）2， ∴抛物线顶点D的坐标为（，）； （2）在y轴上存在一点M，使得△BDM的周长最小，理由如下： 作D（，）关于y轴的对称点D'（，），连接BD'交y轴于M，如图： 在y＝x2﹣3x﹣4中，令y＝0得0＝x2﹣3x﹣4， 解得x＝4或x＝﹣1， ∴B（4，0）， ∴BD， ∴△BDM的周长最小，只需DM+BM最小， ∵DM＝D'M， ∴DM+BM＝D'M+BM， ∴B，M，D'共线时，DM+BM最小，最小值为BD'的长，此时△BDM的周长也最小； 由B（4，0），D'（，）得直线BD'解析式为yx， 令x＝0得y， ∴M的坐标为（0，）； （3）以APA为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，如图： 由A（﹣1，0），P（3，0），△APQ是等边三角形，可得Q的坐标为（1，﹣2）， ∵△AEF，△APQ是等边三角形， ∴AE＝AF，AP＝AQ，∠EAF＝∠PAQ＝60°， ∴∠EAP＝∠FAQ， ∴△EAP≌△FAQ（SAS）， ∴PE＝QF＝1， ∴F的轨迹是以Q（1，﹣2）为圆心，1为半径的圆， ∵B（4，0）， ∴BQ， 当F在线段QB上时，BF最小，此时BF＝BQ﹣QF1； 当Q在线段BF上时，BF最大，此时BF＝BQ+QF1； ∴BF的范围时1≤BF1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/16 23:26:01；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$