2024年四川省内江市中考数学试卷

2024年四川省内江市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。） 1．（3分）下列四个数中，最大数是（　　） A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．3 2．（3分）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列单项式中，ab3的同类项是（　　） A．3ab3 B．2a2b3 C．﹣a2b2 D．a3b 4．（3分）2023年我国汽车出口491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中491万用科学记数法表示为（　　） A．4.91×104 B．4.91×105 C．4.91×106 D．4.91×107 5．（3分）16的平方根是（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．±4 6．（3分）下列事件时必然事件的是（　　） A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 7．（3分）已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长之比是（　　） A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 8．（3分）不等式3x≥x﹣4的解集是（　　） A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2 9．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，若∠EFD＝64°，则∠BEF的大小是（　　） A．136° B．64° C．116° D．128° 10．（3分）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是（　　） A．0.64（1+x）＝0.69 B．0.64（1+x）2＝0.69 C．0.64（1+2x）＝0.69 D．0.64（1+2x）2＝0.69 11．（3分）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，灯泡能发光的概率为（　　） A． B． C． D． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线yx上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线yx上，如此下去，…，若点B的坐标为（0，3），则点B37的坐标为（　　） A．（180，135） B．（180，133） C．（﹣180，135） D．（﹣180，133） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）在函数y中，自变量x的取值范围是 　 　． 14．（5分）分解因式：m2﹣5m＝　 　． 15．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1　 　y2（填“＞”或“＜”）． 16．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC＝　 　． 三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17．（8分）（1）计算：|﹣1|﹣（2）0+2sin30°； （2）化简：（x+2）（x﹣2）﹣x2． 18．（8分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数． 19．（9分）某校为了解学生对“生命、生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行综合测试．测试结果分为A级、B级、C级、D级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 　 　； （2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数是 　 　，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为A级的学生大约有多少人？ 20．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（3，n）． （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式ax+b的解集． 21．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值． 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。） 22．（6分）已知实数a、b满足ab＝1的两根，则　 　． 23．（6分）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 　 　． 24．（6分）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m为“极数”，且是完全平方数，则m＝　 　． 25．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为 　 　． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　； （2）求，x1； （3）已知2p+1，求p的值． 27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E． （1）求证：△ACE∽△ABC； （2）求证：CE是⊙O的切线； （3）若AD＝2CE，OA，求阴影部分的面积． 28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标． 2024年四川省内江市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。） 1．（3分）下列四个数中，最大数是（　　） A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．3 【答案】D 【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜3， ∴最大的数是：3． 故选：D． 2．（3分）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、B、C中的图形不是中心对称图形，故A、B、C不符合题意； D、图形是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3．（3分）下列单项式中，ab3的同类项是（　　） A．3ab3 B．2a2b3 C．﹣a2b2 D．a3b 【答案】A 【解答】解：根据同类项的定义可知， ab3的同类项是3ab3． 故选：A． 4．（3分）2023年我国汽车出口491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中491万用科学记数法表示为（　　） A．4.91×104 B．4.91×105 C．4.91×106 D．4.91×107 【答案】C 【解答】解：491万＝4910000＝4.91×106， 故选：C． 5．（3分）16的平方根是（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．±4 【答案】D 【解答】解：16的平方根是±4， 故选：D． 6．（3分）下列事件时必然事件的是（　　） A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 【答案】B 【解答】解：A、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻是随机事件，不符合题意； B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件，符合题意； C、小明在内江平台能抢到龙舟节开幕式门票是随机事件，不符合题意； D、从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》是随机事件，不符合题意； 故选：B． 7．（3分）已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长之比是（　　） A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【答案】B 【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，且相似比为1：3， ∴△ABC与△DEF的周长比为1：3． 故选：B． 8．（3分）不等式3x≥x﹣4的解集是（　　） A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2 【答案】A 【解答】解：∵3x≥x﹣4， ∴3x﹣x≥﹣4， ∴2x≥﹣4， ∴x≥﹣2； 故选：A． 9．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，若∠EFD＝64°，则∠BEF的大小是（　　） A．136° B．64° C．116° D．128° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∵∠EFD＝64°， ∴∠BEF＝116°． 故选：C． 10．（3分）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是（　　） A．0.64（1+x）＝0.69 B．0.64（1+x）2＝0.69 C．0.64（1+2x）＝0.69 D．0.64（1+2x）2＝0.69 【答案】B 【解答】解：根据题意得：0.64（1+x）2＝0.69， 故选：B． 11．（3分）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，灯泡能发光的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设S把1、S2、S3中分别用1、2、3表示， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果， ∴灯泡能发光的概率为：， 故选：A． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线yx上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线yx上，如此下去，…，若点B的坐标为（0，3），则点B37的坐标为（　　） A．（180，135） B．（180，133） C．（﹣180，135） D．（﹣180，133） 【答案】C 【解答】解：由题知， 将y＝3代入y得， x＝﹣4， 所以点A的坐标为（﹣4，3）， 所以OB＝3，AB＝4， 在Rt△ABO中， AO， 所以C△OAB＝3+4+5＝12． 由所给旋转方式可知， 点B2n﹣1（n为正整数）在直线y上． 因为OB1＝5+4＝9， OB3＝9+12， OB5＝9+2×12， …， 所以OB2n﹣1＝9+12（n﹣1）＝12n﹣3， 令2n﹣1＝37， 解得n＝19， 所以12n﹣3＝12×19﹣3＝225， 即OB37＝225． 令点B37的坐标为（m，）， 所以m2， 解得m＝﹣180（舍正）， 所以， 所以点B37的坐标为（﹣180，135）． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）在函数y中，自变量x的取值范围是 　x≠0　． 【答案】x≠0． 【解答】解：∵， ∴x≠0， 故答案为：x≠0． 14．（5分）分解因式：m2﹣5m＝　m（m﹣5）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝m（m﹣5）， 故答案为：m（m﹣5） 15．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1　＜　y2（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为：y＝（x﹣1+2）2，即y＝（x+1）2； ∴抛物线C开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， ∵点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，且﹣1＜2＜3， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 16．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC＝　　． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴BC＝AD＝5，CD＝AB＝3，∠B＝∠C＝90°， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE， ∴在Rt△ABF中，， ∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1， 设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝3﹣x， ∵在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2， ∴x2+12＝（3﹣x）2，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17．（8分）（1）计算：|﹣1|﹣（2）0+2sin30°； （2）化简：（x+2）（x﹣2）﹣x2． 【答案】（1）1； （2）﹣4． 【解答】解：（1）原式＝1﹣1+2 ＝1﹣1+1 ＝1； （2）原式＝x2﹣4﹣x2 ＝﹣4． 18．（8分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）80°． 【解答】（1）证明：∵AD＝BE， ∴AD+BD＝BE+BD， 即AB＝DE， 在△ABC和△DEF中， ， △ABC≌△DEF（SSS）； （2）解：∵∠A＝55°，∠E＝45°， 由（1）可知：△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠FDE＝55°， ∴∠F＝180°﹣（∠FDE+∠E）＝180°﹣（55°+45°）＝80°． 19．（9分）某校为了解学生对“生命、生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行综合测试．测试结果分为A级、B级、C级、D级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 　40　； （2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数是 　72°　，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为A级的学生大约有多少人？ 【答案】（1）40； （2）72°； （3）90人． 【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（人）， 故答案为：40； （2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数是：360°72°， C级的人数为：40×35%＝14（人）， 补充完整的条形统计图如图所示； 故答案为：72°； （3）60090（人）， 答：测试成绩为A级的学生大约有90人． 20．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（3，n）． （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式ax+b的解集． 【答案】（1）一次函数解析式为y＝﹣x+1．反比例函数解析式为y；（2）﹣2＜x＜0或x＞3． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（3，n）， ∴k＝﹣2×3＝3×n， ∴k＝﹣6，n＝﹣2， ∴反比例函数解析式为y， A（﹣2，3），B（3，﹣2）在一次函数y＝ax+b的图象上， ，解得， 一次函数解析式为y＝﹣x+1． （2）由图象可知，关于x的不等式ax+b的解集为：﹣2＜x＜0或x＞3． 21．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值． 【答案】（1）猪肉粽每盒进价50元，豆沙粽每盒进价30元； （2）y关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+1200x﹣35000（52≤x≤70），且最大利润为1000元． 【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣20）元， 则， 解得：a＝50， 经检验a＝50是方程的解， 此时a﹣20＝30， ∴猪肉粽每盒进价50元，豆沙粽每盒进价30元； （2）由题意得，当x＝52时，每天可售出180盒， 当猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70）时，每天可售[180﹣10（x﹣52）]盒， ∴y＝（x﹣50）[180﹣10（x﹣52）]＝（x﹣50）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1200x﹣35000＝﹣10（x﹣60）2+1000， ∵﹣10＜0，52≤x≤70， ∴当x＝60时，y取最大值，最大值为1000元， 答：y关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+1200x﹣35000（52≤x≤70），且最大利润为1000元． 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。） 22．（6分）已知实数a、b满足ab＝1的两根，则　1　． 【答案】1． 【解答】解：∵ab＝1， ∴原式 ＝1， 故答案为：1． 23．（6分）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 　100°　． 【答案】100°． 【解答】解：∵AC＝AE，BC＝BD， ∴设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°， ∴∠A＝180°﹣2x°，∠B＝180°﹣2y°， ∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°， ∴∠ACB+（180°﹣2x）+（180°﹣2y）＝180°，180°﹣（x+y）＝∠DCE， ∴∠ACB+360°﹣2（x+y）＝180°， ∴∠ACB+2∠DCE＝180°， ∵∠DCE＝40°， ∴∠ACB＝100°， 故答案为：100°． 24．（6分）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m为“极数”，且是完全平方数，则m＝　1188或4752　． 【答案】1188或4752． 【解答】解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）， ∴m＝1000（9﹣y）+100（9﹣x）+y+x＝99（100﹣10y﹣x）， ∵m是四位数， ∴99（100﹣10y﹣x）是四位数， 即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000， ∵， ∴， ∵是完全平方数， ∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数， ∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能， ∴完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425， 又m是偶数， ∴m＝1188或4752， 故答案为：1188或4752． 25．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为 　　． 【答案】． 【解答】解：在AB取点F，使 BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于H， ∵是△ABC 的内心， ∴BI平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 又 BP＝BP， ∴△BFP≌△BEP（SAS）， ∴PF＝PE， ∴PE+PC＝PF+PC≥CF， 当C、P、F三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF， ∵FH⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BFH＝30°， ∴， ∴，CH＝BC﹣BH＝7， ∴， ∴PE+PC 的最小值为 ， 故答案为：． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝　p　，x1x2＝　1　； （2）求，x1； （3）已知2p+1，求p的值． 【答案】（1）p，1； （2）p，； （3）p＝3． 【解答】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， 故答案为：p，1； （2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1， ∴p； ∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2， ∴， ∴，即； （3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， ∵， ∴， ∴p2﹣2＝2p+1， 解得：p1＝3，p2＝﹣1， 当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0； 当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0； ∴p＝3． 27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E． （1）求证：△ACE∽△ABC； （2）求证：CE是⊙O的切线； （3）若AD＝2CE，OA，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1． 【解答】（1）证明：∵C是的中点， ∴， ∴∠EAC＝∠BAC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠ACB， ∴△ACE∽△ABC； （2）证明：连接OC，如图， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， 由（1）知：∠EAC＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠OCA， ∴OC∥AE， ∵CE⊥AE， ∴OC⊥CE． ∵OC为⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （3）解：连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，如图， 则AF＝FDAD， ∵AD＝2CE， ∴AF＝CE． ∵OF⊥AD，CE⊥AE，OC⊥CE， ∴四边形EFOC为矩形， ∴OF＝CE， ∴OF＝AF， 则△AFO为等腰直角三角形， ∴∠FAO＝45°，AF＝FOOA＝1． ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠FAO＝45°， ∴∠AOD＝90°． ∴OA•OD1， ， ∴阴影部分的面积＝S扇形OAD﹣S△OAD1． 28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+6； （2）点D的坐标为（1，6）或； （3）． 【解答】解：（1）令y＝0，则﹣2x+6＝0， 则x＝3； 令x＝0，则y＝6， ∴A（3，0），B（0，6）， 把A（3，0），B（0，6）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得， ∴抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+6； （2）存在点D，使得△BDE和△ACE相似， 设点D（t，﹣t2+t+6），则E（t，﹣2t+6），C（t，0），H（t，6）， ∴EC＝﹣2t+6，AC＝3﹣t，BH＝t，DH＝﹣t2+t，DE＝﹣t2+3t， ∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC， ∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE， ①如图，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°， ∴BD∥AC， ∴D点纵坐标为6， ∴﹣t2+t+6＝6， 解得t＝0或t＝1， ∴D（1，6）； ②如图，当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE， 过B作BH⊥DC于H， ∴∠BHD＝90°， ∴， ∴， ∴﹣2t2+2t＝t， 解得t＝0（舍去）或， ∴， 综上所述，点D的坐标为（1，6）或． （3）如图，∵四边形EGFD为菱形， ∴DE∥FG，DE＝FG，ED＝EG， 设点D（m，﹣m2+m+6），E（m，﹣2m+6），F（n，﹣n2+n+6），G（n，﹣2n+6）， ∴DE＝﹣m2+3m，FG＝﹣n2+3n， ∴﹣m2+3m＝﹣n2+3n， 即（m﹣n）（m+n﹣3）＝0， ∵m﹣n≠0， ∴m+n﹣3＝0， 即m+n＝3或n＝3﹣m， ∵A（3，0），B（0，6）， ∴AO＝3，BO＝6， ∴， 过点G作GK⊥DE于K， ∴KG∥AC， ∴∠EGK＝∠BAC， ∴， 即， ∴， ∵DE＝EG， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， ∴点D的横坐标为 ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/18 18:50:53；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$