2024年四川省南充市中考数学试卷

2024年四川省南充市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分． 1．（4分）如图，数轴上表示的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（4分）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（　　） A．170分 B．86分 C．85分 D．84分 3．（4分）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．120° 4．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a8÷a4＝a2 C．a2•a3＝a6 D．（3a2）3＝27a6 5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 6．（4分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2 8．（4分）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BCAB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE＝mAB，则m的值为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为（　　） A．﹣3或0 B．0或1 C．﹣5或﹣3 D．﹣5或1 10．（4分）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三个结论：①若tan∠ADF，则EF＝2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG'，则BG′的最大值为55．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11．（4分）计算的结果为 　 　． 12．（4分）若一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为 　 　． 13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝　 　度． 14．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　 　． 15．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF的长为 　 　． 16．（4分）已知抛物线C1：y＝x2+mx+m与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线C2：y＝x2+nx+n（m≠n）与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且AB＝CD．下列四个结论：①C1与C2交点为（﹣1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于（﹣1，0）对称．其中正确的结论是 　 　.（填写序号） 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（8分）先化简，再求值：（x+2）2﹣（x3+3x）÷x，其中x＝﹣2． 18．（8分）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E． （1）求证：△BDE≌△CDA． （2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE． 19．（8分）某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．根据图中信息，解答下列问题： （1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数． （2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率． 20．（10分）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 21．（10分）如图，直线y＝kx+b经过A（0，﹣2），B（﹣1，0）两点，与双曲线y（x＜0）交于点C（a，2）． （1）求直线和双曲线的解析式． （2）过点C作CD⊥x轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，直接写出点P的坐标． 22．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半径长． 23．（10分）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价） 24．（10分）如图，正方形ABCD边长为6cm，点E为对角线AC上一点，CE＝2AE，点P在AB边上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（0＜t≤3）． （1）求证：△AEP∽△CEQ． （2）当△EPQ是直角三角形时，求t的值． （3）连接AQ，当tan∠AQE时，求△AEQ的面积． 25．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设△PAD面积为S1，△PBE面积为S2，求的值． （3）如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，点Q是直线l上一动点．求QM+QN的最小值． 2024年四川省南充市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分． 1．（4分）如图，数轴上表示的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【解答】解：∵， ∴12， 由数轴可知，只有点C的取值范围在1和2之间， 故选：C． 2．（4分）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（　　） A．170分 B．86分 C．85分 D．84分 【答案】B 【解答】解：李林综合成绩为：90×60%+80×40%＝86（分）， 故选：B． 3．（4分）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．120° 【答案】C 【解答】解：如图：∵∠1＝∠2＝40°， ∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝100°， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过两次反射后的光线与入射光线平行， ∴∠3＝∠4＝100°， 故选：C． 4．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a8÷a4＝a2 C．a2•a3＝a6 D．（3a2）3＝27a6 【答案】D 【解答】解：A．∵a2，a3不是同类项，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵a8÷a4＝a4，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵a2•a3＝a5，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵（3a2）3＝27a6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中， tanB， ∴AC． ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD． 在Rt△ACD中， tan∠CAD， ∴CD． ∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC， ∴点D到AB边的距离等于线段CD的长， 即线段DE长度的最小值为2． 故选：C． 6．（4分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ∴7x+7＝y； ∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房， ∴9（x﹣1）＝y． ∴根据题意得可列方程组． 故选：D． 7．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2 【答案】B 【解答】解：解不等式2x﹣1＜5，得：x＜3， ∵关于x的不等式组的解集为x＜3， ∴m+1≥3， ∴m≥2． 故选：B． 8．（4分）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BCAB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE＝mAB，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：令AB的长为2a， 则BC， 在Rt△ABC中， AC． 因为CD＝CB，AE＝AD， 所以AE， 则AEAB， 所以m的值为． 故选：A． 9．（4分）当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为（　　） A．﹣3或0 B．0或1 C．﹣5或﹣3 D．﹣5或1 【答案】A 【解答】解：当m+1＞0，即m＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∴当x＝5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6， ∴5（m+1）+m2+1＝6， 解得m1＝0，m2＝﹣5（舍去）， 当m+1＜0，即m＜﹣1时，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6， ∴2（m+1）+m2+1＝6， 解得m1＝﹣3，m2＝1（舍去）， 综上，当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为0或﹣3， 故选：A． 10．（4分）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三个结论：①若tan∠ADF，则EF＝2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG'，则BG′的最大值为55．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【解答】解：在Rt△ADF中， tan∠ADF． 令AF＝3x，DF＝4x， 则（3x）2+（4x）2＝102， 解得x＝2（舍负）， 所以AF＝6，DF＝8． 因为外部的四个直角三角形全等， 所以DE＝AF＝6， 所以EF＝8﹣6＝2． 故①正确． 因为Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍， 所以3FG2． 因为BG＝AF＝AG﹣FG， 所以， 整理得， 6FG2+FG•AG﹣AG2＝0． 则， 解得（舍负）， 则点F是AG的三等分点． 故②正确． 由旋转可知， ∠AG′D＝∠AGB＝90°， 所以点G′在以AD为直径的圆上． 在Rt△ABM中， BM． 当点B，M，G′共线时，BG′取得最大值， 此时BG′． 故③正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11．（4分）计算的结果为 　1　． 【答案】1． 【解答】解：原式 ＝1， 故答案为：1． 12．（4分）若一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为 　7　． 【答案】7． 【解答】解：∵一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7， ∴m＝7， ∴这组数据从小到大排列顺序为：6，6，7，7，7，8， ∴这组数据的中位数是7． 故答案为：7． 13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝　75　度． 【答案】75． 【解答】解：∵∠BOC＝30°，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝150°， ∴∠ADC∠AOC＝75°， 故答案为：75． 14．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　﹣4　． 【答案】﹣4． 【解答】解：把x＝m代入m2+4m﹣1＝0， m2+4m＝1， ∴（m+5）（m﹣1） ＝m2﹣m+5m﹣5 ＝m2+4m﹣5 ＝1﹣5 ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 15．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：过点F作FG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H． ∵CF平分∠BCD， ∴HF＝FG． ∵四边形ABCD为矩形， ∴CD＝AB＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°． 由翻折得，BF＝AB＝2，∠ABE＝∠FBE＝30°， ∴∠FBG＝30°， ∴FGBF＝1， ∴HF＝1，CH＝FG＝1， ∴DH＝CD﹣CH＝1， ∴DF． 故答案为：． 16．（4分）已知抛物线C1：y＝x2+mx+m与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线C2：y＝x2+nx+n（m≠n）与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且AB＝CD．下列四个结论：①C1与C2交点为（﹣1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于（﹣1，0）对称．其中正确的结论是 　①②④　.（填写序号） 【答案】①②④． 【解答】解：令x2+mx+m＝x2+nx+n，解得x＝﹣1， 把x＝﹣1代入y＝x2+mx+m得，y＝1， ∴C1与C2交点为（﹣1，1），故①正确； ∵抛物线C1：y＝x2+mx+m与抛物线C2：y＝x2+nx+n的开口方向和大小相同，且AB＝CD， ∴两抛物线的关于直线x＝﹣1对称， ∴A，D两点关于（﹣1，0）对称，故④正确； 2， ∴m+n＝4，故②正确； 由题意可知，m＞1，n＜1或m＜1，n＞1， ∴mn＞0不一定成立，故③错误． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（8分）先化简，再求值：（x+2）2﹣（x3+3x）÷x，其中x＝﹣2． 【答案】4x+1；﹣7． 【解答】解：当x＝﹣2时， （x+2）2﹣（x3+3x）÷x ＝（x2+4x+4）﹣（x2+3） ＝x2+4x+4﹣x2﹣3 ＝4x+1 ＝4×（﹣2）+1 ＝﹣8+1 ＝﹣7． 18．（8分）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E． （1）求证：△BDE≌△CDA． （2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）答案见解答过程． 【解答】（1）证明：∵点D为BC的中点， ∴BD＝CD， ∴BE∥AC， ∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（AAS）； （2）证明：∵点D为BC的中点，AD⊥BC， ∴直线AD为线段BC的垂直平分线， ∴BA＝CA， 由（1）可知：△BDE≌△CDA， ∴BE＝CA， ∴BA＝BE． 19．（8分）某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．根据图中信息，解答下列问题： （1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数． （2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为 108°； （2）． 【解答】解：（1）样本容量为：16÷40%＝40， 参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目人数：40×20%＝8（人）； 在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为：（40﹣16﹣4﹣8）÷40×360＝108°． 答：喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为 108°； （2）喜爱D类研学项目的4名学生分别记为：男1，男2，女1，女2．列表如下： 第2位第1位 男1 男2 女1 女2 男1 ﹣ 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 ﹣ 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 ﹣ 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 ﹣ 由表可知，抽选2名学生共有12种等可能的结果，抽中一名男生和一名女生（记作事件M）共8种可能． ∴， 答：抽中一名男生和一名女生的概率为 ． 20．（10分）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 【答案】（1）k＞1． （2）k的值为2． 【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△＞0， ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k+1）＝4k2﹣4k2+4k﹣4＝4k﹣4＞0， 解得k＞1． （2）∵1＜k＜5， ∴整数k的值为2，3，4， 当k＝2时，方程为 x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3， 当k＝3或4时，此时方程解不为整数． 综上所述，k的值为2． 21．（10分）如图，直线y＝kx+b经过A（0，﹣2），B（﹣1，0）两点，与双曲线y（x＜0）交于点C（a，2）． （1）求直线和双曲线的解析式． （2）过点C作CD⊥x轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）直线解析式为：y＝﹣2x﹣2；双曲线解析式为：； （2）点P坐标为（﹣4，0）或（﹣1，0）或（1，0）或（4，0）． 【解答】解：（1）∵点A（0，﹣2），B（﹣1，0）在直线y＝kx+b上， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：y＝﹣2x﹣2； ∵点C（a，2）在直线y＝﹣2x﹣2上， ∴﹣2a﹣2＝2， ∴a＝﹣2，即点C为（﹣2，2）； ∵双曲线 过点C（﹣2，2）， ∴m＝﹣4， ∴双曲线解析式为：； （2）∵CD⊥x轴，C（﹣2，2）， ∴D（﹣2，0），CD＝2， ∵B（﹣1，0）， ∴BD＝1， ∵A（0，﹣2）， ∴OA＝2， 若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，OP＝1或4， ∵点P在x轴上， ∴点P坐标为（﹣4，0）或（﹣1，0）或（1，0）或（4，0）． 22．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半径长． 【答案】（1）证明见解答； （2）⊙O的半径长为2． 【解答】（1）证明：∵， ∴∠ABF＝∠BAE， ∵∠CAD+∠BAE+∠CDA+∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA， ∴∠CAD+∠BAE+∠CAD+∠BAE＝180°， ∴∠OAD＝∠CAD+∠BAE＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA， ∴AD是⊙O的切线． （2）解：连接AF， ∵，BE＝4，AD＝2， ∴AF＝BE＝4， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFD＝∠AFB＝90°， ∴DF2， ∵∠BAD＝∠AFD＝90°， ∴tanD2， ∴ADAB， ∴OAAB＝AD＝2， ∴⊙O的半径长为2． 23．（10分）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价） 【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件；（2）y＝10x+60（0≤x≤10）；（3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 【解答】解：（1）由题意，设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为（132﹣x）元． ∴3x+5（132﹣x）＝540． ∴x＝60． ∴每件B类特产的售价132﹣60＝72（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意，∵每件A类特产降价x元， 又每降价1元，每天可多售出10件， ∴y＝60+10x＝10x+60（0≤x≤10）． 答：y＝10x+60（0≤x≤10）． （3）由题意，∵w＝（60﹣50﹣x）（10x+60）+100×（72﹣60） ＝﹣10x2+40x+1800＝﹣10（x﹣2）2+1840． ∵﹣10＜0， ∴当x＝2时，w有最大值1840． ∴A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 24．（10分）如图，正方形ABCD边长为6cm，点E为对角线AC上一点，CE＝2AE，点P在AB边上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（0＜t≤3）． （1）求证：△AEP∽△CEQ． （2）当△EPQ是直角三角形时，求t的值． （3）连接AQ，当tan∠AQE时，求△AEQ的面积． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）当△EPQ是直角三角形时，t的值为秒或2秒； （3）S△AEQ＝4cm2． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠PAE＝∠QCE＝45°， ∵CE＝2AE，AP＝t，CQ＝2t， ∴， ∴△AEP∽△CEQ； （2）解：过点E作EM⊥AB于点M，过点E作 EN⊥BC于点N． 由题意知AE，AM＝ME＝2，EN＝CN＝4，AP＝t， CQ＝2t，BQ＝6﹣2t，MP＝|t﹣2|，BP＝6﹣t，QN＝|2t﹣4|， ∴EP2＝EM2+MP2，即EP2＝22+（2﹣t）2＝t2﹣4t+8， PQ2＝BP2+BQ2，即PQ2＝（6﹣t）2+（6﹣2t）2＝5t2﹣36t+72， EQ2＝EN2+NQ2，即EQ2＝42+（2t﹣4）2＝4f2﹣16t+32， ①当∠EPQ＝90°时，则EQ2＝EP2+PQ2， 即4t2﹣16t+32＝t2﹣4t+8+5t2﹣36t+72， 整理得t2﹣12t+24＝0． 解得t1＝6，t2＝6（不合题意，舍去）， ②当∠PEQ＝90°时，则PQ2＝EP2+EQ2， 即5t2﹣36t+72＝t2﹣4t+8+4t2﹣16t+32， 整理得t﹣2＝0， 解得t＝2； ③当∠PQE＝90°时，则EP2＝PQ2+EQ2， 即t2﹣4t+8＝5t2﹣36t+72+4t2﹣16t+32， 整理得t2﹣6t+12＝0，该方程无实数解， 综上所述，当△EPQ是直角三角形时，t的值为秒或2秒； （3）解：过点A作AF⊥AC，交CB的延长线于点F，连接FE交AQ于点G．如图2， ∵AF⊥AC，∠ACF＝45°， ∴AF＝AC， 又∵CE＝2AE， ∴， ∴tan∠AFE， ∵tan∠AQE， ∴∠AFE＝∠AQE， ∵∠AGF＝∠EGQ， ∴△AGF∽△EGQ， ∴， ∵∠AGE＝∠FGQ， ∴△AGE∽△FGQ， ∴∠AEG＝∠FQG， ∵∠AFE+∠AEF＝90°， ∴∠FQG+∠EQG＝90°，即∠FQE＝90°， ∴AB∥EQ，△EQC是等腰直角三角形， ∴，即， ∴QC＝QE＝4， ∴S△AEQ＝S△AQC﹣S△EQC QC•ABQC•EQ 4×64×4 ＝4（cm2）． 25．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设△PAD面积为S1，△PBE面积为S2，求的值． （3）如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，点Q是直线l上一动点．求QM+QN的最小值． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）的值为； （3）QM+QN的最小值为． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得： 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）设P（0，p），直线AP解析式为y＝k1x+b1， 把A（﹣1，0），P（0，p）代入得： ， 解得： ∴直线AP解析式为y＝px+p， 联立得 ， 解得或， ∴E（3﹣p，﹣p2+4p）， 同理可得D（，）， ∴，， ∴； ∴的值为； （3）作点N关于直线l的对称点N'，连接MN'，过M点作MF⊥NN'于F，如图： ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 ∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1， ∴K（1，0）， 设直线MN解析式为y＝kx+d， 把K（1，0）代入得：k+d＝0， ∴d＝﹣k， ∴直线MN解析式为y＝kx﹣k， 设M（m，﹣m2+2m+3），N（n，﹣n2+2n+3）， 联立，可得x2+（k﹣2）x﹣k﹣3＝0， ∴m+n＝2﹣k，mn＝﹣k﹣3， ∵N，N'关于直线l：y＝4对称， ∴N'（n，n2﹣2n+5）， ∴QM+QN＝QM+QN'≥MN'， ∵F（n，﹣m2+2m+3）， ∴N'F＝|m2+n2﹣2（m+n）+2|，FM＝|m﹣n|， 在Rt△MFN'中， MN'2＝MF2+N'F2 ＝（m﹣n）2+[m2+n2﹣2（m+n）+2]2 ＝（m+n）2﹣4mn+[（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2]2 ＝（2﹣k）2﹣4（﹣k﹣3）+[（2﹣k）2﹣2（﹣k﹣3）﹣2（2﹣k）+2]2 ＝k4+17k2+80， ∴当k＝0时，MN'2最小80，此时MN'＝4， ∴QM+QN≥4， ∴QM+QN的最小值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/18 8:18:06；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$