2024年四川省凉山州中考数学试卷

2024年四川省凉山州中考数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项的，请把正确选项的字母序号填涂在答题卡上对应的位置。 1．（4分）下列各数中：5，，﹣3，0，﹣25.8，+2，负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（4分）如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）下列运算正确的是（　　） A．2ab+3ab＝5ab B．（ab2）3＝a3b5 C．a8÷a2＝a4 D．a2•a3＝a6 4．（4分）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．45° 5．（4分）点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b），则a+b的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5 6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（　　） A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm 7．（4分）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（　　） A． B． C． D． 8．（4分）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如下．则甲、乙两团女演员身高的方差s甲2、s乙2大小关系正确的是（　　） A．s甲2＞s乙2 B．s甲2＜s乙2 C．s甲2＝s乙2 D．无法确定 9．（4分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 10．（4分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm 11．（4分）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是（　　） A．90cm2 B．135cm2 C．150cm2 D．375cm2 12．（4分）抛物线y（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 13．（4分）已知a2﹣b2＝12，且a﹣b＝﹣2，则a+b＝　 　． 14．（4分）方程的解是 　 　． 15．（4分）如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 　 　． 16．（4分）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC＝24，BD＝18，则四边形EFGH的周长是 　 　． 17．（4分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 　 　． 三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（5分）计算：|2|+2﹣1+cos30°﹣（﹣1）0． 19．（5分）求不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解． 20．（7分）为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是 　 　人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有 　 　人； （2）补全条形统计图； （3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 21．（7分）为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展．2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为30°，眼睛B距离地面1.8m，向塔前行67m，到达点D处，测得塔顶C的仰角为60°，求塔高CF． （参考数据：1.414，1.732，结果精确到0.01m） 22．（8分）如图，正比例函数y1x与反比例函数y2（x＞0）的图象交于点A（m，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线y1x向上平移3个单位长度与y2（x＞0）的图象交于点B，连接AB、OB，求△AOB的面积． 四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分） 23．（5分）已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 　 　． 24．（5分）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 　 　． 五、解答题（共4小题，共40分） 25．（8分）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 　 　，前15行的点数之和为 　 　，那么，前n行的点数之和为 　 　． （2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 　 　（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 26．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN、CN． （1）求证：EN＝CN； （2）求2EN+BN的最小值． 27．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）连接EO并延长，分别交⊙O于M、N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F＝30°，求GM•GN的值． 28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标； （3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2024年四川省凉山州中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项的，请把正确选项的字母序号填涂在答题卡上对应的位置。 1．（4分）下列各数中：5，，﹣3，0，﹣25.8，+2，负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：5＞0，是正数； ，是负数； ﹣3＜0，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ﹣25.8＜0，是负数； +2＞0，是正数； ∴负数有，﹣3，﹣25.8，共3个． 故选：C． 2．（4分）如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：从上面可看，是一行两个相邻的正方形． 故选：B． 3．（4分）下列运算正确的是（　　） A．2ab+3ab＝5ab B．（ab2）3＝a3b5 C．a8÷a2＝a4 D．a2•a3＝a6 【答案】A 【解答】解：2ab+3ab＝5ab，则A符合题意； （ab2）3＝a3b6，则B不符合题意； a8÷a2＝a6，则C不符合题意； a2•a3＝a5，则D不符合题意； 故选：A． 4．（4分）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．45° 【答案】B 【解答】解：由题意得，∠ABC＝45°，∠EDF＝30°， ∵DF∥AB， ∴∠FDB＝∠ABC＝45°， ∴∠EDB＝∠FDB﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°， 故选：B． 5．（4分）点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b），则a+b的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5 【答案】A 【解答】解：∵点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b）， ∴a＝﹣2，b＝3， ∴a+b＝1， 故选：A． 6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（　　） A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm 【答案】C 【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD＝DB， ∵△ACD的周长为50cm， 即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝50cm， 故选：C． 7．（4分）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小， 所以注水过程的水的高度是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢，故选项C正确． 故选：C． 8．（4分）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如下．则甲、乙两团女演员身高的方差s甲2、s乙2大小关系正确的是（　　） A．s甲2＞s乙2 B．s甲2＜s乙2 C．s甲2＝s乙2 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵观察甲、乙两团女演员身高的折线统计图，发现甲的波动小于乙的波动， ∴S甲2＜S乙2， 故选：B． 9．（4分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 【答案】A 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0， ∴a2﹣4＝0且a+2≠0， 解得：a＝2， 故选：A． 10．（4分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm 【答案】C 【解答】解：设圆心为O，连接OB，如图所示， ∵CD垂直平分AB，AB＝40cm， ∴BD＝20cm， ∵CD＝10cm，OC＝OB， ∴OD＝OB﹣10， ∵∠ODB＝90°， ∴OD2+BD2＝OB2， ∴（OB﹣10）2+202＝OB2， 解得OB＝25， 即圆形工件的半径为25cm， 故选：C． 11．（4分）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是（　　） A．90cm2 B．135cm2 C．150cm2 D．375cm2 【答案】D 【解答】解：由题意可知，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且位似比为：， ∴△A1B1C1的面积是60375（cm2）， 故选：D． 12．（4分）抛物线y（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 【答案】D 【解答】解：∵y（x﹣1）2+c， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵（，y3）关于直线x＝1的对称点是（，y3）， ∵﹣20＜1， ∴y1＞y3＞y2， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 13．（4分）已知a2﹣b2＝12，且a﹣b＝﹣2，则a+b＝　﹣6　． 【答案】﹣6． 【解答】解：∵a2﹣b2＝12， ∴（a+b）（a﹣b）＝12， ∵a﹣b＝﹣2， ∴a+b＝﹣6， 故答案为：﹣6． 14．（4分）方程的解是 　x＝9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：去分母得：2x＝3x﹣9， 解得：x＝9， 经检验x＝9是分式方程的解， 故答案为：x＝9 15．（4分）如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 　100°　． 【答案】100°． 【解答】解：∵CD是边AB上的高， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝50°，∠CBD＝90°﹣∠BCD＝60°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ACD＝40°， ∵AE是∠CAB的平分线， ∴∠EAB∠CAB＝20°， ∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝100°， 故答案为：100°． 16．（4分）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC＝24，BD＝18，则四边形EFGH的周长是 　42　． 【答案】42． 【解答】解：∵四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H， ∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线， ∴EFAC24＝12，GHAC＝12，FGBD18＝9，HEBD＝9， ∴四边形EFGH的周长为：12+9+12+9＝42， 故答案为：42． 17．（4分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 　9　． 【答案】9． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为y＝x+3， 当y＝0时，x＝﹣3， ∴C（﹣3，0）， ∴S△AOC9． 故答案为：9． 三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（5分）计算：|2|+2﹣1+cos30°﹣（﹣1）0． 【答案】2． 【解答】解：原式21 21 ＝2． 19．（5分）求不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解． 【答案】2，3，4． 【解答】解：﹣3＜4x﹣7≤9， 即， 解不等式①，得x＞1， 解不等式②，得x≤4， 所以不等式组的解集是1＜x≤4， 所以不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解是2，3，4． 20．（7分）为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是 　50　人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有 　120　人； （2）补全条形统计图； （3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）50，120； （2）见解析； （3）甲乙两位同学同时被抽中的概率为． 【解答】解：（1）本次调查的总人数是为：18×36%＝50（人）， 估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有1500120（人）， 故答案为：50，120； （2）喜欢篮球的人数为：50×24%＝12（人）， 喜欢乒乓球的人数为：50﹣18﹣12﹣10﹣4＝6（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中抽取两人恰好是甲乙的结果数为2， ∴甲乙两位同学同时被抽中的概率为：． 21．（7分）为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展．2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为30°，眼睛B距离地面1.8m，向塔前行67m，到达点D处，测得塔顶C的仰角为60°，求塔高CF． （参考数据：1.414，1.732，结果精确到0.01m） 【答案】塔高CF为59.83m． 【解答】解：由题意，知∠CBG＝30°，∠CEG＝60°，∠CGB＝∠CGE＝90°，GF＝ED＝BA＝1.8m，BE＝67m， 在Rt△CBG中， BGCG， 在Rt△CEG中， EGCG， ∵BG﹣EG＝BE， ∴CGCG＝67， 解得CG≈58.03（m）， ∴CF＝CG+GF＝58.03+1.8＝59.83（m）， 答：塔高CF为59.83m． 22．（8分）如图，正比例函数y1x与反比例函数y2（x＞0）的图象交于点A（m，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线y1x向上平移3个单位长度与y2（x＞0）的图象交于点B，连接AB、OB，求△AOB的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为y2．（2）6． 【解答】解：（1）∵点A（m，2）在正比例函数图象上， ∴2，解得x＝4， ∴A（4，2）， ∵A（4，2）在反比例函数图象上， ∴k＝8， ∴反比例函数解析式为y2． （2）把直线y1x向上平移3个单位得到解析式为y， 直线与y轴交点坐标为D（0，3），连接AD， 联立方程组， 解得，（舍去）， ∴B（2，4）， ∴S△AOB＝S△ADO6． 四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分） 23．（5分）已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 　3　． 【答案】3． 【解答】解：∵y2﹣x＝0， ∴y2＝x≥0， ∵x2﹣3y2+x﹣3＝0， ∴x2﹣3x+x﹣3＝0， 即x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）， 即x的值为3， 故答案为：3． 24．（5分）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 　2　． 五、解答题（共4小题，共40分） 25．（8分）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 　36　，前15行的点数之和为 　120　，那么，前n行的点数之和为 　　． （2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 　不能　（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）36，120，； （2）不能； （3）一共能摆20排． 【解答】解：（1）由题知， 三角点阵中前1行的点数之和为：1； 三角点阵中前2行的点数之和为：1+2； 三角点阵中前3行的点数之和为：1+2+3； 三角点阵中前4行的点数之和为：1+2+3+4； …， 所以三角点阵中前n行的点数之和为：1+2+3+…+n． 当n＝8时， ， 即三角点阵中前8行的点数之和为36． 当n＝15时， ， 即三角点阵中前15行的点数之和为120． 故答案为：36，120，． （2）不能． 令得， 解得n， 因为n为正整数， 所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500． 故答案为：不能． （3）由题知， 前n排盆景的总数可表示为n（n+1）， 令n（n+1）＝420得， 解得n1＝﹣21，n2＝20． 因为n为正整数， 所以n＝20， 即一共能摆20排． 26．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN、CN． （1）求证：EN＝CN； （2）求2EN+BN的最小值． 【答案】（1）见解答； （2）2． 【解答】解：（1）连接AN，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴点A，点C关于直线BD轴对称， ∴AN＝CN， ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴AN＝EN， ∴EN＝CN； （2）过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝30°， ∴BN＝2NG， ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴EN＝AN， ∴2EN+BN＝2AN+2NG＝2（AN+NG）≥2AG≥2AH， ∴2EN+BN的最小值为2AH， ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴AH＝AB•sin60°， ∴2EN+BN的最小值为2． 27．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）连接EO并延长，分别交⊙O于M、N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F＝30°，求GM•GN的值． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】.（1）证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠OAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠DAE＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：连接MD，AN， 在Rt△ODF中，OB＝OD＝2，∠F＝30°， ∴ODOF，∠BOD＝60°， ∴OF＝4， ∴DF2， ∴AF＝2+4＝6， 在Rt△AEF中，∠F＝30°， ∴AEAF＝3， ∵∠F＝30°，OD⊥EF， ∴∠DOF＝60°＝∠2+∠3， ∵OA＝OD， ∵∠2＝∠3， ∴∠2＝30°， ∴∠2＝∠F， ∴AD＝DF＝2， ∵OD∥AE， ∴△DGO∽△AGE， ∴， ∴DGAD，AGAD， ∵∠ANM＝∠MDG，∠MGD＝∠AGN， ∴△MGD∽△AGN， ∴， ∴GM•GN＝GD•GAAD•ADAD2（2）2． 28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标； （3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8； （2）P的坐标为（1，9）； （3）抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． 【解答】解：（1）把B（3，m）代入y＝x+2得：m＝3+2＝5， ∴B（3，5）， 把A（﹣2，0），B（3，5）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8； （2）设P（t，﹣t2+2t+8），则E（t，t+2），D（t，0）， ∵PE＝2DE， ∴﹣t2+2t+8﹣（t+2）＝2（t+2）， 解得t＝1或t＝﹣2（此时P不在直线AB上方，舍去）； ∴P的坐标为（1，9）； （3）抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下： 过M作MK∥y轴交直线AB于K，如图： 在y＝﹣x2+2x+8中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+8， 解得x＝﹣2或x＝4， ∴A（﹣2，0），C（4，0）， ∴AC＝6， ∵B（3，5）， ∴S△ABC6×5＝15， 设M（m，﹣m2+2m+8），则K（m，m+2）， ∴MK＝|﹣m2+2m+8﹣（m+2）|＝|﹣m2+m+6|， ∴S△ABMMK•|xB﹣xA||﹣m2+m+6|×5|﹣m2+m+6|， ∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半， ∴|﹣m2+m+6|15， ∴|﹣m2+m+6|＝3， ∴﹣m2+m+6＝3或﹣m2+m+6＝﹣3， 解得m或m， ∴M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/20 7:36:37；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$