2024年四川省乐山市中考数学试卷

2024年四川省乐山市中考数学试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1．（3分）不等式x﹣2＜0的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 2．（3分）下列文物中，俯视图是四边形的是（　　） A．带盖玉柱形器 B．白衣彩陶钵 C．镂空人面覆盆陶器 D．青铜大方鼎 3．（3分）2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（　　） A．4×108 B．4×109 C．4×1010 D．4×1011 4．（3分）下列多边形中，内角和最小的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（　　） 交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其它 人数（人） 30 5 15 8 2 A．100 B．200 C．300 D．400 6．（3分）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC 7．（3分）已知1＜x＜2，化简|x﹣2|的结果为（　　） A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x 8．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且3，则p的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）计算：a+2a＝　 　． 12．（3分）一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是 　 　． 13．（3分）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝60°，那么∠2＝　 　. 14．（3分）已知a﹣b＝3，ab＝10，则a2+b2＝　 　． 15．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若，则　 　. 16．（3分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点（0，1）是函数y＝x+1图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 　 　（填序号）； ①y＝﹣x+3； ②y； ③y＝﹣x2+2x﹣1． （2）若一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 　 　． 三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（9分）计算：|﹣3|+（π﹣2024）0． 18．（9分）解方程组：． 19．（9分）如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，求证：∠C＝∠D． 20．（10分）先化简，再求值：，其中x＝3．小乐同学的计算过程如下： 解：① ② ③ ④ ⑤ 当x＝3时，原式＝1． （1）小乐同学的解答过程中，第 　 　步开始出现了错误； （2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 21．（10分）乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的游客总人数为 　 　人，扇形统计图中m的值为 　 　； （2）请补全条形统计图； （3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率． 22．（10分）如图，已知点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数y（x＞0）的图象上，过点A的一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C（0，1）． （1）求m、n的值和一次函数的表达式； （2）连结AB，求点C到线段AB的距离． 23．（10分）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度； （2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：DC∥AE； （2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积． 25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+2a（a为常数且a＞0）与y轴交于点A． （1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标； （2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； （3）若抛物线与直线y＝x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 26．（13分）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E在边BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的长． 解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连结ED′． 由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′． ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠BAD+∠EAC＝45°． ∵∠BAD＝∠CAD′， ∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°． ∴∠DAE＝∠D′AE． 在△DAE和△D′AE中， AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE， ∴①_____． ∴DE＝D′E． 又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°， ∴在Rt△ECD′中，②_____． ∵CD′＝BD＝3，CE＝4， ∴DE＝D′E＝③_____． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：　 　；“②”处应填：　 　；“③”处应填：　 　． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明． 【拓展应用】 如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．探究BE、EF、DF的数量关系：　 　（直接写出结论，不必证明）． 【问题再探】 如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D、E在边AC上，且∠DBE＝45°．设AD＝x，CE＝y，求y与x的函数关系式． 最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界． 2024年四川省乐山市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1．（3分）不等式x﹣2＜0的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 【答案】A 【解答】解：x﹣2＜0， 移项，得x＜2． 故选：A． 2．（3分）下列文物中，俯视图是四边形的是（　　） A．带盖玉柱形器 B．白衣彩陶钵 C．镂空人面覆盆陶器 D．青铜大方鼎 【答案】D 【解答】解：选项A中的“带盖玉柱形器”的俯视图是圆形，因此选项A不符合题意； 选项B中的“白衣彩陶钵”的俯视图是圆形，因此选项B不符合题意； 选项C中的“镂空人面覆盆陶器”的俯视图是圆形，因此选项C不符合题意； 选项D中的“青铜大方鼎”的俯视图是四边形，因此选项D符合题意． 故选：D． 3．（3分）2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（　　） A．4×108 B．4×109 C．4×1010 D．4×1011 【答案】C 【解答】解：40000000000用科学记数法表示为4×1010． 故选：C． 4．（3分）下列多边形中，内角和最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为：（4﹣2）×180°＝360°，五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°， ∵180＜360＜540＜720， ∴在三角形、四边形、五边形和六边形中，内角和最小的是三角形， 故选：A． 5．（3分）为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（　　） 交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其它 人数（人） 30 5 15 8 2 A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】D 【解答】解：800400（人）， 即估计该年级学生乘坐公交车上学的人数大约为400人． 故选：D． 6．（3分）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC 【答案】D 【解答】解：A、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，故不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意； 故选：D． 7．（3分）已知1＜x＜2，化简|x﹣2|的结果为（　　） A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x 【答案】B 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴|x﹣2| ＝x﹣1+2﹣x ＝1， 故选：B． 8．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且3，则p的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【答案】A 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝p， ∵3， ∴， 即， 解得：p． 故选：A． 9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2 【答案】C 【解答】解：因为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为（1，﹣1）． 因为1﹣（﹣1）＝3﹣1， 所以x＝﹣1和x＝3时的函数值相等． 因为﹣1≤x≤t﹣1，当x＝﹣1时，函数取得最大值， 所以t﹣1≤3， 又因为当x＝1时，函数取得最小值， 所以t﹣1≥1， 所以1≤t﹣1≤3， 解得2≤t≤4． 故选：C． 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图过C作CG⊥BC，交AD于点G，作B关于C的对称点Q'，连接BD和AQ'交于点H． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴CG垂直平分AD， ∵P、Q关于点C对称， ∴M一定在直线CG上， ∵P从点B运动到点C， ∴可以得到点M的运动轨迹就是CH这一段． ∵AB＝1＝CD， ∴CG＝CD•sin60°， ∵△AHD∽△Q'HB， ∴， ∴CHCG， 即点M的运动路径长为． 故选：B． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）计算：a+2a＝　3a　． 【答案】3a． 【解答】解：a+2a ＝（1+2）a ＝3a， 故答案为：3a． 12．（3分）一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是 　66千米/时　． 【答案】66千米/时． 【解答】解：数据从小到大的顺序排列为57，58，66，69，71， ∴这组数据的中位数是66千米/时． 故答案为：66千米/时． 13．（3分）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝60°，那么∠2＝　120°　. 【答案】120°． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝60°， ∴∠2＝180°﹣60°＝120°． 故答案为：120°． 14．（3分）已知a﹣b＝3，ab＝10，则a2+b2＝　29　． 【答案】29． 【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝10， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab ＝9+20 ＝29， 故答案为：29． 15．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若，则　　. 【答案】． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴点B到AD的距离等于D点到BC的距离， ∴， ∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， ∴（）2＝（）2． 故答案为：． 16．（3分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点（0，1）是函数y＝x+1图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 　③　（填序号）； ①y＝﹣x+3； ②y； ③y＝﹣x2+2x﹣1． （2）若一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 　0＜m或m＜0　． 【答案】（1）③； （2）0＜m或m＜0． 【解答】解：（1）①当x＝0时，y＝3， 当y＝0时，﹣x+3， ∴x＝3， ∴y＝﹣x+3与两坐标的交点分别为（0，3）和（3，0）， ∴函数y＝﹣x+3的图象上不存在“近轴点”； ②∵y中，在每一象限内y随x的增大而减小， 当x＝1时，y＝2， 当y＝1时，x＝2， ∴函数y的图象上不存在“近轴点”； ③∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2， 当x＝1时，y＝0；当x＝0时，y＝﹣1； ∴函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上存在“近轴点”； 故答案为：③； （2）∵y＝mx﹣3m＝m（x﹣3）， ∴一次函数y＝mx﹣3m经过（3，0）， 分两种情况： ①当m＞0时，如图1， 当x＝1时，y＝m﹣3m＝﹣2m， ∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”， ∴﹣1≤﹣2m＜0， ∴0＜m； ②当m＜0时，如图2， 由①知：点A的坐标为（1，﹣2m）当x＝1时，y， ∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”， ∴0≤﹣2m＜1， ∴m＜0； 综上，m的取值范围为：0＜m或m＜0． 故答案为：0＜m或m＜0． 三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（9分）计算：|﹣3|+（π﹣2024）0． 【答案】1． 【解答】解：|﹣3|+（π﹣2024）0 ＝3+1﹣3 ＝1． 18．（9分）解方程组：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：， ①+②，得3x＝9，（3分） 解得x＝3． （4分） 把x＝3代入②，得y＝1． （7分） ∴原方程组的解是．（9分） 19．（9分）如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，求证：∠C＝∠D． 【答案】见解答过程． 【解答】证明：∵AB是∠CAD的平分线， ∴∠CAB＝∠DAB， ∴在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SAS）， ∴∠C＝∠D． 20．（10分）先化简，再求值：，其中x＝3．小乐同学的计算过程如下： 解：① ② ③ ④ ⑤ 当x＝3时，原式＝1． （1）小乐同学的解答过程中，第 　③　步开始出现了错误； （2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 【答案】（1）③； （2）解答见解析． 【解答】解：（1）第③步开始出现了错误，分子应该是2x﹣x﹣2， 故答案为：③． （2） ， 当x＝3时，原式． 21．（10分）乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的游客总人数为 　240　人，扇形统计图中m的值为 　35　； （2）请补全条形统计图； （3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率． 【答案】（1）240，35； （2）图形见解析； （3）． 【解答】解：（1）本次抽取的游客总人数为72÷30%＝240（人）， ∴m%＝84÷240×100%＝35%， 故答案为：240，35； （2）喜好甜皮鸡的人数为：240﹣48﹣72﹣84＝36（人）， 补全条形统计图如下： （3）把四种美食分别记为A：麻辣烫，B：跷脚牛肉，C：钵钵鸡，D：甜皮鸭， 画树状图如下： 共有12种可能出现的结果，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果有2种， ∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率为． 22．（10分）如图，已知点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数y（x＞0）的图象上，过点A的一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C（0，1）． （1）求m、n的值和一次函数的表达式； （2）连结AB，求点C到线段AB的距离． 【答案】（1）m＝3，n＝3；一次函数表达式为y＝2x+1；（2）． 【解答】解：（1）∵点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数图象上， ∴m＝3，n＝3． 又∵一次函数y＝kx+b过点A（1，3），C（0，1）， ∴，解得， ∴一次函数表达式为y＝2x+1． （2）如图，连结BC．过点A作AD⊥BC，垂足为点D，过点C作CE⊥AB，垂足为点E． ∵C（0，1），B（3，1）， ∴BC∥x轴，BC＝3． ∵点A（1，3），B（3，1），AD⊥BC， ∴点D（1，1），AD＝2，DB＝2． 在Rt△ADB中，AB2， 又∵S△ABC， 即， ∴，即点C到线段AB的距离为． 23．（10分）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度； （2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）秋千绳索的长度为14.5尺； （2）能，OA． 【解答】解：（1）如图，过点A′作A′B⊥OA于点B． 设秋千绳索的长度为x尺． 由题可知，OA＝OA′＝x尺，AB＝5﹣1＝4尺，A′B＝10尺， ∴OB＝OA﹣AB＝（x﹣4）尺． 在Rt△OA′B中，由勾股定理得：A′B2+OB2＝OA′2， ∴102+（x﹣4）2＝x2， 解得x＝14.5． 答：秋千绳索的长度为14.5尺； （2）能． 由题可知，∠OPA′＝∠OQA″＝90°，OA′＝OA″＝OA． 在Rt△OA′P中，cosα， ∴OP＝OA′•cosα＝OA•cosα， 同理，OQ＝OA″•cosβ＝OA•cosβ， ∵OQ﹣OP＝h， ∴OA•cosβ﹣OA•cosα＝h， ∴OA•（cosβ﹣cosα）＝h， ∴OA． 24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：DC∥AE； （2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）3π． 【解答】（1）证明：∵CD为⊙O的切线，点C在⊙O上， ∴∠OCD＝90°， ∴∠DCA+∠OCA＝90°， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠OAC＝90°． ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠B＝∠DCA， ∵， ∴∠B＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠DCA， ∴CD∥AE； （2）解：连结OE、BE， ∵EF垂直平分OB， ∴OE＝BE， ∵OE＝OB， ∴△OEB为等边三角形． ∴∠BOE＝60°， ∴∠AOE＝180°﹣60°120°， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA＝30°． ∵DC∥AE， ∴∠D＝∠OAE＝30°． ∵∠OCD＝90°， ∴OD＝2OC＝OA+AD， ∵OA＝OC， ∴OC＝AD＝3， ∴AO＝OE＝OC＝3， ∴EFOE， ∴△OAE的面积AO•FE， ∵扇形OAE的面积3π， ∴阴影的面积＝扇形OAE的面积﹣△OAE的面积＝3π． 25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+2a（a为常数且a＞0）与y轴交于点A． （1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标； （2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； （3）若抛物线与直线y＝x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】（1）（1，1）；（2）a；（3）． 【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标（1，1）； （2）当x＝0时，y＝2a，即抛物线与y轴的交点A坐标为（0，2a）， ∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，即“完美点”的个数为4个或5个，而a＞0， ∴当“完美点”个数为4个时，这4个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，3）， 当“完美点”个数为5个时，这5个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4）， ∴3≤2a＜5， ∴a的取值范围是a； （3）易知抛物线的顶点坐标为（1，a），过点P（2，2a），Q（3，5a），R（4，10a）． 显然，“完美点”（1，1），（2，2），（3，3）符合题意． 下面讨论抛物线经过（2，1），（3，2）的两种情况： ①当抛物线经过（2，1）时，解得．此时，P（2，1），，R（4，5）． 如图所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，3），共4个． ②当抛物线经过（3，2）时，解得．此时，，Q（3，2），R（4，4）． 如图所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（4，4），共6个． ∴a的取值范围是． 26．（13分）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E在边BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的长． 解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连结ED′． 由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′． ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠BAD+∠EAC＝45°． ∵∠BAD＝∠CAD′， ∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°． ∴∠DAE＝∠D′AE． 在△DAE和△D′AE中， AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE， ∴①_____． ∴DE＝D′E． 又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°， ∴在Rt△ECD′中，②_____． ∵CD′＝BD＝3，CE＝4， ∴DE＝D′E＝③_____． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：　△ADE≌△AD′E　；“②”处应填：　EC2+CD′2＝ED′2　；“③”处应填：　5　． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明． 【拓展应用】 如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．探究BE、EF、DF的数量关系：　EF2＝2BE2+2DF2　（直接写出结论，不必证明）． 【问题再探】 如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D、E在边AC上，且∠DBE＝45°．设AD＝x，CE＝y，求y与x的函数关系式． 最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界． 【答案】【问题解决】①△ADE≌△AD′E；②EC2+CD′2＝ED′2；③5； 【知识迁移】DN2+BM2＝MN2，理由见解析过程； 【拓展应用】2BE2+2DF2＝EF2，理由见解析过程； 【问题再探】． 【解答】解：【问题解决】：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连结ED′． 由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′． ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠BAD+∠EAC＝45°． ∵∠BAD＝∠CAD′， ∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°． ∴∠DAE＝∠D′AE． 在△DAE和△D′AE中， ， ∴△ADE≌△AD'E（SAS）． ∴DE＝D′E． 又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°， ∴在Rt△ECD′中，EC2+CD′2＝ED′2， ∵CD′＝BD＝3，CE＝4， ∴DE＝D′E＝5． 故答案为：①△ADE≌△AD′E；②EC2+CD′2＝ED′2；③5； 【知识迁移】DN2+BM2＝MN2，理由如下： 如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF′，过点D作DH⊥BD交边AF′于点H，连结NH． 由旋转得：AE＝AF′，BE＝DF′，∠BAE＝∠DAF′． 由题意得：EF+EC+FC＝DC+BC＝DF+FC+EC+BE， ∴EF＝DF+BE＝DF+DF′＝F′F． 在△AEF和AF′F中， ， ∴△AEF≌AF′F（SSS）， ∴∠EAF＝∠F′AF． 又∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°， ∵DH⊥BD， ∴∠ADH＝∠HDB﹣∠ADB＝45°， 在△ABM和△ADH中， ， ∴△ABM≌△ADH（ASA）， ∴AM＝AH，BM＝DH， 在△AMN和△AHN中， ， ∴△AMN≌△AHN（SAS）， ∴MN＝HN． 在Rt△HND中，DN2+DH2＝HN2， ∴DN2+BM2＝MN2； 【拓展应用】如图4所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连接HM，HE．过点H作HO⊥直线BC与O， ∴△ADF≌△AGH， ∴DF＝HG，AD＝AG， ∵∠CEF＝45°＝∠BEM，∠MBC＝90°， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BE＝BM， 由【知识迁移】知△AEH≌△AEF，则AH＝AF，EH＝EF， 则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2＝EH2， 即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2＝EH2 又∵EF＝HE，DF＝GH＝GM，BE＝BM， ∴（GH+BE）2+（BE﹣GH）2＝EF2， 即2（DF2+BE2）＝EF2， ∴EF2＝2BE2+2DF2． 故答案为：EF2＝2BE2+2DF2； 【问题再探】如图，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BE′C′，连结E′D，过点E作EG⊥BC，垂足为点G，过点E′作EG′⊥BC′，垂足为G′，过点E′作E′F∥BA，过点D作DF∥BC交AB于点H，E′F、DF交于点F， 由旋转得：BE＝BE′，∠CBE＝∠C′BE′，EG＝E′G′，BG＝BG′． ∵∠ABC＝90°，∠DBE＝45°， ∴∠CBE+∠DBA＝45°． ∴∠C′BE′+∠DBA＝45°，即∠DBE′＝45°． 在△EBD和△E′BD中， ， ∴△EBD≌△E′BD（SAS）． ∴DE＝DE′， ∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴， 又∵AD＝x，CE＝y， ∴DE′＝DE＝5﹣x﹣y． ∵DF∥BC， ∴∠ADH＝∠C，∠AHD＝∠ABC＝90°， ∴△AHD∽△ABC， ∴，即，， ∴， 同理可得：，， ∴，， ∵E′G′⊥AB，∠ABC＝90°， ∴E′G′∥BC∥FD． 又∵E′F∥AB，∠FHG′＝∠AHD＝90°， ∴四边形FE′G′H为矩形． ∴∠F＝90°，，， ∴， 在Rt△E′FD中，E′F2+DF2＝E′D2． ∴． 解得． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/26 20:49:19；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$