2024年山东省枣庄市、聊城市、临沂市、菏泽市、东营市中考数学试卷

2024年山东省枣庄市、聊城市、临沂市、菏泽市、东营市中考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．（3分）下列实数中，平方最大的数是（　　） A．3 B． C．﹣1 D．﹣2 2．（3分）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为（　　） A．0.619×103 B．61.9×104 C．6.19×105 D．6.19×106 4．（3分）下列几何体中，主视图是如图的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a4+a3＝a7 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．（a3b）2＝a3b2 D．a（2a+1）＝2a2+a 6．（3分）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（　　） A．200 B．300 C．400 D．500 7．（3分）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 8．（3分）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　） A． B．3 C． D．4 10．（3分）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180cm； ②1班学生的最低身高小于150cm； ③2班学生的最高身高大于或等于170cm． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）因式分解：x2y+2xy＝　 　． 12．（3分）写出满足不等式组的一个整数解 　 　． 13．（3分）若关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　． 14．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝　 　． 15．（3分）如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为 　 　． 16．（3分）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 　 　． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）计算：2﹣1﹣（）； （2）先化简，再求值：（1），其中a＝1． 18．（9分）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1： 【问题解决】（1）计算A，P两点间的距离． （参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可． （2）乙小组的方案用到了 　 　．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 19．（9分）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100． 下面给出了部分信息： 80≤x＜90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是 　 　分； （3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3：2的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下： 模型设计 科技小论文 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 20．（10分）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与y部分自变量与函数值的对应关系： x a 1 2x+b a 1 　 　 　 　 　 　 7 （1）求a、b的值，并补全表格； （2）结合表格，当y＝2x+b的图象在y的图象上方时，直接写出x的取值范围． 21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以点A为圆心，以AD为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作所交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG． （1）求证：CG为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留π） 22．（12分）一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1． （1）求证：BM＝EN； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P． ①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形； ②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系． 23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m． （1）求m的值； （2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围． 2024年山东省枣庄市、聊城市、临沂市、菏泽市、东营市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．（3分）下列实数中，平方最大的数是（　　） A．3 B． C．﹣1 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：∵32＝9，（）2，（﹣1）2＝1，（﹣2）2＝4， ∵1＜4＜9， ∴最大的数是：9． 故选：A． 2．（3分）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（3分）2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为（　　） A．0.619×103 B．61.9×104 C．6.19×105 D．6.19×106 【答案】C 【解答】解：61.9万＝619000＝6.19×105， 故选：C． 4．（3分）下列几何体中，主视图是如图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．主视图是等腰三角形，不符合题意； B．主视图是共底边的两个等腰三角形，故不符合题意； C．主视图是上面三角形，下面半圆，故不符合题意； D．主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故符合题意； 故选：D． 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a4+a3＝a7 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．（a3b）2＝a3b2 D．a（2a+1）＝2a2+a 【答案】D 【解答】解：A．式子中两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B． （a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故B不符合题意； C． （a3b）2＝a6b2，故C不符合题意； D．a（2a+1）＝2a2+a，故D符合题意． 故选：D． 6．（3分）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（　　） A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】B 【解答】解：设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为（x﹣100）， 根据题意，得：， 解得：x＝300， 经检验x＝300是分式方程的解，且符合题意， 答：改造后每天生产的产品件数300． 故选：B． 7．（3分）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【解答】解：∵四边形BCMN是正方形， ∴∠NBC＝90°， ∵∠ABN＝120°， ∴∠ABC＝360°﹣90°﹣120°＝150°， ∴正n边形的一个外角为180°﹣150°＝30°， ∴n的值为． 故选：A． 8．（3分）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 9．（3分）如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【解答】解：延长DF和AB，交于G点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB即DC∥AG， ∴△DEC∽△GAE ∴， ∵AC＝5，CE＝1， ∴AE＝AC﹣CE＝5﹣1＝4， ∴， 又∵EF＝DE，， ∴， ∵，DC＝AB， ∴， ∴， ∴ ∴AE∥BF， ∴△BGF∽△AGE， ∴， ∵AE＝4， ∴BF＝3． 故选：B． 10．（3分）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180cm； ②1班学生的最低身高小于150cm； ③2班学生的最高身高大于或等于170cm． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【解答】解：设1班同学的最高身高为x cm，最低身高为y cm，2班同学的最高身高为a cm，最低身高为b cm， 根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350， ∴x＝350﹣a， ∴350﹣a≤180， 解得a≥170， 故③正确； 1班学生的身高不超过180cm，最高未必是180cm，故无法判断①； 根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290， ∴b＝290﹣y， ∴290﹣y＞140， ∴y＜150， 故②正确， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）因式分解：x2y+2xy＝　xy（x+2）　． 【答案】xy（x+2）． 【解答】解：原式＝xy（x+2）， 故答案为：xy（x+2）． 12．（3分）写出满足不等式组的一个整数解 　﹣1（答案不唯一）　． 【答案】﹣1（答案不唯一）． 【解答】解：∵， 由①得：x≥﹣1， 由②得：x＜3， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3， ∴不等式组的一个整数解为：﹣1； 故答案为：﹣1． 13．（3分）若关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　　． 【答案】． 【解答】解：∵关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×m＝4﹣16m＝0， 解得：． 故答案为：． 14．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝　40°　． 【答案】40°． 【解答】解：连接OB，如图， ∵∠ACB＝25°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝50°， ∵OA＝OB， ∴， ∵OA∥CB， ∴∠OAC＝∠ACB＝25°， ∴∠CAB＝∠OAB﹣∠OAC＝40°， 故答案为：40°． 15．（3分）如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为 　　． 【答案】． 【解答】解：如图，过F作FH⊥AC于H， 由作图可得：∠BAP＝∠CAP，DE⊥AB，， ∵∠PQE＝67.5°， ∴∠AQF＝67.5°， ∴∠BAP＝∠CAP＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠FAH＝45°， ∴， ∴F到AN的距离为； 故答案为：． 16．（3分）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 　（2，1）　． 【答案】（2，1）． 【解答】解：点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2）， 经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1）， 经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4）， ……， 发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）， ∵2024÷3＝674⋯2， ∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1）， 故答案为：（2，1）． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）计算：2﹣1﹣（）； （2）先化简，再求值：（1），其中a＝1． 【答案】（1）3； （2）a﹣3；﹣2． 【解答】解：（1）原式； （2）（2）原式 ＝a﹣3； 将a＝1代入，得： 原式＝1﹣3＝﹣2． 18．（9分）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1： 【问题解决】（1）计算A，P两点间的距离． （参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可． （2）乙小组的方案用到了 　②　．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 【答案】（1）A，P两点间的距离为89.8米； （2）②． 【解答】解：（1）如图，过B作BH⊥AP于H， ∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19， ∴AH＝AB•cos79°≈60×0.19＝11.4（米）， BH＝AB•sin79°≈60×0.98＝58.8（米）， ∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°， ∴∠APB＝180°﹣79°﹣64°＝37°， ∴， ∴（米）， ∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米）； 即A，P两点间的距离为89.8米； （2）∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时， ∴∠ADP＝∠EDF， ∴△ADP≌△EFD（ASA）， ∴AP＝EF， ∴只需测量EF即可得到AP长度； ∴乙小组的方案用到了②； 19．（9分）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100． 下面给出了部分信息： 80≤x＜90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是 　83　分； （3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3：2的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下： 模型设计 科技小论文 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 【答案】（1）补充统计图见解析过程； （2）83； （3）600人； （4）甲的综合成绩比乙高． 【解答】解：（1）∵5÷10%＝50，而80≤x＜90有20人， ∴70≤x＜80有50﹣20﹣5﹣10＝15， 补全图形如下： （2）∵5+15＝20， 而80≤x＜90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． ∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83，83； 中位数为：， 故答案为：83； （3）全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为： （人）； （4）甲的成绩为：（分）； 乙的成绩为：（分）； ∴甲的综合成绩比乙高． 20．（10分）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与y部分自变量与函数值的对应关系： x a 1 2x+b a 1 　7　 　﹣2　 　　 7 （1）求a、b的值，并补全表格； （2）结合表格，当y＝2x+b的图象在y的图象上方时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1），补全表格见解析；7；﹣2；； （2）x的取值范围为或x＞1． 【解答】解：（1）当时，2x+b＝a，即﹣7+b＝a， 当x＝a时，2x+b＝1，即2a+b＝1， ∴， 解得：， ∴一次函数为y＝2x+5， 当x＝1时，y＝7， ∵当x＝1时，，即k＝7， ∴反比例函数为：， 当时，， 当y＝1时，x＝a＝﹣2， 当x＝﹣2时，， 补全表格如下： x ﹣2 1 2x+b ﹣2 1 7 ﹣2 7 故答案为：7；﹣2；； （2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，（1，7）， ∴当y＝2x+b的图象在的图象上方时，x的取值范围为或x＞1； 21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以点A为圆心，以AD为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作所交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG． （1）求证：CG为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留π） 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】（1）证明：连接BG，如图1， 根据题意可知：AD＝AE，BE＝BF， 又∵AB＝BC， ∴CF＝AE＝AD， ∵BC＝2AD， ∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF， ∵AD∥BC， ∴四边形ABFD是平行四边形， ∴∠BFD＝∠DAB＝60°， ∵BG＝BF， ∴△BFG是等边三角形， ∴GF＝BF， ∴GF＝BF＝FC， ∴G在以BC为直径的圆上， ∴∠BGC＝90°， ∴CG为所在圆的切线； （2）解：过D作DH⊥AB于点H，连接BG，如图2， 由图可得：S阴影＝S▱ABFD﹣S扇AED﹣S扇BEG﹣S△BFG， 在Rt△AHD中，AD＝1，∠DAB＝60°， ∴， ∴， 由题可知：扇形ADE和扇形BGE全等， ∴， 等边三角形BFG的面积为：， ∴． 22．（12分）一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1． （1）求证：BM＝EN； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P． ①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形； ②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）①证明见解析过程； ②当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为．理由见解答过程． 【解答】（1）证明：设AC＝DE＝a， ∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°， ∴∠A＝∠C＝45°， ∴AB＝BC， ∵BM⊥AC， ∴， ∵∠EDF＝30°，EN⊥DF， ∴， ∴BM＝EN； （2）①证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF， ∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°﹣30°＝60°， ∵α＝∠ACD＝30°， ∴∠ACN＝90°， ∵BM⊥AC， ∴∠PMC＝∠BMC＝90°， ∴四边形PMCN为矩形， ∵BM＝EN，即BM＝CN， 而BM＝CM， ∴CM＝CN， ∴四边形PMCN是正方形； ②解：当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为．理由如下： 如图1，当30°＜α＜60°时，连接CP， 由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°， ∵CP＝CP， ∴△PMC≌△PNC（SAS）， ∴PM＝PN， ∴MP+DP＝PN+DP＝DN， ∵∠D＝30°， ∴， ∴； 如图，当60°＜α＜120°时，连接CP， 由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°， ∵CP＝CP， ∴△PMC≌△PNC（SAS）， ∴PM＝PN， ∴DN＝PN﹣DP＝MP﹣DP， ∵∠CDF＝30°， ∴， ∴， 综上，当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为． 23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m． （1）求m的值； （2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围． 【答案】（1）m＝1； （2）新的二次函数的最大值与最小值的和为11； （3）． 【解答】解：（1）∵点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上， ∴4a+2b﹣3＝﹣3， 解得：b＝﹣2a， ∴抛物线为：y＝ax2﹣2ax﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴m＝1； （2）∵点Q（1，﹣4）在y＝ax2﹣2ax﹣3的图象上， ∴a﹣2a﹣3＝﹣4， 解得：a＝1， ∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1， ∵0≤x≤4， ∴当x＝1时，函数有最小值为1， 当x＝4时，函数有最大值为（4﹣1）2+1＝10 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11； （3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）． ∴x1+x2＝2，， ∵， ∴， ∵4＜x2﹣x1＜6， ∴即， 解得：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/18 8:19:14；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$