23.4 中位线（2个知识点+4类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

23.4 中位线 课程标准 学习目标 ①三角形的中位线； ②三角形的中位线定理. 1.知道三角形的中位线； 2.会用三角形的中位线定理解决问题. 知识点01 三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 数学表达式： 如图1，在∆ABC中， ∵AD=BD, AE=CE， ∴ DE为∆ABC的中位线. 特别提醒： （1）三角形有三条中位线；(2）不要把三角形的中位线与三角形的中线混淆，应从它们的定义加以区别. 知识点02 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 数学表达式：如图，在∆ABC中， ∵AD=BD, AE=CE， ∴且DE = BC 特别提醒： 三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，每个小三角形的面积为原三角形面积的四分之一. 【即学即练1】 如图，四边形中，E、F、G、H分别是四边的中点，对角线，则四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，进而证明，根据菱形的判定定理得出结论． 【详解】解：连接、， ∵E、F、G、H分别是四边的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， 故选：A． 【即学即练2】 如图，矩形中，，，是边上的动点，是边上的一动点，点、分别是、的中点，则线段的长度最大为 ． 【答案】13 【分析】此题考查了三角形中位线的性质定理，勾股定理，根据点、分别是、的中点，是的中位线，得到，故当最大时，线段的长度最大，利用勾股定理求出，即为线段的长度最大值． 【详解】解：连接， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，线段的长度最大， ∵是边上的动点，， ∴当点P与点C重合时，最大，此时， ∴线段的长度最大为13， 故答案为13． 题型01 与三角形中位线有关的求解问题 【典例1】如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，，则为 ．    【答案】1 【分析】本题考查了中位线定理，等腰三角形的性质，证明是的中位线是解题的关键． 根据等腰三角形的性质证明点是的中点，再利用中位线定理即可求解． 【详解】， 是等腰三角形， 又于点M， 点是的中点， 又 N是的中点， 是的中位线， 又，， ． 故答案为：1． 【变式1】如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，是的中点，则的长为（   ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据勾股定理求出，得到的长，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， ，， ， ，， 是的中位线， ， 故选：D． 【变式2】如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出，由三角形中位线定理推出． 由平行四边形的性质推出，，，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，求出，由三角形中位线定理得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ． 故选：D． 【变式3】在中，边的垂直平分线分别交，于点，，连接．若，，的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，勾股定理；根据题意得出是的中位线，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：边的垂直平分线分别交，于点，， ， 又， 是的中位线， 又的周长为， ， 在中， ， 故答案为：． 【变式4】如图，在矩形中，，，点在上，，点是上的动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂线段最短，首先判断出点的运动轨迹是线段，过点F作于点H，则为的最小值 【详解】解：连接交于点N，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵为的中点， ∴是△ADE的中位线， ∴即， ∴点在上， 过点F作于点H， 根据题意知，点的运动轨迹是线段，由“垂线段最短”知为的最小值， ∵点是的中点， ∴， 又 ∴四边形是矩形， ∴ ∴的最小值为， 故答案为： 题型02 三角形中位线与三角形面积问题 【典例1】如图，、是的两条中线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、三角形的面积计算．根据三角形中位线定理得到，，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：、是的两条中线， ∴，， ， ， 是的中线， ， ， 故答案为：． 【变式1】如图，在面积为2的中，D、E、F分别为、、的中点，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：，，分别是，，的中点， 则，，是的三条中位线， ， ∴△DEF∽△CAB， ， 的面积， 的面积， 故选：C． 【变式2】如图，在中，D，E分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质以及三角形中位线的性质，根据已知得是三角形的中位线，从而可得到，进一步得出，从而可出． 【详解】解：∵D，E分别为，的中点 ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，菱形中，对角线交于点O，，点P在上，E为的中点，连接与，M和N分别是的中点．连接，则点P从B向A运动的过程中，线段所扫过的图形面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．分别取的中点F，G，并连接，根据三角形中位线定理易证点三点共线，再证明四边形是平行四边形，根据所扫过的图形面积为由平移到，构成的平行四边形的面积，等于，利用三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：分别取的中点F，G，并连接， 菱形中，对角线交于点O，， ， E为的中点，点F，G为的中点，M和N分别是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 扫过的面积为由平移到，构成的平行四边形的面积，如图所示， 此时，点重合，点重合， ， 同理：， 扫过的面积为， 故答案为：． 【变式4】如题图，已知正方形的边长为2，为的中点，，求阴影部分的面积 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积公式，设交于，交于，连接，，证明得出，结合，得出，同理可得，再求出，最后由计算即可得解． 【详解】解：如图，设交于，交于，连接，， 四边形是正方形，且边长为2， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， 为的中点， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为： 题型03 与三角形中位线有关的证明问题 【典例1】我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形，连接，证明：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法． 因为，分别是边，的中点，根据中位线的性质得出，得出，，同理得出，，从而得出，由平行公理的推论得出，即可得出结论． 【详解】解：，分别是边，的中点， ∴，， ∵，分别是边，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，菱形的判定，三角形的中位线定理的应用，遇到中点，最常见的思路是构造三角形的中位线． 应添加的条件为，理由为根据三角形中位线定理结合得到四条边都相等，得出四边形为菱形即可． 【详解】解：应该添加的条件是； 连接、， ∵、、、分别为四边形四条边上的中点， ∴、分别为和的中位线， ， 同理， 又， ， ∴四边形是菱形， 故选：B． 【变式1】如图，在中，点，分别为，的中点，延长至点，使得，连接，．    (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形判定，平行四边形的判定的综合，掌握全等三角形判定，平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据点是的中点，可得，根据，可得，由“角边角”即可求证； （2）根据中位线，平行线的性质，四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由此即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， ， ， 在△ADE和中， ， ． （2）解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ，， 四边形是平行四边形． 题型04 三角形中位线有关的实际应用 【典例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，量得，则之间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形中位线的知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键，根据题意知是的中位线，利用中位线的定理可知，即可解答． 【详解】解：∵C，D是，的中点， ∴是的中位线， ∴，故选：B． 【变式1】为双减赋能，某校开展劳动实践课程，协助工人测量公园假山两点A、B之间的距离.如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，找到和的中点D、E，测得的长为，则假山两点A、B之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵点D、E分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 【变式2】如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：点，分别为，的中点， ， 故答案为：． 【变式3】如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用．利用三角形中位线定理“三角形的中位线是第三边的一半”即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴，答案为：6． 1．如图，是的中位线，若，则等于（     ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据是的中位线，可得，可得，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， 又， ．故选B． 2．如图，在菱形中，，．若菱形的周长24，则的长为（ 　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理；由菱形的性质得，由三角形中位线定理得，即可求解；掌握菱形的性质，三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， 是的中位线， ，故选：C． 3．如图所示，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且，则的值为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】点D，E，F分别是，，的中点，可判断出，，，为，，，的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此解答即可． 【详解】∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴． 故选：B 4．如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点是的中点，，在游戏中，小朋友离地面的最大高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，在上截取，连接，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在上截取，连接，如下图所示， ∴是的中位线，则 ∴ 此时点A在地面上，小朋友离地面的距离最大，最大值为，故选：B． 5．如图，要测量池塘边上B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结，，并取，的中点D，E，连结．测出的长为20米，则B，C两地的距离为（    ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得解． 【详解】解： D，E是，的中点， 是的中位线， ，又， 米． 故选：D 6．如图，有一个三角形的台面，把各边中点连线所围成的三角形铺上带花纹的黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺上米白色的大理石，那么黑色大理石与米白色大理石的面积之比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的定义与性质，先根据“把各边中点连线所围成的三角形铺上带花纹的黑色大理石（图中阴影部分）”得出是的中位线，结合中位线的性质，即可作答． 【详解】解：如图 依题意，分别是的中点。 ∴是的中位线， 即 ∴ ∴ 则相似比为 ∴ 那么黑色大理石与米白色大理石的面积之比为， 故选：C． 7．如图，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点D，若矩形的面积为12，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是求出的面积． 过点作于点，连接，由矩形的性质可知：，从而可求出的面积，利用反比例函数中的几何意义即可求出的值． 【详解】解：过点作于点，连接， 由矩形的性质可知：， ∵矩形的对角线的中点D， ∴ ∵ ∴ ∴是的中位线， ， ， 故选：B． 8．如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为（　 ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】延长交于E，利用“”证明得到，，再根据三角形的中线平分三角形的面积得到，进而可求解． 【详解】解：延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， , ∴， ∴，， ∴，又， ∴， 故选：B． 9．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，连接，若，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，． ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 是的中点，， ∴是的中位线， ，故选：C． 10．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定、三角形的面积计算，正确作出辅助线、证明是解题的关键．过点作交于，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：过点作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ， ， 的面积为2 的面积为6，故选：． 11．孔明同学用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，点、对应的刻度分别为0，9，点D、E分别为边，的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：由题意可知，，且点、分别为边，的中点 故答案为：． 12．如图，已知等边，D是边的中点，过D作于E，连接交于；过作于点，连接交于；过作于，…如此继续，若记为，记为S₂，记为S₃…，若面积为，则 【答案】 【分析】根据是边的中点，过作，得到为的中点，，设的高是，根据三角形的面积公式求出，根据，，得到，求出，同理，进而得出，最后带入2023即得到答案． 【详解】解：是边的中点，， ∴， 为的中点，， 设的高是， 过作于， ，， ， ，， ∴， ， ∴， ∴ ，， ∴， ， 同理， ， 故 故答案为：． 13．如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则 ．    【答案】 【分析】取中点可证得，进一步推出故可得出结论． 【详解】解：取中点，则是中位线， ∴， ， ∴， ∴ 设，则，， ∴，故答案为．    14．如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质定理，根据平行四边形的性质得到，结合平分，推出，得到，利用等腰三角形三线合一的性质得到，再利用三角形中位线的性质求出，熟练掌握平行四边形的性质及三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，故答案为：2． 15．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点分别平分和，， ，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，，，由平行线的性质和等腰三角形的判定可证，由等腰三角形的性质，由三角形中位线定理可求解． 【详解】解：如图，延长交于F， ∵四边形是平行四边形， ，，，， ， 平分， ， ， ， 又平分， ， ， ，， ， ， 故答案为：1． 16．如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，再证明，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：，分别是和的中点， 是的中位线， ，， ，， 点是的中点， ， 在和中， , ， ， 故答案为：2． 17．如图，在中，D、E、F分别是边、、的中点，且，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．根据三角形的中位线定理可求出的长，由此即可得． 【详解】解：∵在中，、、分别是边、、的中点，且，， ∴，， ∴， 故答案为：5． 18．如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故答案为：， 19．如图，在矩形中，对角线交于点，分别为的中点．若，则的长为 ．    【答案】16 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质，由三角形中位线定理得出，再由矩形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵分别为的中点 ∴为的中位线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，故答案为：． 20．如图，在正方形中，分别是边，的中点，连接，，分别是，的中点，连接，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线等知识，连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，最后利用三角形的中位线定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接并延长交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 故答案为：． 21．如图在中，是中的角平分线，，点E是边的中点，如果，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，以及等腰三角形的判定和性质．延长交于点F，可证明，从而得出，利用三角形的中位线定理，从而得出的长． 【详解】解：延长交于点F， 平分，， ，， 为公共边， ∴， ， ， ， 点是边的中点， ． 22．如图，在中，、分别为边、上的中线，、相交于点，点、分别是、的中点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，根据、为的中线，点、分别是、的中点，得出是的中位线，是的中位线，运用中位线的性质，即可作答． 【详解】证明：如图，连接， 、为的中线， ∴点、分别是、的中点， ∵点、分别是、的中点， ，，，， 是的中位线，是的中位线 ，， ． 23．如图，平行四边形ABCD中，相交于点O，点E，F分别是的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)设，当k为何值时，四边形是矩形？请直接写出合适的k值．不需要说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)2 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理等知识，推导出是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，因为，所以，即可由，证明四边形为平行四边形； （2）当时，则，因为，所以，则，所以，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，相交于点， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． （2）当时，四边形是矩形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形． 24．我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，可证中点四边形是平行四边行，如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使中点四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面问题？ (1)当______时，四边形为菱形； (2)当______时，四边形为矩形； (3)当和满足什么条件时，四边形为正方形？请回答并证明你的结论． 【答案】(1)；(2)；(3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定，熟练的掌握三角形的中位线定理并在推理论证中正确的运用是解题的关键． （1）根据三角形得中位线定理， ，结合题意，则可得到四边形是菱形； （2）根据三角形的中位线定理，可得，，，结合题意四边形是矩形，可得； （3）结合（1）（2）易得四边形为正方形． 【详解】（1）解：∵、、、分别是四边形各边的中点， ∴、分别是和的中位线； ∴， ； 当时， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 故答案为： （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵、、、分别是四边形各边的中点， ∴、分别是和的中位线； ∴，， ∴， 即：， ∴当时，四边形为矩形． （3）当时，由（1）得四边形是菱形； 当时，由（2）四边形是矩形； ∴四边形是正方形； 故当且时，四边形是正方形． 25．如图，等边三角形的边长是4，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析；(2) 【分析】（1）由三角形中位线定理结合题意可得出，，即判定四边形为平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得出，再根据等边三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下： ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴． ∵为的中点，三角形为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 26．如图，四边形是平行四边形，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟记矩形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以于点于点，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； （2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出，再根据矩形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴． ∴， ∴， ∵于点于点， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ， ， 在中，， ，即， ， ∵四边形是矩形， ． 27．阅读下面材料，并回答问题． 在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题． 在八下课本49页中，我们得到了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．证明过程如下： 已知：如图1，D、E分别是的边AB，AC的中点； 求证：且． 证明：如图1，延长DE到点F，使，连接FC，DC，AF． ∵E为AC中点 ① ， ∴四边形ADCF是平行四边形，（ ② ）（填推理的依据） ∴CF平行且等于DA 即CF平行且等于BD． ∴四边形DBCF是平行四边形 ，， 又，，． 这个证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化． (1)请完成证明过程中的填空： ①_______  ②_______ (2)在学习的过程中，我们可以用转化的数学思想，解决很多数学问题． 例如：如图2，在四边形ABCD中，，且点E，F分别为AB和CD中点． 猜想：线段AD，BC和EF之间的数量和位置关系，并写出证明过程． (3)类比运用：如图3，在四边形ABCD中，，且．求证：． 【答案】(1)①CE；②对角线相互平分的四边形是平行四边形；(2)；；证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）根据线段中点定义和平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）连接并延长交的延长线于点，先证明，推出，，利用（1）的结论，根据中位线的性质即可求解； （3）如图3，过点作的平行线，交于点，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：① ；②对角线相互平分的四边形是平行四边形 故答案为：，对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）， 证明：延长和交于点 ， 为中点 在和中 ，为的中点 ，为，中点， 为的中位线 ， ， ，；即， （3）证明：过点作的平行线，交于点 ，， 四边形为平行四边形           ；即． 28．如图，在中，点是边的中点，平分，于，延长交于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线的判定与性质，解题的关键是熟知判定全等三角形全等的定理与三角形的中位线定理． （1）根据“角边角”即可判定两三角形全等． （2）由三角形全等推知D是边的中点，再结合点M是边的中点，可得出等于的一半长． 【详解】（1）∵平分， ∴又， ∴（） （2）∵， ∴， ∴， 由得，又点M是边的中点， ∴是的中位线， ∴． 29．如图，在边长为2的正方形中，E是边延长线上一动点，连接分别交， 于点H，F，连接． (1)求证： ； (2)线段上是否存在点G，使得四边形为平行四边形？若存在，求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)存在这样的点G， 【分析】（1）证明，可得，从而推出； （2）若四边形是平行四边形，结合（1）的结论易证，进而证明是的中位线，根据三角形的面积公式得到，从而得解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）存在这样的点G．理由如下： 如图，若四边形是平行四边形， 则有，， ， ，， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ． 30．综合与实践 问题背景：几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢? 问题解决：下面是两位同学的转化方法： 方法1：如图1，连接四边形的对角线，，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形． （1）请直接写出 和 之间的数量关系：__________________． 方法2：如图2， 取四边形四边的中点E， F， G， H， 连接，，， ， （2）请直接写出与之间数量的关系：__________________． （3）求证：四边形是平行四边形； 实践应用： 如图3，某村有一个四边形池塘， 它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状． （4）请问能否实现这一设想?若能，请你画出你设计的图形； 若不能，请说明理由． （5）已知， 在四边形池塘中， 对角线AC与BD交于点O．，，，则求四边形池塘的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）能，画图见解析；（5）． 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理． （1）根据平行四边形的判定得到四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，结合平行四边形的对角线分得两个面积相等的三角形求解即可得到答案； （2）根据中位线得到平行且等于底边一半，得到平行四边形，结合平行四边形判定即可得到答案； （3）根据中位线得到平行且等于底边一半，得到平行四边形，结合平行四边形判定即可得到答案； （4）本题考查作平行线，根据题目要求构造平行线即可得到答案； （5）本题考查平行四边形的性质，勾股定理，过H作于点M，结合勾股定理求出，结合面积公式求解即可得到答案； 【详解】解：（1），理由如下， ∵，， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴，，，， ∴， 故答案为：， （2）证明：∵E，H分别为，中点 ∴．， ∵F，G分别为，中点 ∴，， ∴，， ∴四边形EFGH为平行四边形， （3）由题意得； （4）能，如图所示，连接对角线，交于点O， 过点D作的平行线，过点B作的平行线 过点A作的平行线，过点C作的平行线 四边形即为所求，    （5）过H作于点M， ∵， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.4 中位线 课程标准 学习目标 ①三角形的中位线； ②三角形的中位线定理. 1.知道三角形的中位线； 2.会用三角形的中位线定理解决问题. 知识点01 三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 数学表达式： 如图1，在∆ABC中， ∵AD=BD, AE=CE， ∴ DE为∆ABC的中位线. 特别提醒： （1）三角形有三条中位线；(2）不要把三角形的中位线与三角形的中线混淆，应从它们的定义加以区别. 知识点02 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 数学表达式：如图，在∆ABC中， ∵AD=BD, AE=CE， ∴且DE = BC 特别提醒： 三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，每个小三角形的面积为原三角形面积的四分之一. 【即学即练1】 如图，四边形中，E、F、G、H分别是四边的中点，对角线，则四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形 【即学即练2】 如图，矩形中，，，是边上的动点，是边上的一动点，点、分别是、的中点，则线段的长度最大为 ． 题型01 与三角形中位线有关的求解问题 【典例1】如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，，则为 ．    【变式1】如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，是的中点，则的长为（   ） A．9 B．8 C．6 D．4 【变式2】如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】在中，边的垂直平分线分别交，于点，，连接．若，，的周长为，则 ． 【变式4】如图，在矩形中，，，点在上，，点是上的动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 ．    题型02 三角形中位线与三角形面积问题 【典例1】如图，、是的两条中线，则 ． 【变式1】如图，在面积为2的中，D、E、F分别为、、的中点，的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，D，E分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，菱形中，对角线交于点O，，点P在上，E为的中点，连接与，M和N分别是的中点．连接，则点P从B向A运动的过程中，线段所扫过的图形面积是 ． 【变式4】如题图，已知正方形的边长为2，为的中点，，求阴影部分的面积 题型03 与三角形中位线有关的证明问题 【典例1】我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形，连接，证明：四边形是平行四边形． 【变式1】如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，点，分别为，的中点，延长至点，使得，连接，．    (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 题型04 三角形中位线有关的实际应用 【典例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，量得，则之间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】为双减赋能，某校开展劳动实践课程，协助工人测量公园假山两点A、B之间的距离.如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，找到和的中点D、E，测得的长为，则假山两点A、B之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为 ． 【变式3】如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 1．如图，是的中位线，若，则等于（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，在菱形中，，．若菱形的周长24，则的长为（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图所示，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且，则的值为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点是的中点，，在游戏中，小朋友离地面的最大高度是（   ） A． B． C． D． 5．如图，要测量池塘边上B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结，，并取，的中点D，E，连结．测出的长为20米，则B，C两地的距离为（    ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 6．如图，有一个三角形的台面，把各边中点连线所围成的三角形铺上带花纹的黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺上米白色的大理石，那么黑色大理石与米白色大理石的面积之比为（    ）． A． B． C． D． 7．如图，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点D，若矩形的面积为12，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为（　） A．4 B．5 C．6 D．8 9．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，连接，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 11．孔明同学用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，点、对应的刻度分别为0，9，点D、E分别为边，的中点，则的长为 ． 12．如图，已知等边，D是边的中点，过D作于E，连接交于；过作于点，连接交于；过作于，…如此继续，若记为，记为S₂，记为S₃…，若面积为，则 13．如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则 ．    14．如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则 ． 15．如图，平行四边形的对角线交于点分别平分和，，，则 ． 16．如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为 ． 17．如图，在中，D、E、F分别是边、、的中点，且，，则 ． 18．如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 19．如图，在矩形中，对角线交于点，分别为的中点．若，则的长为 ．    20．如图，在正方形中，分别是边，的中点，连接，，分别是，的中点，连接，若，则的长度为 ． 21．如图在中，是中的角平分线，，点E是边的中点，如果，求的长． 22．如图，在中，、分别为边、上的中线，、相交于点，点、分别是、的中点，连接，，求证：． 23．如图，平行四边形ABCD中，相交于点O，点E，F分别是的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)设，当k为何值时，四边形是矩形？请直接写出合适的k值．不需要说明理由． 24．我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，可证中点四边形是平行四边行，如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使中点四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面问题？ (1)当______时，四边形为菱形； (2)当______时，四边形为矩形； (3)当和满足什么条件时，四边形为正方形？请回答并证明你的结论． 25．如图，等边三角形的边长是4，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)求的长． 26．如图，四边形是平行四边形，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，，，求的长． 27．阅读下面材料，并回答问题． 在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题． 在八下课本49页中，我们得到了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．证明过程如下： 已知：如图1，D、E分别是的边AB，AC的中点； 求证：且． 证明：如图1，延长DE到点F，使，连接FC，DC，AF． ∵E为AC中点 ① ， ∴四边形ADCF是平行四边形，（ ② ）（填推理的依据） ∴CF平行且等于DA 即CF平行且等于BD． ∴四边形DBCF是平行四边形 ，， 又，，． 这个证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化． (1)请完成证明过程中的填空： ①_______  ②_______ (2)在学习的过程中，我们可以用转化的数学思想，解决很多数学问题． 例如：如图2，在四边形ABCD中，，且点E，F分别为AB和CD中点． 猜想：线段AD，BC和EF之间的数量和位置关系，并写出证明过程． (3)类比运用：如图3，在四边形ABCD中，，且．求证：． 28．如图，在中，点是边的中点，平分，于，延长交于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 29．如图，在边长为2的正方形中，E是边延长线上一动点，连接分别交， 于点H，F，连接． (1)求证： ； (2)线段上是否存在点G，使得四边形为平行四边形？若存在，求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 30．综合与实践 问题背景：几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢? 问题解决：下面是两位同学的转化方法： 方法1：如图1，连接四边形的对角线，，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形． （1）请直接写出 和 之间的数量关系：__________________． 方法2：如图2， 取四边形四边的中点E， F， G， H， 连接，，， ， （2）请直接写出与之间数量的关系：__________________． （3）求证：四边形是平行四边形； 实践应用： 如图3，某村有一个四边形池塘， 它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状． （4）请问能否实现这一设想?若能，请你画出你设计的图形； 若不能，请说明理由． （5）已知， 在四边形池塘中， 对角线AC与BD交于点O．，，，则求四边形池塘的面积． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$