第06讲 函数的概念及其表示（15类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第06讲 函数的概念及其表示 （15类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2023年北京卷，第11题，5分 函数值与指数幂运算、对数运算结合 2023年北京卷，第15题，5分 分段函数与平面解析几何结合 2022年北京卷，第4题，4分 函数的概念与指对幂化简结合 2022年北京卷，第11题，5分 函数的定义域 2022年北京卷，第14题，5分 分段函数的最值 2020年北京卷，第11题，5分 函数的定义域 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】高频考点，主要是以选择、填空的形式出现，对分段函数的考查力度加大，难度简单或中等. 【备考策略】 1. 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域； 2. 在实际情境中，会根据不同的需求选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数； 3. 了解简单的分段函数，并会简单应用． 【命题预测】函数的定义域、函数值以及分段函数与基本初等函数结合依旧是重点关注方向． 知识讲解 知识点一 函数的概念 1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的定义域、值域：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． 3、函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 4、相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 5、求函数定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 （1）分式中分母不能为零； （2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中； 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，； （3）零次幂的底数不能为零，即中； （4）如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 知识点二 函数的表示 1、函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 2、描点法作函数图象 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； （2）描点：从表中得到一些列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 3、函数解析式的四种求法 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． 确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 （2）换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 先令，注意分析的取值范围；反解出x，即用含的代数式表示x；将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． （4）方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 知识点二 分段函数 1、定义与性质： （1）定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． （2）性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 2、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 考点一、函数概念的辨析 【典例1】若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（22-23高一上·北京·期中）下列四个图形中，不是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三·北京·练习）集合下列表示从到的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）存在定义域为的函数，满足对任意，使得下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 考点二、判断两个函数是否相等 【典例1】（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·天津·阶段练习）下列函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三上·广东佛山·阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（    ） ①与；    ②与； ③与；    ④与． A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 2．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）各组函数是相等函数的为（    ） A．， B．， C．， D．， 考点三、求具体函数的定义域 【典例1】（23-24高三上·北京丰台·期中）函数的定义域为 ． 【典例2】（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·北京怀柔·零模）函数的定义域是 . 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）函数 的定义域是 ． 考点四、求抽象函数的定义域 【典例1】（23-24高三下·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【典例2】（23-24高三上·河北邢台·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 考点五、根据函数的定义域求参数 【典例1】（23-24高三上·北京·期中）函数的定义域为，请写出满足题意的一个实数的值 ． 【典例2】（23-24高三上·宁夏石嘴山·期中）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（2024·浙江·模拟预测）若分式不论x取何值总有意义，则点关于x轴的对称点在第 象限． 考点六、待定系数法求函数的解析式 【典例1】（22-23高三·北京·练习）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（22-23高二下·河北秦皇岛·期末）一次函数在上单调递增，且，则 . 1．已知为二次函数且，，则 ． 2．（23-24高三上·甘肃兰州·开学考试）已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝3x+2，则f（x） 的解析式为 考点七、换元法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知，则 ． 1．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）已知，则函数的解析式为 . 2．（22-23高三上·北京·复习题）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 考点八、配凑法求函数的解析式 【典例1】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ． 考点九、方程组法求函数的解析式 【典例1】（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数满足，则等于（     ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 1．（23-24高三上·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·辽宁丹东·期中）若，函数满足，则 ． 考点十、赋值法求函数的解析式 【典例1】（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ． 【典例2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 1．已知，对任意的实数x，y都有. 2．（23-24高三上·河南新乡·一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点十一、求函数的最值或值域 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）函数的值域为 . 【典例2】（22-23高三上·广东河源·开学考试）函数的最大值为 . 1．（23-24高三下·北京怀柔·零模）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·陕西·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 考点十二、分段函数求值问题 【典例1】（23-24高三上·北京石景山·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数，则 ． 1．（23-24高三下·江苏南通·3.5模）已知函数，则 . 2．（23-24高三下·湖北·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 考点十三、分段函数求参数问题 【典例1】（23-24高三下·四川自贡·三模）函数，则 . 【典例2】设函数，若，则（    ） A． B． C．2 D．6 1．（23-24高三上·河北唐山·期末）已知函数满足，则实数m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（22-23高三上·北京东城·开学考试）设函数（且），若，则（    ） A． B． C．2 D．4 考点十四、分段函数不等式求解 【典例1】（23-24高三上·北京·开学考试）函数，则不等式的解集为 . 【典例2】（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 1．（23-24高三下·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 考点十五、根据分段函数的最值求参数 【典例1】（23-24高三上·北京·期中）已知函数，当时，取得最小值，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·北京朝阳·二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·北京·阶段诊断）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（    ） A．或2 B．或2 C．2或 D．或 1．（23-24高三上·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 2．（22-23高二下·河北石家庄·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江·期中）下列各组中的函数表示同一个函数的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（23-24高三上·北京·阶段练习）函数，则 . 5．（23-24高三上·北京房山·期末）函数的定义域是 . 6．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，定义域为，则的值域为 ． 7．（232-4高三下·安徽蚌埠·阶段练习）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知是一次函数，且，求； (3)定义在区间上的函数满足，求的解析式． (4)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则f(x)的解析式 1．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数,若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 4．（22-23高三上·浙江杭州·阶段练习）已知对所有的非负整数均有，若，则 ． 5．（22-23高一上·广东佛山·期中）设函数,若，则的取值范围是 . 6．（23-24高三下·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 7．（22-23高三下·北京海淀·开学考试）已知函数 ①若的最大值为，则a的一个取值为 ． ②记函数的最大值为，则的值域为 ． 1．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 2．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 4．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 5．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 6．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 7．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 8．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 函数的概念及其表示 （15类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2023年北京卷，第11题，5分 函数值与指数幂运算、对数运算结合 2023年北京卷，第15题，5分 分段函数与平面解析几何结合 2022年北京卷，第4题，4分 函数的概念与指对幂化简结合 2022年北京卷，第11题，5分 函数的定义域 2022年北京卷，第14题，5分 分段函数的最值 2020年北京卷，第11题，5分 函数的定义域 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】高频考点，主要是以选择、填空的形式出现，对分段函数的考查力度加大，难度简单或中等. 【备考策略】 1. 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域； 2. 在实际情境中，会根据不同的需求选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数； 3. 了解简单的分段函数，并会简单应用． 【命题预测】函数的定义域、函数值以及分段函数与基本初等函数结合依旧是重点关注方向． 知识讲解 知识点一 函数的概念 1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的定义域、值域：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． 3、函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 4、相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 5、求函数定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 （1）分式中分母不能为零； （2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中； 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，； （3）零次幂的底数不能为零，即中； （4）如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 知识点二 函数的表示 1、函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 2、描点法作函数图象 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； （2）描点：从表中得到一些列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 3、函数解析式的四种求法 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． 确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 （2）换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 先令，注意分析的取值范围；反解出x，即用含的代数式表示x；将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． （4）方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 知识点二 分段函数 1、定义与性质： （1）定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． （2）性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 2、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 考点一、函数概念的辨析 【典例1】若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数定义可排除C，由值域为可排除A、B， 只有D选项为定义域为，值域为的函数的图象.故选：D. 【典例2】（22-23高一上·北京·期中）下列四个图形中，不是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据函数的定义可知：直线与函数图象至多有一个交点， 所以ABD选项中的图象符合，C选项不符合.故选：C. 1．（22-23高三·北京·练习）集合下列表示从到的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由集合， 对于A中，若，则集合中任意元素，在集合中都有唯一的元素与之对应， 所以可构成集合到的函数，符合题意； 对于B中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应， 所以不能构成集合到的函数，不符合题意； 对于C中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应， 所以不能构成集合到的函数，不符合题意； 对于D中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应， 所以不能构成集合到的函数，不符合题意；故选：A. 2．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）存在定义域为的函数，满足对任意，使得下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为有两个不相等的根和，所以当时，； 当，，与函数的定义不符，故A不成立； 对于B，令，则， 令，则，与函数定义不符，故B不成立； 对于C，令，则，令，则，与函数定义不符，故C不成立； 对于D，，，唯一确定，符合函数定义.故D成立，故选：D. 考点二、判断两个函数是否相等 【典例1】（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，定义域为. 选项A中，定义域为，故A错误； 选项B中，定义域为，故B错误； 选项中，定义域为，故正确； 选项D中，定义域为，故D错误.故选：C. 【典例2】（23-24高二下·天津·阶段练习）下列函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A项，，与的对应法则不同，故不是同一函数，A项错误； 对于B项，的定义域为的定义域为， 故两函数定义域不同，故与不是同一函数，B项错误； 对于C项，与的定义域相同，对应法则也相同，C项正确； 对于项，， 与的对应法则不同，故不是同一函数，D项错误. 故选:C. 1．（22-23高三上·广东佛山·阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（    ） ①与；    ②与； ③与；    ④与． A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【解析】①与的定义域是， 而，故这两个函数不是同一函数； ②与的定义域都是，， 这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数； ③与的定义域都是，并且定义域内， 对应法则也相同，故这两个函数是同一函数； ④与定义域相同，对应法则相同，是同一函数； 所以是同一函数的是③④．故选：C． 2．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）各组函数是相等函数的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，因为的定义域为，的定义域为， 所以两函数的定义域不相等，所以这两函数不是相等函数，所以A错误， 对于B，，的定义域都为， 因为， 所以两函数不是相等函数，所以B错误， 对于C，，的定义域都为， 因为，所以这两个函数不是相等函数，所以C错误， 对于D，因为的定义域都为，且对应关系相同， 所以是相等函数，所以D正确，故选：D 考点三、求具体函数的定义域 【典例1】（23-24高三上·北京丰台·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】由，得且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 【典例2】（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为.故选：C. 1．（23-24高三下·北京怀柔·零模）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】函数有意义，则，解得或， 所以函数的定义域是. 故答案为： 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）函数 的定义域是 ． 【答案】 【解析】易知， 要使式子有意义则需满足；解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 考点四、求抽象函数的定义域 【典例1】（23-24高三下·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由函数的定义域为，则有， 令，解得. 故答案为：. 【典例2】（23-24高三上·河北邢台·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以的定义域为， 要使有意义，需满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的定义域为，即，得， 因此由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为.故选：D 2．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】（1）令，则，因为函数的定义域为， 所以，即，所以函数的定义域为 （2）由函数的定义域为，得到即， 因此函数的定义域为． 故答案为：；. 考点五、根据函数的定义域求参数 【典例1】（23-24高三上·北京·期中）函数的定义域为，请写出满足题意的一个实数的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为的定义域为， 所以在上恒成立，即， 由于在上恒成立，故实数的取值范围为. 故答案为：（答案不唯一）. 【典例2】（23-24高三上·宁夏石嘴山·期中）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，可知的解集为R， 若，则不等式恒成立，满足题意； 若，则，解得． 综上可知，实数m的取值范围是．故选：A． 1．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由题可知，且，即，所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为4.故选：C. 2．（2024·浙江·模拟预测）若分式不论x取何值总有意义，则点关于x轴的对称点在第 象限． 【答案】一 【解析】分式不论x取何值总有意义，即方程无解 所以，解得， 所以， 所以点在第四象限，其关于x轴的对称点在第一象限. 故答案为：一. 考点六、待定系数法求函数的解析式 【典例1】（22-23高三·北京·练习）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数，故选：A. 【典例2】（22-23高二下·河北秦皇岛·期末）一次函数在上单调递增，且，则 . 【答案】 【解析】设，则， ， 则.又在上单调递增，即， 所以，，则. 故答案为： 1．已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【解析】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 2．（23-24高三上·甘肃兰州·开学考试）已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝3x+2，则f（x） 的解析式为 【答案】或 【解析】设，则 于是有解得或 所以或. 故答案为：或. 考点七、换元法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，，则，， 所以， 所以的解析式为：故选：B. 【典例2】（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【解析】设（），则，，（）， 则. 故答案为： 1．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）已知，则函数的解析式为 . 【答案】 【解析】依题意，令，则， 所以函数的解析式为. 故答案为： 2．（22-23高三上·北京·复习题）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，得， ，．故选：C． 考点八、配凑法求函数的解析式 【典例1】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，函数， 所以的解析式是.故选：B 【典例2】（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，∴，故选：A. 1．（23-24高三上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】，且， 所以，.故选：B. 2．已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ． 【答案】x2－2(|x|≥2) 【解析】f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2). 考点九、方程组法求函数的解析式 【典例1】（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数满足，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数满足， 所以在中分别令、， 可得， 解不等式组得.故选：A. 【典例2】（23-24高三上·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 【答案】 【解析】由，得，即①， 将换为，得②， 由①+2②，得，故. 故答案为：. 1．（23-24高三上·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，将换成，可得， 即， 联立方程组，解得， 所以.故选：B. 2．（23-24高三上·辽宁丹东·期中）若，函数满足，则 ． 【答案】/-0.5 【解析】由题意知：，， 所以得：， 解之得：，即，所以得：． 故答案为： 考点十、赋值法求函数的解析式 【典例1】（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ． 【答案】 【解析】中，令，得； 令得，故，则． 故答案为：． 【典例2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】C 【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足， 取，得，则， 取，得，则，故错误； 对于B，取，得，则， 所以， 以上各式相加得， 所以， 令，得，此方程无解，故B错误. 对于CD，由知， 所以是偶函数， 不是偶函数，故C正确，错误.故选：C. 1．已知，对任意的实数x，y都有. 【答案】 【解析】令，得， 所以，即． 2．（23-24高三上·河南新乡·一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，得. 令，得，解得， 则不等式转化为， 因为是增函数，且， 所以不等式的解集为.故选：A 考点十一、求函数的最值或值域 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）函数的值域为 . 【答案】 【解析】当时，， 当时，则，即， 综上的值域为， 故答案为：. 【典例2】（22-23高三上·广东河源·开学考试）函数的最大值为 . 【答案】/ 【解析】令，则，所以， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下， 所以函数在单调递增，在上单调递减. 所以当，即时， 取得最大值为. 故答案为：. 1．（23-24高三下·北京怀柔·零模）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 2．（23-24高三下·陕西·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 令，则， 设，可得， 当时，有最大值为2， 所以函数的最大值为2.故选：D. 考点十二、分段函数求值问题 【典例1】（23-24高三上·北京石景山·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 由于， 所以， 所以.故选：C 【典例2】（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数，则 ． 【答案】 【解析】依题意，， 所以. 故答案为： 1．（23-24高三下·江苏南通·3.5模）已知函数，则 . 【答案】 【解析】依题意，， 所以.故答案为： 2．（23-24高三下·湖北·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】故选：A 考点十三、分段函数求参数问题 【典例1】（23-24高三下·四川自贡·三模）函数，则 . 【答案】2 【解析】，若， 则或，即或，解得. 故答案为：2. 【典例2】设函数，若，则（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】D 【解析】易得在和上为增函数， ，所以， 由得，解得或（舍去）， 则，故选：D. 1．（23-24高三上·河北唐山·期末）已知函数满足，则实数m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】函数，， 所以.故选：B 2．（22-23高三上·北京东城·开学考试）设函数（且），若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】， 由于且，所以.故选：D 考点十四、分段函数不等式求解 【典例1】（23-24高三上·北京·开学考试）函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】根据题意，做出函数的图像如图所示， 由函数的图像可知，函数在上单调递增， 所以等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【典例2】（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当，即，解得； 当，即，解得. 故实数的取值范围是. 故答案为： 1．（23-24高三下·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，不等式可化为， 所以，可得； 当时，不等式可化为， 所以，且， 所以， 所以不等式的解集是，故选：B. 2．已知函数，若，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因在上单调递增，在上单调递增， 因此，函数在R上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围是.故选：C 考点十五、根据分段函数的最值求参数 【典例1】（23-24高三上·北京·期中）已知函数，当时，取得最小值，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，单调递增，则； 当时，开口向上，且对称轴为， 又当时，取得最小值， 所以，解得， 所以m的取值范围为．故选：B． 【典例2】（23-24高三下·北京朝阳·二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，所以在上单调递增，无最小值， 根据题意，存在最小值， 所以，即.故选：A. 1．（23-24高三上·北京·阶段诊断）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 当时， ， 因为函数的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围是，故选：D. 2．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（    ） A．或2 B．或2 C．2或 D．或 【答案】D 【解析】①当时，函数在上是减函数，在上也是减函数. ∵，∴函数的最大值为， 而，∴函数的最小值为， ∴，解得，符合题意. ②当时，函数在上是增函数，在上是减函数. ∵， ∴函数的最大值为，而，， 当时，，此时函数的最小值为，因此有，无解； 当时，，此时函数的最小值为， 因此有，解得，符合题意. 综上所述，实数的值为或.故选：D 1．（23-24高三上·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【解析】∵一个只能对应一个，∴①③符合题意， 对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义； 对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义.故选：D． 2．（22-23高二下·河北石家庄·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 又，所以，则，故选：C. 3．（23-24高一上·浙江·期中）下列各组中的函数表示同一个函数的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】对于A：定义域都为，，，值域不同，故A错误； 对于B：定义域为，定义域为，定义域不一致，故B错误； 对于C：定义域为，定义域为， 且，C正确； 对于D：定义域为，定义域为，定义域不一致，故D错误，故选：C 4．（23-24高三上·北京·阶段练习）函数，则 . 【答案】0 【解析】因为，所以. 故答案为：0 5．（23-24高三上·北京房山·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由题意可得、，故且， 故该函数定义域为. 故答案为：. 6．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，定义域为，则的值域为 ． 【答案】 【解析】由 当时，，所以，则 所以，即在的值域为， 故答案为：. 7．（232-4高三下·安徽蚌埠·阶段练习）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知是一次函数，且，求； (3)定义在区间上的函数满足，求的解析式． (4)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则f(x)的解析式 【答案】(1)；(2)或；(3)；(4) 【解析】（1）解法一（换元法）：令（），则， 所以， 所以． 解法二（配凑法）：， 因为，所以． （2）设，则， 所以，解得或， 所以或． （3）对任意的，有， 由，①，得，② 联立①②解得，． （4）因为函数的定义域为，为偶函数， 所以，即， 又为奇函数，所以， 即， 所以，解得. 1．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为.故选：A. 2．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数,若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出的图象，如图所示： 由，可得， 则， 令， 则， 故．故选：D． 3．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】由函数的定义域为R，得，恒成立. 当时，恒成立； 当时，，解得. 综上所述，实数a的取值范围为.故选：C. 4．（22-23高三上·浙江杭州·阶段练习）已知对所有的非负整数均有，若，则 ． 【答案】31 【解析】令，则，可得， 当时，令，令， 令，，则，可得， 所以， 令，，则，可得． 故答案为：31 5．（22-23高一上·广东佛山·期中）设函数,若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】（i）当，即时，，， 由得，即， 因为，所以恒成立，所以； （ii）当，即时，，， 由得，即，即恒成立， 所以； （iii）当，即时，，， 由得，即，所以， 综上所述：的取值范围是. 故答案为： 6．（23-24高三下·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为， 作出与在上的图象如图所示： 当，时，，此时， 此时， 因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知, 故答案为： 7．（22-23高三下·北京海淀·开学考试）已知函数 ①若的最大值为，则a的一个取值为 ． ②记函数的最大值为，则的值域为 ． 【答案】 【解析】由解析式可知是定义域为R的奇函数，且当时，，当且仅当时等号成立； ，两函数如下图所示： 由图可知，当时，的最大值为， 当时，的最大值为在区间的最大值，即为， 当时，的最大值为； ①若满足，当时，，不符题意； 当时，，解得或（舍去） 当时，，不符题意； ②综上所述，根据函数图象可知函数的最大值为. 故答案为：①；② 1．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【解析】函数，所以. 故答案为：1 2．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【解析】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，， 易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下， 显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，结合图像，易知在，且接近于处， 的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时，，故③正确； 对于④，取，则的图像如下， 因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上， 点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误；故选：C． 4．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 5．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【解析】若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，， 故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或，解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 6．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】由题意得， 故答案为： 7．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【答案】 【解析】因为故， 故答案为：. 8．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确.故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$