精品解析：福建省泉州市永春县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

永春县2024年春季八年级期末教学质量监测数学试题 注意事项：本试卷共6页．满分150分． 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本考号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 中国芯片技术已经获得重大突破，7纳米芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7纳米米，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的函数是正比例函数，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，对角线与相交于点，，，则周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 19 6. 一组数据：1，3，5，7，8，8，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 5，8 B. 5，7 C. 6，5 D. 6，8 7. 已知一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象经过第一、二、三象限 B. 它的图象经过第一、三、四象限 C. 它的图象经过第一、二、四象限 D. 它的图象经过第二、三、四象限 8. 体育测试中，小明和小东进行1000米跑测试，小明平均速度是小东的倍，小明比小东少用了30秒，设小东的平均速度是米/秒，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，已知、、、四点的坐标依次为、、、，若一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，在正方形中，，点、为对角线上的点，且，，点在正方形边上，则满足的点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11 化简：__________． 12. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手8次测试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 9.0 9.5 9.5 9.5 方差 3.1 3.1 6.6 5.2 要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择__________． 13. 菱形的两条对角线长分别为5和8，则这个菱形的面积为__________． 14. 反比例函数的解析式为，则在每一个象限内，随的增大而__________． 15. 将直线向上平移5个单位，平移后得到直线解析式为，则原直线的解析式为__________． 16. 如图，在矩形中，点是对角线的中点，点、分别在边、上，且过点，若，，则的长为__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在中，E、F分别是、边上的点，且．求证：． 20. 某校学生会要在甲、乙两名候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表： 候选人 文化水平/分 艺术水平/分 组织能力/分 甲 78 89 82 乙 84 92 76 （1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？ （2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩按照确定每个人的综合成绩，应该录取谁？ 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． （1）求该函数的表达式； （2）若点在该函数图象上，求点的坐标． 22. 为加强对校园欺凌事件的预防，某县准备为试点学校采购一批甲、乙两种型号的AI语音识别一体机．经过市场调查发现，今年每套乙型一体机的价格比每套甲型一体机的价格多万元，且用万元购进甲型一体机与用6万元购进乙型一体机的数量相等． （1）求今年每套甲型、乙型一体机的价格各是多少万元？ （2）该县明年预计增加试点学校，需采购甲型、乙型一体机共100套，且乙型的数量不少于甲型数量的，考虑物价因素，预计明年每套甲型语音识别一体机的价格比今年上涨，每套乙型一体机的价格不变，那么该县明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 23. 【问题情境】 对于任意正实数，，∵， ∴， ∴，只有当时，等号成立． 结论：在（，均为正实数）中，若为定值，则，当，有最小值． 【深入探究】 （1）根据上述内容，若，求最小值； 【拓展延伸】 （2）探索应用：如图，已知，，点在反比例函数图象上，过点作轴于点，轴于点，依次连接、、、，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． 24. 如图，在正方形中，P是射线上一点，连接，过点P作，交射线于点E． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当点P在线段的延长线上时， ①求证：； ②求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点， （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，点在反比例函数的图象上且在点的右侧，过点作轴于点，连接、，交于点，若点是的中点，求的面积； （3）点在反比例函数的图象上，点坐标为，为整数，若是等边三角形，求的值．（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永春县2024年春季八年级期末教学质量监测数学试题 注意事项：本试卷共6页．满分150分． 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本考号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，注意分式有意义是分母不为零，不是x不为零.根据分式有意义的条件为分母不为零即可求出结果； 【详解】根据题意可知，，即． 故选：B． 2. 中国芯片技术已经获得重大突破，7纳米芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7纳米米，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键， 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此来解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 3. 点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，根据关于轴对称的点的坐标的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是， 故选：A． 4. 若关于的函数是正比例函数，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，一般地，把形如的函数叫作正比例函数，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的函数是正比例函数， ∴， 故选：C． 5. 如图，在平行四边形中，，对角线与相交于点，，，则的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得出，，再由的周长计算即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴的周长， 故选：A． 6. 一组数据：1，3，5，7，8，8，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 5，8 B. 5，7 C. 6，5 D. 6，8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求中位数、众数，根据中位数和众数的定义计算即可得出答案． 【详解】解：一组数据：1，3，5，7，8，8，处在最中间的两个数为5，7，故中位数为， 这组数据中出现的次数最多，故众数为， 故选：D． 7. 已知一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象经过第一、二、三象限 B. 它的图象经过第一、三、四象限 C. 它的图象经过第一、二、四象限 D. 它的图象经过第二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为．根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数，，， ∴它的图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 8. 体育测试中，小明和小东进行1000米跑测试，小明平均速度是小东的倍，小明比小东少用了30秒，设小东的平均速度是米/秒，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列分式方程，设小东的平均速度是米/秒，则小明平均速度是米/秒，根据“小明比小东少用了30秒”列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设小东的平均速度是米/秒，则小明平均速度是米/秒， 由题意得：， 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，已知、、、四点的坐标依次为、、、，若一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、坐标与图形、一次函数图像上点的坐标特征，先证明四边形平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到一次函数的图像经过平行四边形对角线的交点，利用中点坐标公式求得交点坐标，将交点坐标代入一次函数解析式中求得m值即可． 【详解】解：∵、、、四点的坐标依次为、、、， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分， ∴一次函数的图像经过平行四边形对角线的交点， ∵，， ∴则该平行四边形对角线的交点坐标为， 将代入中，得， 解得， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，，点、为对角线上的点，且，，点在正方形边上，则满足的点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形得，再根据，得，，则，，， ①当点与点重合时，，故点为符合条件的点； ②当点与点重合时，过点作于，于，则，，进而得，，则，，由此得，则点不符合条件；同理点不符合条件； ③当点与点重合时，则，故点不符合条件； ④当点在边上（不与，重合）时，作点关于的对称点，连接，交于点，过点作于，过点作，交的延长线于，过点作于，当点，，在同一条直线上时，为最小，分别求出，，则，，，进而得，即的最小值为，因此边上（不与，重合）存在一个点，使，同理：边上（不含端点），边上（不含端点），边上（不含端点）各有一个符合条件的点，综上所述即可得出答案． 【详解】解：四边形为正方形，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 点、为对角线上的点，且，， ，， ，，， ①当点与点重合时：，， ， 故点为符合条件的点； ②当点与点重合时，过点作于，于，如图1所示： 则，均为等腰直角三角形， 由勾股定理得：，， ，， 在和中，由勾股定理得：，， ， 点不符合条件； 同理：点不符合条件； ③当点与点重合时，，， ， 点不符合条件， ④当点在边上（不与，重合）时，作点关于的对称点，连接，交于点，过点作于，过点作，交的延长线于，过点作于，当点，，在同一条直线上时，为最小，如图2所示： 四边形为矩形， ，， ，均为等腰直角三角形， 由勾股定理得：，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为， 边上（不与，重合）存在一个点，使， 同理：边上（不含端点），边上（不含端点），边上（不含端点）各有一个符合条件的点， 综上所述：点在正方形边上，满足的点个数为5个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，并根据正方形的性质正确地作出辅助线构造等腰直角三角形，灵活运用勾股定理及等腰三角形的性质进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了分式的减法运算，解题的关键是掌握分式的减法运算法则． 根据分式的减法运算法则计算即可； 【详解】解：， 故答案为：． 12. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手8次测试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 9.0 9.5 9.5 9.5 方差 3.1 3.1 6.6 5.2 要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择__________． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查的是平均数、方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据平均数的概念、方差的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴乙、丙、丁的平均成绩较好， ∵， ∴乙的发挥稳定， ∴选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择， 故答案为：乙． 13. 菱形的两条对角线长分别为5和8，则这个菱形的面积为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为5和8， ∴菱形的面积：． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了菱形的面积，解题的关键是掌握菱形面积的求解方法有两种：①底乘以高，②对角线积的一半． 14. 反比例函数的解析式为，则在每一个象限内，随的增大而__________． 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数解析式得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴， ∴在每一个象限内，随的增大而减小， 故答案为：减小． 15. 将直线向上平移5个单位，平移后得到直线解析式为，则原直线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据一次函数图象平移的法则：上加下减，左加右减，结合题意即可得出答案． 【详解】解：∵将直线向上平移5个单位，平移后得到直线解析式为， ∴原直线的解析式为， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，点是对角线的中点，点、分别在边、上，且过点，若，，则的长为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，证明得出，作于，设，则，，，再由勾股定理计算得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， ∴， ∴， 作于， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵点是对角线的中点，， ∴是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据算术平方根定义，负整数指数幂和零指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解：原式 当时，原式 19. 在中，E、F分别是、边上的点，且．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 20. 某校学生会要在甲、乙两名候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表： 候选人 文化水平/分 艺术水平/分 组织能力/分 甲 78 89 82 乙 84 92 76 （1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？ （2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩按照确定每个人的综合成绩，应该录取谁？ 【答案】（1）以平均分作为综合成绩应该录取乙候选人 （2）应该录取甲候选人，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平均数、加权平均数等知识点，掌握算术平均数和加权平均数的区别是解答本题的关键． （1）分别求出甲、乙算术平均数，然后比较即可解答； （2）分别求出甲、乙的加权平均数，然后比较即可解答． 【小问1详解】 解：甲平均分为（分）， 乙平均分为（分）， ∵， ∴以平均分作为综合成绩应该录取乙候选人； 【小问2详解】 解：甲综合成绩为（分）， 乙综合成绩为（分）， ∵， ∴应该录取甲候选人． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． （1）求该函数的表达式； （2）若点在该函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1）该函数的表达式为 （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）将代入一次函数解析式求出的值即可得解． 【小问1详解】 解：将代入中，得 解得 ∴该函数的表达式为 【小问2详解】 解：∵点在该函数的图象上 ∴ 解得 ∴点的坐标为． 22. 为加强对校园欺凌事件的预防，某县准备为试点学校采购一批甲、乙两种型号的AI语音识别一体机．经过市场调查发现，今年每套乙型一体机的价格比每套甲型一体机的价格多万元，且用万元购进甲型一体机与用6万元购进乙型一体机的数量相等． （1）求今年每套甲型、乙型一体机的价格各是多少万元？ （2）该县明年预计增加试点学校，需采购甲型、乙型一体机共100套，且乙型的数量不少于甲型数量的，考虑物价因素，预计明年每套甲型语音识别一体机的价格比今年上涨，每套乙型一体机的价格不变，那么该县明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 【答案】（1）今年每套甲型的价格为万元，乙型的价格为万元 （2）该县明年至少需要投入万元才能完成采购计划 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程应用，一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设今年每套甲型的价格为万元，则乙型的价格为万元，根据用万元购进甲型一体机与用6万元购进乙型一体机的数量相等，列出方程，解方程即可； （2）设明年需采购甲型一体机台，则乙型一体机台，投入万元，根据乙型的数量不少于甲型数量的，得出，求出，列出w与a的函数解析式，根据一次函数的性质求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设今年每套甲型的价格为万元，则乙型的价格为万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， （万元）， 答：今今年每套甲型的价格为万元，乙型的价格为万元； 【小问2详解】 解：设明年需采购甲型一体机台，则乙型一体机台，投入万元， ∵乙型的数量不少于甲型数量的， ∴， 解得：， 由题意得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值， （万元）， 答：该县明年至少需要投入万元才能完成采购计划． 23. 【问题情境】 对于任意正实数，，∵， ∴， ∴，只有当时，等号成立． 结论：在（，均为正实数）中，若为定值，则，当，有最小值． 【深入探究】 （1）根据上述内容，若，求的最小值； 【拓展延伸】 （2）探索应用：如图，已知，，点在反比例函数图象上，过点作轴于点，轴于点，依次连接、、、，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． 【答案】（1）的最小值为6；（2）四边形面积的最小值为32，四边形为正方形 【解析】 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）设点坐标为，得出，，根据得出，根据提供提供性质得出四边形面积的最小值为32，此时，点，点，然后根据正方形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：（1）依题意得：即 ∴的最小值为6． （2）设点坐标为， 依题意得，， ， 只有当，等号成立， 解得：， 负值舍去， 即此时， ∴四边形面积的最小值为32，此时，点，点 ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴ ∴四边形为正方形． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，正方形的判定，反比例函数的综合应用，矩形的判定，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握正方形的判定方法． 24. 如图，在正方形中，P是射线上一点，连接，过点P作，交射线于点E． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当点P在线段的延长线上时， ①求证：； ②求的值． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质即可解答； （2）①过点P作于点G，过点P作于点F，根据正方形的性质证明，即可得证；②将绕点P逆时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，证明四边形为矩形，即可解答 点评 【小问1详解】 ∵四边形为正方形，是正方形的对角线 ∴ ∵ ∴， ∴． 【小问2详解】 ①如图1，过点P作于点G，过点P作于点F， ∴ ∵四边形为正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图2，将绕点P逆时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可得：为等腰直角三角形 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似型的综合应用，主要考查全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点， （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，点在反比例函数的图象上且在点的右侧，过点作轴于点，连接、，交于点，若点是的中点，求的面积； （3）点在反比例函数的图象上，点坐标为，为整数，若是等边三角形，求的值．（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．） 【答案】（1） （2） （3）的值为1或 【解析】 【分析】（1）将代入得，于是得到结论； （2）由轴，得到，根据点是的中点，得到，得到点和点横坐标相等，将代入得到，求得点坐标为，解方程得到的解析式为，得到点坐标为，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①当在轴正半轴时，如图1，在延长线上取点，使得，在延长线上取点使得，过点作轴于点1，得到，在中，，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到(负值舍去)，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到点坐标为，解方程得到； ②当在轴负半轴时，如图2在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，过点作轴于点，根据等边三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到(负值舍去)，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：将代入，得，解得：， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵轴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∵轴于点， ∴点和点横坐标相等， 将代入得， ∴点坐标为， 设的解析式为，将代入得，解得， ∴的解析式为， 将代入，得， ∴点坐标为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当在轴正半轴时，如图1 延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，过点作轴于点， 图1 ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得（负值舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为， ∵为反比例上点， ∴， 即， ∵为整数且在轴正半轴上， ∴； ②当在轴负半轴时，如图2 图2 在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得， 过点作轴于点， ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 设，则，由勾股定理得， 即，解得（负值舍去）， ∴，，， 同理可证：， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∵为反比例上的点， ∴，即， ∵为整数且在轴负半轴上， ∴， ∴综上所述，的值为1或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$