精品解析：河南省名校 安阳市第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

安阳一中2023—2024学年第二学期期末考试 高二数学试题卷 命题人：张冉 审核人：张书霞 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合A，再利用交集的定义直接求解. 【详解】集合，而， 所以. 故选：B 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意可知，根据正态曲线的对称性可知，然后计算可得结果. 【详解】由题可知： 所以， 所以 故选：D 【点睛】本题考查正态分布指定区间的计算，重在计算，属基础题. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为 由于，则． 故选：B 4. 已知为奇函数，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定函数的定义域，根据奇函数的定义域关于原点对称，可求得a的值，验证后即可确定答案. 【详解】由题意可得， 即，且，且， 由于为奇函数，故其定义域关于原点对称， 故， 此时，定义域关于原点对称，满足， 即为奇函数，符合题意，故， 故选：B 5. 世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；根据、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误. 【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号）， 在上的最大值为，与图象不符，A错误； 对于B，当时，，与图象不符，B错误； 对于C，，当时，； 又过点； 由得：，解得：，即函数定义域为； 又， 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：与图象相符，C正确； 对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误. 故选：C. 6. 某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（ ）种 A. 36 B. 40 C. 32 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合插空法与捆绑法代入计算，即可 【详解】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有种情况， 3个节目有4个空，除去相声旁边那个空，还剩3个空，小品选其一，有种， 所以共有种排法. 故选：A 7. 已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用导数说明其单调递增，将原不等式等价转换为，由此即可得解. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， 不等式等价于，解得， 所以不等式 的解集为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，且单调递增，由此即可顺利得解. 8. 若的定义域为，，且对，满足，，则下列结论中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意得，即，且，则，结合条件，赋值可得，. 【详解】，即， 由得， ，即， ， ，， ， 又，且，即， ，故错误； ，，， 又，，，，故错误，正确. 故选：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题. B. 命题“对，的个位数不等于3”的否定是假命题. C. 梯形是等腰梯形的充要条件是. D. 设，则的充要条件是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由原命题的真假即可判断其否定的真假，从而判断AB，分别验证充分性以及必要性，即可判断CD 【详解】对于A，命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”是真命题， 则其否定是假命题，故A错误； 对于B，命题“对，的个位数不等于3”是真命题， 因为0到9这10个数字的平方数的个位都不会是3，则其否定是假命题，故B正确； 对于C，必要性：在等腰梯形中，，， 又因为，所以，所以. 充分性：如图，过点作，交的延长线于点E. 因为，，所以四边形是平行四边形，所以. 因为，所以，所以. 又因为，所以，所以. 在和中， 所以，所以. 所以梯形为等腰梯形. 所以梯形为等腰梯形的充要条件是，故C正确； 对于D，充分性：若，则， 即，所以， 故充分性成立； 必要性：若，则， 即，所以， 所以，故必要性成立； 所以的充要条件是，故D正确； 故选：BCD 10. 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记事件“抽到”，事件“抽到黑桃”，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率的公式分别代入计算，然后逐一比较，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，，， 则，故A正确； 且，故B错误； 因为，，则， 则，故C正确； 且，，则， 所以，故D错误； 故选：AC 11. 已知定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则（ ） A. B. 函数的一个周期为4 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得到，利用赋值法判断A，令，结合，即可得到为偶函数，推出的周期，即可判断B、C，再由利用并项求和判断D. 【详解】因为为定义域为R上奇函数，所以，即， 在，令，可得，故A错误； 令，因为，所以，即， 所以为偶函数， 又为奇函数，所以， 即，所以， 所以，即， 所以，则，所以， 所以是以为周期的周期函数， 所以，则，故B、C正确； 由与得， 所以， 所以，，， ，， ，， ，， ， 所以 ，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令，利用赋值法及所给条件一一计算. 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 的展开式中的系数为______（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合二项式的展开式的性质，准确计算，即可求解. 【详解】由题意，多项式的展开式中含有的项为： ， 所以的系数为． 故答案为：. 13. 已知，，且，则的最小值是__________． 【答案】##． 【解析】 【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 因，， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值是． 故答案为：． 14. 阅读材料：“在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.”请根据上述材料解决以下问题：设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个；现每次从袋子里取出一个球，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为，则的数学期望为_________________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，结合材料可得是公比为的等比数列，即可得到，然后代入计算，即可求解. 【详解】由题意可得，期待在次试验后，首次出现连续次成功， 若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为， 若下一次试验失败，相当于重新试验，后期望仍是， 此时总的试验次数为， 即， 整理可得，即， 即是公比为的等比数列， 所以，其中， 所以. 由问题可知，，则. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线平行于直线. （1）求的值； （2）求的极值. 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义计算即可； （2）利用导数研究函数的极值即可. 【小问1详解】 由已知可得， 而直线的斜率为， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故极大值为，极小值为. 16. 陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目．要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示： 历史 物理 合计 男生 1 24 25 女生 9 16 25 合计 10 40 50 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 （1）根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关； （2）从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率. 【答案】（1）有 （2） 【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据，计算的值，与比较可得结果； （2）问题转化成古典概型，利用古典概型的概率计算公式计算可得. 【小问1详解】 将表中的数据带入，得到 ． 所以有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关． 【小问2详解】 由题意知，抽取的5名同学中，男生有3名，设为A，B，C，女生2名，设为D，E， 从这5名同学中选取2名同学担任正副组长，所有的可能情况有： ，，，，，，，，，，共计10种基本情况，且每种情况的发生是等可能的， 其中至少有一名女生的情况有，，，，，，，共计有7种情况， 所以（至少有一名女生）． 17. 为迎接杭州亚运会，甲、乙两名同学进行羽毛球练习，规定当有一人比对方多胜2局或打满6局时终止.甲在每局比赛中获胜的概率为，前两局中甲和乙各胜一局的概率为. （1）求的值； （2）设终止时比赛局数为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式得到方程，解得即可； （2）依题意的所有可能值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 由题意可得，甲在每局比赛中获胜的概率为，则乙在每局比赛中获胜的概率为，所以， 解得或，又，所以. 【小问2详解】 依题意的所有可能值为，，. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为， 该轮结束时比赛继续的概率为. 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各胜一局，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响. 从而有，，， 故的分布列如下： 2 4 6 所以. 18. 2024年3月15日的“3·15”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两．经检查，发现有10家商贩出现缺斤少两问题．执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改．以下是执法人员公布的10家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为、执法人员称重重量为（单位：），．其他数据如下：． （1）利用最小二乘法，求执法人员称重重量与商贩称重重量之间的线性回归方程（精确到小数点后2位，下同）； （2）经核实，数据点严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程，证明：直线与直线斜率相等，并求直线的线性回归方程． 参考公式与数据：线性回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为，且． 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据公式计算得到； （2）根据公式计算得到去除后的与去除前的相等，即可证明直线与直线斜率相等，然后求即可. 小问1详解】 由题意, 知 ， ，， 所以：. 【小问2详解】 去除后的， 所以直线与直线斜率相等， ， 所以：. 19. 已知函数，为的导数 （1）讨论的单调性； （2）若是的极大值点，求的取值范围； （3）若，证明：． 【答案】（1） 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2） （3） 要证， 只要证， 只要证，， 因为，则， 所以只要证对任意，有， 只要证对任意，有（※）， 因为由（2）知：当时，若，则， 所以，即①， 令函数，则， 所以当时，所以在单调递增； 则，即， 由①②得， 所以（※）成立， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）令，求出导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）结合（1）分、、、四种情况讨论，判断的单调性，即可确定极值点，从而得解； （3）利用分析法可得只需证，，只需证对任意，有，结合（2）只需证明，构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 由题知， 令，则， 当时，在区间单调递增， 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，，且， 由（1）知，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，，则当时，在上单调递增， 所以无极值点，不合题意； 当时，，且； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 所以是函数的极大值点，符合题意； 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安阳一中2023—2024学年第二学期期末考试 高二数学试题卷 命题人：张冉 审核人：张书霞 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为奇函数，则（ ） A 3 B. C. 0 D. 5. 世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（ ）种 A. 36 B. 40 C. 32 D. 42 7. 已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C D. 8. 若的定义域为，，且对，满足，，则下列结论中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题. B. 命题“对，的个位数不等于3”的否定是假命题. C. 梯形是等腰梯形的充要条件是. D. 设，则的充要条件是. 10. 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记事件“抽到”，事件“抽到黑桃”，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则（ ） A. B. 函数的一个周期为4 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 的展开式中的系数为______（用数字作答） 13. 已知，，且，则的最小值是__________． 14. 阅读材料：“在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.”请根据上述材料解决以下问题：设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个；现每次从袋子里取出一个球，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为，则的数学期望为_________________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处切线平行于直线. （1）求的值； （2）求的极值. 16. 陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目．要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示： 历史 物理 合计 男生 1 24 25 女生 9 16 25 合计 10 40 50 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 （1）根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关； （2）从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率. 17. 为迎接杭州亚运会，甲、乙两名同学进行羽毛球练习，规定当有一人比对方多胜2局或打满6局时终止.甲在每局比赛中获胜的概率为，前两局中甲和乙各胜一局的概率为. （1）求值； （2）设终止时比赛局数为，求的分布列与期望. 18. 2024年3月15日的“3·15”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两．经检查，发现有10家商贩出现缺斤少两问题．执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改．以下是执法人员公布的10家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为、执法人员称重重量为（单位：），．其他数据如下：． （1）利用最小二乘法，求执法人员称重重量与商贩称重重量之间的线性回归方程（精确到小数点后2位，下同）； （2）经核实，数据点严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程，证明：直线与直线斜率相等，并求直线的线性回归方程． 参考公式与数据：线性回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为，且． 19. 已知函数，为的导数 （1）讨论的单调性； （2）若是的极大值点，求的取值范围； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $