第一章 特殊平行四边形（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第一章 特殊平行四边形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对边平行且相等 C．对角线相等 D．对角相等 2．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．已知矩形的较短边长为6，对角线相交成60°角，则这个矩形的较长边的长是（    ） A． B． C．9 D．12 4．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．下面说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是(   ) A．5cm B．6cm C．cm D．cm； 7．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为（　　） A． B． C．2 D．1 8．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，若四边形是正方形，则k的值为（    ）    A．6 B．5 C． D． 9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）． A．逐渐增加 B．逐渐减小 C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等 10．如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与、重合），过点作垂直交于点，连结、 、．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（    ）个 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．菱形的边长为5，对角线，则菱形的面积是 ． 12．要使矩形ABCD成为正方形，可添加的条件是 （写一个即可）． 13．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E= 14．如图，一张长，宽的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A、C重合，则折痕的长为 ．    15．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF= ． 16．已知，矩形，点在边上，点在边上，连接、交于点．若，，，．则 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为1的正方形，顶点分别在轴的正半轴上．点Q在对角线上，且，连接并延长交边于点P，则点P的坐标为 ． 18．如图，矩形中，，点H在边上，，E为边上一个动点，连．以为一边在的右上方作菱形，使点G落在边上，连结． （1）当菱形为正方形时，的长为 ； （2）在点E的运动过程中，的面积S的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19．如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连接、．求证：． 20．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．求： （1）∠BAD，∠ABC的度数； （2）AB，AC的长． 21．如图，在6×6的方格纸中，请按要求作图． （1）图1中，A，B是方格纸中的格点，以AB为一边作一个矩形ABCD，要求C，D两点也在格点上； （2）图2中，E，F是方格纸中的格点，以EF为一边作一个菱形EFGH，要求G，H两点也在格点上． 22．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF． (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长． 23．如图，菱形的对角线交于点O，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 24．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为t s．    (1)当t为何值时，四边形是矩形，请说明理由； (2)当t为何值时，四边形是菱形，请说明理由； (3)直接写出（2）中菱形的周长和面积，周长是______cm，面积是______． 25．如图，在菱形中，E为对角线上一点，F是延长线上一点，连接，，，，． （1）求证：； （2）若点G为的中点，连接，求证：． 26．如图，在矩形中，，E为边上一点，点P在线段上，且满足，延长交边于点M． (1)若点E为的中点，线段的长为________（用含a的代数式表示）； (2)连接，若，求证； (3)当，时，求的最小值． 27．如图1，四边形为菱形，．，，． (1)点A坐标为 ，四边形的面积为 ； (2)如图2，点E在线段上运动，为等边三角形． ①求证：，并求的最小值； ②点E在线段上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理由． 28．已知正方形，，点是边上的一个动点（不与重合），将绕点顺时针旋转至，连接，设交于点，交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，点在上运动的过程中，线段与之间有怎样的数量关系，请证明你的发现； 若，求此时的度数． (3)如图，连接，则的最小值是____________（直接写出答案）； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对边平行且相等 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】C 【分析】根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有即可解答． 【解析】解：矩形和菱形是平行四边形， ∵A、B、D是二者都具有的性质， 对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形、菱形的性质，掌握矩形、菱形与平行四边形的关系是解答本题的关键． 2．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用正方形的性质求解即可． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 3．已知矩形的较短边长为6，对角线相交成60°角，则这个矩形的较长边的长是（    ） A． B． C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据矩形对角线相等且互相平分的性质和题中的条件易得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线的长，进而求解即可． 【解析】 如图：AB=6，∠AOB=60°， ∵四边形是矩形，AC，BD是对角线， ∴OA=OB=OC=OD=BD=AC， 在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°， ∴OA=OB=AB=6，BD=2OB=12， ∴BC=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理等内容，熟悉性质是解题的关键． 4．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得到，，再进一步求解即可． 【解析】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和平行线的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键． 5．下面说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据菱形，矩形，正方形的性质和判定定理，逐个进行判断即可． 【解析】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A不正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等，故C正确，符合题意； D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形、矩形、正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关定理和性质． 6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是(   ) A．5cm B．6cm C．cm D．cm； 【答案】D 【分析】首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm， ∴AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，∠BOC=90°， ∴BC==5（cm）， ∵S△ABC=AE×BC=BO×AC 故5AE=24， 解得：AE=（cm）. 故选D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用三角形面积求出AE的长是解题关键． 7．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】由EF垂直平分AC可得AE=CE，设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出x的长，继而根据三角形的面积公式进行求解即可. 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D=90°， ∵EO是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， 设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x， 在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2， 即x2＝22+(4﹣x)2， 解得：x＝， 即CE的长为， DE＝4﹣＝， 所以△DCE的面积＝××2＝， 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 8．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，若四边形是正方形，则k的值为（    ）    A．6 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据正方形的性质可得，再代入求得，再根据，，列方程求解即可． 【解析】解：∵点B、C分别在两条直线和上， 设点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴把代入得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）． A．逐渐增加 B．逐渐减小 C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等 【答案】D 【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF；结合图形可知：AE+CF＝AB，AB是一定值，从而完成求解． 【解析】连接BD ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD， ∵∠A＝60° ∴△ABD是等边三角形 ∴AB＝BD，∠ABD＝60° ∵DC∥AB ∴∠CDB＝∠ABD＝60° ∴∠A＝∠CDB ∵∠EBF＝60° ∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF ∴∠ABE＝∠DBF ∵ ∴△ABE≌△DBF（AAS） ∴AE＝DF ∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB 故选：D． 【点睛】本题考察了菱形、等边三角形、全等三角形的知识；求解的关键是熟练掌握菱形、等边三角形、全等三角形的性质，从而完成求解． 10．如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与、重合），过点作垂直交于点，连结、 、．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理应用，解题关键是全等三角形的性质和判定，根据正方形的性质，依次判定，，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论． 【解析】解：①正方形中，，， ， 又， ， ， ， ； 故①正确； ②③根据，可得， ，， ， ，， ， 即， ； 故②和③正确； ④，， ， 中，， ， 故④正确； 本题正确的结论有：①②③④； 故选：D． 二、填空题 11．菱形的边长为5，对角线，则菱形的面积是 ． 【答案】24 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，再利用勾股定理求出另一条对角线的长度，根据菱形的面积计算方法求解即可． 【解析】如图所示， ∵菱形的边长为5， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，结合勾股定理计算是解题的关键． 12．要使矩形ABCD成为正方形，可添加的条件是 （写一个即可）． 【答案】AB=BC；BC=CD；CD=AD；AD=AB；AC⊥BD（挑选一个即可） 【分析】根据正方形的判定定理进行添加即可． 【解析】从边上添加：有AB=BC，BC=CD，CD=DA，DA=AB（有一组领边相等的矩形为正方形） 从对角线上添加：有AC⊥BD（对角线互相垂直的矩形为正方形）． 故答案为：AB=BC；BC=CD；CD=AD；AD=AB；AC⊥BD（挑选一个即可） 【点睛】本题考查了由矩形得到正方形的判定，熟知其判定定理是解题的关键． 13．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E= 【答案】22.5 ° 【分析】由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知了顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数． 【解析】解：正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°， 已知DC⊥CE，则∠ACE=∠135°， 又∵CE=AC， ∴∠E==22.5°． 故答案为：22.5°． 【点睛】此题主要考查等腰三角形两底角相等的应用，以及正方形中边角性质的应用． 14．如图，一张长，宽的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A、C重合，则折痕的长为 ．    【答案】 【分析】由题意可知，连接，利用翻折的性质可知，，，进而可得，则，设，则，在中由勾股定理可得，列出方程即可求得，在中由勾股定理可得，进而可求得折痕的长度． 【解析】解：由题意可知，，，， ∴， 连接，    由翻折可知，，，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中由勾股定理可得：， 即：，解得：，即：， ∴在中由勾股定理可得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】题主要考查的是折叠的性质，勾股定理的应用，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，根据题意列出方程进行求解是解题的关键． 15．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF= ． 【答案】 【分析】连接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性质得出S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案． 【解析】解：连接OP，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB，AC==10， ∴S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5， ∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12， ∴PE+PF=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 16．已知，矩形，点在边上，点在边上，连接、交于点．若，，，．则 ． 【答案】6 【分析】过点作，垂足为，交于点H，证明，得出是等腰直角三角形，进而得出四边形是平行四边形，即可求解． 【解析】解：如图所示，过点作，垂足为，交于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴, ∴ ∴,， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为1的正方形，顶点分别在轴的正半轴上．点Q在对角线上，且，连接并延长交边于点P，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】首先根据正方形的性质得到对角线，结合题意推出，并由正方形的性质推出∠BPQ＝∠BQP，得到，从而得到，即可得出结论． 【解析】解：∵四边形OABC是边长为1的正方形， ∴根据勾股定理，得对角线， ∵OQ＝OC， ∴，∠OCQ＝∠OQC， ∵OC//AB， ∴∠OCQ＝∠BPQ， ∵∠OQC＝∠BQP（对顶角相等）， ∴∠BPQ＝∠BQP， ∴， ∴， 又 ∵OA＝1， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质以及坐标与图形，理解正方形的基本性质，以及平面直角坐标系中点的基本特征是解题关键． 18．如图，矩形中，，点H在边上，，E为边上一个动点，连．以为一边在的右上方作菱形，使点G落在边上，连结． （1）当菱形为正方形时，的长为 ； （2）在点E的运动过程中，的面积S的取值范围为 ． 【答案】 1 【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=90°，HG=HE，易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=1； （2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=1，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围． 【解析】解：（1）如图1，当菱形为正方形时，，， 四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：1； （2）如图2，过作，交延长线于，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值1， 因此， 设，则， 在中，， ， ， ， ， 的最小值为，此时，的最大值为，此时， 在点的运动过程中，的面积的取值范围为：； 故答案为：； 【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题 19．如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连接、．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型． 欲证明，只要证明即可． 【解析】证明：是正方形， ，， 又、分别是、的中点， ， 在和中， ， ， ． 20．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．求： （1）∠BAD，∠ABC的度数； （2）AB，AC的长． 【答案】(1) ∠BAD=60°，∠ABC=120°;(2) AB＝6cm，AC=6 【分析】（1）根据∠ACD=30°和菱形的性质求出AD//BC，即可得出答案； （2）根据菱形的性质求出∠DBC，然后根据三角形内角和定理求出CD即可得到AB，进而求出AC． 【解析】解：（1）∵∠ACD=30° ∴∠BCD=60°（菱形对角线平分对角） ∴∠BAD=60°（菱形对角相等） ∴AD//BC（菱形对边平行） ∴∠ABC=120°（，两直线平行，同旁内角互补） （2）∵∠ABC=120° ∴∠DBC=60°（菱形对角线平分对角） ∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°（三角形内角和为180°） ∴∠DBC=∠BCD=∠BDC=60° ∴BD=BC=CD=6cm ∴AB=CD=6cm（菱形对边相等） ∵AC⊥BD且AO=CO（菱形对角线互相垂直平分） ∴AO=3 （直角三角形30°角定理） ∴AC=6 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形内角和定理和30°直角三角形等知识点，能灵活运用菱形的性质进行推理是解此题的关键． 21．如图，在6×6的方格纸中，请按要求作图． （1）图1中，A，B是方格纸中的格点，以AB为一边作一个矩形ABCD，要求C，D两点也在格点上； （2）图2中，E，F是方格纸中的格点，以EF为一边作一个菱形EFGH，要求G，H两点也在格点上． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据网格，以AB为边在图1中即可画一个以A，B，C，D为顶点的矩形； （2）根据网格，分别以E，F为顶点，画1×2格对角线即可在图2中作一个菱形EFGH． 【解析】解：（1）如图1，四边形ABCD即为所求作的矩形； （2）如图2，四边形EFGH即为所求作的菱形； ． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF． (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案； （2）首先利用去等三角形的性质得出CE，CF的长，再利用勾股定理得出答案． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，AD=AB 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6， ∴BF＝DE＝6， ∵BC＝DC＝8， ∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14， 在Rt△FCE中，EF＝＝＝10． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确应用正方形的性质是解题关键． 23．如图，菱形的对角线交于点O，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，结合矩形的性质得，再由勾股定理得，即可求解． 本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键 【解析】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． （2）解：如图，连接 四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形 ∴ ∴在中，由勾股定理得：． 24．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为t s．    (1)当t为何值时，四边形是矩形，请说明理由； (2)当t为何值时，四边形是菱形，请说明理由； (3)直接写出（2）中菱形的周长和面积，周长是______cm，面积是______． 【答案】(1)当时，四边形为矩形 (2)当时，四边形为菱形 (3)15； 【分析】（1）根据题意用表示出、、，根据矩形的判定定理列出方程，解方程得到答案； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形、勾股定理列式计算即可； （3）根据（2）中求出的的值，求出，根据菱形的周长公式、面积公式计算即可． 【解析】（1）解：由题意得，，则， 四边形是矩形， ，， 当时，四边形为矩形， ， 解得，， 故当时，四边形为矩形； （2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， 即时，四边形为菱形， 解得，， 故当时，四边形为菱形； （3）解：当时，， 菱形的周长为：， 菱形的面积为：， 故答案为：15；． 【点睛】本题考查的是矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键． 25．如图，在菱形中，E为对角线上一点，F是延长线上一点，连接，，，，． （1）求证：； （2）若点G为的中点，连接，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据菱形的性质，得到AD=CD，∠ABC=∠ADC=∠ACD=∠CAD=60°，然后根据等式的性质求得∠ADE=∠CDF，从而利用ASA定理判定三角形全等，问题得解； （2）过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H，根据菱形的性质结合（1）中的结论判定△ABE≌△ADE≌△CDF，利用ASA定理判定△BHG≌△EAG，利用SAS定理判定△ABH≌△ACF，从而得到AH=AF，使问题得解． 【解析】解：在菱形ABCD中，∵ ∴AD=CD，∠ABC=∠ADC=∠ACD=∠CAD=∠ACB=60° ∴∠DCF=60° 又∵ ∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=60° ∴∠ADE=∠CDF， 在△ADE和△CDF中 ∴△ADE≌△CDF ∴； （2）过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H 在菱形ABCD中，∠ABE=∠ADE，AB=AD，AE=AE 又由（1）可知△ADE≌△CDF ∴△ABE≌△ADE≌△CDF ∴AE=CF ∵BH∥AC，点G是BE的中点 ∴∠H=∠GAE，BG=EG，∠HBG=∠ACB=60° ∴∠ABH=∠ACF=120° 又∵∠AGE=∠HGB ∴△BHG≌△EAG ∴BH=AE=CF，AG=GH 又∵AB=AC ∴△ABH≌△ACF ∴AH=AF=AG+GH=2AG 即． 【点睛】本题考查菱形的性质及三角形全等的判定，正确添加辅助线证明三角形全等是本题的解题关键． 26．如图，在矩形中，，E为边上一点，点P在线段上，且满足，延长交边于点M． (1)若点E为的中点，线段的长为________（用含a的代数式表示）； (2)连接，若，求证； (3)当，时，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质求解即可； （2）延长、交于点F，根据等腰三角形的性质可得，利用等量代换可得，由等腰三角形的判定可得，再根据矩形的性质和平行线的性质可得，，由对顶角相等得，从而证得，即可得证； （3）取的中点H，连接、，根据直角三角形的性质可得，利用勾股定理求得，再根据三角形三边关系可得，从而可得当B、P、H三点共线时，的值最小，即可求解． 【解析】（1）解：∵，点E为的中点， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长、交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （3）解：如图，取的中点H，连接、， ∴， ∴， ∴， 又∵， 当B、P、H三点共线时，的值最小， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、矩形的性质、对顶角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的三边关系、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 27．如图1，四边形为菱形，．，，． (1)点A坐标为 ，四边形的面积为 ； (2)如图2，点E在线段上运动，为等边三角形． ①求证：，并求的最小值； ②点E在线段上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；的最小值为；②不变，点F的横坐标为 【分析】（1）先求出，，再由菱形的性质得到，则，进而由梯形面积公式可得 （2）设交于J，由菱形的性质结合题意易证，都是等边三角形，即得出，从而可证．再结合，即可证，得出，即说明当时，的值最小．最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可；②过点F作于H．由全等的性质可得，即易证，得出，即说明点F的横坐标为，不变． 【解析】（1）解：∵，，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）①证明：如图，设交于J． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最小． ∵， ∴， ∴ ∴AF的最小值为． ②点F的横坐标不变，理由如下： 如图，过点F作于H． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点F的横坐标为，不变． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强．正确作出辅助线是解题关键． 28．已知正方形，，点是边上的一个动点（不与重合），将绕点顺时针旋转至，连接，设交于点，交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，点在上运动的过程中，线段与之间有怎样的数量关系，请证明你的发现； 若，求此时的度数． (3)如图，连接，则的最小值是____________（直接写出答案）； 【答案】(1)； (2)，证明见解析；； (3)的最小值是． 【分析】（）证明得，由旋转可得，进而可得； （）如图，延长至，使，连接 ，证明可得，，由旋转可得，进而可得，即可得，可证明，得到，可得；如图，在上截取，可得，，得到，由勾股定理得，即得，再根据三角形内角和定义及等腰三角形的性质即可求解； （）如图，在上截取，连接，同理（）可得，，再证明，得到，，可得，得到点在的外角角平分线上运动，作点关于的对称点，连接，得到，，可知当点三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理即可求解； 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的的性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长至，使，连接 ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∵， ∴，， 又由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； 如图，在上截取， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，在上截取，连接， 同理（）可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点在的外角角平分线上运动， 作点关于的对称点，连接， ∴， ， ∴， 当点三点共线时，有最小值为的长， ∴， ∴有最小值为， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 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