数学01（新高考通用题型，初中知识点）-2024年秋季高一数学入学分班考试模拟卷

2024年秋季高一入学分班考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知是任意有理数，在下面各说法中： （1）方程的解是；（2）方程的解是； （3）方程的解是；（4）方程的解是． 结论正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 2．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为　　 A． B． C． D． 3．设三角形的三边、、满足，则这个三角形的形状是　　 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 4．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点在轴上，点、、、、、、在轴上．若正方形的边长为1，，，则点到轴的距离是　　 A． B． C． D． 5．如图，是函数图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，作轴于点，交于点，作轴于点，交于点．则的值为　　 A．2 B． C．1 D． 6．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，点是该抛物线上一点，若点，是抛物线上任意一点，有下列结论： ①； ②若，则； ③若，则； ④若方程有两个实数根和，且，则． 其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中．若，则的值为　　 A．8 B．9 C．12 D．18 8．如图，正方形边长为4，点，分别在边，上，且满足，，交于点，，分别是，的中点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是　　 A．10月测试成绩为“优秀”的学生达到40人 B．9月体育测试中学生的及格率为 C．从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D．12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 10．下列函数中，当时，函数值随的增大而增大依次是　　 A． B． C． D． 11．如图，点是正方形对角线上一点（不与点，点重合），点是正方形的外角的角平分线上一点，且，连接，．下列说法正确的是　　 A．当点是的中点时，四边形是平行四边形 B．的值为常数 C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．，，，这四个数中最小的数是 　　． 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点．若的顶点均是格点，则的值是 　　． 14．如图，点、、均在坐标轴上，，过、、作，是上任意一点，连结，，则的最大值是 　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）解方程x2﹣1＝2(x+1) （2）先化简，再求值：，其中、满足． 16．（15分） 如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间． （1）浮出水面2.5秒后，盛水筒距离水面约多高？ （2）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，已知，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点恰好在直线上）？ （参考数据，， 17．（15分） 已知关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况； （2）若方程的两根、满足，求值； （3）若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5， ①则为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②为何值时，是等腰三角形，并求出的周长． 18．（17分） 如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，， ①求的面积； ②点为上一点，连接交半径于点，若，求的长． 19．（17分） 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”． （1）函数①；②；③，其中函数 　 　是在上的“美好函数”；（填序号） （2）已知函数． ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值； （3）已知函数，若函数是在为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季高一入学分班考试模拟卷 数学·答案及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A D A D C B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 CD BC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13. 14.6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解答】解：（1）∵(x+1)(x﹣1)﹣2(x+1)＝0， ∴(x+1)(x﹣3)＝0， 则x+1＝0或x﹣3＝0，（4分） 解得x1＝﹣1，x2＝3．（5分） （2） ，（9分） ， ，（11分） 当，时，原式．（13分） 16．（15分） 【解答】解：（1）连接，，过点作，垂足为，如图： 由题意得，筒车每秒转， 盛水简浮出水面2.5秒后，此时，（1分） ， ， ， ，（4分） 在中，， ， 答：此时盛水简距离水面的高度．（7分） （2）如图，因为点在上，且与相切，所以当在直线上时，此时是切点， 连接，所以， 在中，， ．（10分） 在中，， ，（12分） ， 需要的时间为（秒，（14分） 答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒恰好在直线上．（15分） 17．（15分） 【解答】解：（1）在方程中，△， 方程有两个不相等的实数根．（3分） （2）由题知：，．（5分） 变形为： ．得：，．（7分） （3）． ，．（9分） ①不妨设，， 斜边时，有， 即：， 解得：，、为负，舍去）． 当时，是直角三角形；（10分） ②，，，由（1）知 故有两种情况： 当时，， ，， 、5、5满足任意两边之和大于第三边，．此时的周长为；（12分） 当时，， ，， 、5、5满足任意两边之和大于第三边，．此时的周长为．（14分） 综上可知：当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16．（15分） 18．（17分） 【解答】（1）证明：连接，如图， 为的直径，， ． ， ， ，（3分） ， ， ， ． 为的半径， 是的切线；（6分） （2）解：①，， ， ， ， ．（8分） ， ，（9分） 设，则． ， ， ， ． ，．（11分） 为的直径， ， 的面积；（12分） ②， ， ，， ， ， ．（15分） ，， ， ， ．（17分） 19．（17分） 【解答】解：（1）对于①， 当时，，当时，， ，符合题意；（1分） 对于②， 当时，，当时，， ，不符合题意；（2分） 对于③， 当时，，当时，， ，不符合题意； 故答案为：①；（4分） （2）①二次函数对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，则当时，随的增大而增大， ， ，（6分） 当时，则当时，随的增大而减小， ， ， 综上所述，或；（8分） ②二次函数为，对称轴为直线， 当，， 当时，，（9分） 当时，． 若，则，解得（舍去）； 若，则，解得（舍去），； 若，则，解得，（舍去）； 若，则，解得（舍去）． 综上所述，或；（12分） （3）由上可知，二次函数对称轴为直线， 又， ， ， 当时，随的增大而增大，（14分） 当时取得最大值，时取得最小值， ， ，为整数，且， ，即的值为5，（16分） 又， ， ．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024年秋季高一入学分班考试模拟卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题 （ 每小题 6 分，共 1 8 分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 1 0 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 1 2 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 14 ． ____________________ 四 、解答题（共 7 7 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 5 ．（ 1 3 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 ．（ 1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ．（ 1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季高一入学分班考试模拟卷 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知是任意有理数，在下面各说法中： （1）方程的解是； （2）方程的解是； （3）方程的解是； （4）方程的解是． 结论正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的解的定义判断即可． 【解答】解：（1）当时，方程的解是全体实数，原说法错误； （2）当时，方程的解是全体实数，原说法错误； （3）当时，方程无解，原说法错误； （4）当时，方程的解是全体实数，原说法错误． 结论正确的个数是0． 故选：． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键． 2．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式组，根据不等式组的解集确定的范围，再解分式方程求出的值，然后根据分式方程有非负整数解，确定的值即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， ， ， ， 解得：， 分式方程有非负整数解， 且， 且， 综上所述：且， 符合条件的所有整数的值为：，， 符合条件的所有整数的值的和为：， 故选：． 【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键． 3．设三角形的三边、、满足，则这个三角形的形状是　　 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】把所给等式的左边“一、三”分组后，进行因式分解，可得，，的关系，根据勾股定理的逆定理，可得这个三角形的形状是直角三角形． 【解答】解：， ． ， ， ． 、、为三角形的三边长， ． ． ． 这个三角形是斜边长为的直角三角形． 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．把所给等式的左边合理分组后因式分解是解决本题的关键． 4．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点在轴上，点、、、、、、在轴上．若正方形的边长为1，，，则点到轴的距离是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，然后解直角三角形求出、、、、、、；再求出，过点延长正方形的边交轴于，过点作轴于，先求出，再解直角三角形求出，得出点到轴的距离． 【解答】解：， ． 正方形的边长为1， ， ， ， ， ， ， ， ． 过点作轴于，过点延长正方形的边交轴于． 则． ． 故选：． 【点评】本题考查了正方形的四条边都相等性质，解含角的直角三角形，依次求出轴上各线段的长度是解题的关键． 5．如图，是函数图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，作轴于点，交于点，作轴于点，交于点．则的值为　　 A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由于的坐标为，且，，那么的坐标和点的坐标都可以表示，那么、的长度也可以用表示，接着点、点的坐标也可以表示，然后利用勾股定理可以分别用表示，，最后即可求出． 【解答】解：的坐标为，且，， 的坐标为，点的坐标为， ， 在直角三角形中，，三角形是等腰直角三角形）， ， 点的坐标为，， 同理可得出点的坐标为， ，（a）， ，即． 解法二：过点作于点，过点作于点． 由题意，，，都是等腰直角三角形， ，，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的知识，解题关键是通过反比例函数上的点来确定、两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值． 6．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，点是该抛物线上一点，若点，是抛物线上任意一点，有下列结论： ①； ②若，则； ③若，则； ④若方程有两个实数根和，且，则． 其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①由抛物线的对称轴方程，和顶点坐标为，便可用的代数式表示、与，进而代入便可由的取值范围确定此小题的结论正确与否；②点关于直线的对称点为，当，则或，便可确定此小题的结论正确与否；③当时，，当，则，便可确定此小题的结论正确与否；④方程有两个实数根和，可得抛物线与直线交点的坐标，和，，再由抛物线与轴的两个交点坐标分别为和，便可确定此小题的结论正确与否． 【解答】解：①二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为， ，且， ，， 抛物线开口向上，则， 于是①的结论正确； ②点关于直线的对称点为， 当，则或， 于是②错误； ③当时，， 当，则， 于是③错误； ④方程有两个实数根和，且， 抛物线与直线交点的坐标，和，， 抛物线时，或3， 即抛物线与轴的两个交点坐标分别为和， ， 于是④正确． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 7．已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中．若，则的值为　　 A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】将方程与二次函数结合，根据二次函数的图象特点求出相关点的坐标，再将点的坐标代入求出答案． 【解答】解：将方程和转化成函数和， 如图所示，两条抛物线都交于点， ， ， 两条抛物线的对称直线的值为和， ， ， ， 将点代入得：． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，需熟知二次函数表达式所呈现的意义及对二次函数图象做出大致分析． 8．如图，正方形边长为4，点，分别在边，上，且满足，，交于点，，分别是，的中点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，可得，从而由角的关系可知，故点在以为直径的半圆上移动，如图2，连，，在上截取，连接，得，从而得的最小值为线段的长度，如图3，作，垂足为，求出，则的最小值为． 【解答】解：四边形是正方形， ，． 又， ， ， 又， ， ，即， 点在以为直径的半圆上移动， 如图，连接，，在上截取，连接， 正方形边长为4， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 而的最小值为线段的长度， 如图，作，垂足为，则四边形是正方形， ， ， ， 的最小值为． 故选：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是证明，而的最小值为线段的长度． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是　　 A．10月测试成绩为“优秀”的学生达到40人 B．9月体育测试中学生的及格率为 C．从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D．12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 【答案】CD 【分析】根据条形统计图和折线统计图分别判断即可． 【解答】解：、10月测试成绩为“优秀”的学生达到（人，故不符合题意； 、测试的学生人数为：（名， 9月体育测试中学生的及格率为，故不符合题意； 、由折线统计图可知，从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故符合题意； 、12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多，故符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 10．下列函数中，当时，函数值随的增大而增大依次是　　 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据一次函数正比例函数反比例函数的增减性逐项解答即可． 【解答】解：、，随的增大而减小，不符合题意； 、，随的增大而增大，符合题意； 、，时，函数值随的增大而增大，符合题意； 、，在第一三象限内，随的增大而减小，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握函数的增减性是解答本题的关键． 11．如图，点是正方形对角线上一点（不与点，点重合），点是正方形的外角的角平分线上一点，且，连接，．下列说法正确的是　　 A．当点是的中点时，四边形是平行四边形 B．的值为常数 C．当时， D．当时， 【答案】ABC 【分析】分别利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，证明为等腰直角三角形、算出、算出 即可判断，，，对错． 【解答】解：．当点是的中点时，，， ， ， 四边形是平行四边形，故选项正确； ．连接，， ，，， ， ， 同理可证：， ，， ， 为等腰直角三角形， ，故选项正确； ．当时， ， ， ， ， ， ， ，故选项正确； ．当时， ， ， ， ， ， ，故选项错误， 故选：． 【点评】本题考查方形的性质，角平分线，三角形全等的判定及性质，平行四边形的判定及性质、求正弦值等知识，解题的关键是添加 辅助线构建全等三角形． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．，，，这四个数中最小的数是 　　． 【答案】 【分析】根据幂的乘方把这四个数化为指数相同的四个数，然后比较底数即可． 【解答】解：，，，， ， ， ， 所以最小的数是， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘方，幂的乘方，把这四个数化为指数相同的四个数是解题的关键． 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点．若的顶点均是格点，则的值是 　　． 【答案】 【分析】过作于，由勾股定理求出，，，设，则，由勾股定理得到，求出，即可求出． 【解答】解：过作于， 由勾股定理得：，，， 设，则， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，关键是过作于，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于的方程． 14．如图，点、、均在坐标轴上，，过、、作，是上任意一点，连结，，则的最大值是 　 　． 【答案】6 【分析】连接，，，设，利用的圆周角所对的弦是直径可得，是的直径，再利用平面直角坐标系中的两点间距离公式求出，，可得当为的直径时，最大，的值最大，然后进行计算即可解答． 【解答】解：连接，，， 设， ， 是的直径， ， ，，， ， ， ， ， ， 当为的直径时，最大，的值最大， ， 的最大值， 故答案为：6． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）解方程x2﹣1＝2(x+1) （2）先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝3（2）2 【分析】（1）因式分解求解方程；（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵(x+1)(x﹣1)﹣2(x+1)＝0， ∴(x+1)(x﹣3)＝0， 则x+1＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3． （2） ， ， ， 当，时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．（15分）如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间． （1）浮出水面2.5秒后，盛水筒距离水面约多高？ （2）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，已知，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点恰好在直线上）？ （参考数据，， 【答案】（1）此时盛水简距离水面的高度． （2）从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒恰好在直线上． 【分析】（1）先根据时间和速度求出，进而得出，最后利用三角函数计算出，从而得到水简距离水面的高度； （2）先确定当在直线上时，此时是切点，再利用三角函数得到，，从而计算出，最后再计算出时间即可． 【解答】解：（1）连接，，过点作，垂足为，如图： 由题意得，筒车每秒转， 盛水简浮出水面2.5秒后，此时， ， ， ， ， 在中，， ， 答：此时盛水简距离水面的高度． （2）如图，因为点在上，且与相切，所以当在直线上时，此时是切点， 连接，所以， 在中，， ． 在中，， ， ， 需要的时间为（秒， 答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒恰好在直线上． 【点评】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、旋转等知识，灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的三角函数值是解题的关键． 17．（15分） 已知关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况； （2）若方程的两根、满足，求值； （3）若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5， ①则为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②为何值时，是等腰三角形，并求出的周长． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根．（2），．．（3）①当时，是直角三角形； ②当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△，由此即可得出方程有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系进行解答； （3）利用分解因式法可求出，．①不妨设，，根据利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值；②根据（1）结论可得出，由此可找出是等腰三角形分两种情况，分、两种情况考虑，根据两边相等找出关于的一元一次方程，解方程求出值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论 【解答】解：（1）在方程中，△， 方程有两个不相等的实数根． （2）由题知：，． 变形为： ．得：，． （3）． ，． ①不妨设，， 斜边时，有， 即：， 解得：，、为负，舍去）． 当时，是直角三角形； ②，，，由（1）知 故有两种情况： 当时，， ，， 、5、5满足任意两边之和大于第三边，．此时的周长为； 当时，， ，， 、5、5满足任意两边之和大于第三边，．此时的周长为． 综上可知：当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16． 【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式△时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键． 18．（17分） 如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，， ①求的面积； ②点为上一点，连接交半径于点，若，求的长． 【答案】（1）略．（2）①．②． 【分析】（1）连接，利用圆周角定理和同圆的半径相等的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）①利用相似三角形的判定与性质求得的长度，，设，则，利用勾股定理求得值，再利用直角三角形的面积公式解答即可； ②利用等腰三角形的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定定理得到， 则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】（1）证明：连接，如图， 为的直径， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 为的半径， 是的切线； （2）解：①，， ， ， ， ． ， ， 设，则． ， ， ， ． ，． 为的直径， ， 的面积； ②， ， ，， ， ， ． ，， ， ， ． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 19．（17分） 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”． （1）函数①；②；③，其中函数 　 　是在上的“美好函数”；（填序号） （2）已知函数． ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值； （3）已知函数，若函数是在为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值． 【答案】（1）①．（2）①或；②或；（3）． 【分析】（1）根据材料提示的“美好函数”的计算方法即可求解； （2）①根据二次函数的特点，确定自变量取值范围内的最大值，最小值，再根据材料提示“美好函数”的计算方法即可求解；②根据材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解； （3）根据二次函数图象的性质，结合材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解． 【解答】解：（1）对于①， 当时，， 当时，， ，符合题意； 对于②， 当时，， 当时，， ，不符合题意； 对于③， 当时，， 当时，， ，不符合题意； 故答案为：①； （2）①二次函数对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，则当时，随的增大而增大， ， ， 当时，则当时，随的增大而减小， ， ， 综上所述，或； ②二次函数为，对称轴为直线， 当，， 当时，， 当时，． 若，则，解得（舍去）； 若，则，解得（舍去），； 若，则，解得，（舍去）； 若，则，解得（舍去）． 综上所述，或； （3）由上可知，二次函数对称轴为直线， 又， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时取得最大值，时取得最小值， ， ，为整数，且， ，即的值为5， 又， ， ． 【点评】本题属于函数与定义新运算的综合，考查了二次函数的性质，新定义问题，解题的关键是分类讨论，分析在一定范围内的最值问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$