专题03 轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳（五大类型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

专题03 轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳（五大类型） 【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】 【题型02 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 【题型03 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 【题型04 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】 【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】 【典例1】如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：使牧马人所走路径最短的是， 故选：D． 【变式1-1】如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线l于点Q，则MP+NP＝M′N，此时管道长度最短． 故选：B． 【变式1-2】已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小． 【答案】见试题解答内容 【解答】作法： 作A点关于直线l的对称点A′， 连接A′B交l于点P， 则P点为所求． 【题型02： “2定点1动点”求周长最小值问题】 【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是30，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．13 B．12 C．10 D．6 【答案】A 【解答】解：连接AD，AM． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝30，解得AD＝10， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴MA＝MC， ∵AD≤AM+MD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×6＝10+3＝13． 故选：A． 1【变式2-1】如图所示，在边长4为的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解答】解：要使△PBG的周长最小，而BG＝2一定，只要使BP+PG最短即可， 连接AG交EF于M， ∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点， ∴AG⊥BC，EF∥BC， ∴AG⊥EF，AM＝MG， ∴A、G关于EF对称， 即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小， AP＝PG，BP＝BE， 最小值是：PB+PG+BG＝AE+BE+BG＝AB+BG＝4+2＝6． 故选：C． 【变式2-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【解答】解：连接AD，AM， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴AM＝CM， 当点M在AD上时，DM+CM最小，最小值为AD， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9． 故选：B． 【变式2-3】如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．13.5 【答案】A 【解答】解：∵直线m垂直平分BC， ∴B、C关于直线m对称， 设直线m交AB于D， ∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长， ∴△APC周长的最小值是AB+AC＝6+7＝13． 故选：A． 【变式2-4】如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是（　　） A．6 B．7 C．10 D．12 【答案】B 【解答】解：如图，连接CP， ∵AC＝BC，CD⊥AB， ∴BD＝AD＝3， ∵S△ABC＝•AB•CD＝12， ∴CD＝4， ∵EF垂直平分BC， ∴PB＝PC， ∴PB+PD＝PC+PD， ∵PC+PD≥CD， ∴PC+PD≥4， ∴PC+PD的最小值为4， ∴△PBD的最小值为4+3＝7， 故选：B 【题型03 “2定点1动点”求线段最小值问题】 【典例3】（2022春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝3， ∴点F′在AC上， ∵BE+EF＝BE+EF′， 根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长． 在Rt△ACD中，AC＝5， ∵•BC•AD＝•AC•BH， ∴BH＝， ∴BE+EF的最小值为， 故选：C 【变式3-1】（2023春•东港市期中）如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【解答】解：连接AD，AM． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×3×AD＝9，解得AD＝6， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴CM＝AM， ∴CD+CM+DM＝CD+AM+DM， ∵AM+DM≥AD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴DM+CM的最小值为6． 故选：C． 【变式3-2】（2022春•埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：如图所示： 过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M， 过点M作MN⊥BC于点N， ∵BD平分∠ABC， ∴ME＝MN， ∴CM+MN＝CM+ME＝CE． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB， ∴S△ABC＝•AB•CE＝•AC•BC， ∴10CE＝6×8， ∴CE＝4.8． 即CM+MN的最小值是4.8， 故选：B． 【题型04：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【典例4】（郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：作P点关于OA的对称点P'，作P点关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于点E、交BO于点F，连接OP'、OP''， 由对称性可知，PE＝P'E，PF＝P''F， ∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''， 此时△PEF周长最小， ∵PO＝OP'，OP＝OP''， ∴OP'＝OP''， ∵∠AOB＝30°， ∴∠P'OP''＝60°， ∴△OP'P''是等边三角形， ∵OP＝1， ∴P'P''＝1， 故选：D． 【变式4-1】（2023春•惠安县期末）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN． ∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D， ∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为D， ∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB， ∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴CD＝OC＝OD＝4． ∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝4， 故选：B． 【变式4-2】（2022秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 【答案】C 【解答】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点. ∴△PAB即为所求的三角形， 根据对称性知道： ∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O， 还根据对称性知道：∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2， 而∠MON＝50°， ∴∠P1OP2＝100°， ∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°， ∴∠APB＝2×40°＝80°． 故选：C． 【典例5】（2023春•和平区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 【答案】B 【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图， 此时BE+EF最小． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠B′AD＝25°， ∴∠AE′F′＝65°， ∵BB′⊥AD， ∴∠AGB＝∠AGB′＝90°， ∵AG＝AG， ∴△ABG≌△AB′G（ASA）， ∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G， ∴AD垂直平分BB′， ∴BE＝BE′， ∴∠E′B′G＝∠E′BG， ∵∠BAC＝50°， ∴∠AB′F′＝40°， ∴∠ABE＝40°， ∴∠BE′F′＝50°， ∴∠AE′B＝115°． 故选：B． 【变式5-1】（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM， ∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴E点在AC上， ∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小， 由对称性可知，AE＝AB， ∵AB＝4， ∴AE＝4， 在Rt△ABE中，∠EAN＝60°， ∴∠AEN＝30°， ∴AN＝2， 故选：A． 【变式5-2】（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8， ∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC， ∴CM＝＝， 即PC+PQ的最小值为． 故选：B． 【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】 【典例6】（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．130° 【答案】C 【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴AN＝NF，AM＝EM， ∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值， ∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM， ∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD， ∵∠BAD＝130°， ∴∠E+∠F＝50°， ∴∠BAM+∠FAN＝50°， ∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°， ∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°， 故选：C． 【变式6-1】（2022秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．60° B．90° C．100° D．120° 【答案】C 【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值． ∵DAB＝140°， ∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF＝40°， ∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°． 故选：C． 【变式6-2】（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（　　） A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90° 【答案】B 【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N． ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称， 此时△AMN的周长最小， ∵BA＝BA′，MB⊥AB， ∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″， ∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD， ∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）， ∵∠BAD＝a， ∴∠A′+∠A″＝180°﹣a， ∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a． ∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳（五大类型） 【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】 【题型02 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 【题型03 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 【题型04 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】 【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】 【典例1】如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　） A．B． C．D． 【变式1-2】已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小． 【题型02： “2定点1动点”求周长最小值问题】 【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是30，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．13 B．12 C．10 D．6 1【变式2-1】如图所示，在边长4为的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 【变式2-3】如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．13.5 【变式2-4】如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是（　　） A．6 B．7 C．10 D．12 【题型03 “2定点1动点”求线段最小值问题】 【典例3】（2022春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【变式3-1】（2023春•东港市期中）如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【变式3-2】（2022春•埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【题型04：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【典例4】（郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 【变式4-1】（2023春•惠安县期末）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4-2】（2022秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 【典例5】（2023春•和平区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 【变式5-1】（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式5-2】（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】 【典例6】（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．130° 【变式6-1】（2022秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．60° B．90° C．100° D．120° 【变式6-2】（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（　　） A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90° 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$