第十三章 轴对称章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第十三章 轴对称章末重点题型复习 题型一、轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·湖北·期中）下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的概念，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够互相重合，逐一进行判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上． (1)在图1中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形是轴对称图形； (2)在图2中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． （1）结合轴对称图形的性质以及全等三角形的判定画出图形即可； （2）根据全等三角形的判定画出图形即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求（答案不唯一）， ； （2）解：如图2，即为所求， ． 题型二、根据成轴对称图形的特征进行判断 3．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据成轴对称的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不成轴对称，故本选项错误； B、成轴对称，故本选项正确； C、不成轴对称，故本选项错误； D、不成轴对称，故本选项错误． 故选：B． 4．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，……；第2024次碰到矩形的边时的点为图中的（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了循环变化规律问题，第1次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，，可得到，每次循环次，即可求解；找出循环规律是解题的关键． 【详解】解：如图，    第1次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，， 从到，每次循环次， ， 第次碰到是第组的第次碰到； 故选：C． 题型三、根据成轴对称图形的特征进行求解 5．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在中，，点，，，为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查利用轴对称求最短路径问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理等级知识．确定出点P的位置是解题的关键． 过点C作，垂足为F，交y轴于E，连接交于P，此时，的值最小．最小值为，求出的长即可． 【详解】解：过点C作，垂足为F，交y轴于E，连接交于P， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴点C、E关于对称， ∴， ∴， 此时，的值最小． 最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在锐角中，，的面积为，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接，利用可证得，于是可得，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，此时即为边上的高，然后根据即可求出的长，即的最小值． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 此时，即为边上的高， ， 即：， ， 即：的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等式的性质，垂线段最短，三角形的面积公式，等式的性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键． 题型四、折叠问题 7．（23-24八年级上·广西钦州·期末）在中，将，按如图方式折叠，点B，C均落在边上的点G处，线段，为折痕．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠图形中对应角相等是解题的关键． 根据图形对折的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可． 【详解】解：将，折叠，点B，C均落在边上的点G处，线段，为折痕． ∴根据折叠的性质得：，， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 8．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将正五边形一角沿直线折叠，折叠后得到点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，正多边形的内角和，先确定，再根据折叠的性质得，再根据四边形内角和及邻补角的定义可得结论．解题的关键是掌握：．正多边形每个内角和：，每个内角度数：． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵将正五边形一角沿直线折叠，折叠后得到点， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 9．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 已知，点，分别在射线，上，连接，是的平分线． 独立思考： （1）如图1，若所在的直线交的平分线于点． ①当时，______；当时，______； ②当点，分别在射线，上运动时（不与点重合），试问：随着点，的运动，的大小会发生变化吗？如果不会，请求出的度数；如果会，请求出度数的变化范围． 拓展延伸： （2）如图2，当所在的直线交的平分线于点，点，分别在，上时，将沿折叠，使点落在内的点处，求的度数． 【答案】(1)①45，45，②不会发生变化， (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，折叠的性质， 对于（1），根据角平分线定义和三角形内角和定理分别求出，再根据三角形内角和定理得出答案，②根据三角形外角的性质解答； 对于（2），根据三角形内角和定理及平角定义求出，进而求出，再根据折叠的性质得，即可得出答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：45，45； ②随着点A，B的运动，的大小不会发生变化． 设，则． ， ． 平分，平分， ，． ． （2）， ． ． 平分，平分， ． ． 由折叠的性质，得，． ． ． 题型五、线段垂直平分线的性质 10．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点间线段最短原理，熟练掌握线段最短原理是解题的关键．根据直线m是中边的垂直平分线，得到点B与点C关于直线m对称，故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值，此时的周长的最小值为，代入计算即可． 【详解】解∶ 因为直线m是中边的垂直平分线， 所以点B与点C关于直线m对称， 故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值， 所以的周长的最小值为， 因为， 所以的周长的最小值为． 故答案为：4． 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，的垂直平分线与相交于点D，若的周长是9，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据中垂线的性质，可得，则的周长为，即可求得的长． 【详解】∵的垂直平分线与相交于点D， ∴， ∵的周长， ∴的周长， ∵， ∴． 故答案为：4． 12．（24-25八年级上·福建莆田·期中）（1）如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是 ； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断此时：与的大小关系，并说明理由? （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于E，F两点，连接，判断此时：、与的数量关系， 并说明理由? 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的综合应用，涉及三角形全等的判定及性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得； （2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，利用三角形的三边关系可求解； （3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出． 【详解】解：（1）延长到点使，再连接， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）． 理由：延长至，使，连接，   ，，， ， ， 连接， ，， ∴是的垂直平分线， ， 在中，，即； （3）延长至使，连接，   ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 题型六、线段垂直平分线的判定 13．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，线段垂直平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由作法可知，，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，可得，，又因为，根据直角三角形两锐角互余，可求得，即，再求出的度数，即得答案． 【详解】以点A为圆心，的长为半径作弧， ， 分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P， ，且，， ， ， ， ， ， ， ． 故选D． 14．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，，，垂足分别为，，下列结论成立的是（    ） ①平分；②；③平分；④垂直平分． A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直平分线定义，以及角平分线的性质和判定，由，，，可证明，再根据全等三角形的性质，即可解题． 【详解】解：，， 在和中， 有，， ， ，，， 平分，平分， ①②③正确， ，， 垂直平分， ④错误， 故选C． 题型七、作已知线段的垂直平分线 15．（24-25八年级上·陕西安康·期中） 两个城镇A、B 与两条公路的位置如图所示，其中是东西走向的公路．现电信部门需在E处修建一座信号发射塔，要求发射塔在 内部，到两个城镇A、B的距离必须相等，且到两条公路的距离也必须相等，那么点 E 应选在何处？ 请在图中用尺规作图找出符合条件的点E． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——尺规作图，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得，点E在的角平分线与线段的垂直平分线的交点处，由此利用尺规作图即可求解，熟练掌握角平分线的作法与垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点E为所求． 16．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，请用尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．    (1)在线段上找一点E，使得E点到边的距离与到边的距离相等． (2)在线段上找一点D，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作角平分线、垂直平分线、三角形中线的性质． （1）作的平分线，交于点，点即为所作； （2）作的垂直平分线，交于点，点即为所作． 【详解】（1）解：如图，点为所作；    （2）解：如图，点为所作；    题型八、作垂线（尺规作图） 17．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，线段与，通过作图求一点，使，并且点到两边的距离相等．（要求，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，掌握这些性质是解题的关键．根据图形已知作法，由，那么点在线段的垂直平分线上；若要使到两边的距离相等，那么点在 的角平分线上，所以点应该是线段的垂直平分线与的角平分线的交点；接下来按基本作图求点即可完成解答． 【详解】如图，点为满足条件的点． 18．（24-25八年级上·浙江·期中）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为12． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，由的周长为18，求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：由题意得，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为12． 19．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，，且边上有一点D．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图(不写作法，保留作图痕迹)． (1)作的平分线，交边于点E； (2)作，其中，点F在边上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规基本作图．熟练掌握尺规基本作图：作角平分线，经过直线上一点作已知直线的垂线，是解决问题的关键． （1）利用尺规基本作图，作已知角的平分线，作出图形即可； （2）利用尺规基本作图，经过直线上一点作已知直线的垂线，用出图形即可． 【详解】（1）解：以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交于M，N两点， 分别以点M，N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P， 作射线交于点E， 线段即为所求作； （2）作直线， 以点E为圆心，以适当长为半径画弧交于K，L两点， 分别以点K，L为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点Q， 作射线交于点F， 连接， 即为所求作． 题型九、画轴对称图形 20．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在直角坐标系中有，其中、、， (1)画出关于轴的对称图形，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在轴上有一点，当最小时，画出点的位置； (3)在轴上有一点，使，则点的坐标为______． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形； (1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案． (2)取点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． (3)设点的坐标为()，利用割补法分别表示出与，求出的值即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；； 故答案为：；． （2）如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． （3）解： 设点的坐标为()， 当时， ， 解得， 点的坐标为； 当时， ， 解得(舍去)； 当时， ， 解得(舍去)； 当时， 解得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 21．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中；的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出将向右平移7个单位得到的； (2)请画出与关于轴对称的，并写出的坐标； (3)在轴上找一点使得的面积为3，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， (3)或 【分析】本题考查作图轴对称变换、作图平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案； （2）根据轴对称的性质作图，并写出的坐标； （3）设点P坐标为，由的面积为3，可得，再求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求．， （3）解：设点P坐标为， 的面积为3， ， ， 或， 解得：或， 或， 22．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形，点，，的对应点分别是； (2)在（）的条件下，写出点，，的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)，， 【分析】（）根据轴对称的性质作图即可； （）根据（）所作图形即可求解； 本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由（）图可得，，，． 题型十、设计轴对称图案 23．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再涂黑一个图中其余的小正方形，使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有 种． 【答案】5 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：如图，所标数字处都可以使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，共5种涂法， 故答案为：5． 24．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在的正方形网格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出网格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，并在下面的网格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个网格纸未必全用） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是设计轴对称图案，根据轴对称图形的性质，可先确定对称轴，不同的对称轴有不同的对称图形，从而可得答案． 【详解】解：与成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，如图中阴影部分所示． ． 题型十一、坐标与图形变化--轴对称 25．（23-24八年级上·西藏昌都·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为、、，与关于轴对称，与关于轴对称，点、、分别是点、、的对应点，点、、分别是点、、的对应点． (1)画出与； (2)连接、、，求的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)22.5 【分析】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）根据轴对称的定义分别作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）利用割补法求解可得． 【详解】（1）如图所示，与即为所求， （2）， 的面积是22.5． 26．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个定点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，点A，B，C的对称点分别是点，直接写出点的坐标； (2)画出点C关于y轴的对称点，连接，求的面积． 【答案】(1)图见解析，，， (2)图见解析，的面积是4 【分析】 本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质． （1）分别作出点、、关于轴的对称点，再顺次连接可得； （2）作出点关于轴的对称点，然后连接得到三角形，根据面积公式计算可得． 【详解】（1）如图所示，即为所求． ，，， （2）如图所示，的面积是， 故答案为：4． 27．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是____； (2)若点D与点A关于y轴对称，点E与点B关于y轴对称，点F与点C关于x轴对称，画出，写出点F的坐标为______． (3)已知P为x轴负半轴上一点，若的面积为3，求点P的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中根据点的坐标描点，关于坐标轴轴对称点的性质，三角形的面积公式等知识． （1）根据坐标找到点，顺次连接即可得到，直接利用所在长方形面积减去周围三角形面积即可得出答案； （2）作出点A、B、C的对应点，顺次连接即可得到，利用关于y轴对称点的性质得出答案； （3）根据三角形面积公式得到，进而得到点P的横坐标为，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）如图，即为所求， 的面积是 故答案为： （2）解：如图，即为所求，点F与点C关于x轴对称，点F的坐标为； 故答案为：； （3）解：∵P为x轴负半轴上一点，的面积为3， ∴ ∴， ∴点P的横坐标为：， 故P点坐标为：． 题型十二、线段问题（轴对称综合题） 28．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标，即（______，______） (2)求出的面积为______． (3)在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点的坐标为（　　，　　）． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析，0，2 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称图形等知识点，根据提示作出正确的图形是解题关键． （1）确定各顶点关于x轴的对称点即可求解； （2）利用“割补法”即可求解； （3）作A关于y轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，据此即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：， 故答案为：； （2）解：的面积为； 故答案为：； （3）解：如图所示，作A关于y轴的对称点， 连接交轴于点，此时的值最小，则点的坐标为， 故答案为：0，2． 29．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）已知，，，在平面直角坐标系（如图）中画出符合要求的图形． (1)画出； (2)画出关于y轴对称的；点A的对应点的坐标是 ，点B的对应点的坐标是 ，点C的对应点的坐标是 ； (3)试在x轴上找点P使最短，（要求完成作图并保留痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析，、、 (3)见解析 【分析】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接． （1）根据、、三点坐标作图可得； （2）分别作出点、、关于轴对称轴的点，然后顺次连接； （3）连接，与轴的交点就是点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，点的对应点的坐标是、点的对应点的坐标是、点的对应点的坐标是， 故答案为：、、； （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． 题型十三、等边对等角 30．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）如图，已知中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当与全等时，点Q的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：或． 31．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质．利用等腰三角形的两个底角相等的性质、已知条件“，”，根据全等三角形的判定定理推知；由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求得；然后根据全等三角形对应角相等得、三角形的外角性质、等量代换求得． 【详解】解：， ， 在与中， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 32．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的底角的度数是 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质，根据题意可得这个等腰三角形的一个内角是，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵一个等腰三角形的一个外角等于， ∴这个等腰三角形的一个内角是， ∴这个等腰三角形的底角的度数是， 故答案为：． 题型十四、根据等边对等角证明 33．（23-24八年级上·河南三门峡·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论共有 个． 【答案】4 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质三线合一得到，，故②③正确；通过，得到，，故①④正确． 【详解】 解：， 平分， ， ， ， 是的角平分线， ，，故②③正确， 在和中，， ，， ， ，，故①正确； ， ，故④正确． 故答案为：4 34．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，点为的中点，且平分，的延长线交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，证明，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 35．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）如图，已知中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为多少时，能够在某一时刻使与以P、C、O为顶点的三角形全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质．根据，等边对等角，可得，结合全等三角形的性质“全等三角形对应角相等”可知点B的对应点是点C；根据全等三角形对应边相等的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：， ， ， 点B的对应点是点C， 点D为的中点， ， 或， 设点Q的运动速度为，经过后， ，， ①当时：，解得， 此时，，解得：； ②时，，解得：， 此时，，解得：， 综上：当点Q的运动速度为或时，能够使与以P、C、O为顶点的三角形全等． 题型十五、三线合一 36．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）如图，在中，，点是的平分线上的一动点，，的面积为48，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称最短问题．过作于，交于，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，推出点，关于对称，得到此时的值最小，且等于，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于，交于， ， ， ， ，， 平分， ， 在与中， ， ， ， 点，关于对称， 此时的值最小，且等于， 的面积为48， ， ， 的最小值为6． 故答案为：6． 37．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图．在中，平分，交于点，点分别为上的动点，若的面积为6，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故选：D． 38．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，是的中线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．在上截取，连接、、，由，是的中线，得，由，平分，得垂直平分，则，所以，因为，所以当，且的值最小时，的值最小，此时的值最小，作于点，由，求得，所以的最小为，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：在上截取，连接、、，    ，是的中线， ， ，平分， 垂直平分， ， ， ， 当，且的值最小时，的值最小，此时的值最小， 作于点，则， ， 解得， 当与重合时，，此时的值最小，， 的最小值为， 故选：D． 题型十六、根据三线合一证明 39．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，、是上两点，且，，、分别平分、，、交于点，求证：点到的三个顶点的距离相等． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，连接，设与相交于点，与相交于点，由等腰三角形的性质可得是的垂直平分线，是的垂直平分线，进而可得，据此即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接，设与相交于点，与相交于点， ∵， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， 同理可得， ∴， 即点到的三个顶点的距离相等． 40．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)110度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键． （1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证； （2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ，D是的中点， 平分， ，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 41．（23-24八年级上·江西赣州·期末）（1）如图1，已知BD，CE是的中线，请你用无刻度的直尺作出BC边上的中线； （2）如图2，在中，，，在中，，，请你用无刻度直尺作出边BC上中线． （1）__________________________； （2）__________________________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形中线及等腰三角形的性质，熟悉三角形中线的性质是解题的关键。 （1）设BD，CE交于点，连接并延长交于点，则为边上的中线； （2）利用等腰三角形的性质得到点为的中点，为的中点，连接、，它们相交于，延长交于，则为边上的中线． 【详解】解：（1）如图1，线段为所作； （2）如图2，线段为所作． 题型十七、格点图中画等腰三角形 42．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】以三边分别为底的三种情况进行讨论，即可求解，本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：掌握确定等腰三角形的方法． 【详解】解：当为底时，作线段的垂直平分线，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 故选：． 43．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，正方形的性质等知识，连接，，，，，，然后分五种情形判断可得结论． 【详解】解：连接，，，，，，如图， 类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个． 故选：C． 题型十八、找出图中的等腰三角形 44．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 45．（23-24八年级上·海南·期末）如图，已知．    (1)利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． ①作的平分线交于点； ②作线段的垂直平分线交于点，交于点． (2)在所作的图中，连接、．写出图中所有的等腰三角形：___________． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了基本作图和等腰三角形的判定： （1）①利用尺规作出的角平分线即可；②利用尺规作出线段的垂直平分线即可； （2）根据等腰三角形的定义判断即可． 【详解】（1）解：①如图，射线就是所要求作的的平分线；    ②如图，直线就是所要求作的线段的垂直平分线；    （2）垂直平分线段， ，， ，是等腰三角形， ，，， ， ， ，是等腰三角形． 故答案为：，，，． 题型十九、根据等角对等边证明等腰三角形 46．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质． （1）根据角平分线和平行的性质求出即可； （2）根据角平分线和平行线的性质得到，从而求得的度数，然后利用等边对等角得到另一个底角的度数，从而求得顶角的度数． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， 又∵， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 47．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图①，在中，，点D在边上，于点E，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如图②，过点D作交于点G，连结交于点H，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)等腰三角形；理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，关键是全等三角形的性质和判定定理的应用． （1）根据等角的余角相等得出，进而根据平行弦的性质得出，根据，即可证明； （2）先证明，由（1）知，，得出，可得，根据平行线的性质可得，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证． 【详解】（1）证明：如图． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． （2）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即是等腰三角形． 题型二十、根据等角对等边证明边相等 48．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查等角对等边，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，得到，同理得到，进而得到的周长等于，即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴的周长； 故选D． 49．（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四边形中，，过点B作，垂足为点E，过点A作，垂足为点F，且． (1) °； (2)求证：； (3)连接，且平分交于点G．探究的形状并说明理由． 【答案】(1)180 (2)见解析 (3)是等腰三角形，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． （1）易得，根据四边形内角和即可解答； （2）通过证明，即可求证； （3）先证明，通过证明，得出，则，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：180． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴等腰三角形． 题型二一、根据等角对等边求边长 50．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，的平分线与外角的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，，，则的值为（      ） A．2 B．9 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，得到，因此，同理：，即可求出．关键是由以上知识点推出，． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴． 故选：A． 51．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，是的角平分线，交的延长线于点．是上一点，，作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，等量代换可证结论成立； （2）由等角对等边得，根据证明得，进而可求出的长． 【详解】（1）是的角平分线， ． ， ， ； （2）， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，以及全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键． 题型二二、作等腰三角形（尺规作图） 52．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，直线 l 经过点 A，且与平行．仅用圆规和无刻度的直尺完成下 列画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得； (2)如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． （1）以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，而，，所以，而可得，故； （2）以点为圆心，为半径画弧交直线于，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，所以，易得，从而可得． 【详解】（1）如图①，点为所作； （2）如图②，点、即为所求， 53．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中． (1)作的平分线． (2)作线段的垂直平分线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作； （1）利用基本作图作平分， （2）利用基本作图作垂直平分； 【详解】（1）解：如图，为所作； 以为圆心，小于的长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心任意长为半径画弧交于一点，连接点和这点即可； （2）如图，为所作； 分别以点、点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，连接交于两点即可． 题型二三、等腰三角形的性质和判定 54．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据垂直平分，得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得到结论． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点E为边的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 55．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，，点D在边上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 56．（24-25八年级上·河南南阳·期中）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．       图1 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________； A．　B．　C．　D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （4）如图3，若在（3）的基础上，增加平分，，，则________．              　图3 【答案】（1）C；（2）；（3）；（4）2 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据三角形的三边关系计算即可； （3）延长到E，使，连接，，证明，根据全等三角形的性质及三角形三边关系解答； （4）延长延长，交于点F，证明，得出，证明，得出则可得出结论． 【详解】（1）在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵， ∴， 在中，， ， 即， ∴， 故答案为； （3）延长到E，使，连接，， 在和中 ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 在中 ， ； （4）解：延长，交于点F，， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 在和中 ， ， ， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型二四、等腰三角形的定义 57．（24-25八年级上·河北唐山·期中）一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键． 【详解】解：若2为等腰三角形的腰时，则三边长为2，2，4，但，不构成三角形，舍去； 若4为等腰三角形的腰时，则三边长为2，4，4，，构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：C． 58．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）以下命题是假命题的是（　　） A．的立方根是 B．有两边相等的三角形是等腰三角形 C．三角形三个内角的和等于 D．若两个角相等，则这两个角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题，根据立方根的定义、等腰三角形的定义、三角形内角和定理、对顶角的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、的立方根是，该命题是真命题，不合题意； 、有两边相等的三角形是等腰三角形，该命题是真命题，不合题意； 、三角形三个内角的和等于，该命题是真命题，不合题意； 、若两个角相等，则这两个角可能是对顶角，该命题是假命题，符合题意； 故选：． 59．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）用一条长为的细绳首尾连接围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，忽略三角形的三边关系是解题的易错点． 分已知边是腰长和底边两种情况，分别确定三边，再根据三角形的三边关系进行判断，然后确定第三边即可． 【详解】解：当是腰长时，底边为， ∵， ∴不能组成三角形； 当是底边时，腰长为， ∵， ∴能够组成三角形． 综上所述，它的腰长为． 故选：B． 60．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 题型二五、等边三角形的性质 61．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为．当 时，是直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，分和两种情况然后根据直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点的运动时间为， ∴，， ∵是边长为的等边三角形， ∴， 当时， ∴， ∴，得， 解得：； 当时， ∴， ∴，得， 解得：； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形， 故答案为：或． 62．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知：如图，点分别在等边三角形的边上，，与交于点．求证：中必有一个角为． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 证明，则，，进而结论得证． 【详解】证明：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴中必有一个角为． 63．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图1，是等边三角形，是的角平分线，与相交于点O．点P在线段上，点Q在边上，且．连接． (1) ， ， (2)研究发现．理由如下： ∵是的角平分线，且，根据等腰三角形的性质①，可得，且，即垂直平分，同理，垂直平分，∴ 点O是三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质②，∴． 上述证明过程中，①、②两处的理由分别为 和 ；（填选项前的字母） A．“三线合一”；B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；C．等腰三角形两个底角相等． (3)判断和的数量关系，并说明理由； (4)如图2，若点P是射线上任意一点，点Q在射线上，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)A、B (3)，理由见解析． (4)或． 【分析】对于（1），根据等边三角形的性质及角平分线的定义求出，同理求出，然后根据三角形内角和定理可得答案； 对于（2），根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可； 对于（3），根据等边三角形的性质及角平分线的定义得，进而得出，再结合，可证明，即可得出答案； 对于（4），①当点P在线段上时，为等腰三角形时，，可求，再根据，可得，进而得出，最后根据；②当点P在线段的延长线时，为等腰三角形时，即，再说明，可求出，然后结合，可得答案． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴． ∵是的角平分线， ∴． 同理：， ∴， ∴． 故答案为：，； （2）因为是的角平分线，且，根据等腰三角形的性质三线合一，可得，且，即垂直平分，同理：垂直平分，所以点O是三边中垂线的交点，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得． 故答案为：A，B； （3），理由如下： ∵是等边三角形， ∴，． ∵是的平分线， ∴， 即． 又， ∴，即． 由（2）得， ∴， ∴； （4）当点P在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴当为等腰三角形时，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在线段的延长线时，如图，当为等腰三角形时，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，注意多情况讨论，不能丢解． 题型二六、等边三角形的判定 64．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，直线，，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角性质，等边三角形的判定，求出是银题的关键． 先由平行线的性质得，从而可求得，即可由等边三角形的判定定理得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故选：C． 65．（23-24八年级上·四川达州·期末）图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)是等边三角形 【分析】（1）由，，，，即可证明， （2）由，即可证明， （3）根据题意由余角的性质可得，即可得到是等边三角形． 本题考查全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定，熟练掌握并证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴， （2）解：∵， ， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 题型二七、等边三角形的判定和性质 66．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值． 【详解】解：是等边三角形， ，， ∵是中线， ∴，，． ∵， ，， 如图，作点P关于的对称点，连接交于， 此时的值最小．最小值， ， ∴， ∴，而， 是等边三角形， ， 的最小值为3． 故答案为：3． 67．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，点E是的平分线上的一点，，，垂足分别为点C、D，连接交于点F，且． (1)求证：是等边三角形． (2)若，时，直接写出的周长．（用含m、n的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得，再证明得出，结合即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，，从而得出，，垂直平分，推出，求出，结合直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形，平分， ∴，， ∴，，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 68．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）完成下列各题 问题初探 如图1，中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图2，中，，，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则____________．（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线） 方法迁移 如图3，是等边三角形，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，则之间有怎样的数量关系？____________（直接写出答案） 拓展创新 如图4，是等边三角形，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，猜想的度数并说明理由． 【答案】问题初探：理由见解析；类比再探：，图形见解析；方法迁移：；拓展创新：，理由见解析 【分析】问题初探：证明，得到； 类比再探：过点M作交于点F，得出，证明，得到，根据，即可得解； 方法迁移：证明，得到，即可得到； 拓展创新：过点M作交于点G，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解． 【详解】解：问题初探： 理由如下： ， ， ， ， ． 类比再探：， 理由如下：过点M作交于点F，则：， 在中，， ， ， ， 同（1）可得：， ， ， 故答案为：； 方法迁移：， 理由如下： 和是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； 拓展创新：， 理由：过点M作交于点G， 则，， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造手拉手全等模型，证明三角形全等． 题型二八、含30度角的直角三角形 69．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，是斜边上的高，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，由直角三角形两锐角互余可得，进而由三角形的高得到，利用所对的直角边等于斜边的一半即可得和，掌握直接三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 70．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 71．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，如果，为上一动点，那么的最小值为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短、角平分线的定义、含角的直角三角形性质等知识，熟练掌握含角的直角三角形性质是解题的关键．当时，的值最小，此时，，先求出，再由角平分线的定义得出，然后由含角的直角三角形性质即可得出结果． 【详解】解：如图，当时，的值最小， 此时，， ，， ， 平分， ， ， 故选：B 题型二九、最短路径问题 72．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边中，点D，E分别是，的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】D 【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 【详解】解：如图，连接，与交于点P， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即长就是的最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 73．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你画出关于x轴对称的，并写出点B的对应点的坐标； (2)的面积为__________； (3)请你在y轴上找到一点P，使得最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)图见解析， (2)8 (3)图见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化，作轴对称图形，割补法求面积，掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征，确定对称点，依次连接即可得到，再写出对应点的坐标即可； （2）利用割补法求面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，得到，即可得到点． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：的面积为； （3）解：如图，点即为所求． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称章末重点题型复习 题型一、轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·湖北·期中）下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上． (1)在图1中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形是轴对称图形； (2)在图2中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形不是轴对称图形． 题型二、根据成轴对称图形的特征进行判断 3．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，……；第2024次碰到矩形的边时的点为图中的（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 题型三、根据成轴对称图形的特征进行求解 5．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在中，，点，，，为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在锐角中，，的面积为，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值是 ． 题型四、折叠问题 7．（23-24八年级上·广西钦州·期末）在中，将，按如图方式折叠，点B，C均落在边上的点G处，线段，为折痕．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将正五边形一角沿直线折叠，折叠后得到点，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 已知，点，分别在射线，上，连接，是的平分线． 独立思考： （1）如图1，若所在的直线交的平分线于点． ①当时，______；当时，______； ②当点，分别在射线，上运动时（不与点重合），试问：随着点，的运动，的大小会发生变化吗？如果不会，请求出的度数；如果会，请求出度数的变化范围． 拓展延伸： （2）如图2，当所在的直线交的平分线于点，点，分别在，上时，将沿折叠，使点落在内的点处，求的度数． 题型五、线段垂直平分线的性质 10．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ． 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，的垂直平分线与相交于点D，若的周长是9，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·福建莆田·期中）（1）如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是 ； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断此时：与的大小关系，并说明理由? （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于E，F两点，连接，判断此时：、与的数量关系， 并说明理由? 题型六、线段垂直平分线的判定 13．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为(   )    A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，，，垂足分别为，，下列结论成立的是（    ） ①平分；②；③平分；④垂直平分． A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 题型七、作已知线段的垂直平分线 15．（24-25八年级上·陕西安康·期中） 两个城镇A、B 与两条公路的位置如图所示，其中是东西走向的公路．现电信部门需在E处修建一座信号发射塔，要求发射塔在 内部，到两个城镇A、B的距离必须相等，且到两条公路的距离也必须相等，那么点 E 应选在何处？ 请在图中用尺规作图找出符合条件的点E． 16．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，请用尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．    (1)在线段上找一点E，使得E点到边的距离与到边的距离相等． (2)在线段上找一点D，使得． 题型八、作垂线（尺规作图） 17．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，线段与，通过作图求一点，使，并且点到两边的距离相等．（要求，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 18．（24-25八年级上·浙江·期中）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 19．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，，且边上有一点D．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图(不写作法，保留作图痕迹)． (1)作的平分线，交边于点E； (2)作，其中，点F在边上． 题型九、画轴对称图形 20．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在直角坐标系中有，其中、、， (1)画出关于轴的对称图形，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在轴上有一点，当最小时，画出点的位置； (3)在轴上有一点，使，则点的坐标为______． 21．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中；的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出将向右平移7个单位得到的； (2)请画出与关于轴对称的，并写出的坐标； (3)在轴上找一点使得的面积为3，直接写出点的坐标． 22．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形，点，，的对应点分别是； (2)在（）的条件下，写出点，，的坐标． 题型十、设计轴对称图案 23．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再涂黑一个图中其余的小正方形，使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有 种． 24．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在的正方形网格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出网格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，并在下面的网格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个网格纸未必全用） 题型十一、坐标与图形变化--轴对称 25．（23-24八年级上·西藏昌都·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为、、，与关于轴对称，与关于轴对称，点、、分别是点、、的对应点，点、、分别是点、、的对应点． (1)画出与； (2)连接、、，求的面积． 26．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个定点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，点A，B，C的对称点分别是点，直接写出点的坐标； (2)画出点C关于y轴的对称点，连接，求的面积． 27．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是____； (2)若点D与点A关于y轴对称，点E与点B关于y轴对称，点F与点C关于x轴对称，画出，写出点F的坐标为______． (3)已知P为x轴负半轴上一点，若的面积为3，求点P的坐标． 题型十二、线段问题（轴对称综合题） 28．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标，即（______，______） (2)求出的面积为______． (3)在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点的坐标为（　　，　　）． 29．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）已知，，，在平面直角坐标系（如图）中画出符合要求的图形． (1)画出； (2)画出关于y轴对称的；点A的对应点的坐标是 ，点B的对应点的坐标是 ，点C的对应点的坐标是 ； (3)试在x轴上找点P使最短，（要求完成作图并保留痕迹） 题型十三、等边对等角 30．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）如图，已知中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当与全等时，点Q的运动速度为 ． 31．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为 °． 32．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的底角的度数是 ． 题型十四、根据等边对等角证明 33．（23-24八年级上·河南三门峡·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论共有 个． 34．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，点为的中点，且平分，的延长线交于点．求证：． 35．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）如图，已知中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为多少时，能够在某一时刻使与以P、C、O为顶点的三角形全等． 题型十五、三线合一 36．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）如图，在中，，点是的平分线上的一动点，，的面积为48，则的最小值为 ． 37．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图．在中，平分，交于点，点分别为上的动点，若的面积为6，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．3.5 D．3 38．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，是的中线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 题型十六、根据三线合一证明 39．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，、是上两点，且，，、分别平分、，、交于点，求证：点到的三个顶点的距离相等． 40．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 41．（23-24八年级上·江西赣州·期末）（1）如图1，已知BD，CE是的中线，请你用无刻度的直尺作出BC边上的中线； （2）如图2，在中，，，在中，，，请你用无刻度直尺作出边BC上中线． （1）__________________________； （2）__________________________． 题型十七、格点图中画等腰三角形 42．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 题型十八、找出图中的等腰三角形 44．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 45．（23-24八年级上·海南·期末）如图，已知．    (1)利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． ①作的平分线交于点； ②作线段的垂直平分线交于点，交于点． (2)在所作的图中，连接、．写出图中所有的等腰三角形：___________． 题型十九、根据等角对等边证明等腰三角形 46．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 47．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图①，在中，，点D在边上，于点E，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如图②，过点D作交于点G，连结交于点H，判断的形状，并说明理由． 题型二十、根据等角对等边证明边相等 48．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 49．（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四边形中，，过点B作，垂足为点E，过点A作，垂足为点F，且． (1) °； (2)求证：； (3)连接，且平分交于点G．探究的形状并说明理由． 题型二一、根据等角对等边求边长 50．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，的平分线与外角的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，，，则的值为（      ） A．2 B．9 C．6 D． 51．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，是的角平分线，交的延长线于点．是上一点，，作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型二二、作等腰三角形（尺规作图） 52．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，直线 l 经过点 A，且与平行．仅用圆规和无刻度的直尺完成下 列画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得； (2)如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得． 53．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中． (1)作的平分线． (2)作线段的垂直平分线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 题型二三、等腰三角形的性质和判定 54．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为 ． 55．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，，点D在边上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 56．（24-25八年级上·河南南阳·期中）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．       图1 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________； A．　B．　C．　D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （4）如图3，若在（3）的基础上，增加平分，，，则________．              　图3 题型二四、等腰三角形的定义 57．（24-25八年级上·河北唐山·期中）一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 58．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）以下命题是假命题的是（　　） A．的立方根是 B．有两边相等的三角形是等腰三角形 C．三角形三个内角的和等于 D．若两个角相等，则这两个角是对顶角 59．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）用一条长为的细绳首尾连接围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为（    ） A． B． C．或 D．或 60．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 题型二五、等边三角形的性质 61．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为．当 时，是直角三角形． 62．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知：如图，点分别在等边三角形的边上，，与交于点．求证：中必有一个角为． 63．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图1，是等边三角形，是的角平分线，与相交于点O．点P在线段上，点Q在边上，且．连接． (1) ， ， (2)研究发现．理由如下： ∵是的角平分线，且，根据等腰三角形的性质①，可得，且，即垂直平分，同理，垂直平分，∴ 点O是三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质②，∴． 上述证明过程中，①、②两处的理由分别为 和 ；（填选项前的字母） A．“三线合一”；B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；C．等腰三角形两个底角相等． (3)判断和的数量关系，并说明理由； (4)如图2，若点P是射线上任意一点，点Q在射线上，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 题型二六、等边三角形的判定 64．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，直线，，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 65．（23-24八年级上·四川达州·期末）图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 题型二七、等边三角形的判定和性质 66．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为 ． 67．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，点E是的平分线上的一点，，，垂足分别为点C、D，连接交于点F，且． (1)求证：是等边三角形． (2)若，时，直接写出的周长．（用含m、n的式子表示） 68．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）完成下列各题 问题初探 如图1，中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图2，中，，，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则____________．（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线） 方法迁移 如图3，是等边三角形，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，则之间有怎样的数量关系？____________（直接写出答案） 拓展创新 如图4，是等边三角形，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，猜想的度数并说明理由． 题型二八、含30度角的直角三角形 69．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，是斜边上的高，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 70．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 71．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，如果，为上一动点，那么的最小值为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 题型二九、最短路径问题 72．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边中，点D，E分别是，的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 73．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你画出关于x轴对称的，并写出点B的对应点的坐标； (2)的面积为__________； (3)请你在y轴上找到一点P，使得最小（保留作图痕迹）． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$