重难点提优03 等腰三角形中的分类讨论（6大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

专题提优3 等腰三角形中的分类讨论 题型01 腰和底不确定的分类讨论 1．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 　　． 2．（1）已知等腰三角形的周长为10，底边长为4，求它的腰长； （2）已知等腰三角形的周长为10，腰长为4，求它的底边长； （3）已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，求它的另外两边的长． 题型02 顶角和底角不确定的分类讨论 1．等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角度数为（　　） A．50° B．100° C．50°或80° D．20°或80° 2．若等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20°，则等腰三角形顶角的度数是（　　） A．140°或44°或80° B．140°或80° C．44°或80° D．140°或44° 3．等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则顶角为 　　度． 题型03 锐角和钝角不确定时分类讨论 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为（　　） A．65° B．25° C．65°或25° D．50°或130° 2．已知△ABC的高AD，BE所在的直线交于点O，若△ABC不是直角三角形，且∠C＝42°，则∠AOB的度数为　 　． 题型04 与腰上中线有关的分类讨论 1．已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长3cm，那么这个三角形的腰长为　 　cm． 2．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边和腰的长度． 题型05 动点引起的分类讨论 1．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝8cm，动点P从点C出发沿CB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t为（　　）s时，△POQ是等腰三角形． A． B．6 C．或6 D．或8 2．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　． 题型06 新定义中的分类讨论 1．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于（　　） A． B． C．或 D．或 2．【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】 （1）在△ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值　 　；（按从小到大写） （2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值　 　． 提优练习 1．等腰三角形的一角为100°，则另一角为（　　） A．100° B．40° C．100°或40° D．50° 2．在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝3∠ACB，点D在直线AB上，AD＝AC，则∠BCD的度数是（　　） A．20° B．20°或70° C．40°或70° D．70° 3．等腰三角形的一条边长为4，另一条边长为7，则该三角形的周长为（　　） A．15 B．18 C．15或18 D．18或23 4．已知等腰△ABC，AD为BC边上的高，且，则等腰△ABC的底角的度数为（　　） A．45° B．75°或60° C．45°或75° D．以上都不对 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数可能为　 　． 6．如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是等腰三角形，则此时∠A所有可能的度数为　 　°． 7．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，△ABC中，∠A＝36°，∠B为钝角，则使得△ABC是特异三角形所有可能的∠B的度数为 　 　． 8．已知在△ABC中，∠A＝40°，D为边AC上一点，△ABD和△BCD都是等腰三角形，则∠C的度数可能是 　 　． 9．已知△ABC中，∠ABC＝40°， （1）若点D为BC边上的一个点，且AB＝AD，则∠ADB＝　 　°； （2）若过点A的直线l恰好把△ABC分成两个等腰三角形，则∠C的度数可能是　 　． 10．已知在△ABC中，∠C＝16°且为最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，求∠B所有可能的度数． 11．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． （1）如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线； （2）如图2，若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数． 12．问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°），设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为 　 　； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数． 13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BC→CA方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． （1）BP＝　 　cm（用含t的式子表示）； （2）当点Q在边BC上运动时． ①出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ ②通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？ （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值． 14．（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法） （2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 15．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线． （1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线． （2）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD＝BD，∠C＝30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优3 等腰三角形中的分类讨论 题型01 腰和底不确定的分类讨论 1．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 　　． 【分析】根据三角形三边之间的关系，即可得第三边的长，据此即可求解． 【解答】解：设第三边长为x，则5＜x＜13， 故此等腰三角形的第三边长为9， 故它的周长为：4+9+9＝22， 故答案为：22． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，确定出第三边的长是解决本题的关键． 2．（1）已知等腰三角形的周长为10，底边长为4，求它的腰长； （2）已知等腰三角形的周长为10，腰长为4，求它的底边长； （3）已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，求它的另外两边的长． 【分析】（1）由等腰三角形的周长是10，则底边长4，根据等腰三角形的两腰相等，即可求得其腰长的值； （2）由已知条件，根据等腰三角形的性质及周长公式即可求得其底边长； （3）已知给出的等腰三角形的一边长为5，但没有明确指明是底边还是腰，因此要分两种情况，分类讨论解答． 【解答】解：（1）∵等腰三角形的底边长为4，周长为10， ∴腰长为（10﹣4）÷2＝3； （2）∵等腰三角形的周长为10，其腰长为4， ∴它的底边长为10﹣4﹣4＝2． （3）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12， ∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形； 当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形． 故另两边是3.5、3.5或5、2． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，分类讨论是解题关键． 题型02 顶角和底角不确定的分类讨论 1．等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角度数为（　　） A．50° B．100° C．50°或80° D．20°或80° 【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为80°时；当等腰三角形的一个底角为80°时；然后进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为80°时， ∴等腰三角形的两个底角都＝50°； 当等腰三角形的一个底角为80°时，另一个底角也为80°， ∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×80°＝20°； 综上所述：它的顶角度数为80°或20°， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 2．若等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20°，则等腰三角形顶角的度数是（　　） A．140°或44°或80° B．140°或80° C．44°或80° D．140°或44° 【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，然后分①x是顶角，2x﹣20°是底角，②x是底角，2x﹣20°是顶角，③x与2x﹣20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【解答】解：设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°， ①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°， 解得x＝44°， 所以，顶角是44°； ②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°， 解得x＝50°， 所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°； ③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°， 解得x＝20°， 所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°． 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 3．等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则顶角为 　　度． 【分析】根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数． 【解答】解：①较大的角为顶角，设这个角为x，则： x+2（x﹣30）＝180， x＝80； ②较大的角为底角，设顶角为y°，则： y+2（y+30）＝180， y＝40， 答：等腰三角形的顶角为80°或40°． 故答案为：80或40． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 题型03 锐角和钝角不确定时分类讨论 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为（　　） A．65° B．25° C．65°或25° D．50°或130° 【分析】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，分类讨论：当BD在△ABC内部时，先求得∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求∠ABC＝∠ACB＝65°；当BD在△ABC外部时，先求得∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得∠ACB＝25°． 【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°， 当BD在△ABC内部时，如图， ∵BD为高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°， ∵AB＝AC， ∴； 当BD在△ABC外部时，如图， ∵BD为高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BAD＝∠ABC+∠ACB， ∴， 综上所述，这个等腰三角形的底角度数为65°或25°， 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 2．已知△ABC的高AD，BE所在的直线交于点O，若△ABC不是直角三角形，且∠C＝42°，则∠AOB的度数为　 　． 【分析】首先根据题意画出图形，注意此题分两种情况，一种是△ABC是锐角三角形，一种是△ABC是钝角三角形． 【解答】解：如图1所示： ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∵∠EOD+∠OEC+∠ODC+∠C＝360°， ∴∠EOD＝360°﹣90°﹣90°﹣42°＝138°， ∴∠AOB＝∠EOD＝138°； 如图2所示： ∵∠C＝42°， ∴∠DAC＝48°， ∴∠EAO＝48°， ∴∠AOB＝180°﹣90°﹣48°＝42°， 故答案为：42°或138°． 【点评】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握四边形内角和为360°，注意要分类讨论． 题型04 与腰上中线有关的分类讨论 1．已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长3cm，那么这个三角形的腰长为　 　cm． 【分析】两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形的腰长是x cm，根据其中一部分比另一部分长3cm，即可列方程求解． 【解答】解：如图，设等腰三角形的腰长是x cm． 当AD+AC与BC+BD的差是3cm时，即x+x﹣（x+8）＝3， 解得：x＝11， 11，11，8能够组成三角形； 当BC+BD与AD+AC的差是3cm时，即8x﹣（x+x）＝3， 解得：x＝5， 5，5，8能组成三角形． 故这个三角形的腰长为11cm或5cm． 故答案为：11cm或5cm． 【点评】本题考查等腰三角形的性质：等腰三角形有两边相等，同时考查了三角形的三边关系． 2．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边和腰的长度． 【分析】作出图形，设AD＝DC＝x，BC＝y，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可得解． 【解答】解：如图所示，设AD＝DC＝x，BC＝y，由题意得，或， 解得或， 当，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系； 当时，等腰三角形的三边为14，14，5， 所以，这个等腰三角形的底边长是5， 综上所述，这个等腰三角形的底边长5．腰长是14． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 题型05 动点引起的分类讨论 1．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝8cm，动点P从点C出发沿CB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t为（　　）s时，△POQ是等腰三角形． A． B．6 C．或6 D．或8 【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求． 【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时， 设t时后△POQ是等腰三角形， 有OP＝OC﹣CP＝OQ， 即8﹣3t＝2t， 解得，t； （2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s， 当△POQ是等腰三角形时， ∵∠POQ＝60°， ∴△POQ是等边三角形， ∴OP＝OQ， 即2t＝3t﹣8， 解得，t＝8， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键． 2．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　． 【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【解答】 解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝30°， ①当E在E1时，OE＝CE， ∵∠AOC＝∠OCE＝30°， ∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°； ②当E在E2点时，OC＝OE， 则∠OEC＝∠OCE（180°﹣30°）＝75°； ③当E在E3时，OC＝CE， 则∠OEC＝∠AOC＝30°； 故答案为：120°或75°或30°． 【点评】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想． 题型06 新定义中的分类讨论 1．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°；当等腰三角形的一个底角为50°时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为50°， ∴等腰三角形的两个底角都（180°﹣50°）＝65°， ∴这个等腰三角形的“特征值”k； 当等腰三角形的一个底角为50°时，那么另一个底角也是50°， ∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×50°＝80°， ∴这个等腰三角形的“特征值”k； 综上所述：或， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 2．【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】 （1）在△ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值　 　；（按从小到大写） （2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值　 　． 【分析】【理解】如图1，如图2所示，根据题意画出图形即可； 【应用】（1）①如图3，当∠A＝24°，CD为“好线”，②如图4，当∠A＝24°，CD为“好线”，③如图5，当∠A＝24°时，CD为“好线”，④如图6，当∠A＝24°时，BD为“好线”，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）设∠B＝x，①当AD＝DE时，如图1（a），②当AD＝AE时，如图1（b），③当EA＝DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论． 【解答】解：【理解】如图1，如图2所示， 【应用】 （1）①如图3， 当∠A＝24°，CD为“好线”， 则AD＝CD，BD＝BC，故这个三角形最大内角是∠B＝84°； ②如图4， 当∠A＝24°，CD为“好线”， 则AD＝CD＝BC，这个三角形最大内角是∠ACB＝108°； ③如图5， 当∠A＝24°时，CD为“好线”， 则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°， ④如图6， 当∠A＝24°时，BD为“好线”， 则AD＝AB，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ABC＝117°， 当∠A＝24°时，CD为“好线”，则AD＝CD，DC＝BD时，故这个三角形最大内角是∠ABC＝90°， 综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是84°或90°或108°或117°， 故答案为：84°或90°或108°或117°； （2）设∠B＝x， ①当AD＝DE时，如图1（a）， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD＝27°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x， ∴∠AED＝∠DAE＝2x， ∴27°×2+2x+x＝180°， ∴x＝42°， ∴∠B＝42°； ②当AD＝AE时，如图1（b）， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD＝27°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x， ∴∠AED＝∠ADE＝2x， ∴2x+x＝27°+27°， ∴x＝18°， ∴∠B＝18°． ③当EA＝DE时， ∵90°﹣x+27°+27°+x＝180°， ∴x不存在，应舍去． 综合上述：∠B的度数的所有可能值为42°或18°， 故答案为：42°或18°． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了新定义，设计与作图，等腰三角形的定义和性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 提优练习 1．等腰三角形的一角为100°，则另一角为（　　） A．100° B．40° C．100°或40° D．50° 【分析】分底角为100°何顶角为100°两种情况，根据三角形内角和定理和等腰三角形的定义求解即可． 【解答】解：当底角为100°时，则另外一个底角为100°，此时不满足三角形内角和定理， 当顶角为100°时，则底角为， 故选：B． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，关键掌握等边对等角． 2．在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝3∠ACB，点D在直线AB上，AD＝AC，则∠BCD的度数是（　　） A．20° B．20°或70° C．40°或70° D．70° 【分析】先利用三角形内角和定理可得∠ACB+∠ABC＝80°，从而可得∠ACB＝20°，∠ABC＝60°，然后分两种情况：当点D在BA的延长线上时；当点D在AB的延长线上时；从而分别进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠BAC＝100°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠BAC＝80°， ∵∠ABC＝3∠ACB， ∴∠ACB＝20°，∠ABC＝60°， 分两种情况： 当点D在BA的延长线上时，如图： ∵∠BAC是△ACD的一个外角， ∠BAC＝∠D+∠ACD＝100°， ∵AD＝AC， ∴∠D＝∠ACD＝50°， ∵∠ACB＝20°， ∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝70°； 当点D在AB的延长线上时，如图： ∵∠BAC＝100°，AD＝AC， ∴∠ACD＝∠D40°， ∵∠ACB＝20°， ∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝20°； 综上所述：∠BCD的度数是20°或70°， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 3．等腰三角形的一条边长为4，另一条边长为7，则该三角形的周长为（　　） A．15 B．18 C．15或18 D．18或23 【分析】分为两种情况4为底或7为底，还要注意是否符合三角形三边关系． 【解答】解：∵等腰三角形的一条边长为4，另一条边长为7， ∴有两种情况： ①7为底，4为腰，4+4＞7，符合题意， ∴该三角形的周长是4+4+7＝15； ②4为底，7为腰，7+4＞7，符合题意， ∴该三角形的周长是7+7+4＝18． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 4．已知等腰△ABC，AD为BC边上的高，且，则等腰△ABC的底角的度数为（　　） A．45° B．75°或60° C．45°或75° D．以上都不对 【分析】分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB＝AC时，根据已知条件得出AD＝BD＝CD，从而得出底角的度数；当AB＝BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB＝BC求出底角的度数，当AB＝BC时，求出底角． 【解答】解：①当AB＝AC时，如图， 则∠B＝∠C； ∵AD为BC边上的高， ∴BD＝CD， ∵， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠DAB＝∠B，∠C＝∠DAC， ∴∠DAB＝∠B＝∠C＝∠DAC， 而这四个角和为180°， ∴底角为∠B＝∠C＝45°； ②当AB＝BC时，如图， ∵， ∴， ∴∠ABD＝30°， ∴∠BAC＝∠BCA＝75°， ∴底角为75°； ③当AB＝BC时，如图， ∵， ∴， ∴∠ABD＝30°， ∴∠BAC＝∠BCA＝15°， ∴底角为15°； 故选：D． 【点评】此题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数可能为　50°或130°　． 【分析】等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，另外两种情况可以根据垂直的性质及外角的性质求出顶角的度数． 【解答】解：①当为锐角三角形时，如图， 高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°； ②当为钝角三角形时，如图，此时垂足落到三角形外面， 因为三角形内角和为180°， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°， 所以三角形的顶角为130°． 故答案为50°或130°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 6．如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是等腰三角形，则此时∠A所有可能的度数为　30°，75°，120　°． 【分析】分∠A是底角且∠O和∠ACO是顶角两种情况，∠A是顶角讨论求解即可． 【解答】解：∠A是底角，∠O是底角时，∠A＝∠O＝30°， ∠A是底角，∠ACO是底角时，∠A（180°﹣∠O）（180°﹣30°）＝75°， ∠A是顶角时，∠A＝180°﹣2∠O＝180°﹣2×30°＝120°， 综上所述，∠A所有可能的度数为：30°，75°，120°． 故答案为：30°，75°，120°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论． 7．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，△ABC中，∠A＝36°，∠B为钝角，则使得△ABC是特异三角形所有可能的∠B的度数为 　108°或126°或132°　． 【分析】利用特异三角形得到△ABD和△CBD都是等腰三角形，讨论：①当AB＝AD时，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABD＝∠ADB72°，若DB＝DC，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算∠C＝∠CBD∠ADB＝36°，从而得到∠ABC＝108°；由于∠CDB＝108°，根据三角形内角和可判断CD＝CB与BD＝BC不成立；②当DA＝DB，利用等腰三角形性质得∠ABD＝∠A＝36°，根据三角形外角性质得∠CDB＝72°，若DB＝DC，则∠C＝∠CBD＝54°，此时∠ABC＝90°，不合题意舍去；若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝72°，此时∠ABC＝108°；③当BA＝BD时，则∠ADB＝∠A＝36°，易得∠ABD＝108°，若DB＝DC，则∠C＝∠CBD∠ADB＝18°，此时∠ABC＝126°；由于∠CDB＝144°，利用三角形内角和可判断则CD＝CB或BD＝BC不成立；④当BA＝BD，DA＝DC， 设∠BAD＝x，则∠ADB＝x，根据三角形外角性质得∠C＝∠DACx，所以xx＝36°，解得x＝24°，从而得到∠B＝132°；综上所述，∠B的度数为108°或126°或132°． 【解答】解：∵△ABC是特异三角形， ∴△ABD和△CBD都是等腰三角形， ①当AB＝AD时，则∠ABD＝∠ADB（180°﹣∠A）（180°﹣36°）＝72°， 若DB＝DC，则∠C＝∠CBD∠ADB＝36°， 此时∠ABC＝72°+36°＝108°； 由于∠CDB＝108°，则CD＝CB与BD＝BC不成立； ②当DA＝DB，则∠ABD＝∠A＝36°，所以∠CDB＝36°+36°＝72°， 若DB＝DC，则∠C＝∠CBD（180°﹣72°）＝54°，此时∠ABC＝54°+36°＝90°，不合题意舍去； 若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝72°，此时∠ABC＝72°+36°＝108°； ③当BA＝BD时，则∠ADB＝∠A＝36°，∠ABD＝180°﹣36°﹣36°＝108°， 若DB＝DC，则∠C＝∠CBD∠ADB＝18°，此时∠ABC＝108°+18°＝126°； 由于∠CDB＝144°，则CD＝CB与BD＝BC不成立； ④当BA＝BD，DA＝DC， 设∠BAD＝x，则∠ADB＝x， ∵DC＝DA， ∴∠C＝∠DACx， ∴xx＝36°，解得x＝24°， ∴∠B＝180°﹣24°﹣24°＝132°； 综上所述，∠B的度数为108°或126°或132°． 故答案为108°或126°或132°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．注意分类讨论数学思想的应用． 8．已知在△ABC中，∠A＝40°，D为边AC上一点，△ABD和△BCD都是等腰三角形，则∠C的度数可能是 　80°或50°或20°或35°　． 【分析】分三种情况：如图1所示：当DA＝DC时；如图2所示：当AB＝AD时；如图3所示：当AB＝DB时；进行讨论，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：如图1所示：当DA＝DC时， ∵∠A＝40°， ∴∠ABD＝40°， ∴∠ADB＝180°﹣40°×2＝100°， ∴∠BDC＝180°﹣100°＝80°， 当BD＝BC1时，∠BC1D＝∠BDC1＝80°； 当DB＝DC2时，∠DBC2＝∠DC2B＝（180°﹣80°）÷2＝50°； 当BC3＝DC3时，∠BC2D＝180°﹣80°×2＝20°； 如图2所示：当AB＝AD时， ∵∠A＝40°， ∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣40°）÷2＝70°， ∴∠BDC＝180°﹣70°＝110°， 当DB＝DC4时，∠DBC4＝∠DC4B＝（180°﹣110°）÷2＝35°； 如图3所示：当AB＝DB时， ∵∠A＝40°， ∴∠ADB＝40°， ∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°， 当DB＝DC5时，∠DBC5＝∠DC5B＝（180°﹣140°）÷2＝20°． 综上所述，∠C的度数可能是80°或50°或20°或35°． 故答案为：80°或50°或20°或35°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意分类思想的应用，难度较大，不要漏解． 9．已知△ABC中，∠ABC＝40°， （1）若点D为BC边上的一个点，且AB＝AD，则∠ADB＝　40　°； （2）若过点A的直线l恰好把△ABC分成两个等腰三角形，则∠C的度数可能是　80°或20°或50°　． 【分析】（1）由AB＝AD，根据等边对等角的性质，即可求得∠ADB的度数； （2）分别从①AD＝AC＝BD，②AC＝DC，AD＝BD，③AD＝DC＝BD，去分析求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ABC＝40°，点D为BC边上的一个点，且AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABC＝40°； （2）解：有三种情况：①AD＝AC＝BD， ∵AD＝BD， ∴∠ABC＝∠BAD＝40°， ∵AD＝AC， ∴∠C＝∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝80°， ②AC＝DC，AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABC＝40°， ∵AC＝DC， ∴∠DAC＝∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠ADC﹣∠DAC＝20°， ③AD＝DC＝BD， ∴∠BAD＝∠ABC＝40°， ∵AD＝DC， ∴∠C＝∠DAC， ∵∠ADC＝80°， ∴∠C（180°﹣∠ADC）＝50°， 故答案为：（1）40，（2）80°或20°或50°． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 10．已知在△ABC中，∠C＝16°且为最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，求∠B所有可能的度数． 【分析】设过B的直线交AC于D，因为没有指明是哪两个边相等，故应该分情况进行分析，从而求解． 【解答】解：设∠ABC＝y，过点B的直线交边AC于D， 在△DBC中， ①若∠C是顶角，如图1， 则∠ADB＞90°，∠CBD＝∠CDB＝90°﹣8°＝82°，∠A＝180°﹣16°﹣y． 此时只能有∠A＝∠ABD， 即180°﹣16°﹣y＝y﹣82°， 解得：y＝123°， 即：∠ABC＝123°； ②若∠C是底角，则有两种情况． 第一种情况：如图，当DB＝DC时，则∠DBC＝16°， 在△ABD中，∠ADB＝32°，∠ABD＝y﹣16°． （i）由AB＝AD，得∠ABD＝∠ADB＝32°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝48°； （ii）由AB＝BD，得∠BAD＝∠ADB＝32°， ∴∠ABD＝180°﹣∠BAD+∠BDA＝116°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝132°； （iii）由AD＝BD，得∠BAD＝∠ABD＝74°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝90°； （iiii）当BD＝BC时，但这种情况与∠C是最小角不符，不成立． 第二种情况，如图1，当BD＝BC时，∠BDC＝∠C＝16°，∠ADB＝180°﹣16°＞90°，此时只能有AD＝BD， 从而∠A＝∠ABD∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾． ∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立． 综上，∠ABC所有可能的度数为：123°或132°或48°或90°． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质、三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用是解题的关键． 11．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． （1）如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线； （2）如图2，若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数． 【分析】（1）只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可． （2）如图2中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图3中，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形， ∴∠EAC＝∠C， ∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形， ∴AE是△ABC是一条特异线． （2）解：如图2中， 当BD是特异线时，如果AB＝BD＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝120°+15°＝135°， 如果AD＝AB，DB＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝75°+37.5°＝112.5°， 如果AD＝DB，DC＝CB，则ABC＝∠ABD+∠DBC＝30°+60°＝90°（不合题意舍弃）． 如图3中，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC，则∠ABC＝180°﹣20°﹣20°＝140° 当CD为特异线时，不合题意． ∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，学会画出图形，借助于图形解决问题，学会利用方程去思考问题，属于中考创新题目． 12．问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°），设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为 　50°　； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠BAC＝100°和，即可求解； （2）由等腰三角形的性质及旋转的性质得∠BAM＝∠EAN＝α，AD＝AE＝AB，由ASA可判定△ABM≌△AEN，即可得证； （3）①当MD＝MO时，由旋转的性质得∠MDO＝40°，由∠AMO＝∠ABM+∠BAM，即可求解； ②当DM＝DO时，同理可求解；③当OD＝OM时，同理可求解． 【解答】（1）解：如图， ∵AB＝AC， ∴∠BAC＝180°﹣2∠B ＝100°， ∵AD⊥BC， ∴， ＝50°， ∴α＝50°， 故答案为：50°； （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABM＝∠C， 由旋转得：∠AEN＝∠C， ∠BAM＝∠EAN＝α， AD＝AE＝AB， ∴∠ABM＝∠AEN， 在△ABM和△AEN中， ， ∴△ABM≌△AEN（ASA）， ∴AM＝AN； （3）解：①如图，当MD＝MO时， 由旋转得：∠MDO＝40°， ∴∠MOD＝40°， ∴∠AMO＝2∠MDO＝80°， ∵∠AMO＝∠ABM+∠BAM， ∴∠BAM＝80°﹣40° ＝40°， ∴α＝40°； ②如图，当DM＝DO时， 由①得：∠MDO＝40°， ∴ ＝70°， ∴∠AMO＝∠MDO+∠DOM ＝110°， ∵∠AMO＝∠ABM+∠BAM ∴∠BAM＝110°﹣40° ＝70°， ∴α＝70°； ③如图，当OD＝OM时， 由①得：∠MDO＝∠DMO＝40°， ∴∠AMO＝180°﹣∠DMO ＝140°， ∵∠AMO＝∠ABM+∠BAM ∴∠BAM＝140°﹣40° ＝100°， ∴α＝100°， ∵0°＜α＜100°， ∴α＝100°不合题意，舍去； 综上所述：旋转角α的度数为40°或70°． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质等；掌握判定方法及性质，能根据等腰三角形的顶点不同进行分类讨论是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BC→CA方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． （1）BP＝　（16﹣t）　cm（用含t的式子表示）； （2）当点Q在边BC上运动时． ①出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ ②通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？ （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值． 【分析】（1）根据题意即可用t可表示出AP，BQ即可求得BP； （2）①结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；②当Q在BC上，0≤t≤6，如图，AP＝t，BQ＝2t，则BP＝16﹣t，CQ＝12﹣2t，利用PQ把△ABC的周长平分，再建立方程求解即可； （3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， （2）①当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时， 即16﹣t＝2t，解得， ∴出发秒后； ②当Q在BC上，0≤t≤6，如图， 而AP＝t，BQ＝2t， ∴BP＝16﹣t，CQ＝12﹣2t， ∵PQ把△ABC的周长平分， ∴16﹣t+2t＝t+12﹣2t+20， 解得：t＝8，不符合题意舍去， ∴点Q在边BC上运动时．PQ不能把△ABC的周长平分． （3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10（cm）， ∴BC+CQ＝22（cm）， ∴t＝22÷2＝11； ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示， 则BC+CQ＝24（cm）， ∴t＝24÷2＝12， 综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形． 故答案为：11或12． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用． 14．（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法） （2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 【分析】（1）按要求画图（作AB的中垂线或作BC的中垂线）即可； （2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把24°的三角形分成两个等腰三角形的各种情形，一共有5种情况，分别画图即可； （3）根据（1）（2）中的图形总结即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）设分割线为AD，相应用的角度如图所示： 图1的最大角＝39°+78°＝117°，图2的最大角＝24°+180°﹣2×48°＝108°， 图3的最大角＝24°+66°＝90°，图4的最大角＝84°， 图5的最大角＝148°，因为∠ABC＝24°不是最小内角，此种情况不符合题意， 故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°； （3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一： ①该三角形是直角三角形； ②该三角形有一个角是最小角的2倍； ③该三角形有一个角是其中一个角的3倍． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”等数学思想，是一道不可多得的好题． 15．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线． （1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线． （2）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD＝BD，∠C＝30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数． 【分析】（1）证明△ABE、△AEC是等腰三角形即可； （2）根据等腰分割线的定义，画出图形即可；分三种情形：当DA＝DC时，当AD＝AC时，当AC＝CD时，利用等腰三角形的性质，分别求解． 【解答】（1）证明：如图2中， ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形， ∴∠EAC＝∠C， ∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形， ∴AE是△ABC是一条等腰分割线； （2）解：∵线段AD即为所求分割线， ∴△ABD和△ACD都是等腰三角形， ①如图3，AD＝CD＝BD， ∴∠C＝∠CAD＝30°， ∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝30°+30°＝60°， ∵AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD＝60°； ②如图4，AD＝BD＝AC， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠C＝30°， ∵AD＝BD， ∴∠B＝∠DAB， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°， ∴∠B＝15°； ③如图5，AD＝BD，AC＝CD， ∴∠CAD＝∠ADC75°， ∠B＝∠BAD， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴∠B＝37.5°， 综上所述，∠B的度数为60°或15°或37.5°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等腰分割的定义等知识，解题的关键是理解等腰分割的定义，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$