第1章 空间向量与立体几何 章末优化提升（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

[对应学生用书第34页] 考点一　用空间向量解决共线、共面问题 [例1]　若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C有关系式6＝＋2＋3，则(　　) A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B四点共面 [解析]　由6＝＋2＋3，得－＝2(－)＋3(－)，∴＝2＋3，即＝－2－3，∴P，A，B，C四点共面． [答案]　B 空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理、数量积的性质等． 1．如图，已知斜三棱柱ABCA′B′C′，设＝a，＝b，＝c，在对角线AC′和棱BC上分别取点M，N，使＝k，＝k，0≤k≤1.求证：向量，a，c共面． 证明　如图，连接AN.∵＝＋＝＋k＝＋k(－)＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb， ＝k＝k(＋)＝kc＋kb， ∴＝－＝(1－k)a－kc. ∵向量a与c不共线， ∴向量，a，c共面． 考点二　用空间向量解决线面位置关系问题 [例2]　如图所示，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1BC，二面角A1ABC是直二面角．求证： (1)A1B1⊥平面AA1C； (2)AB1∥平面A1C1C. [证明]　∵二面角A1ABC是直二面角， ∴平面A1ABB1⊥平面ABC. 又∵AB＝AC，BC＝AB， ∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB. ∴AB，AC，AA1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝2，则A(0，0，0)， B1(0，2，2)，A1(0，0，2)， C(2，0，0)，C1(1，1，2). (1)A1B1＝(0，2，0)， A1A＝(0，0，－2)， ＝(2，0，0)， 设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)， 则即即 取y＝1，则n＝(0，1，0). ∴A1B1＝2n，即A1B1∥n.∴A1B1⊥平面AA1C. (2)易知AB1＝(0，2，2)，A1C1＝(1，1，0)，A1C＝(2，0，－2)，设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)， 则即 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1，1). ∴AB1·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， ∴AB1⊥m. 又AB1⊄平面A1C1C， ∴AB1∥平面A1C1C. 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； (2)线面平行(l⊄α)：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； (3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R； (4)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； (5)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； (6)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0. 2．如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点．求证： (1)PC∥平面EBD； (2)平面PBC⊥平面PCD. 证明　如图，以D为原点，分别以DC，DA，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设DC＝a，PD＝b，则D(0，0，0)，C(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，b)，E. (1)＝，＝(a，a，0). 设平面EBD的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则即 令y1＝1，则x1＝－1，z1＝－， 得n＝为平面EBD的一个法向量． 又＝(a，0，－b)，且·n＝－a＋×(－b)＝0， ∴⊥n. ∵PC⊄平面EBD，∴PC∥平面EBD. (2)＝(a，a，－b)，＝(0，－a，0). 设平面PBC的法向量为n1＝(x2，y2，z2)， 则∴y2＝0. 令z2＝1，则x2＝，得 n1＝为平面PBC的一个法向量． 易得平面PCD的一个法向量是n2＝(0，1，0). ∵n2·n1＝0，∴平面PBC⊥平面PCD. 考点三　用空间向量求距离 [例3]　如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离． [解]　如图所示，取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD， 所以MO⊥平面BCD. 以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，则O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，－，0)， A(0，－，2)， 所以＝(1，，0)， ＝(0，，)， ＝(0，0，2). 设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)， 由得 即 取x＝，可得平面MBC的一个法向量为 n＝(，－1，1). 又＝(0，0，2)， 所以所求距离d＝＝. (1)求P，Q两点间的距离，可转化为求的模； (2)点到平面距离的求法：设n是平面α的法向量，B是平面α外一点，A是平面α内一点，AB是平面α的一条斜线，则点B到平面α的距离为d＝； (3)线面距离、面面距离均可转化为点到平面的距离，利用(2)中的方法求解． 3．(广东清远四校联盟高二期中)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，AB⊥平面PAD，E是AD的中点，△PAD为等腰直角三角形，DP⊥AP，PA＝AB＝. (1)求证：PE⊥BD； (2)求点A到平面PBE的距离． 解　(1)证明　因为AB⊥平面PAD，PE⊂平面PAD， 所以PE⊥AB． 因为△PAD是等腰直角三角形，E是斜边AD的中点， 所以PE⊥AD． 又AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AB∩AD＝A， 所以PE⊥平面ABCD． 又BD⊂平面ABCD，所以PE⊥BD． (2)在平面ABCD内，过E点作AD的垂线EF，交BC于点F，则EF∥AB． 又AB⊥平面PAD，所以EF⊥平面PAD． 又EP⊥EA，则EP，EA，EF两两垂直， 以E为原点，分别以EP，EA，EF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图． 因为PA＝AB＝， 所以E(0，0，0)，B(0，1，1)，A(0，1，0)，P(1，0，0)， 则＝(0，1，1)，＝(1，0，0)，＝(－1，1，0). 设平面PBE的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则取y＝1，则z＝－1， 故n＝(0，1，－1)为平面PBE的一个法向量． 设点A到平面PBE的距离为h，则h＝＝＝， 所以点A到平面PBE的距离为. 考点四　用空间向量求角 [例4]　在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． [解析]　以A为原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，P(0，0，2)，D，E，F， 故＝(0，0，2)，＝， ＝. 设n＝(x，y，z)是平面DEF的法向量，则 即 取x＝1，得n＝为平面DEF的一个法向量． 设PA与平面DEF所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ，n|＝. [答案]　C (1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|； (2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ； (3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角． 4．如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点． (1)求点C到平面A1ABB1的距离； (2)若AB1⊥A1C，求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值． 解　(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB. 又CD⊥AA1，故CD⊥平面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD＝＝. (2)如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直． 以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. 设直三棱柱的高为h，则A(－2，0，0)，A1(－2，0，h)，B1(2，0，h)，C(0，，0)，C1(0，，h)， 从而AB1＝(4，0，h)，A1C＝(2，，－h). 由AB1⊥A1C，有8－h2＝0，解得h＝2. 故DA1＝(－2，0，2)，CC1＝(0，0，2)， ＝(0，，0). 设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则m⊥，m⊥DA1， 即取z1＝1，得m＝(，0，1)， 设平面C1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则n⊥，n⊥CC1，即 取x2＝1，得n＝(1，0，0)， 所以cos 〈m，n〉＝＝＝. 所以平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$