1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　空间中直线、平面的平行 [学习任务] 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(重点) 2．能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系．(重点、难点) [对应学生用书第18页] 知识点　空间平行、垂直关系的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． (1)线线平行：l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2； (2)线面平行：l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0； (3)面面平行：α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． [对应学生用书第18页] 探究一　直线与直线平行 [例1]　在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. [证明]　法一　设＝a，＝b，AA1＝c， 则＝MB1＋B1A1＋A1N＝c－a＋b， ＝＋＋＝b－a＋c， ∴＝，∴∥.又∵R∉MN， ∴MN∥RS. 法二　如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则根据题意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S. ∴＝，＝， ∴＝， ∴∥.∵M∉RS，∴MN∥RS. 证明直线平行的两种思路 1．长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1. 证明　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a，0，0)，C1(0，b，c)，E，F. ∴＝，AC1＝(－a，b，c)， ∴＝AC1． 又FE与AC1不共线，∴EF∥AC1. 探究二　直线与平面平行 [例2]　在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. [证明]　法一　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N， 于是DA1＝(1，0，1)，＝(1，1，0)， ＝. 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则 即取x＝1，则y＝－1，z＝－1， ∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1). 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， ∴⊥n.∴MN∥平面A1BD. 法二　＝C1N－C1M＝C1B1－C1C ＝(D1A1－D1D)＝DA1，∴∥DA1， ∴MN∥平面A1BD. 法三　＝C1N－C1M＝C1B1－C1C ＝－A1A＝(＋)－(A1B＋) ＝－A1B． 即可用A1B与线性表示，故与A1B，是共面向量，故MN∥平面A1BD. 利用空间向量证明线面平行的三种方法 方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示； 方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证； 方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心．求证：平面EFG∥平面HMN. 证明　如图，以点D为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.不妨设正方体的棱长为2，则E(1，1，0)，F(1，0，1)，G(2，1，1)，H(1，2，1)，M(1，1，2)，N(0，1，1)， 所以＝(0，－1，1)，＝(1，1，0)，＝(0，－1，1)，＝(1，1，0). 方法一　由向量坐标知∥，∥，所以EF∥HM，FG∥NH.因为HM，NH⊂平面HMN，EF，FG⊄平面HMN，所以EF∥平面HMN，FG∥平面HMN.又EF，FG⊂平面EFG，EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面HMN. 方法二　设平面EFG的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即取x1＝－1， 则m＝(－1，1，1)为平面EFG的一个法向量． 设平面HMN的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则即取x2＝－1， 则n＝(－1，1，1)为平面HMN的一个法向量，所以m∥n，所以平面EFG∥平面HMN. 探究三　平面与平面平行 [例3]　在长方体ABCDA1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F分别为棱 A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFBD. [证明]　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，3，0)，M(1，0，4)，N，E，F(1，3，4). ∴＝，＝，＝(－1，0，4)，＝(－1，0，4). ∴＝，＝，∴MN∥EF，AM∥BF. ∵EF∩BF＝F， ∴MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD. 又MN∩AM＝M，∴平面AMN∥平面EFBD. 证明面面平行问题的方法 (1)转化为相应的线线平行或线面平行； (2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行． 3．在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1. 证明　因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形． 因为ABCD为等腰梯形， AB＝4，BC＝CD＝2， 所以∠BAD＝∠ABC＝60°. 取AF的中点M，连接DM， 则DM⊥AB，所以DM⊥CD. 以D为原点，DM所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(，－1，0)，F(，1，0)， C(0，2，0)，C1(0，2，2)， 所以DD1＝(0，0，2)，＝(，－1，0)， ＝(，－1，0)，CC1＝(0，0，2)， 所以DD1∥CC1，∥， 所以DD1∥CC1，DA∥CF. 又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1，CF⊂平面FCC1， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 探究四　平行关系中的探索性问题 [例4]　如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由． [解]　以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，所以 P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0). 设E(0，y，z)， 则＝(0，y，z－1)， ＝(0，2，－1). 因为∥，所以y(－1)－2(z－1)＝0①. 因为＝(0，2，0)是平面PAB的法向量， 又＝(－1，y－1，z)，由CE∥平面PAB， 所以⊥，所以(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝0， 所以y＝1，代入①得z＝，所以E是PD的中点， 所以存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB. 解决该类问题时可以先建系，然后把结论当作已知条件进行推理证明，最后确定结论是否正确． 4．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO. 解　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q. 设正方体的棱长为1，则O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， 设Q(0，1，z)， 则＝， BD1＝(－1，－1，1). ∵BD1＝2，∴∥BD1，∴OP∥BD1. 又＝，＝(－1，0，z)， 当z＝时，＝， 即AP∥BQ.又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，AP，OP⊂平面PAO，BQ，BD1⊂平面D1BQ， 则有平面PAO∥平面D1BQ， ∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 学科网（北京）股份有限公司 $$