精品解析：湖北省武汉市青山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

青山区2023-2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 本试卷满分120分 考试用时120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以取（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 2. 下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人测试10次，平均成绩均为9.2环，方差如下表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 方差 056 0.60 0.50 0.45 则在这四个选手中，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，在中，对角线相交于点O．添加下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 正方形的边长为，它的面积与长为，宽为的矩形的面积相等．则a的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. y的值随x的值增大而减小 C. 图象经过点 D. 当时， 8. 某登山队测得气温（单位：）与海拔高度（单位：）的对应关系如下表： 海拔 … … 气温 … … 若在某处测得的气温为，则该处的海拔高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，，E，F分别是边和的延长线上一点，且，以，为边作，H是的中点．则线段的长为（ ） A B. C. D. 10. 函数的图象与函数的图象有两个交点，则m的取值范围（或取值）是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置． 11. 计算：_____． 12. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式___． 13. 晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小宇的三项成绩（百分制）依次为95分，90分，88分，则小宇这学期的体育总评成绩为_____分． 14. 如图，在正方形内，作等边三角形，连接，．则________． 15. 一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，往返速度大小不变，两车离甲地的距离与慢车行驶时间之间的函数关系如图所示．则下列结论： ①快车比慢车晚出发； ②快车速度是慢车速度的2倍； ③慢车从出发到两车第一次相遇时，所走的路程为； ④若两车第二次相遇地距乙地距离为，则． 其中正确的有________．（请填写序号） 16. 如图，在矩形中，，，点E是对角线上的动点，连接，以为边作，连接．则的最小值为________． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，E，F分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当满足什么条件时，四边形为菱形？（不需要说明理由） 19. 为了了解某校学生的身高情况，随机抽取该校若干名学生测量他们的身高，已知抽取的学生中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制成如下的女生身高频数分布表和男生身高频数分布直方图，请根据图表提供的信息，解答下列问题： 身高分组标准 组别 身高/ A B C D E 女生身高频数分布表 组别 频数 频率 A 8 B 12 0.30 C 10 0.25 D c 0.15 E 4 0.10 合计 b 1.00 （1）在女生身高频数分布表中：________，________，________； （2）补全男生身高频数分布直方图，男生身高的中位数分布在________组； （3）若学校共有女生1500人，男生1600人，请估计身高在之间的学生共约有多少人？ 20. 已知点及在第二象限内的动点，且，设的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）在所给的平面直角坐标系中画出函数S的图象； （3）当时，求P点坐标． 21. 如图，是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）如图，先画点使四边形为平行四边形，连接交于点，再在上画点，使； （2）在图中，先在内部画格点，连接，，，使，再画点关于对称点． 22. A城有肥料，B城有肥料，现要把这些肥料全部运往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．设从A城运往C乡肥料，总运费为y元． （1）①从B城运往C乡的肥料为________； 从B城运往D乡的肥料为________（用含x的式子表示）． ②求y关于x函数解析式，并求出最少总运费； （2）由于更换车型，使从A城运往C乡的运费每吨减少m元（），其他不变，这时怎样调运才能使总运费最少？ 23. 如图，M为正方形内一点，，连接，． （1）如图1，求的度数； （2）过点B作于点G，连接． ①如图2，试探究和的数量关系，并证明； ②如图3，连接交于点E，若，，请直接写出的长为________． 24. 已知，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与轴交于，两点，与轴交于点． （1）如图1，若，． 求点，，的坐标； 点，分别在射线和射线上，点在轴上，若四边形为菱形，求点的坐标； （2）如图，若，点，连接交于点，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青山区2023-2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 本试卷满分120分 考试用时120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以取（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，据此进行作答即可 【详解】解：依题意，∵二次根式在实数范围内有意义 ∴ ∴ 观察A、B、C、D四个选项，唯有3满足 故选：B 2. 下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．本题主要考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义是关键． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以应是C， 故选：C． 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：． 4. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人测试10次，平均成绩均为9.2环，方差如下表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.56 0.60 0.50 0.45 则在这四个选手中，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】先比较四个选手的方差的大小，根据方差的性质解答即可． 【详解】0.65>0.56>0.5>0.45 丁的方差最小， 成绩最稳定的是丁. 故选：D． 5. 如图，在中，对角线相交于点O．添加下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，矩形的判定方法即可一一判断即可．本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 是矩形，故A错误；C正确； 四边形是平行四边形， ，， ， ， 是矩形，故B正确； 四边形是平行四边形， ， 是矩形，故D正确； 故选：A． 6. 正方形的边长为，它的面积与长为，宽为的矩形的面积相等．则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用．根据面积公式和算术平方根的定义求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：C 7. 已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. y的值随x的值增大而减小 C. 图象经过点 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵函数， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项A错误，不符合题意； ∵， ∴随的增大而增大，故选项B错误，不符合题意； 把代入得：， ∴函数必经过点，图象不经过点，故选项C错误，不符合题意； 令， 解得：， ∴当时，，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 8. 某登山队测得气温（单位：）与海拔高度（单位：）的对应关系如下表： 海拔 … … 气温 … … 若在某处测得的气温为，则该处的海拔高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查函数的表示方法和求一次函数解析式，设登山队测得气温为，海拔高度为，先根据图表表示出与的函数关系式，再代入即可，写出函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设登山队测得气温为，海拔高度为， 根据表格可得与的关系式为一次函数，则设， ∴，解得：， ∴关系式为， 当时，，解得：， 故选：． 9. 如图，在菱形中，，，E，F分别是边和的延长线上一点，且，以，为边作，H是的中点．则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质得出，证出是等边三角形，，证明四边形是菱形，得出，，，，再证出，根据勾股定理得出，根据H是的中点，得出． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定、平行四边形的性质、直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 10. 函数的图象与函数的图象有两个交点，则m的取值范围（或取值）是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两直线相交的问题，作出函数图象，利用数形结合的思想求解更形象直观，要注意经过第一个函数图象拐点时只有一个交点． 作出函数图象，求出恰好经过拐点和两个函数图象有两个交点时的的值，再写出的取值范围即可． 【详解】解：如图，当经过点时，， 解得， 当经过点时，， 解得， 所以，两个函数图象有两个交点时，的取值范围是． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置． 11. 计算：_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，其中利用了，掌握以上知识是解题的关键； 根据二次根式的性质和化简，进行作答，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：3． 12. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式___． 【答案】y=x（答案不唯一） 【解析】 【详解】试题分析：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）， ∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞0． ∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）． 13. 晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小宇的三项成绩（百分制）依次为95分，90分，88分，则小宇这学期的体育总评成绩为_____分． 【答案】90 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： 95×20%+90×30%+88×50%=90（分）． 即小宇这学期的体育成绩为90分． 故答案为：90． 【点睛】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 14. 如图，在正方形内，作等边三角形，连接，．则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质即可得到结论．本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 故答案为：． 15. 一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，往返速度的大小不变，两车离甲地的距离与慢车行驶时间之间的函数关系如图所示．则下列结论： ①快车比慢车晚出发； ②快车速度是慢车速度的2倍； ③慢车从出发到两车第一次相遇时，所走的路程为； ④若两车第二次相遇地距乙地距离为，则． 其中正确的有________．（请填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据，可以表示出快车和慢车的速度，然后即可计算出两车第一次相遇和第二次相遇的时间，逐项计算即可．本题考查一次函数和一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】解：由图象可得，快车比慢车晚出发， 故①正确； 快车的速度为， 慢车的速度为， ， 快车速度是慢车速度的3倍， 故②错误； 设慢车行驶 两车第一次相遇， 则， 解得， 慢车所走的路程为， 故③正确； 设慢车行驶 两车第二次相遇， 则， 解得， 此时慢车距乙地的距离为：， 解得， 故④正确， 故答案为：①③④． 16. 如图，在矩形中，，，点E是对角线上的动点，连接，以为边作，连接．则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质以及平行四边形的性质得出点F的运动轨迹是在上，，再根据等面积法得，证明，得出轴对称的性质以及矩形的判定得，运用勾股定理进行列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵点E是对角线上的动点，连接，以为边作， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵点E是对角线上的动点， ∴点F的运动轨迹是在上， 如图：过点C作，过点A作， ∵ ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵在矩形中，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 过点作的对称点，交于一点G， 此时， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 过点作直线交的延长线于一点R ∴在中， 连接，设 在， 即 解得 ∴ 在， 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质以及勾股定理的应用，轴对称的性质，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，E，F分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当满足什么条件时，四边形为菱形？（不需要说明理由） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，证出，即可得出四边形是平行四边形； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由菱形的判定即可得出结论． 本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，． 、分别是、的中点， ，， ． 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当满足时，四边形是菱形， 连接 证明如下：，点是的中点， ， 平行四边形是菱形． 19. 为了了解某校学生的身高情况，随机抽取该校若干名学生测量他们的身高，已知抽取的学生中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制成如下的女生身高频数分布表和男生身高频数分布直方图，请根据图表提供的信息，解答下列问题： 身高分组标准 组别 身高/ A B C D E 女生身高频数分布表 组别 频数 频率 A 8 B 12 0.30 C 10 025 D c 0.15 E 4 0.10 合计 b 1.00 （1）在女生身高频数分布表中：________，________，________； （2）补全男生身高频数分布直方图，男生身高的中位数分布在________组； （3）若学校共有女生1500人，男生1600人，请估计身高在之间的学生共约有多少人？ 【答案】（1），40，6 （2）见详解 （3）2250人 【解析】 【分析】（1）首先根据组频数是12，频率是0.30即可求得总人数，然后根据频率的计算公式求得、、的值； （2）根据（1）的结果即可求得男生中属于组的人数，从而补全男生身高频数分布直方图； （3）利用各组的人数乘以对应的百分比，然后求和即可． 本题考查频数（率分布直方图，用样本估计总体，频数（率分布表，中位数，解答本题的关键要明确：利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 【小问1详解】 解：女生总人数是：（人， 则，，， 故答案为：0.2，40，6； 【小问2详解】 解：组的人数是：． 如图： 男生总人数40人，观察图形可知，中位数在组， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人， 答：身高在之间的学生约有2250人 20. 已知点及在第二象限内的动点，且，设的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）在所给的平面直角坐标系中画出函数S的图象； （3）当时，求P点坐标． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的几何应用，理解题意是解本题的关键； （1）先由第二象限内的动点求解的范围，再利用面积公式列函数关系式即可； （2）结合自变量的取值范围，画函数图象即可； （3）把代入，可得的值，再求解的值即可； 【小问1详解】 解：由得， 由P在第二象限，得，解得 则， 【小问2详解】 解：x的取值范围为， 当时，，当时，， 描点，； S的图象如图所示 【小问3详解】 解：当时，， 解得， 则， 点P的坐标为． 21. 如图，是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）如图，先画点使四边形为平行四边形，连接交于点，再在上画点，使； （2）在图中，先在内部画格点，连接，，，使，再画点关于的对称点． 【答案】（1）画图见解析； （2）画图见解析． 【解析】 【分析】（）根据平行四边形的判定作出图形，取的中点，连接即可； （）取格点，连接，，，取格点，，连接，，取的中点，的中点，连接，交于点，点即为所求； 本题考查作图——轴对称变换，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 如图， ∴四边形即为所求，点即为所求； 【小问2详解】 如图， ∴点，即为所求． 22. A城有肥料，B城有肥料，现要把这些肥料全部运往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．设从A城运往C乡肥料，总运费为y元． （1）①从B城运往C乡的肥料为________； 从B城运往D乡的肥料为________（用含x的式子表示）． ②求y关于x的函数解析式，并求出最少总运费； （2）由于更换车型，使从A城运往C乡的运费每吨减少m元（），其他不变，这时怎样调运才能使总运费最少？ 【答案】（1）①，，②最少总运费为20080元 （2）从A城运往C乡肥料，从B城运往D乡肥料，运往D乡肥料，运费最少 【解析】 【分析】（1）①根据乡需要肥料480吨，乡需要肥料520吨，列出表格求解；②根据①列出的表格结合单价进行求解； （2）根据①中所列表格和单价以及调整后的价格列式求解，讨论的取值范围． 本题是一次函数的综合题，主要考查了一次函数的实际应用，第二问的解题关键是需要讨论的不同取值对总费用的影响，从而判断总运费最小． 【小问1详解】 解：根据题意列出表格， ①城运往吨； 城运往吨； 故答案为：，； ②根据题意得： ， 即， ． 随的增大而增大， 当时，最小值20080元； 【小问2详解】 解：设从城运往乡肥料吨，总费用为， 则， 即， 当即时，随的增大而减小， 当时最少， 调运方案：运往处，运往处，运往处； 23. 如图，M为正方形内一点，，连接，． （1）如图1，求的度数； （2）过点B作于点G，连接． ①如图2，试探究和的数量关系，并证明； ②如图3，连接交于点E，若，，请直接写出的长为________． 【答案】（1） （2）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据四边形为正方形，得出，得出，设，在四边形中，根据四边形内角和即可解得，即可求解； （2）①过作， 且， 连接交于点， 连接．根据四边形正方形，得出结合， 且，证出四边形为平行四边形，得出， 且，由（1）知，得出，证明，得出，即，在等腰中 ，根据勾股定理得出，即可证出； ②根据题意以及①可得，得出，根据勾股定理得出，根据，得出垂直平分线段，根据等面积法得出，根据直角三角形的性质得出，勾股定理算出，再算出，由①得，证明，根据勾股定理即可求解； 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ， ， ， ∴可设， 在四边形中，， 解得：， 则：； 【小问2详解】 解：①过作， 且， 连接交于点， 连接． ∵四边形为正方形， ∴ ∵， 且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 且， ，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在等腰中 ，， ； ②根据题意以及①可得， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①得， ∴， 由①得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确作出辅助线． 24. 已知，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与轴交于，两点，与轴交于点． （1）如图1，若，． 求点，，的坐标； 点，分别在射线和射线上，点在轴上，若四边形为菱形，求点的坐标； （2）如图，若，点，连接交于点，若，请直接写出的值． 【答案】（1），点和点；或； （2）或． 【解析】 【分析】（）对于，当时，， 当时，，即点的坐标分别为：，对于，当时，，即点，从而求解； 由四边形为菱形，则，又点，分别在射线和射线上， ∴设点，则点，则，由题意得：，即，即可求解； （）由题意求出，再利用待定系数法求出直线的表达式为: ，则点，设点，过点作于点，过点作轴，过作于点，过作交于点，证明， 则，，即，且，即可求解； 本题主要考查了一次函数的解析式的求法，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 若，，则函数的表达式为：，， 对于，当时，， 当时，， 即点的坐标分别为：， 对于，当时，，即点， 即点的坐标分别为：； 当四边形为菱形时， ∴， ∵点，分别在射线和射线上， ∴设点，则点，则， 由题意得：，即， 解得：，， 则（）， 则点， （）， 则点， 综上可知：或； 【小问2详解】 ∵， ∴直线：，当时，， ∴， ∵， ∴直线的表达式为: ， 联立得：， 解得：， ∴点， 设点，过点作于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 过点作轴，过作于点，过作交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， 则，， ∴，，，， 则， 解得：或， 经检验或是方程的解， 即或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$