精品解析：山东省青岛市莱西市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

高二学业水平阶段性检测（四） 数学试题 本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，其中是实数集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出一元二次不等式后，结合补集定义与交集定义计算即可得. 【详解】由可得或，则， 又，故. 故选：B. 2. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A. ,使得 B. 使得, C. ,使得 D. ,使得 【答案】D 【解析】 【分析】由全称、特称命题的否定，任意改存在、存在改任意并否定原结论，即可得答案. 【详解】根据全称命题与存在性命题互为否定关系， 原命题的否定形式是“,使得”. 故选：D 3. 若实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 4. 如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域排除选项A，根据函数图象过原点排除选项B，根据函数单调性排除选项C，根据定义域和单调性判断D. 【详解】对于A，要使函数有意义，则，即， 所以或或或， 所以函数的定义域为，A不正确； 对于B，，而已知函数图象过原点，B不正确； 对于C，对于函数，则，当时，， 则函数在上单调递增，不符合题中图象，C不正确， 对于D，对于函数，定义域为，且， ，当时，，当时，， 当时，，所以函数在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，符合图象，故D正确. 故选：D. 5. “”是“函数（且）在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论的单调性，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件. 故选：C． 6. 已知函数，若函数的图象关于点对称，则（ ） A. -3 B. -2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由题意，推出是奇函数，根据定义域的对称性依次求得的值，即可求得；方法二：直接利用，将其化成，再由等式恒成立得到，继而求得. 【详解】方法一：依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即是奇函数， 因奇函数的定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义， 即，解得 此时为奇函数，则 解得故. 故选：C． 方法二：依题意恒成立，代入得 化简得，, 整理得：， 即(*)， 依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使，则得， 回代(*)可得，，即，故 故选：C. 7. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 20小时 C. 24小时 D. 28小时 【答案】C 【解析】 【分析】将两组数据代入解析式可得，，当时，利用指数函数运算即可得到保鲜时间. 【详解】由已知得①，②， 将①代入②得，则． 当时，， 所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时， 故选：C． 8. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可. 【详解】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分两种情况，得到方程，求出答案. 【详解】由，得或，解得或， 故选：AC 10. 已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是周期函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的等式，结合赋值法推导出函数及对称轴，再逐项分析计算得解. 【详解】由，得， 则，即，因此是周期为4的周期函数，C正确； 令，得，则，因此，A错误； 由，得，则， 因此的图象关于直线对称，B正确； 由，得的图象关于直线对称， 因此直线及均为图象的对称轴， 从而，令，得， 即，则， 故 ，D正确. 故答案为：BCD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 11. 已知实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的性质、指数函数的单调性以及二次函数进行计算求解. 【详解】对于A，等价于，当时，显然不成立，故A错误； 对于B，，，，故B正确； 对于C，，，，故C正确； 对于D，，，，所以， 所以， 所以当时，的最小值为2，此时，显然不满足，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（，且）恒过的定点是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数性质结合指数幂运算求解. 【详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）恒过的定点是. 故答案为：. 13. 定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】因为图象关于点对称，所以，所以，再利用求出即可. 【详解】函数的定义域为，且图象关于点对称，所以，所以， 又，当时，，所以. 故答案为：3. 14. 已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的导数判断函数单调性，确定函数的极小值点，结合题意列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由函数，可得， 当或时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 即为函数的极小值点； 要使得函数在区间上有最小值， 则满足，即， 因为，可得，即，解得， 所以，即实数的取值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）若在区间上最大值为2，求实数的值； （2）当时，求不等式的解集. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数性质求解即得. （2）分类讨论求解含参数的一元二次不等式即得. 【小问1详解】 函数图象的对称轴为， 当，即时，，解得，则； 当，即时，，解得，矛盾， 所以. 【小问2详解】 显然，而， 因此不等式为， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为， 所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 16. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值后再求解不等式即可； （2）讨论，当时，利用绝对值的三角不等式求解的最大值即可； 【小问1详解】 ， 当时，，即， 当时，，解得，即， 当时，，解得，此时无解， 综上：不等式的解集为； 【小问2详解】 时上述不等式显然成立， 当时，上述不等式可化为， 令，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 17. 已知函数处取得极值，其中． （1）求的值； （2）当时，求的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为4，最小值为 【解析】 【分析】（1）通过对原函数求导，利用题设条件，列出方程组，求得的值，回代解析式验证即得； （2）根据（1）求得的函数解析式，求导讨论函数单调性，推得时，函数有极小值，也是最小值，无极大值，结合区间端点值比较求得函数最大值. 【小问1详解】 由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，，由求得或， 当时，，函数递增，当时，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. 【小问2详解】 由（1）得， 令解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当 时， 取得极小值， 无极大值， 所以 ， 所以在区间上，的最大值为或，而． 所以在区间上的最大值为4，最小值为． 18. 已知函数（且）． （1）求的定义域； （2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围； （3）是否存在实数a，使得当定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解； （2）根据题意分析可知在上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解； （3）根据定义域和值域可得，且，结合单调性分析可知有两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解. 【小问1详解】 由，得或． 所以的定义域为． 【小问2详解】 令，可知在上为增函数， 可得，且，可知的值域为， 因为，则在定义域内为减函数，可得， 所以函数在上的值域为， 又因为函数在有且只有一个零点， 即在上有且只有一个解， 所以b的范围是． 【小问3详解】 存在，理由如下： 假设存在这样的实数a，使得当的定义域为时，值域为， 由且，可得，且． 令，可知在上为增函数， 因为，则在定义域内为减函数， 所以在上为减函数， 可得， 可知在上有两个互异实根，可得， 即有两个大于1相异实数根． 则，解得， 所以实数a的取值范围. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法 （1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解． 19. 已知函数，若过点可作曲线两条切线，求a的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数，讨论函数有两个零点的a的取值范围. 【详解】依题意，， 设过点直线与曲线相切时的切点为， 则斜率， 所以切线方程为： 又点在切线上， 所以 ， 即有， 由过点可作曲线两条切线，得方程 有两个不相等的实数根， 令，则函数有2个零点， 求导得， 若， 由，得或， 由，得， 即函数在， 上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值， 又， 当 时，恒成立 ，所以函数最多1个零点，不合题意； 若恒成立，函数在上单调递增， 因此函数最多1个零点，不合题意； 若，由，得或 ， 由， 得， 即函数在上单调递增，在 上单调递减， 则当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 又， 显然当时，恒成立， 所以函数最多1个零点，不合题意； 若， 显然， 当时， ， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值， 要函数有2个零点，必有，得 ， 当时，， 而函数在(0,1)上的值域为 ， 因此在上的值域为， 当时，令，求导得， 所以函数在上单调递减， 则， ， 而函数在上单调递减，值域为， 因此函数在上的值域为， 于是当时，函数有两个零点， 所以过点可作曲线两条切线时， 所以的取值范围是 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据切点构造出切线方程，然后分类讨论，求解零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二学业水平阶段性检测（四） 数学试题 本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，其中是实数集，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A. ,使得 B. 使得, C. ,使得 D. ,使得 3. 若实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“函数（且）在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，若函数的图象关于点对称，则（ ） A. -3 B. -2 C. D. 7. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 20小时 C. 24小时 D. 28小时 8. 若，，，则以下不等式正确是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是周期函数 D. 11. 已知实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（，且）恒过的定点是______． 13. 定义在上两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则______. 14. 已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）若在区间上最大值为2，求实数的值； （2）当时，求不等式的解集. 16. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围 17. 已知函数在处取得极值，其中． （1）求的值； （2）当时，求的最大值和最小值． 18. 已知函数（且）． （1）求的定义域； （2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围； （3）是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，若过点可作曲线两条切线，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$