第17讲 直线与圆锥曲线的位置关系（9考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

第17讲 直线与圆锥曲线的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握直线与圆锥曲线位置关系的讨论方法. 2．会应用曲线的方程、几何性质解决直线与圆锥曲线位置关系的一些简单问题. 知识点 1 直线和椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定. 通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定. 2.有三种位置关系：(1)有两个公共点---相交；(2)有且只有一个公共点---相切；(3)没有公共点---相离. 知识点 2 直线和双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系，可通过讨论双曲线方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定. 通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定. 2.有三种位置关系：(1)有两个公共点---相交；(2)有且只有一个公共点---不一定相切；(3)没有公共点---相离. 知识点 3 直线和抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的位置关系，可通过讨论抛物线方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定. 2.有三种位置关系：(1)有两个公共点---相交；(2)有且只有一个公共点---不一定相切；(3)没有公共点---相离. 知识点 4 直线和圆锥曲线的位置关系 1.一般地，给定直线l与圆锥曲线C（圆、椭圆、双曲线、抛物线），如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解（即有两个相等的实数解），则称直线与圆锥曲线相切. 2.直线与圆、直线与椭圆只有一个公共点是直线与它们相切的充要条件；但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的充分条件. 3.圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得线段，线段的长就是弦长. 拓广： 1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程． 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2.设直线与椭圆、双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|. 考点一：直线与椭圆位置关系的判断 例1.（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【变式1-1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【变式1-3】（23-24高三下·上海·开学考试）直线与椭圆的公共点个数为 ． 考点二：直线与椭圆的相切问题 例2.（23-24高二上·贵州贵阳·期末）长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点为线段靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 .若直线的方程为，则点到直线的距离的最小值为 . 【变式2-1】（23-24高二上·上海·期末）已知，若关于x的方程有两个不相等的实根，则b的取值范围是 . 【变式2-2】（23-24高二上·山东威海·阶段练习）若P为椭圆上任意一点，则点P到直线的距离的最大值是 ；此时点P坐标是 . 【变式2-3】（2024高三下·全国·专题练习）已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点． (1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标； (2)求证：直线与椭圆C相切； 考点三：直线与椭圆的相交弦问题 例3.（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知椭圆，直线. (1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 【变式3-1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23高二·全国·课堂例题）判断直线与椭圆是否有公共点．如有两个公共点，求出公共点的坐标，并求出以这两个公共点为端点的线段长． 【变式3-3】（23-24高二下·上海青浦·期末）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． (1)写出图中“果圆”的方程； (2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 考点四：直线与双曲线位置关系判断 例4.（2022·四川宜宾·三模）已知双曲线：及双曲线：，且的离心率为，若直线与双曲线，都无交点，则的值是（    ） A．2 B． C． D．1 【变式4-1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【变式4-2】（22-23高二上·重庆沙坪坝·期中）已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23高二上·广西北海·期末）若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有 条． 考点五：直线与双曲线的相切问题 例5.（22-23高二上·云南楚雄·期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是 【变式5-1】（2023高二·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 【变式5-2】（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ． 【变式5-3】（2022高三·全国·专题练习）求经过点的双曲线：的切线的方程． 考点六：直线与双曲线的相交弦问题 例6.（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【变式6-1】（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【变式6-3】（23-24高二下·广东茂名·开学考试）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点． (1)求双曲线的方程； (2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 考点七：直线与抛物线位置关系的判断 例7.（23-24高二上·全国·课后作业）已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 【变式7-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式7-2】（9-10高一下·辽宁大连·期末）对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【变式7-3】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 考点八：直线与抛物线相切问题 例8.（23-24高二上·新疆塔城·期中）已知抛物线C：过点，焦点为F． (1)求过点P的抛物线C的切线方程； (2)从点F发出的光线经过点P被抛物线C反射，求反射光线所在的直线方程． 【变式8-1】（21-22高二上·甘肃陇南·期末）已知抛物线（）与倾斜角为45°的一直线相切于点，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【变式8-3】（23-24高二上·江苏常州·期末）在抛物线上取横坐标为和2的两点，平行于直线的直线同时与抛物线和圆相切，则（    ） A． B． C． D． 考点九：直线与抛物线相交弦问题 例9.（23-24高二上·山东青岛·期中）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求. 【变式9-1】（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【变式9-2】（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 【变式9-3】（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； (3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 1．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知抛物线：与抛物线：，则（    ） A．过与焦点的直线方程为 B．与只有1个公共点 C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切 2．（多选）（23-24高二下·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 3．（多选）（23-24高二上·广东·期末）已知直线，双曲线，则（    ） A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 4.（多选）（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是 ． 6.（23-24高二·全国·课堂例题）判断下列三个命题是否正确？ （1）点在椭圆上；( ) （2）直线与椭圆相交；( ) （3）若直线与椭圆相切，则( ) 7.（21-22高二上·全国·单元测试）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 8．（23-24高二下·浙江·期中）（1）求圆和圆的公切线 （2）若与抛物线相交，求弦长 9．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 10.（21-22高二·全国·课后作业）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线. (1)求证：与双曲线有两个不同的交点； (2)求线段的中点的坐标和. 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(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2.设直线与椭圆、双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|. 考点一：直线与椭圆位置关系的判断 例1.（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【详解】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D 【变式1-1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【分析】联立直线与椭圆的方程消去y，再利用判别式判断作答. 【详解】由消去y并整理得，显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点. 故选：C 【变式1-3】（23-24高三下·上海·开学考试）直线与椭圆的公共点个数为 ． 【答案】2 【分析】求出直线恒过的定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的交点的个数． 【详解】直线恒过， 由于，所以是椭圆内部的一点， 所以直线与椭圆恒有2个交点． 故答案为：2． 考点二：直线与椭圆的相切问题 例2.（23-24高二上·贵州贵阳·期末）长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点为线段靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 .若直线的方程为，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】首先分别设三点的坐标，即，，，再根据坐标间的关系，，即可求解；利用数形结合，转化为平行线间的距离，即可求解. 【详解】设，， 由题意可知，，即， 又由，得，化简为； 如图，向椭圆平移直线，设平移直线为， 当直线与椭圆相切时，此时切点到直线的距离最近； 联立，得， 此时，得，由图可知，正的舍去， 直线与之间的距离， 即点到直线的距离的最小值为. 故答案为：； 【变式2-1】（23-24高二上·上海·期末）已知，若关于x的方程有两个不相等的实根，则b的取值范围是 . 【答案】 【分析】方程有两个不相等的实根等价于与有两个交点，利用数形结合即可求. 【详解】由题意，表示交点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为， 表示斜率为1的一组平行线，    若直线与椭圆相切时，由得， 所以，解得（负根舍去）， 当两图象有两个交点时，根据图象， 纵截距的取值范围为：. 故答案为： 【变式2-2】（23-24高二上·山东威海·阶段练习）若P为椭圆上任意一点，则点P到直线的距离的最大值是 ；此时点P坐标是 . 【答案】 【分析】设与直线平行的直线与椭圆相切，联立方程组得，利用判别式求，从而利用平行线的距离公式得到答案. 【详解】设与直线平行的直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆方程得，消去，整理得， 由，即，解得. 当时，直线与直线的距离； 当时，直线与直线的距离. 由可知符合题意. 将代入，即，可解得， 将代入可得，则点的坐标为，此时距离的最大值为. 故答案为：；. 【变式2-3】（2024高三下·全国·专题练习）已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点． (1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标； (2)求证：直线与椭圆C相切； 【答案】(1)，左焦点 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得的值，进而求得离心率和椭圆的左焦点； （2）由椭圆的方程，得到，结合直线与椭圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】（1）由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为，左焦点为. （2）由椭圆，可得，即 当时，直线的方程为或，此时直线与椭圆相切； 当时，联立方程组，可得， 即， 则， 所以直线与椭圆相切， 综上可得，直线与椭圆相切. 考点三：直线与椭圆的相交弦问题 例3.（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知椭圆，直线. (1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程代入椭圆方程中，利用一元二次方程根的判别式进行求解判断即可； （2）根据椭圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】（1）将直线的方程代入椭圆方程中，得 ， 该一元二次方程根的判别式， 所以直线与椭圆总有两个不同交点； （2）设，则有， 因为，所以 ， 所以的值为. 【变式3-1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得. 【详解】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：， 当，；当时，，故有, 则. 故选：D. 【变式3-2】（22-23高二·全国·课堂例题）判断直线与椭圆是否有公共点．如有两个公共点，求出公共点的坐标，并求出以这两个公共点为端点的线段长． 【答案】有两个公共点，坐标为，；线段长为． 【分析】联立直线与椭圆方程，公共点的问题转化为方程组解的问题. 求出直线与椭圆有两个公共点，利用两点间距离公式可得线段长. 【详解】联立直线与椭圆的方程，可得方程组， 消化简得，，解得，或， 故方程组的解为或 因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为，． 从而可知所求线段长为． 【变式3-3】（23-24高二下·上海青浦·期末）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． (1)写出图中“果圆”的方程； (2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由焦点坐标和短轴的两个顶点坐标可得半个椭圆的方程，由圆弧经过的焦点坐标和短轴的两个顶点坐标，可求出圆弧方程，可得图中“果圆”的方程； （2）通过联立方程组求出A、B两点坐标，可求弦AB的长度. 【详解】（1）因为椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与. 可得，即， 所以半个椭圆的方程为； 圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与， 设圆弧方程为， 利用，解得，所以， 得. 所以果圆方程为，. （2）由，解得，得， 由，解得，得， 所以. 考点四：直线与双曲线位置关系判断 例4.（2022·四川宜宾·三模）已知双曲线：及双曲线：，且的离心率为，若直线与双曲线，都无交点，则的值是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】过原点的直线与双曲线无交点，则考虑此直线与双曲线渐近线的位置关系. 【详解】∵的离心率为，∴， ∴双曲线，的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为， 而直线与双曲线，都无交点，则. 故选：B. 【变式4-1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 【变式4-2】（22-23高二上·重庆沙坪坝·期中）已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线与之间的位置关系，即可容易判断. 【详解】的斜率分别是； 对A：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故曲线与有两个公共点，不满足题意，A错误； 对B：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故双曲线与有两个公共点，不满足题意，B错误； 对C：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故双曲线与都没有公共点，满足题意，C正确； 对D：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故双曲线与没有公共点，与有两个公共点，不满足题意，D错误. 故选：C. 【变式4-3】（22-23高二上·广西北海·期末）若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有 条． 【答案】4 【分析】分情况讨论直线有斜率和无斜率，联立直线与双曲线的方程，根据方程根的个数即可求解直线的条数. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线为，与曲线有且只有一个公共点． 当直线l的斜率存在时，可设直线为，代入曲线方程整理得，若，则，此时有两条分别平行于双曲线的两条渐近线的直线，与曲线有且只有一个公共点； 当时，则由，得，此时有一条直线与曲线相切，有且只有一个公共点．综上，这样的直线共有4条． 故答案为：4 考点五：直线与双曲线的相切问题 例5.（22-23高二上·云南楚雄·期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是 【答案】（或，，，只需写出一个答案即可） 【分析】根据直线与圆，以及双曲线相切，可根据点到直线的距离以及判别式进行联立方程求解满足题意的直线. 【详解】显然直线存在斜率，设直线：， 联立方程组 , 得 因为直线与曲线相切，所以， 即. 因为直线与单位圆相切，所以 联立方程组 解得， 故直线的方程可能是，，， 故答案为： 【变式5-1】（2023高二·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 【答案】 【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程. 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去得， 因为与双曲线相切，所以， 即，即， 即， 因为，所以， 代入可得，即，所以， 所以，即， 同理可得的方程为， 因为在切线上，所以， 所以满足方程， 又由两点确定一条直线，所以满足直线方程， 所以过的直线方程为. 故答案为：. 【变式5-2】（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】依题意，注意到点在椭圆上，由此得到椭圆在点处的切线方程；再结合上述性质得到椭圆与双曲线在其公共点处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点处的切线的斜率．也可以利用结论6直接得到答案． 【详解】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为， 即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为． 故答案为：. 【变式5-3】（2022高三·全国·专题练习）求经过点的双曲线：的切线的方程． 【答案】 【分析】设直线，与双曲线联立，结合判别式分析，即得解 【详解】若直线斜率不存在，过点的直线方程为：，代入可得，与双曲线有两个交点，不是切线； 若直线斜率存在，设的方程是：，即：，将它代入方程整理得：， 由已知，即， 解得：，故所求切线的方程为：，即：． 考点六：直线与双曲线的相交弦问题 例6.（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，结合中点弦的“点差法”，即可求解； （2）由（1）知，直线的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式. 【详解】（1）设， 因为的中点的坐标为，可得，即， 又由，两式相减，可得， 可得，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，整理得， 则，即直线与双曲线相交，满足条件. 所以直线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，且， 所以两点间的距离为：. 【变式6-1】（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长． 【详解】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 【变式6-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义可得，即可求得的方程为； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理由弦长公式计算即可求得，可得直线的方程. 【详解】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 【变式6-3】（23-24高二下·广东茂名·开学考试）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点． (1)求双曲线的方程； (2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据共渐近线得到，根据焦点得到，解得答案. （2）联立方程得到根与系数的关系，利用弦长公式计算得到答案. 【详解】（1）双曲线与有相同的渐近线，则， 为的右焦点，则，解得，， 双曲线方程为； （2）直线的方程为，，即， ，，， . 考点七：直线与抛物线位置关系的判断 例7.（23-24高二上·全国·课后作业）已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 【答案】答案见解析 【分析】设直线的方程为，联立方程组求得，结合，和，三种情况，求得实数的值（范围），即可求解. 【详解】由题意，可设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 则， 当时，即，解得或，此时方程只有一个实数解， 即直线与抛物线只有一个公共点； 当时，即，解得或，此时方程两个不等的实数解， 即直线与抛物线两个公共点； 当时，即，解得，此时方程没有实数解， 即直线与抛物线没有公共点， 综上可得：当或，直线与抛物线只有一个公共点； 当或，直线与抛物线两个公共点； 当，直线与抛物线没有公共点. 【变式7-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 【变式7-2】（9-10高一下·辽宁大连·期末）对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【答案】D 【分析】联立直线和抛物线的方程，消元后利用的符号判断交点个数. 【详解】联立， 消去得：， 所以， 因为， 所以，故直线与抛物线无公共点， 故选：D. 【变式7-3】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 【答案】，，. 【分析】考虑直线与对称轴平行、斜率不存在和斜率存在三种情况，当斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线，由根的判别式为0，求出斜率，得到直线方程. 【详解】因为，所以点在抛物线外， 当直线斜率不存在时，直线方程为，为抛物线的切线，满足题意； 当直线斜率为0时，直线方程为，与抛物线对称轴平行，满足题意； 当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 联立，消去整理可得， 因为只有一个公共点， 所以，解得，所以直线为， 综上，直线方程为，，. 考点八：直线与抛物线相切问题 例8.（23-24高二上·新疆塔城·期中）已知抛物线C：过点，焦点为F． (1)求过点P的抛物线C的切线方程； (2)从点F发出的光线经过点P被抛物线C反射，求反射光线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线C过点，求得抛物线C的方程后，设出切线方程，直线与抛物线联立，消元后，利用，解出即可； （2）根据反射关系，求出点F关于过点P的抛物线C的切线方程的对称点，然后可以得到反射光线所在的直线. 【详解】（1）由抛物线C：过点得， 解得，所以，所求抛物线C的方程为． 由题可设切线方程为， 联立， 消去x并整理得：， 令， 解得， 所以，所求切线方程为． （2）由题点F发出的入射光线所在的直线与反射光线所在的直线关于抛物线C在点P处的切线l对称，又, 设点F关于点P处的切线l的对称点为， 则由的中点在l上及得：， 解得，即， 所以，所求反射光线所在的直线方程为． 【变式8-1】（21-22高二上·甘肃陇南·期末）已知抛物线（）与倾斜角为45°的一直线相切于点，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到直线方程，联立直线和抛物线方程，令得到即可得到抛物线方程和焦点坐标. 【详解】由题意得，直线方程为，即， 直线方程代入抛物线方程得，由得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为. 故选：B. 【变式8-2】（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】设切线方程为，联立方程组，，可解. 【详解】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得. 故选：C 【变式8-3】（23-24高二上·江苏常州·期末）在抛物线上取横坐标为和2的两点，平行于直线的直线同时与抛物线和圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意求出直线的斜率并设出直线方程，联立抛物线，求出，再利用直线与圆相切求出半径即可. 【详解】结合题意可得：令，则，故，令，则，故， 所以直线的斜率为， 因为平行于直线的直线同时与抛物线和圆相切， 所以直线可设为， 联立可得：， 则，解得， 所以直线为，即， 又的圆心为半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为直线与圆相切，所以. 故选:A. 考点九：直线与抛物线相交弦问题 例9.（23-24高二上·山东青岛·期中）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出动点坐标为，根据斜率之积为4列出等式，化简即可. （2）首先直线斜率存在且经过点，设出直线方程并将其与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件算出斜率，进而由弦长的计算公式直接计算即可. 【详解】（1）设点的坐标为，因为，，所以， 化简得：.所以的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意； 设，，直线方程为， 与联立得：， 由且，解得且， 由韦达定理得， 因为线段中点在第一象限，且纵坐标为， 所以，解得或（舍去）， 所以直线为，所以， 所以. 【变式9-1】（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】证明直线过焦点，再利用焦半径公式和韦达定理即可得到答案. 【详解】将与抛物线联立得， 设， 显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点， 则. 故选：B. 【变式9-2】（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程. 【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得 ，两式作差可得， 即，所以直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故答案为： 【变式9-3】（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； (3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 【答案】(1) (2) (3)4.1米 【分析】（1）设该抛物线的方程为，代入点可得答案； （2）直线与抛物线联立求出、可得答案； （3）设车辆高为h，代入抛物线方程可得答案. 【详解】（1）如图所示. 依题意，设该抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以该抛物线的方程为； （2），，，设，令， 所以直线与抛物线联立， 由解得，，， 则； （3）设车辆高为h，则，故， 代入抛物线方程，解得， 所以通过隧道的车辆限制高度为4.1米. 1．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知抛物线：与抛物线：，则（    ） A．过与焦点的直线方程为 B．与只有1个公共点 C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切 【答案】C 【分析】对于A，利用抛物线的焦点的定义及截距式即可判断；对于B，联立方程组求解方程组即可判断；对于C，利用抛物的性质即可判断；对于D，根据已知条件及直线与抛物线的位置关系即可判断. 【详解】由题意可知的焦点为，的焦点为， 过与焦点的直线方程为，即，A错误； 由，解得或， 所以与有，2个公共点，B错误； 由抛物线：知，开口向右，对称轴为轴， 所以与x轴平行的直线与有1个交点， 由抛物线：知，开口向上，对称轴为轴， 所以与最多有2个交点，C正确； 与关于直线对称，若存在直线与和都相切，则该切线也关于直线对称，不妨设为，与联立得，由得， 所以直线与和都相切，D错误． 故选：C． 2．（多选）（23-24高二下·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 【答案】AC 【分析】将代入抛物线可得，即可判断ABD,根据直线与抛物线联立后判别式为0，即可求解. 【详解】将代入中可得，故，,A正确，B错误， ,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确， 由于轴，所以不成立，故D错误， 故选：AC 3．（多选）（23-24高二上·广东·期末）已知直线，双曲线，则（    ） A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 【答案】ABD 【分析】由题意得直线过双曲线左焦点，比较直线斜率和渐近线斜率即可得解. 【详解】由题意直线过定点，即双曲线的左焦点. 当时，与的渐近线平行，与只有一个交点， 当时，与的左支和右支各有一个交点， 当时，与的左支有两个交点. 故选：ABD. 4.（多选）（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】 根据给定条件，结合圆的弦长公式求出原点到直线的距离范围，确定直线必过的区域，再逐项判断即可得解. 【详解】圆的圆心为原点，半径为，设点到直线的距离为， 由，得， 平面内到原点距离不大于的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆及内部区域， 因此直线必过区域，以原点为圆心，为半径的圆方程为， 对于A，圆上的点到点的距离，显然，    因此圆内含于圆，则圆与直线一定有公共点，A是； 对于B，点在抛物线内，由消去得， 显然方程无解，即圆与抛物线无公共点，    因此圆在抛物线内，抛物线与直线一定有公共点，B是； 对于C，圆上的点在椭圆外，    直线与椭圆无公共点，而直线过区域，C不是； 对于D，圆上只有两点在双曲线上，其余点都在双曲线外，    直线与双曲线无公共点，而直线过区域，D不是. 故选：AB 5．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是 ． 【答案】0或 【分析】由题意知，直线斜率存在，且经过定点，由图知，过点斜率存在且与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，一条与轴平行，一条与与抛物线相切,求之即得. 【详解】   如图，因直线的斜率为,且经过定点，又抛物线的对称轴为轴， 故当时，直线与抛物线有且只有一个公共点； 由消去，得：， 由，解得：，此时直线与抛物线相切. 综上，或. 故答案为：0或. 6.（23-24高二·全国·课堂例题）判断下列三个命题是否正确？ （1）点在椭圆上；( ) （2）直线与椭圆相交；( ) （3）若直线与椭圆相切，则( ) 【答案】 错误 正确 正确 【详解】（1）将点的坐标代入椭圆方程可得，故点P在椭圆外，故（1）错误． （2）直线l的方程可变形为，恒过点．因为点在椭圆内，所以直线l与椭圆相交，故（2）正确． （3）由消去y，得，由题可得 ， 得，故（3）正确． 7.（21-22高二上·全国·单元测试）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【答案】答案见解析 【分析】联立方程组得到，结合一元二次方程的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 当时，即时，具体为：当时，；当时，；此时直线与双曲线有一个交点； 当时，即时，可得， 由，即，可得且，此时直线与双曲线有两个交点； 由，即，可得，此时直线与双曲线只有一个交点； 由，即，可得或，此时直线与双曲线没有交点； 综上可得： 当时，直线与双曲线有两个公共点； 当或时，直线与双曲线有一个公共点； 当时，直线与双曲线没有公共点. 8．（23-24高二下·浙江·期中）（1）求圆和圆的公切线 （2）若与抛物线相交，求弦长 【答案】（1）或；（2）1或 【分析】（1）根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解； （2）将切线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求解. 【详解】解：（1）当斜率存在时，设公切线为， 因为与两圆相切， 所以，解得. 切线 当斜率不存在时，也符合题意， 综上：公切线为：或； （2）当切线和时经检验无交点， 当切线为时，求得弦长为1， 当切线为时，代入， 得：， 由韦达定理得， 所以由弦长公式得：， ， 综上：弦长为1或 9．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程； （2）由平行关系设直线方程：，联立椭圆方程得，利用相切关系有求参数，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意得，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设与平行的：， 由，得， 由，得，则：. 10.（21-22高二·全国·课后作业）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线. (1)求证：与双曲线有两个不同的交点； (2)求线段的中点的坐标和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由双曲线方程可得，进而得到方程；将与双曲线联立，由可得结论； （2）由（1）可得韦达定理的形式，将代入方程即可求得点坐标；利用弦长公式可求得. 【详解】（1）由双曲线方程知：，则， 由得：，则， 与双曲线有两个不同的交点. （2）设，， 由（1）得：，，； ； . ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$