第16讲 抛物线及其方程（11考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

第16讲 抛物线及其方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握其定义、标准方程、几何图形及简单性质．. 2．会应用抛物线的方程及其几何性质解决一些简单问题. 知识点 1 抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点 2 抛物线的标准方程及几何性质 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 拓广： 1.通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p． 2．焦半径：（1）抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径； （2）设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 焦半径|AF| |AF|＝x0＋ |AF|＝－x0 |AF|＝y0＋ |AF|＝－y0 考点一：由抛物线的定义求动点轨迹方程 例1.（17-18高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】23-24高二下·广西·阶段练习）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 考点二：抛物线上的点到定点的距离或最值 例2.（22-23高二上·河南·阶段练习）已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 . 【变式2-1】（23-24高二下·湖南张家界·开学考试）抛物线上一点到其焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：上的点，，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式2-3】 （19-20高二上·陕西商洛·期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为 ． 考点三：由抛物线方程求焦点、准线方程 例3.（23-24高二上·全国·课后作业）求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程. (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3-1】（22-23高二上·吉林·阶段练习）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 考点四：抛物线方程的四种形式与位置特征 例4.（2023秋·高二课时练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为； (2)焦点在直线上． 【变式4-1】（2023高二·全国·专题练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点，求的方程. 【变式4-2】（22-23高二·江苏·假期作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程： (1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在轴的正半轴上； (2)抛物线的焦点是. 【变式4-3】（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 考点五：由焦点或准线方程求抛物线标准方程 例5.（2024高二·全国·专题练习）已知抛物线C的焦点是直线与坐标轴的一个交点，则抛物线C的标准方程为 ． 【变式5-1】（多选）（23-24高三上·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 . 【变式5-3】（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知抛物线与椭圆有公共的焦点，则 . 考点六：根据定义求抛物线的标准方程 例6.（2024·广东佛山·一模）设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【变式6-1】（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式6-2】（20-21高二下·陕西榆林·阶段练习）以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2023高二上·全国·专题练习）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.求曲线的方程. 考点七：抛物线的焦半径问题 例7.（23-24高二上·全国·课后作业）抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ． 【变式7-1】（2024·四川凉山·二模）已知在抛物线上，则到的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是上的一点，则 . 【变式7-3】（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知抛物线：，若上一点到焦点的距离为6，则的值为 . 考点八：由抛物线上的点求标准方程 例8.（2023秋·高二课时练习）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q（－3，m）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 ． 【变式8-3】（23-24高二上·北京平谷·期末）已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是 ，得到的一个抛物线标准方程是 . 考点九：由抛物线的方程求参数 例9.（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（22-23高二上·江苏苏州·期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．1 【变式9-2】（23-24高二上·广东·期末）已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式9-3】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，抛物线：（）的焦点与的右焦点重合，为上的点，三角形的周长为5，则（    ） A． B． C．1 D．2 考点十：抛物线的对称轴相关问题 例10.（23-24高二上·山东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【变式10-1】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024高二上·全国·专题练习）抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是 . 【变式10-3】（2024高二上·全国·专题练习）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 . 考点十一：抛物线的对称性及其应用 例11.（23-24高二上·上海宝山·期中）已知F是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点． (1)是一个定点，求的最小值： (2)若焦点F是的垂心，求点A、B的坐标 【变式11-1】（2021·江西赣州·二模）抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式11-2】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 【变式11-3】（2024高二上·全国·专题练习）已知抛物线与圆交于A，B两点，则 ． 1．（23-24高二上·贵州毕节·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ）． A．2 B． C． D． 3.（2024·陕西·模拟预测）已知为抛物线的焦点，第一象限的点在抛物线上，且，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 4．（多选）（2024·黑龙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5.（多选）（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）对于抛物线上，下列描述正确的是（       ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 6.（23-24高三上·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 7.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则等于 ． 8.（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 9．（2023高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的方程 10．（21-22高二上·全国·课后作业）分别求符合下列条件的抛物线方程: (1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点; (2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为. 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(1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)，对称轴为x轴，，； (2)，对称轴为y轴，， ； (3)，对称轴为y轴，， (4)，对称轴为x轴，，； 【分析】根据抛物线的标准方程即可得到答案. 【详解】（1）的焦点在x轴正半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为； （2）的焦点在y轴正半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为； （3）即，焦点在y轴负半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为； （4）即，焦点在x轴负半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为； 【变式3-1】（22-23高二上·吉林·阶段练习）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质即可求出其准线方程． 【详解】抛物线的准线方程为：. 故选：D 【变式3-2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将抛物线化为标准形式，根据焦点坐标公式即可解出． 【详解】得到，则焦点坐标为． 故选：D. 【变式3-3】（23-24高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程结合抛物线的性质逐项分析判断. 【详解】因为抛物线方程为，则，即， 所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴， 即D正确，ABC错误. 故选：D. 考点四：抛物线方程的四种形式与位置特征 例4.（2023秋·高二课时练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为； (2)焦点在直线上． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设抛物线的方程为，由，求得，即可求出物线的标准方程； （2）分别令或，求出抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线的标准方程． 【详解】（1）准线方程为，即，故抛物线的焦点在轴的正半轴上， 设其方程为． ，故所求抛物线的标准方程为． （2）令得；令得． 抛物线的焦点为或， 所求抛物线的标准方程为或． 【变式4-1】（2023高二·全国·专题练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点，求的方程. 【答案】. 【分析】由题意设出抛物线方程，写出焦点坐标，代入圆的方程即可解. 【详解】由题意，设的方程为， 因为圆经过抛物线的焦点， 所以，由，解得， 所以的方程为. 【变式4-2】（22-23高二·江苏·假期作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程： (1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在轴的正半轴上； (2)抛物线的焦点是. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）首先设出抛物线的标准形式，再根据题意确定的值，即可求解； （2）根据焦点坐标设出抛物线的标准方程的形式，并确定的值，即可求解. 【详解】（1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有的形式，而且， 因此所求标准方程为，准线方程为. （2）因为抛物线的焦点坐标是，所以抛物线的标准方程具有的形式， 而且因此，从而所求抛物线的标准方程是，准线方程为. 【变式4-3】（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)8米 (2)13.9米. 【分析】（1）合理建立直角坐标系，设出抛物线方程，根据题意求出参数，令即可求出水面宽度； （2）当时，求出拱顶与船顶的最近距离，加上船在水面以上的高度即令，从而求出水面的宽度. 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，设抛物线型拱桥的方程为（） 由题意，可知抛物线经过点，代入抛物线方程可得，即得， 所以抛物线方程为. 当拱顶离水面2米时，即，代入抛物线方程可得，即水面宽为8米. （2）由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令米， 代入抛物线方程中，则，解得米， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米. 又因船在水面上部分高为1.5米，故拱顶离水面6米. 在抛物线方程中，令，则， 故，所以水面宽度至少应为13.9米. 考点五：由焦点或准线方程求抛物线标准方程 例5.（2024高二·全国·专题练习）已知抛物线C的焦点是直线与坐标轴的一个交点，则抛物线C的标准方程为 ． 【答案】或 【分析】根据抛物线的焦点坐标即可求解. 【详解】直线交y轴于点，则以为焦点的抛物线的标准方程为． 直线交x轴于点，则以为焦点的抛物线的标准方程为． 所以抛物线C的标准方程为或． 故答案为：或. 【变式5-1】（多选）（23-24高三上·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 分别对抛物线焦点位置进行分类讨论，求出直线与坐标轴交点即可得出结果. 【详解】 由于焦点在直线上， 当焦点在y轴上时，令，可得，所以焦点坐标为， 设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为； 当焦点在x轴上时，令，可得，所以焦点坐标为， 设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为， 故选：BC． 【变式5-2】（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据抛物线方程与准线的关系，列式求解. 【详解】设抛物线的标准方程为，由题意可知，， 得，所以抛物线的标准方程为. 故答案为： 【变式5-3】（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知抛物线与椭圆有公共的焦点，则 . 【答案】2 【分析】根据椭圆的方程求出椭圆的焦点即可求解. 【详解】由知椭圆焦点在轴上，，故椭圆的焦点为，所以，解得. 故答案为：2. 考点六：根据定义求抛物线的标准方程 例6.（2024·广东佛山·一模）设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】 根据抛物线定义和图形中的几何关系直接计算求解即可. 【详解】如图所示，作， 由抛物线定义可知，， 在中，， 则在抛物线上， 所以，即，则. 故选：D 【变式6-1】（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义结合题意可求得结果. 【详解】因为点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6， 所以，则． 故选：C 【变式6-2】（20-21高二下·陕西榆林·阶段练习）以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义求解． 【详解】根据题意，可设抛物线的方程为， 由抛物线的定义知，即， 所以抛物线方程为． 故选：C． 【变式6-3】（2023高二上·全国·专题练习）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.求曲线的方程. 【答案】 【分析】法一：根据条件，得到点到的距离与它到直线的距离相等，再利用抛物线的定义即可求出结果；法二：根据定义直接列方程，化简即可得出结果. 【详解】解法一：设为曲线上任意一点， 依题意，点到的距离与它到直线的距离相等， 所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. 解法二：设为曲线上任意一点， 则， 依题意，点只能在直线的上方，所以， 所以， 化简得，曲线的方程为. 考点七：抛物线的焦半径问题 例7.（23-24高二上·全国·课后作业）抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ． 【答案】1或9 【分析】设该点的坐标为，根据题中条件列出方程组求解即可. 【详解】抛物线的准线方程为，对称轴为轴， 设该点的坐标为， 由题意可得，，则， 即，解得或， 因为，所以或. 故答案为：1或9. 【变式7-1】（2024·四川凉山·二模）已知在抛物线上，则到的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线上的点可求得，从而得到准线方程，结合抛物线定义可得结果. 【详解】在抛物线上，，解得：，抛物线准线方程为：， 由抛物线定义知：点到的焦点的距离为. 故选：D. 【变式7-2】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是上的一点，则 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】将代入抛物线方程，可得，解得， 由抛物线定义，可得. 故答案为：. 【变式7-3】（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知抛物线：，若上一点到焦点的距离为6，则的值为 . 【答案】6 【分析】根据抛物线的定义结合题意列方程求解即可 【详解】抛物线：的焦点为，准线为， 过作于，则，解得 故答案为：6 考点八：由抛物线上的点求标准方程 例8.（2023秋·高二课时练习）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设抛物线的方程为或，进而待定系数求解即可. 【详解】当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为． 因为抛物线过点，记为点，如图， 所以，所以、 所以抛物线的方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为． 因为抛物线过点， 所以，所以， 所以抛物线的方程为． 故选：A.    . 【变式8-1】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得抛物线的方程，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由抛物线C：过点，可得，解得， 即抛物线的方程为，可得抛物线的准线方程为. 故选：B. 【变式8-2】（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q（－3，m）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 ． 【答案】x2＝±2y或x2＝±18y 【详解】设抛物线方程为x2＝ay（a≠0），则准线方程为y＝－.因为Q（－3，m）在抛物线上，所以9＝am.因为点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，所以|m－（－）|＝5.将m＝代入，得|＋|＝5，解得a＝±2或a＝±18，所以抛物线的方程为x2＝±2y或x2＝±18y. 【变式8-3】（23-24高二上·北京平谷·期末）已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是 ，得到的一个抛物线标准方程是 . 【答案】 ① 【分析】利用抛物线焦点坐标以及标准方程形式即可得出答案. 【详解】若选择①，由焦点坐标可设，又可知，可得抛物线标准方程是； 若选择②，根据题意可知，抛物线只能开口向右或向上， 若开口向右，可设，将代入可得抛物线标准方程为； 若开口向上，可设，将代入可得抛物线标准方程为； 故答案为：①；（②；或） 考点九：由抛物线的方程求参数 例9.（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 【变式9-1】（22-23高二上·江苏苏州·期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用代入法进行求解即可. 【详解】把代入抛物线方程中，得， 因为该抛物线的对称轴为纵轴， 所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4， 故选：A 【变式9-2】（23-24高二上·广东·期末）已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】确定抛物线的准线方程，根据抛物线的焦半径公式，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线的准线为， 因为点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，即A点纵坐标为4， 所以,解得. 故选：D 【变式9-3】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，抛物线：（）的焦点与的右焦点重合，为上的点，三角形的周长为5，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用椭圆定义结合的周长即可求得，再由焦点重合可求得. 【详解】根据椭圆方程可得，的周长为，可得； 所以的右焦点为，抛物线的焦点为， 即，解得. 故选：C 考点十：抛物线的对称轴相关问题 例10.（23-24高二上·山东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【分析】利用抛物线定义结合已知计算即可. 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 【变式10-1】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意设、，根据已知可得，即可得抛物线方程. 【详解】由题意，若，则焦点为，故，所以，即； 若，则焦点为，故，所以，即； 综上，，则. 故选：AB 【变式10-2】（2024高二上·全国·专题练习）抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是 . 【答案】 【分析】由题意求得抛物线C的方程，即可得出抛物线C的准线方程. 【详解】因为抛物线C与抛物线关于轴对称， 所以抛物线C的方程为， 则抛物线C的准线方程是. 故答案为：. 【变式10-3】（2024高二上·全国·专题练习）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 . 【答案】 【分析】利用抛物线的对称性得到，从而得解. 【详解】因为抛物线关于轴对称，直线与轴垂直， 故，即. 故答案为：. 考点十一：抛物线的对称性及其应用 例11.（23-24高二上·上海宝山·期中）已知F是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点． (1)是一个定点，求的最小值： (2)若焦点F是的垂心，求点A、B的坐标 【答案】(1) (2)或 【分析】 （1）由抛物线的定义，得，结合图形得最小值； （2）垂心为三条高线的交点，由对称性知关于轴对称，设点，再利用垂直关系建立方程求解坐标. 【详解】（1）由抛物线知焦点，准线， 过作，垂足为，过点作，垂足为，， 由抛物线的定义，， 当且仅当三点共线时取等号，此时， 所以的最小值为. （2）由焦点是的垂心，则， 即关于轴对称，且， 设，由， 得，化简得，解得， 所以点的坐标为或. 【变式11-1】（2021·江西赣州·二模）抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由抛物线与椭圆交点的对称性，设，结合已知有，，即可求，进而求p值. 【详解】由抛物线与椭圆的对称性知：关于y轴对称，可设， ∵的面积为， ∴，而， ∴由上整理得：，解得，则. 故选：B. 【变式11-2】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 【答案】2 【分析】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得，再求出长即可求解. 【详解】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2 【变式11-3】（2024高二上·全国·专题练习）已知抛物线与圆交于A，B两点，则 ． 【答案】4 【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解. 【详解】由抛物线与圆的性质易得A，B横坐标相等且大于0， 联立，得，解得或（舍去）， 则，将代入可得，则. 故答案为：. 1．（23-24高二上·贵州毕节·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据准线方程即可求解抛物线方程. 【详解】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线， 设其方程为，则其准线方程为，得 故该抛物线的标准方程是， 故选：A. 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的定义知点P到焦点的距离等于到准线的距离，即可得到答案. 【详解】设点P的坐标为，有，故的最小值为． 故选：C. 3.（2024·陕西·模拟预测）已知为抛物线的焦点，第一象限的点在抛物线上，且，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义求出，再代入点坐标求出t值即可. 【详解】由，得点到抛物线准线的距离为10，则，解得， 即抛物线方程为，于是，而点在第一象限，所以. 故选：C 4．（多选）（2024·黑龙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】AC 【分析】利用抛物线的定义来求焦半径，即可得到答案. 【详解】由点在抛物线上，可得点横坐标， 因为，由抛物线定义得，解得或， 故选：. 5.（多选）（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）对于抛物线上，下列描述正确的是（       ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】ACD 【分析】化为标准方程后，得出焦参数，从而可得抛物线的性质，判断各选项． 【详解】由已知抛物线标准方程是，，， 所以焦点坐标为，开口方向向上，A正确，B错误； 焦点到准线的距离为，C正确； 准线方程是，D正确． 故选：ACD． 6.（23-24高三上·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】结合抛物线定义即可解题. 【详解】由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 7.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则等于 ． 【答案】 【分析】首先将抛物线方程化为标准式，即可得到准线方程，再根据抛物线的定义得到，即可得解. 【详解】抛物线，即， 所以准线方程为， 因为抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为， 所以，解得. 故答案为： 8.（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 【答案】6 【分析】设等边三角形边长为a，根据抛物线的对称性以及等边三角形的对称性，表示出顶点A的坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另两个顶点关于x轴对称，不妨设如图示： 设等边三角形边长为a，则A点横坐标为， 则，代入得， 解得（舍）， 故等边三角形的边长为6， 故答案为：6 9．（2023高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的方程 【答案】 【详解】利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程. 【分析】点在抛物线上，    由抛物线定义得，解得， 故抛物线的标准方程为． 10．（21-22高二上·全国·课后作业）分别求符合下列条件的抛物线方程: (1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点; (2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为. 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】（1）由题意方程可设为或,将代入求解即可; （2）根据抛物线的定义焦点到准线的距离为,即,写出抛物线方程即可. 【详解】（1）由题意,方程可设为或, 将点的坐标代入,得或, ∴或, ∴所求的抛物线方程为或. （2）由焦点到准线的距离为,可知, ∴所求抛物线方程为或或或. 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