1.1.1集合的概念与表示（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

1.1 集合的概念与表示 知识点一 集合的含义 ★1、集合的含义： 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体． 【特别提醒】 对集合概念的理解 1.描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样,都只是描述性的说明; 2.整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体; 3.广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等. ★2. 元素与集合的关系 ★3．集合中元素的三大特性 （1）特性：确定性、互异性、无序性 注意：①确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． ②互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． ③无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． ★4. 集合相等 根据集合中元素的无序性,我们可以判断两个集合是否相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.集合A与集合B相等记作A=B. 【特别提醒】 (1)两个集合相等时,这两个集合的元素个数相等; (2)两个集合是否相等,不能只从集合的形式上看,比如0<x<5,构成的集合与1,2,3,4 构成的集合相等 ★5. 集合的分类 （1）有限集：含有有限个元素的集合 无限集：含有无限个元素的集合 （2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．） 【特别提醒】 互异性及无序性的主要作用 1.互异性的主要作用是提示我们求出结果后要检验.特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否使集合中元素满足互异性 2.无序性的主要作用是方便定义集合相等.当两个集合相等时,其元素不一定依次对应相等. 知识点二 集合的表示方法 ★1. 常用数集及其记法 ★2．集合的表示法 （1）列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开． （2）描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π} （3）图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合． 知识点三 数集和点集 集合的元素类型多以数、点、图形或方程等形式出现,对于已知集合必须弄清集合元素的形式,特别是对于用描述法给定的集合,要弄清它的代表元素是什么,代表元素有何属性 一般地,在用描述法表示数集与点集时,数集的代表元素用一个字母表示,点集的代表元素用有序实数对表示. 集合. 题型一 集合的含义 解题技巧提炼 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清楚其元素表示的意义是什么． 1．（2023秋•万州区校级月考）下列说法正确的是　　 A．我校爱好足球的同学组成一个集合 B．，2，是不大于3的自然数组成的集合 C．集合，2，3，4，和，4，3，2，表示同一集合 D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素 【答案】 【考点】集合的含义 【分析】根据集合的含义逐项进行判断，从而得出结论． 【解答】解：选项：不满足确定性， 选项：不大于3的自然数组成的集合是，1，2，， 选项：满足集合的互异性，无序性，确定性， 选项，0，5，，，，组成的集合有5个， 故选：． 【点评】本题考查了集合的含义，利用其确定性，无序性，互异性进行判断． 2．（2022秋•南昌期末）已知集合，，，则中元素的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【考点】集合的基本关系；集合的含义；集合的表示法 【分析】根据正整数集的定义以及集合的定义即可求解． 【解答】解：因为集合，，， 所以当时，， 即集合， 所以集合中元素个数为1个， 故选：． 【点评】本题考查了集合的定义，涉及到正整数集的定义，考查了学生的转化能力，属于基础题． 3．（2023秋•深圳期中）下列元素的全体可以组成集合的是　　 A．人口密度大的国家 B．所有美丽的城市 C．地球上的四大洋 D．优秀的高中生 【答案】 【考点】集合的表示法；集合的含义；集合的确定性、互异性、无序性 【分析】根据集合的确定性，互异性和无序性即可得出结论． 【解答】解：由题意，选项，都不满足集合元素的确定性，选项的元素是确定的，可以组成集合． 故选：． 【点评】本题考查集合元素的特点，是基础题． 题型二 判断自然语言描述内容能否组成集合 解题技巧提炼 判断自然语言描述内容能否组成集合，通常需要以下步骤．首先，仔细阅读描述内容，确定其标准或特征．其次，检验这些标准是否具体明确，是否能对所有元素进行唯一判断． 4．（2023秋•富阳区校级期中）下列对象中不能构成集合的是　　 A．直角三角形 B．比1小0.001的数 C．高个子的男生 D．平面直角坐标系中的所有点 【答案】 【考点】判断自然语言描述内容能否组成集合 【分析】根据题意，由集合中元素的确定性分析选项，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，直角三角形，满足集合中元素的确定性，可以构成集合； 对于，比1小0.001的数，满足集合中元素的确定性，可以构成集合； 对于，高个子的男生，不满足集合中元素的确定性，不可以构成集合； 对于，平面直角坐标系中的所有点，满足集合中元素的确定性，可以构成集合． 故选：． 【点评】本题考查集合中元素的特征，涉及集合的定义，属于基础题． 5．（2023秋•湖北期中）下列各组对象不能构成集合的是　　 A．参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B．小于5的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】 【考点】判断自然语言描述内容能否组成集合 【分析】根据集合的定义结合选项逐一排除即可． 【解答】解：选项，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手可以构成集合； 选项，小于5的正整数可以构成集合； 选项，2023年高考数学难题，不是一个确定的概念，不能构成集合； 选项，所有无理数可以构成集合． 故选：． 【点评】本题考查集合的概念，属于基础题． 6．（2023秋•镇江期中）下列对象不能组成集合的是　　 A．小于0的所有自然数 B．比姚明还高的人 C．好人 D．所有的平行四边形 【答案】 【考点】判断自然语言描述内容能否组成集合 【分析】由已知结合集合元素的特征检验各选项即可判断． 【解答】解：由集合元素的确定性可知， 小于0的所有自然数可以组成集合，不符合题意； 比姚明还高的人可以组合集合，不符合题意； 好人的标准不明确，不能构成集合，符合题意； 所有的平行四边形可以组成集合，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合元素的特征，属于基础题． 7．（2023秋•金平区期末）下列能构成集合的是　　 A．汕头电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．汕头市所有的中学生 D．，， 【答案】 【考点】判断自然语言描述内容能否组成集合 【分析】根据题意，由集合中元素的特点，依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，汕头电视台著名节目主持人，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合； 对于，我市跑得快的汽车，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合； 对于，可以构成集合； 对于，，不满足集合中元素的互异性，不能构成集合． 故选：． 【点评】本题考查集合的定义，注意集合中元素的特点，属于基础题． 题型三 常用数集及其记法 解题技巧提炼 8．（2023秋•宝安区月考）给出下列关系：①；②；③；④正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【考点】常用数集及其记法 【分析】根据常用数集的含义及其符号表示，即可得解． 【解答】解：①是实数，即①正确； ②，是整数，即②错误； ③是无理数，不是有理数，即③错误； ④0是自然数，所以，即④错误． 故选：． 【点评】本题考查常用数集，熟练掌握几个常用数集的含义及其符号表示是解题的关键，属于基础题． 9．（2023秋•荔湾区校级期中）下列关系中正确的个数为　　 ①， ②， ③， ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【考点】常用数集及其记法 【分析】由数与数域的关系判断出正确个数，求出答案． 【解答】解：对于①，，①错误； 对于②，，②正确； 对于③，，③错误； 对于④，，④错误， 故正确的个数为1个． 故选：． 【点评】本题考查了元素与集合的关系，是基础题． 10．（2023秋•宝安区校级期末）下列元素与集合的关系中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】常用数集及其记法 【分析】根据元素与集合的关系依次判断选项即得． 【解答】解：选项，因不是正整数，故错误； 选项，是无理数，故必是实数，故正确； 选项，是分数，故不是整数，故错误； 选项，0是自然数，故错误． 故选：． 【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题． 11．（2023秋•疏勒县期中）下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中正确的个数是　　 A．1 B．2． C．3 D．4 【答案】 【考点】常用数集及其记法 【分析】根据数集的含义和元素与集合间的关系判断即可． 【解答】解：表示有理数集，是有理数，故（1）正确； 表示实数集，为实数，故（2）错； 表正整数集，0不是正整数，故（3）错； 表示整数集，不是整数，故（4）错； 和都表示集合，集合间的关系不能用表示，故（5）错． 故选：． 【点评】本题考查元素与集合的关系及其应用等知识，属于基础题． 题型四 集合的确定性、互异性、无序性 解题技巧提炼 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 12．（2023秋•礼泉县期中）集合，，中，应满足的条件是　　 A． B． C．且且 D．或或 【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性 【分析】根据集合元素互异性可得，且，且解得答案． 【解答】解：集合，，中，，且，且 解得：且且 故选：． 【点评】本题考查的知识点是集合元素的互异性，难度不大，属于基础题． 13．（2022•渭滨区校级模拟）设集合，，，若，则　　 A．或或2 B．或 C．或2 D．或2 【答案】 【考点】集合的确定性、互异性、无序性 【分析】分别由，，求出的值，代入观察即可． 【解答】解：若，则， ， ，4，； 若，则或， 时，， ，，； 时，（舍， 故选：． 【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，本题是一道基础题． 14．（2024•东湖区校级三模）若以集合，，，的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是　　 A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】 【考点】集合的确定性、互异性、无序性 【分析】利用集合中元素的互异性，直接判断选项多边形的边长构成的结合的元素个数即可得到结果． 【解答】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素； 菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素； 满足题意的可能是梯形． 故选：． 【点评】本题考查集合中元素的特征互异性的应用，基本知识的考查． 15．（2023春•岳阳期中）若，，则　　 A．1 B． C．0或1 D．0或1或 【答案】 【考点】集合的确定性、互异性、无序性 【分析】根据题意，若，，则必有或，进而分类讨论：①，②，然后求出的值．并验证是否符合集合中元素的性质，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，若，，则必有或， 进而分类讨论： ①、当时，，不符合集合中元素的互异性，舍去， ②、当，解可得或（舍 当时，，符合题意， 综合可得，， 故选：． 【点评】本题考查元素与集合的关系，需要注意集合中元素的互异性． 题型五 集合的表示法 解题技巧提炼 选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是能清楚地展现集合的元素,通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法;描述法的特点是形式简单、应用方便,通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法. 16．（2023秋•富阳区校级期中）集合，2，3，4，也可表示成　　 A． B． C．， D．， 【答案】 【考点】集合的表示法 【分析】结合集合的表示方法即可求解． 【解答】解：结合题意可知，，2，3，4，，． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合的表示，属于基础题． 17．（2022秋•益阳期末）二元一次方程组的解集是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】集合的表示法 【分析】利用代入消元法解二元二次方程组，用集合表示解集即可． 【解答】解：由， 所以二元一次方程组的解集是， 故选：． 【点评】本题主要考查了方程组的解的求解，属于基础题． 18．（2023秋•河北月考）已知集合，则下列与相等的集合个数为　　 ①； ②； ③； ④，． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【考点】集合的表示法 【分析】分别检验各选项中的元素是否为，即可判断． 【解答】解：①，与集合的元素相同，①符合题意； ②与集合的元素相同，②符合题意； ③，，③不符合题意； ④，，，④不符合题意． 即符合条件的有2个． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合相等的判断，属于基础题． 19．（2023秋•重庆期末）已知集合，0，，，，那么用列举法表示集合　，　． 【考点】15：集合的表示法 【分析】根据集合，3，，，，将中元素一一代入，可得集合． 【解答】解：集合，0，，，， ，， 故答案为：， 【点评】本题主要考查集合的表示方法，要求熟练掌握描述法和列举法表示集合，比较基础． 题型六 列举法表示集合 解题技巧提炼 用列举法表示集合的步骤 ①求出集合中的元素;②把各元素列举出来,并用花括号括起来;③检查元素是否符合集合中元素的互异性 20．（2022秋•内江期末）集合，用列举法表示为　　 A．，，0，1， B．，0，1， C．， D． 【答案】 【考点】列举法表示集合 【分析】直接求出集合中的元素即可． 【解答】解：，，，． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合列举法与描述法的转化，属于基础题． 21．（2023秋•南岗区校级期中）集合用列举法表示为　　 A． B．， C．，2， D．，2，4， 【答案】 【考点】列举法表示集合 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合中的元素即可． 【解答】解：因为，， 所以或2或4或8， 即或4或2或， 即，2，4，． 故选：． 【点评】本题考查集合的表示方法，属于基础题． 22．（2023秋•图木舒克校级月考）集合用列举法可表示为　　 A．，1，2， B．， C．， D．，2， 【答案】 【考点】列举法表示集合 【分析】根据集合描述列举出集合元素即可． 【解答】解：由，． 故选：． 【点评】本题考查了集合的表示，是基础题． 23．（2023秋•市南区校级月考）已知集合，则集合用列举法可表示为　　 A．， B．， C．，2，4， D．，2，4， 【答案】 【考点】列举法表示集合 【分析】根据集合的描述列举出所有元素即可． 【解答】解：由，则，4，2，且，故，2，4，． 故选：． 【点评】本题考查集合的表示方法，属于基础题． 题型七 描述法表示集合 解题技巧提炼 用描述法表示集合的步骤 ①弄清元素的形式;②写出代表元素,写在“|”前面;③确定元素所具有的属性,写在“|”的后面; ④用花括号把它们括起来. 24．（2023秋•四平期中）用描述法表示图中的阴影部分可以是 　且　． 【答案】且． 【考点】集合的表示法 【分析】利用描述法的定义，然后对应图中的信息即可求解． 【解答】解：图中的阴影部分用描述法表示为：且， 故答案为：且． 【点评】本题考查了集合的表示法，考查了学生对描述法的掌握程度，属于基础题． 25．（2023秋•青浦区校级月考）用描述法表示直角坐标系中第二象限点的集合，则　，　． 【答案】，． 【考点】描述法表示集合 【分析】根据第二象限点的性质写出集合即可． 【解答】解：直角坐标系中第二象限点的集合，． 故答案为：，． 【点评】本题考查集合的表示方法，属于基础题． 26．（2022秋•浦东新区校级期中）用描述法表示除以3余1的所有整数组成的集合 　，　． 【答案】，． 【考点】集合的表示法 【分析】根据描述法的定义求解即可． 【解答】解：用描述法表示除以3余1的所有整数组成的集合为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题． 27．（2023秋•徐汇区校级期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 　，　． 【答案】，． 【考点】描述法表示集合 【分析】利用集合的描述法求解即可． 【解答】解：被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查集合的表示方法，属于基础题． 题型八 判断元素与集合的属于关系 解题技巧提炼 ∈与只能用在元素与集合之间,表示元素警示与集合之间的从属关系,注意开口方向. 32．（2023秋•安徽期末）已知集合，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】判断元素与集合的属于关系 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断． 【解答】解：集合，，则，，，． 故选：． 【点评】本题考查元素与集合关系的判断，属于基础题． 33．（2024•安徽学业考试）设集合，2，，则下列选项正确是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】判断元素与集合的属于关系 【分析】根据元素与集合间的关系可解． 【解答】解：因为集合，2，，则1，2，3均是集合中的元素，故正确，，错误， 又，故错误． 故选：． 【点评】本题考查元素与集合间的关系，属于基础题． 34．（2023秋•重庆期末）若集合，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】判断元素与集合的属于关系 【分析】根据元素与集合的关系逐一检验选项即可． 【解答】解：集合，， 则，． 故选：． 【点评】本题考查元素与集合关系的判断，属于基础题． 35．（2023秋•孝感期中）下列有关元素与集合关系写法正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】判断元素与集合的属于关系 【分析】根据空集是任何集合的子集可判断，根据元素与集合的关系可判断． 【解答】解：对于，因为空集是任何集合的子集，所以，故错误； 对于，因为空集是任何集合的子集，所以，故错误； 对于，因为，所以，故正确； 对于，因为是无理数，所以，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题． 题型九 元素与集合关系的判断 解题技巧提炼 判断元素与集合关系的两种方法 1.直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的. 2.推理法:对于某些不便直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合的元素具有什么特征,即该集合中元素要满足哪些条件. 36．（2024•坪山区校级模拟）已知集合，则与集合的关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】先求出集合，然后根据元素与集合的关系即可判断． 【解答】解：因为集合或，， 故正确，错误， 又因为元素与集合是属于关系，故，错误， 故选：． 【点评】本题考查了集合与元素的关系的应用，考查了学生的分析能力，属于基础题． 37．（2024•宝鸡模拟）若集合中只有一个元素，则实数　　 A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】 【考点】元素与集合关系的判断；集合中元素个数的最值 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解． 【解答】解：当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足△， 解得． 综上，实数的取值为0或1． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题． 38．（2024•兴庆区校级三模）已知集合，下列式子错误的是　　 A． B． C． D．， 【答案】 【考点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用 【分析】先求出集合，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解． 【解答】解：，， ，，，故正确； 而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故错误． 故选：． 【点评】本题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题． 39．（2023秋•萍乡期末）已知集合，，，若，则的值可能为　　 A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解． 【解答】解：由题意若，解得或，若，解得， 当时，，4，满足题意， 当时，，4，违背了集合中元素间的互异性， 当时，，4，满足题意， 综上所述，的值可能为，8． 故选：． 【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题． 题型十 元素与集合的属于关系的应用 解题技巧提炼 已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时,若集合A是用描述法表示的,则a一定满足集合中元素的共同特征,如满足方程(组)、不等式(组)等;若集合A是用列举法表示的，则a一定等于集合A中的某个元素.反之,当a≠A时,结论相反. 利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可,注意根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验. 40．（2022秋•驻马店期中）集合，若，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】直接根据元素和集合的关系求解即可． 【解答】解：，， ，知． 故选：． 【点评】本题主要考查元素和集合的关系，考查计算能力，属于基础题． 41．（2022秋•日照期中）集合，若，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】元素与集合的属于关系的应用 【分析】直接根据元素和集合之间的关系求解即可． 【解答】解：集合，， ，即， 故选：． 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题． 42．（2023秋•李沧区校级月考）集合，若且，则的取值范围为 　　． 【答案】． 【考点】元素与集合的属于关系的应用 【分析】根据集合的定义，结合分式不等式的求解，列式计算即可． 【解答】解：根据题意，，则，即且， 解得或； ，则，或， 即，或，故； 综上所述，． 故答案为：． 【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题． 43．（2023秋•南昌月考）已知集合． （1）若，求的取值范围． （2）若的子集个数为4，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）存在最大值，且最大值是2． 【考点】元素与集合的属于关系的应用 【分析】（1）由，列式即可求解的范围； （2）不等式可化为，对分类讨论，即可求解． 【解答】解：（1）因为，所以， 解得，则的取值范围为，， （2）因为集合的子集个数为4，所以有2个元素． 即关于的不等式 有且仅有2个整数解． 不等式可化为． 当，即 时，，则，解得． ，则． 当，即 时，，则，解得， 则． 当，即 时，不等式的解集为，不成立． 综上，可得存在最大值，且最大值是2． 【点评】本题主要考查元素与集合的关系，子集的个数问题，考查运算求解能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念与表示 知识点一 集合的含义 ★1、集合的含义： 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体． 【特别提醒】 对集合概念的理解 1.描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样,都只是描述性的说明; 2.整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体; 3.广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等. ★2. 元素与集合的关系 ★3．集合中元素的三大特性 （1）特性：确定性、互异性、无序性 注意：①确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． ②互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． ③无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． ★4. 集合相等 根据集合中元素的无序性,我们可以判断两个集合是否相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.集合A与集合B相等记作A=B. 【特别提醒】 (1)两个集合相等时,这两个集合的元素个数相等; (2)两个集合是否相等,不能只从集合的形式上看,比如0<x<5,构成的集合与1,2,3,4 构成的集合相等 ★5. 集合的分类 （1）有限集：含有有限个元素的集合 无限集：含有无限个元素的集合 （2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．） 【特别提醒】 互异性及无序性的主要作用 1.互异性的主要作用是提示我们求出结果后要检验.特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否使集合中元素满足互异性 2.无序性的主要作用是方便定义集合相等.当两个集合相等时,其元素不一定依次对应相等. 知识点二 集合的表示方法 ★1. 常用数集及其记法 ★2．集合的表示法 （1）列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开． （2）描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π} （3）图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合． 知识点三 数集和点集 集合的元素类型多以数、点、图形或方程等形式出现,对于已知集合必须弄清集合元素的形式,特别是对于用描述法给定的集合,要弄清它的代表元素是什么,代表元素有何属性 一般地,在用描述法表示数集与点集时,数集的代表元素用一个字母表示,点集的代表元素用有序实数对表示. 集合. 题型一 集合的含义 解题技巧提炼 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清楚其元素表示的意义是什么． 1．（2023秋•万州区校级月考）下列说法正确的是　　 A．我校爱好足球的同学组成一个集合 B．，2，是不大于3的自然数组成的集合 C．集合，2，3，4，和，4，3，2，表示同一集合 D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素 2．（2022秋•南昌期末）已知集合，，，则中元素的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•深圳期中）下列元素的全体可以组成集合的是　　 A．人口密度大的国家 B．所有美丽的城市 C．地球上的四大洋 D．优秀的高中生 题型二 判断自然语言描述内容能否组成集合 解题技巧提炼 判断自然语言描述内容能否组成集合，通常需要以下步骤．首先，仔细阅读描述内容，确定其标准或特征．其次，检验这些标准是否具体明确，是否能对所有元素进行唯一判断． 4．（2023秋•富阳区校级期中）下列对象中不能构成集合的是　　 A．直角三角形 B．比1小0.001的数 C．高个子的男生 D．平面直角坐标系中的所有点 5．（2023秋•湖北期中）下列各组对象不能构成集合的是　　 A．参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B．小于5的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 6．（2023秋•镇江期中）下列对象不能组成集合的是　　 A．小于0的所有自然数 B．比姚明还高的人 C．好人 D．所有的平行四边形 7．（2023秋•金平区期末）下列能构成集合的是　　 A．汕头电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．汕头市所有的中学生 D．，， 题型三 常用数集及其记法 解题技巧提炼 8．（2023秋•宝安区月考）给出下列关系：①；②；③；④正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2023秋•荔湾区校级期中）下列关系中正确的个数为　　 ①， ②， ③， ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2023秋•宝安区校级期末）下列元素与集合的关系中，正确的是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•疏勒县期中）下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中正确的个数是　　 A．1 B．2． C．3 D．4 题型四 集合的确定性、互异性、无序性 解题技巧提炼 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 12．（2023秋•礼泉县期中）集合，，中，应满足的条件是　　 A． B． C．且且 D．或或 13．（2022•渭滨区校级模拟）设集合，，，若，则　　 A．或或2 B．或 C．或2 D．或2 14．（2024•东湖区校级三模）若以集合，，，的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是　　 A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 15．（2023春•岳阳期中）若，，则　　 A．1 B． C．0或1 D．0或1或 题型五 集合的表示法 解题技巧提炼 选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是能清楚地展现集合的元素,通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法;描述法的特点是形式简单、应用方便,通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法. 16．（2023秋•富阳区校级期中）集合，2，3，4，也可表示成　　 A． B． C．， D．， 17．（2022秋•益阳期末）二元一次方程组的解集是　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•河北月考）已知集合，则下列与相等的集合个数为　　 ①； ②； ③； ④，． A．0 B．1 C．2 D．3 19．（2023秋•重庆期末）已知集合，0，，，，那么用列举法表示集合　，　． 题型六 列举法表示集合 解题技巧提炼 用列举法表示集合的步骤 ①求出集合中的元素;②把各元素列举出来,并用花括号括起来;③检查元素是否符合集合中元素的互异性 20．（2022秋•内江期末）集合，用列举法表示为　　 A．，，0，1， B．，0，1， C．， D． 21．（2023秋•南岗区校级期中）集合用列举法表示为　　 A． B．， C．，2， D．，2，4， 22．（2023秋•图木舒克校级月考）集合用列举法可表示为　　 A．，1，2， B．， C．， D．，2， 23．（2023秋•市南区校级月考）已知集合，则集合用列举法可表示为　　 A．， B．， C．，2，4， D．，2，4， 题型七 描述法表示集合 解题技巧提炼 用描述法表示集合的步骤 ①弄清元素的形式;②写出代表元素,写在“|”前面;③确定元素所具有的属性,写在“|”的后面; ④用花括号把它们括起来. 24．（2023秋•四平期中）用描述法表示图中的阴影部分可以是 　 　． 25．（2023秋•青浦区校级月考）用描述法表示直角坐标系中第二象限点的集合，则　 　． 26．（2022秋•浦东新区校级期中）用描述法表示除以3余1的所有整数组成的集合 　 　． 27．（2023秋•徐汇区校级期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 　 　． 题型八 判断元素与集合的属于关系 解题技巧提炼 ∈与只能用在元素与集合之间,表示元素警示与集合之间的从属关系,注意开口方向. 32．（2023秋•安徽期末）已知集合，则　　 A． B． C． D． 33．（2024•安徽学业考试）设集合，2，，则下列选项正确是　　 A． B． C． D． 34．（2023秋•重庆期末）若集合，则　　 A． B． C． D． 35．（2023秋•孝感期中）下列有关元素与集合关系写法正确的是　　 A． B． C． D． 故选：． 题型九 元素与集合关系的判断 解题技巧提炼 判断元素与集合关系的两种方法 1.直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的. 2.推理法:对于某些不便直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合的元素具有什么特征,即该集合中元素要满足哪些条件. 36．（2024•坪山区校级模拟）已知集合，则与集合的关系为　　 A． B． C． D． 37．（2024•宝鸡模拟）若集合中只有一个元素，则实数　　 A．1 B．0 C．2 D．0或1 38．（2024•兴庆区校级三模）已知集合，下列式子错误的是　　 A． B． C． D．， 39．（2023秋•萍乡期末）已知集合，，，若，则的值可能为　　 A．，3 B． C．，3，8 D．，8 题型十 元素与集合的属于关系的应用 解题技巧提炼 已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时,若集合A是用描述法表示的,则a一定满足集合中元素的共同特征,如满足方程(组)、不等式(组)等;若集合A是用列举法表示的，则a一定等于集合A中的某个元素.反之,当a≠A时,结论相反. 利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可,注意根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验. 40．（2022秋•驻马店期中）集合，若，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 41．（2022秋•日照期中）集合，若，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 42．（2023秋•李沧区校级月考）集合，若且，则的取值范围为 　 　． 43．（2023秋•南昌月考）已知集合． （1）若，求的取值范围． （2）若的子集个数为4，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$