16.数学·2021年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国Ⅱ卷)(辽宁，重庆、海南)-【名校强基卷】2020-2024年5年高考数学真题汇编

2021年普通高等学校招生全国统一考试 N(0,2,0).01.1,0),P(0.0,1),所以MN=(-2,0, (全国新高考Ⅱ卷) -2),OP=(-1,-1,1).由MN·OP=2-2=0可知 MN⊥OP,故选项C正确：对于D,建立空间直角坐标系 1A复数z-保+0-若-+则 如图3所示，则M(0,2,0).N(0,0,2),O1,1,0),P(2,1, 2),所以MN=(0,-2,2),OP=(1.0,2).由MN·OP=0 共在复平面内对应的点为（合·），位于第一象限，故 十4=4≠0可知MV⊥OP不成立，故选项D错误，故 选A. 选BC 2.B因为集合U={1,2,…,6,集合B={2,3,4},所以CB =(1,5,6.又集合A=1,3,6).所以A∩CB=(1,6},故 选B. 3.B因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(号，0)，所以 十1 2 点F到直线y=x十1的距离d= =√2，解得p=2, 2 图1 图2 故选B. 4,C设地球静止同步轨道卫星为P,由题可知，OA⊥AP, OA=6400,OP=6400+36000=42400,则c0sa= P 42400一品，所以覆盖面积S占地球表面积的百分比为 64008 M 2a0=1-影)-德≈42%，故选C *0 5.D因为正四棱台的上、下底面边长分别为2,4，侧棱长为 图3 2,所以孩四棱台的高为2-[合×4-2可 11.ABD对于选项A,若点A在圆上，则a十b2=r2,所以 V个一2=区，所以该正四棱台的体积为号×2X(2+4 国心到直线的距离d=, Va+b =r,所以直线与圃相切， v2x)-282故选D 故选项A正确：对于选项B,若点A在圆内，则a2十b2< 二，所以圆心到直线的距高d=L>,所以直线与 6.D因为随机变量X一N(10,2),则由正态分布的特点可 va2+62 知，当。越小时，X的取值越集中在10附近，所以X的刚 圆相离，故选项B正确：对于选项C,若点A在圆外，则 量结果在(9.9,10.1)内的概率越大，故选项A正确：由正 a2+b2>户，所以圆心到直线的距离d=1r<,所 态分布的对称性可知P(X<10)=P(X>10),所以X的 √a2+b2 测量值大于10的概率为0.5，故选项B正确：P(X<9.99) 以直线与圆相交，故选项C错误：对于选项D,若点A在 =P(X>10.01),所以X的测量结果大于10.01的概率与 直线上，则a2十b2=r2,所以圆心到直线的距离d= 小于9.99的概率相等，故选项C正确：X的测量结果落在 r21 =「，所以直线与圆相切，故选项D正确，故 (9.9,10.2)内概率与落在(10,10.3)内的概率不相等，故 Va2+b2 选项D错误，故选D. 选ABD. 7.C国为c=号=logV后=lg2VE,且由对数画数y 12.ACD对于A,因为n=a0·20+a1·2l+a2·22+…+ a4-1·2-1+4t·2,所以2m=0×20+a0·21+41·22 log5x及y=log8x的单调性可知，logs5>logs2,log82v2 十a2·23+…十46-1·2*+a6·2+1.又w(n)=a0十a1十 <logs3,所以a<c<b,故选C. …十ah,a:∈{0,1}，所以w(2n)=0十ao十a1+…十ak 8.B因为f(x十2)为R上的偶函数，所以f(一x十2)= w(n),故A选项正确：对于B,取n=2,则2n十3=7=1× f(x十2)，所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，所以 20+1×21+1×22,所以m(7)=3.因为2=0×2°+1× f(x)=f(4一x).因为f(2.x+1)为R上的奇函数，所以 2,所以四(2)=1，所以仙(7)≠u(2)十1，故B选项错误： f(1)=0,f(-2x十1)=一f(2x+1),所以函数f(x)的图 对于C,因为8n+5=ao·23+a1·2十a2·25+… 象关于点(1,0)中心对称.所以f(-1)=-f(3)=-f(1) 十a-1·2+2+a4·2+3+5=1×20+0×21+1×22+ =0,故选项B正确，故选B. a0·23+a1·2l+a2·25+…+a4-1·2k+2+at·2+8, 9.AC表示数据的离散程度用方差，标准差与极益，易知选 所以w(8n十5)=1十0+1十ao十a1十…十ak=aa十a1十 项A,C正确，故选AC. …十ae+2,且4n+3=a0·22+a1·23+a2·24+…+ 1O.BC对于A,由图易知直线MN与OP不垂直，故选项A ak-1,24+1十@E·20+2+3=1×20+1×2+a0·22+ 错误：设正方体的梭长为2，则对于B,建立空间直角坐标 a1·28+ag·24十…十ae-1·2+1十at·2+2,所以 系如图1所示，则M(2,0,0),N(0,0,2),O(1,1,0), w(4n十3)=1+1十a0十a1十十a6=a0十a1十…十ak十 P(2,0,1),所以MN=(-2,0,2),OP=(1,-1,1).由 2,所以(8n十5)=m(4n十3)，故C选项正确：对于D,因 MN.OP=-2+2=0可知，MN⊥OP,故选项B正确： 为2"-1=1X12”=20+21+2+…+2-,所以 1-2 对于C,建立空间直角坐标系如图2所示，则M(2,2,2), w(2"一1)=H,故D选项正确，故选ACD 数学答案-59 18y=5:y-5:图为双由我号-带-1u>0, C∈(0，x),sinC=3 8 b>0)的离心率e=2,所以e=￡=2，即c=2a,c2=4a2. Saun-x4X5x31_15T 1 8 4 又2一a2=b2,则3a2=b2,所以双曲线的渐近线方程为y (Ⅱ)显然c>b>a,要使△ABC为纯角三角形，则只需角 C为钝角， 14.f(x一x2(本题答案不唯一，符合题意即可)由②和③ 6osC=a2+(a,)2-(a+2》2<0. 2a(a+1) 可知，f（x)=x2符合要求.又f(x)=x2满足f(x1x2) 即a2-2a-3<0,∴0<a<3. f(x1)f(x2),即符合条件①，故f(x)=x2满足题意. 又'a+a+1>a+2, 15-号依题高，在△ABC中，令成=a,=b,店=e ∴.a>1,∴.1<a<3. 则BC=1,AC=AB=2,所以B=C,所以由余弦定理得 a∈Z,∴.a=2, A=ACAC-装名浸是-令sB= ∴，存在正整数a=2使得△ABC为钝角三角形. 2AB·AC 2×2×2 19.解：(I)证明：取AD的中点E,连接QE. A头C-装片以C=B QD=QA=5,,∴，QE⊥AD. 2AB·BC AD=2,∴.DE=1, 4,所以a·b+a·c+b·c=a·b1·cos(x-C)+ ∴.QE=V5-I=2,CE-v/22+1P=5, a·|c·cos(π-B)+|b·|c·cos(π-A)=1X2× QE+CE2=9=QC2 (-)+1×2×(-）+2×2×(-)=-号 ∴.∠QEC=90,.QE⊥CE AD∩CE=E,∴QE⊥平面ABCD. QEC平面QAD. .平面QAD⊥平面ABCD. (Ⅱ)取BC中点F,连接EF,EQ,如图以E为坐标原点， 以EF,ED,EQ所在直线分别为T,y,x轴建立空间直角 坐标系， 16.(0,1)因为x1<0,x2>0,所以函数f(x)在A(x1, f(x1))处的切线方程为y=一ex十x1e十1一e,同理 可得函数f(x)在B(x2,f(x)处的切线方程为y=ex +e-x2e-1,所以M(0,x1e+1-e),N(0,e x2e一1).因为这两条切线互相垂直，所以一e'·e: 一=，1：解释+=0.所以(0)》 则B(2,-1,0),Q(0,0,2),D0,1,0) x1心)+=e+1=e2.图为1<0，所以0< (.x2e5)2+xe+1 .BQ=(-2,1.2),QD=(0,1,-2), 1,所以∈0D 设平而BQD的法向量n1=(x0,y00), m1·BQ=0, 17.解：(1)设(an}的公差为d(d≠0)， 则a1+2d=5a1+5(5,Dd.① m1·QD=0, 2 中{厂2m+%+20=0. (a1+d0(a1+3d0=4a1+442Da. ② y0-2x0=0, 2 令y0=2,则0=1，x0=2, 由①得a1+2d=0,即a1=-2d, .n1=(2,2,1). 代入@得(-d)·d=-8d+6d,即d2-2d=0. 又平面QDA的一个法向量n2=(1,0,0), d≠0，d=2.a1=-4, 设二面角BQDA的平面角为0，显然0为锐角， .am=-4+2(n-1)=2n-6(n∈N). .cos 0=Icos<n1,n2)= n1·n2 (Ⅱ)由(I)知S。=-4w+nm2D.2=2-5. n·n2 2 2 2 由Sm>am得n2-5n>2n-6, √22+22+123 .n2-7n+6>0,即(n-1)(01-6)>0, ∴n>6,故n的最小值为7. 20.解：(I)由题意得c=√2， 18.解：(I):2sinC=3sinA,由正弦定理得2c=3a. 又，c=4十2，，∴.a=4,c=6, 搭阔C的离心率e=后-且2=+已， ∴.b=a十1=5， 解得a=3,b=1, ∴cosC=a2+2-c2=16+25-36=1 2ab 2×4X58 “简圆C的方报为写+y2=1 数学答案一60 (Ⅱ)证明：当M,N,F三点共线时， ②当0<a<号时，令fx)=0,得1=0n=ln2a<0, 设直线MN的方程为x=my十√2， 当x<ln2a时，f(x)>0,fx)单调递增： 即x-my-√2=0， 当ln2a<x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减： 坐标原点O(0,0)到直线MN的距离d=区 =1, 当x>0时，了(x)>0,f(x)单调递增： √m+工 ③当a=时f(x)=x(e-1)≥0，fx)在R上单调 解得m2=1,此时直线MN:x=士y十√2. 递增： 当|MNI=√时. 设直线MW的方程为x=1y十n,即x-ly一n=0, ④当a>2时，令广(r)=0,得x1=0x2=lh2a>0. 则坐标原点O0,0)到直线MN的距商d=m=1, 当x<0时，f(x)>0,f(x)单调递增； √+1 当0<x<ln2a时，f(x)<0,f(x)单调递减： 化简得n2-产=1. 当x>ln2a时，f(x)>0,f(x)单调递增. (Ⅱ)证明：若选①，则由(1)知f(x)在（一o∞，0）上单调递 联立233，消去x得(+3)y+2my+-3 增，在(0，ln2a)上单调递减，在(ln2a,十oo)上单调递增. =0、 △=4r2nm2-4(12+3)(n2-3)-12(2-n2+3). 又(-)-(-√后-<. 又n2-t2=1,则△=24>0， f(0)=b-1>2a-1>0, 刻MN-. )在(-√后0)上有且仅有一个索高 又f(n2a)=(ln2a-1)·2a-a·ln22a+b>2aln2a 解得2=1， 2a-aln22a+2a=aln 2a(2-In 2a), ∴.n2=2, 则直线MN与曲线x2+y2=b(x>0)相切，且n=√2，此 且<a<号0h2a<2 时直线MN的方程为x=士y十√②. ∴.aln2a(2-ln2a)≥0， .f(n2a)>0, 综上所述，M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=√5. .当x>≥0时，f(x)≥f(ln2a)>0, 21.解：(I)由题意得E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+ f(x)在[0，十∞)上无零点. 3×0.1=1. 综上所述，f(x)在R上仅有一个零点xo, (Ⅱ)证明：由题意得po十p1x十p2.x2十p3x3一x=0,0< x≤1， 且we(F: 设f(x)=po十p1x+p2.x2+p3x3-x, 若选②，由(1)可知，函数f(x)在（一∞，ln2a)上单调递 则f(x)=p1+2p2.x+3p3x2-1, 增：在(ln2a,0)上单调递减：在(0，十∞)上单调递增： h(x)=p1+2p2x+3p3x2-1, 又limf(x)=lim[(x-1)e-a.x2+b们-oo: 则h'(x)=2p2十6p3x≥0， lim f(x)=lim [(x-1)e*-ax+]+ .h(x)即了(x)单调递增. 4 当E(X)=p1+2p2+3p3≤1时， f(In 2a)=(In 2a-1)e!m 2-a(In 2a)2+b=2a(In 2a-1) -a(In 2a)2+b2a(In 2a-1)-a(In 2a)2+2a=2aln 2a f(x)≤f(1)=p1+2p2+3ps-1≤0， -aln2a, ∴.f(x)在(0,1]上单调递减. 令ln2a-t(t<0),则2a-e', f(1)=0,.p=1: 当E(X)=p1十2p2+3p3>1时， 所以2ah2 al2a=e-号=-号e-20<0, f(0)=p1-1<0, 即f(ln2a)<0,且f(0)=b-1≤2a-1<0. f(1)=-p1+2p2+3p3-1>0, .存在唯一的x0∈(0,1)使f(x%)=0, 综上，当0<a<号K2a时f)只有-个零点. 且当0<x<xo时，f(x)<0,f(x)单调递减： 2021年普通高等学校招生全国统一考试 当x0<x<1时，f(.x)>0,f(x)单调递增. (北京卷) :f(0)=p>0,f(1)=0, ∴.f(xo)<f(1)=0, 1.B由并集的定义可得AUB=x|一1<x≤2}，故选B. ∴f(x)在(0，xo)上有一个零点x1 22(1+i) ∴.p=x1<1. 2D由题意得复数一户白)十节1十i,故选D, (Ⅲ)当1个微生物个体繁殖下一代的数学期望小于等于 3.A因为函数f(x)的定义战为[0,1]，若函数f(x)在[0， 1时，经过多代繁殖后临近灭绝： 1门上单调递增，则f(x)mx=f(1),故充分性成立：若f(x) 当1个微生物个体繁殖下一代的数学期望大于1时，经过 =(x-）(0≤x≤).则x)=)=0,且函数 多代繁殖后还有继续繁殖的可能， 22.解：(1)f(.x)=rc2-2a.x=x(e-2a), f)在(0，)上单调递减，在（分山）上单调递增，故必 ①当a≤0时，令广(x)=0,得x=0, 要性不成立，所以“函数f(x)在[0,1门上单调递增”是“函数 当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减： f(x)在[0,1门上的最大值为f(1)”的充分不必要条件，故 当x>0时，f(x)>0,f(x)单调递增： 选A 数学答案-61绝密★启用前 2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国新高考Ⅱ卷） 数学 使用地区：海南、重庆、辽宁 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 尔 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 郑 1.在复平面内，复数一 2-i ,对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B={2,3,4},则A∩CB= ( A.{3} B.{1,6 C.{5,6 D.{1,3 非 3.若抛物线y=2px(p>0)的焦点到直线y=x十1的距离为√2，则p= A.1 B.2 C.22 D.4 4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.卫星导航系统中，地球静止同步轨道 卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度约为36000km(轨道高度指卫星到地球表面的 最短距离).把地球看成一个球心为O,半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤 道所在平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度 的最大值为a,该卫星信号覆盖的地球表面的面积S=2πr(1一cosa)(单位：km),则S占地球 表面积的百分比约为 A.26% B.34% C.42% D.50% 5.已知正四棱台的上、下底面边长为2,4，侧棱长为2，则其体积为 A.56 B.282 c. D 28√2 3 6.某物理量的测量结果服从正态分布V(10,σ)，则下列结论中不正确的是 A.。越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大 B.该物理量一次测量结果大于10的概率是0.5 C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内概率与落在(10,10.3)内的概率相等 2021·全国新高考Ⅱ卷第1页（共8页） 7.设a=log2.b=log3.c=7,则 A.c<K<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<<c 8.设函数f(x)的定义域为R,且f(x十2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则 () A(-2)=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,x。离散程度的有 A.1,x2,…,xn的标准差 B.x1,x2,…,xn的中位数 C.x1,x2,…,xn的极差 D.x1,x2,…,xn的平均数 10.如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M,N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN⊥ OP的有 0 0 A B D 11.已知直线l:ax十by一r2=0,圆C:x2十y2=2,点A(a,b).下列命题中的真命题有 A.若A在C上，则1与C相切 B.若A在C内，则1与C相离 C.若A在C外，则1与C相离 D.若A在【上，则L与C相切 12.设正整数n=a。·2°十a1·2+…十a-1·2-1十a%·2,其中a,∈{0,1}.i=0,1,…,k,记0 (n)=a。十a1十…十a,则 A.(2n)=a(n) B.w(2n十3)=w(n)+1 C.u(8+5)=w(4n+3) D.w(2"-1)=n 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上 1品已知双值线C号- =1(a>0,b>0)的离心率为2，则C的两条渐近线方程分别为 14.写出一个具有性质①②③的函数f(x)= ①f(x1x2)=f(x1)f(x2):②当x∈(0，+∞)时，f(x)>0:③f(x)是奇函数. 15.已知向量a,b,c满足=a十b+c=0,a=1,b=c=2,则a·b+b·c+c·a= 2021·全国新高考Ⅱ卷第2页（共8页） 16.设函数f(x)=|e一1，x1<0,x2>0,曲线y=f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线与在点B ()处的切线互相垂直，且分别交y轴于点M,N,则的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分) 记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和.已知a3=S,d2a,=S. (I)求{a.}的通项公式； (Ⅱ)求使得Sn>a。的n的最小值. 2021·全国新高考Ⅱ卷第3页（共8页） 18.(12分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=a十1，c=a十2. (I)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积； (Ⅱ)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形？若存在，求a:若不存在，说明理由. 2021·全国新高考Ⅱ卷第4页（共8页） 19.(12分) 如图，在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,QC=3,QA=QD=√5. (I)证明：平面QAD⊥平面ABCD: (Ⅱ)求二面角BQD-A的余弦值： 2021·全国新高考Ⅱ卷第5页（共8页） 20.(12分) 已知椭圆C:号+号-1(0>b6>0)的右焦点为P,厄，0)，离心率为 (I)求C的方程： (Ⅱ)设M,N是C上两点，直线MN与曲线x2+y2=(x>0)相切.证明：M,N,F三点共线 的充要条件是|MN|=√3. 2021·全国新高考Ⅱ卷第6页（共8页） 21.(12分) 假设开始时有一个微生物个体（称为第0代），该个体繁殖的若干个个体，形成第1代，第1代 的每个个体繁殖的若干个个体，形成第2代，·.假设每个个体繁殖的个体数相互独立且分 布列相同，记第1代微生物的个体总数为X,X的分布列为P(X=i)=p,>0,i=0,1,2,3. (I)若p=0.4,p1=0.3,p=0.2,p3=0.1,求E(X): (Ⅱ)以p表示这种微生物最终消亡的概率.已知p是关于x的方程p3x3+p2x2十p:x十p,= x的最小正根.证明：当E(X)≤1时，p=1;当E(X)>1时，p<1: (Ⅲ)说明（Ⅱ）的结论的意义， 2021·全国新高考Ⅱ卷第7页（共8页） 22.(12分) 已知函数f(x)=(x一1)e一ax2十b. (I)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)从①②两组条件中选取一组作为已知条件，证明：f(x)恰有一个零点. ①2<a<号b>2a: e ②0<a<号，62a. 注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分， 2021·全国新高考Ⅱ卷第8页（共8页）