13.数学·2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)-【名校强基卷】2020-2024年5年高考数学真题汇编

设直线AB的方程为y=b(x一2),A(xA. 令-t(t1),则问题可转化为g(t)-ta-1“-ln yA).B(xB,yB). 0在(1,十oo)上恒成立, (yA- (xA-2). g'()-“-[(1-a)+a-r”], 则 解得xa-2k -③ 1yA-3xA, 令(t)-(1-a)z+a-r*. 同理可得x-2 #, ③ 42} 12 此时“文A+4}4+yB2-3 当a<时,'(ì)>1-2a>o. (yM=(xM-2). 则u(t)在(1,十oo)上单调递增, g'()=t*-1(ì)>t--l(1)-0. 而点M的坐标满足 1yM= 则g(t)在(1,+oo)上单调递增,g(t)>g(1)-0; 2+x 6k yA+yB 当>时,令(t)-0,得to-一(1-), 解得xM一 2 故M为AB的中点,即|MA 一|MBl. 当1<t。时,'()<0; 若选择①③作为条件证明②: 当to时,u'(t)0. 当直线AB的斜率不存在时,点M即为点F(2,0),此时 则u(t)在(1,t)上单调递减, M不在直线y一 g'(t)=t-(t)<t-(1)-0. 则g(t)在(1,to)上单调递减,g(t) g(1)-0,与g(t) 0 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y 矛盾. m(x-2)(m0).A(xA.ya).B(xB,yB). 综上,的取值范围为(-~]. (yA-m(xA-2). 则 解得xA-2n 1y-v3xA. #2、3n n-3 (III)先证当x>0时,>ln(1十x), 1 同理可得x-2m n十③ 3=、23 令(2)--1n(1十x),易知h(0)-0. /1十r 此时x-xA+x2} #_4y_6 n2-3 1 2 当x0时,h'(r)=一 1 1+x2(1+x) 1+x 1+3 由于点M同时在直线y- r2 1 解得h-n:因此PQ/AB. 2(1+x)1+r 1+r 若选择②③作为条件证明①: 设直线AB的方程为y-k(x-2),A(xA,yA),B(xB,y) 2(1+x)1十r (yA-(xA-2). 2 则 '解得xA-- 所以h(x)在(0,十)上为增函数, 1yA-③xA: ##_23 一3 于是当x>0时,h(x)>h(0)-0. 2v3 2 即当x→0时,>ln(1+x), 同理可得xn=- =- ## 1十r 设AB的中点为C(xc,yc). 则xc“A+xB2} 2#y6 62-3 得1→ìn(1+)-ln(+1)-ìnk, 2 由于|MA|一|MB|,故M在AB的垂直平分线上, &#{十b 1>ln2-1n1+ 即点M在直线y-yc=-- 1+1v2+2 Vn{十n ln3-ln2+..+ln(n+1)-lnn=lnu+1)-ln 1=ln(n+1. 2{} 6b 2022年普通高等学校招生全国统一考试 解得xM= 3=xc·M-3=3c 2-3 (北京卷) 即点M恰为AB中点, 故点M在直线AB上. 1.D 由补集的定义得CuA-(-3,-2]U(1,3),故选D 22.解:(I)当a-1时,f(x)=xe一e. {2.B 由题意得复数 3-4i_(3-41)i-4-3i,所以 ×l i r(r)=e十xe-e-re, 令f(x)-0,得1-0. -(-4)*+(-3)?-5,故选B. 当x0时,f(x)>0; 3.A 由题意知圆心(a,0)在直线2x+y-1-0上,得2a+0 当x~0时,f'(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为(0,十o),单调递减区间为 (-,0). 过4.C 因为/(-)=1 2 (II)xe{-e<-1在x(0,十oo)上恒成立, 1+21+2所以f(c)+f(-x)= 当a1且x>l时,xe*-e(x-1)e(x-1) 12 (x十1)>0,故a1. 1+2^+121,故选C. 数学答案一49 5.C f(x)=cos{}x-sin{}x=cos 2r,令2kr<2x<2k+$ 6.-sinθ),所以PA·PB--cos 6(4-cos θ)-sin6(3- ##( z),得<xi<+(kz),当-0时,0<< sin)-1-(3sin+4cosθ)-1-5sin(0+),其中cos 5sin(0十)<6,即PA·PB的取值范围是[-4,6],故 <2k+2π(kez),得+<x<kπ十(kz),当k= 选D. 时,<<π,当k=-1时<<0,所以数f()$$ #在[,[一,上单调增,故选C. 6.C 因为数列(a.)是公差不为0的无穷等差数列,所以a -a+(n-1)d-dn十(aì-d),当a)为递增数列时,公 差d0,由其通项的几何意义知点(n,a。)在斜率为正数的 直线上且nN',则一定存在正整数N。,当nN。时,a。 10. 11.(-oo,0)U(0,1]由题得 >0.所以充分性成立;因为数列a是公差不为0的无穷 解得x<0,0<x 等差数列,设数列{a.的公差为d,则d0,所以a.-aì十 1-10. 1.所以函数f(x)的定义域为(-,0)(0.1]. (n-1)d-dn十(a一d),由其通项的几何意义知点(n,a。) 在斜率不为0的直线上且”-N*,当”N。时.a 0,则 -n 此直线的斜率必为正数,即d0,所以数列a为递增数 列,必要性成立,故选C. 7.D 当T-220,P-1026时,lgP-lg1026 lg1000-3 由图象知二氧化碳处于固态,故选项A错误;当T一270, ,13.1-2 由题意知/()-0.则Asin-3cos= P-128时,3>lgP-lg128 lg100-2,由图象知二氧化 0.解得A-1,所以f(x)=sinx-v3cosx-2sin(x- 碳处于液态,故选项B错误;当T一300,P一9987时, lgP-lg9987<lg10000-4,且此时lgP远大于3,趋近 3),所以()=2sin(-)--2sin=-v2. 于4,由图象知二氧化碳处于固态,故选项C错误;当T一 360.P-729时,3>lgP-lg729 2,由图象知二氧化碳处 14.0(答案不唯一)1 当a<0时,函数f(x)=-ax+1在 于超临界状态,故选项D正确.综上所述,故选D. (一,a)上单调递增,函数f(x)无最小值,不符合题意; 8.B 令x-1,得ao+aì+a2+a十a=1①,令x--1, 当a-0时,函数/(x)一-ax十1-1在(-o,a)上恒为 得ao-a+a-a+a-8l ②,由①+②得2(a。+a+ 1.函数f(x)一(x-2)②在[a,十co)上存在最小值f(2) a)-82,即ao十a+a-41,故选B. 0.符合题意;当0<a<2时,函数f(x)一一ax十1在 (-oo,a)上单调递减,所以f(x)f(a)一一a{2十1,函数 ((x)-(x-2)②在[a,十o)上取得最小值/(2)-0,要使 -33一5,即PD一PQ,所以点Q在△ABC内,设点O为 得函数有最小值,则需满足一a②十1二0,解得一1<a<1. 底面正△ABC的中心,连接PQ,PO,OQ.因为AD为正 即0a<1:当a>2时,函数f(x)一-ax十1在(一oo,a) △ABC的中线,所以AD-BC-3、3.,由中心的性质知 上单调递减,所以f(x)>f(a)=一a2十1,函数f(x)= (x-2)在[a,十oo)上取得最小值f(a)-(a-2)?,要使 得函数有最小值,则需满足一a②十1二(a-2)②,即2a^{}- PA-A0-6-(2v③){}-2 6,所以0Q 4a+3<0,△-(-4)-4X2×3--8<0,所以此不等式 无解,不符合题意,综上所述,实数a的取值范围是0a PQ-PP052-(2v)^{}-1,即0Q<1,所以集合T 二1,a的一个取值可以为0(答案不唯一),a的最大值 表示的区域是以O为圆心,1为半径的圆,其面积为π·1 为1. 一,故选B. 15.①③④ 对于①,由数列a。)的各项均为正数,a。·S.一 9(n-1,2,..),得a1·S-9,即a}-9,解得a-3.由 2 2 $.-9(n-1,2..),所以.-,则当n2时,得S。- 。 10.D 以点C为坐标原点,CB,CA所在直线分别为x,y轴 一! -1 a3 a2a3 建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,3),B(4,0).由 PC-1,得点P的运动轨迹为圆-*十v2-I,所以设点P 2 -a-9-0 3v5-3“3 (cos 0.sin),则PA-(-cos8,3-sino).PB-(4-cos 数学答案-50 (*).若a}为等比数列,则a{}一aìa3,则aa= 所以AB 平面BCC;B. 所以ABBB. 9-35 如图建立空间直角坐标系Bxyz. ,不满足(*)式,所以a1,a,a不成等比数列,所 则B(0,0,0),A(0,2,0),M(0.1,2),N(1,1,0). 以数列(a。)不为等比数列,所以②错误;对于③,由②知 所以BM=(0,1,2),BN=(1,1,0),AB=(0.-2,0). 设平面BMN的法向量为m一(x,y,). an dn-1 则) __ a-1 lm·BN-o.“(x+y-0. 为单调递减数列,所以③正确;对于④,假设数列a中 令y--2,则x-2,:-1. 于是m-(2.-2.1). 设直线AB与平面BMN所成角为。. 0 <90000,故当n90000时假设不成立,所以④正确,综 |mllAB 上所述,正确结论序号为①③④. 选条件②:BM-MN. 16.解;(I)由题设,2sinCcosC-3sinC. 又 MN-PC-CC+CP-,所以BM- 因为0<Cn,所以sinC0. 因为BB-2,BM-1. 所以BM^{?}-BBB{}+BM^{} 所以。C一 所以A:B |BB,即AB |BB. 以下同选条件①. 18.解:(I)设事件A为“甲在校运动会上获得优秀奖”. (II)由△ABC的面积为63,得absinC-6v3. 根据题中数据,甲在10次比赛中,有4次成绩在9.50m 以上. 所以a-43. 由余弦定理c2-a2+b-2abcosC,得c-2③ (II)设事件B为“乙在校运动会上获得优秀奖”,事件C 为“丙在校运动会上获得优秀奖”. 所以△ABC的周长为a十b十c-6十6/3. 17.解:(I)证明:取BC 的中点P,连接PM,PC 因为M,P分别为A:B,BC.的中点, # 所以PM/A.C,且PM-A.C. 根据题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且 因为四边形ACC;A:为平行四边形,且N为AC的中点, P(X-0)-P(ABC)-P(A)P(B)P(C); 所以CN/AC,且CN-AC. P(X-1)-P(ABC+ABC+ABC) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A 所以PM//CN:具PM-CN P(B)P(C): 所以四边形PMNC为平行四边形. P(X-3)-P(ABC)=P(A)P(B)P(C): 所以MN/PC. P$($-2)-1-P($X-0)-P(X-1)-P(X-3). 又.MNC乎面BCCB.PCC乎面BCC.B 所以MN/平面BCCB. 所以,P(X-0)估计为0 12 7 P(X-2)估计为20 所以E×为01 --+3-#. (III)在校运动会上,丙获得冠军的概率估计值最大. (II)因为侧面BCCB:,为正方形, (-1. 所以BC|BB。 19.解:(I)由题设,2c-23.解得a-2. 又因为平面BCC.B 1平面ABBA.且平面BCC B: -62十c2。 平面ABBA-BB. 所以BC|乎面ABBA: 所以BC1AB (I)直线BC的方程为y-1-k(x十2) 选条件①:AB |MN. y-(x+2)+1. 由 由(I)得MN//PC,所以AB| PC *十4y2-4 数学答案-51 得(4k^{}+1)+(16^{}+8)r+16^{②}+1-0. (II)由题设,”()一20,所以>6 由△-(16^2+8)^{2-4×$(4^{}+1)×(16k^{}+16^k )= 假设存在Q。:al,a?,...,a6为20一连续可表数列,且aì十 -64k0,得k0. a2十...十a<20. 设B(x1.y).C(x2,y). ①如果Q。的各项均为非负整数,则a/十ai计1十...十ait) 16^{+8 16 ^{2+16k 则x十r。-一 .r1x2 <aì+a+..+a20,这与Q。是20-连续可表数列矛 4h^{2十1 4^{}10 盾,所以Q。有负整数项. 直线AB的方程为(y-1)x-xiy+x1=0. 又因为n(6)一21,所以Q。只有一项为负整数,其余各项 令y-0,得点M的横坐标为x-- . (r+2): 均为正整数,且互不相等, -1 r2 ②当a<0时,形如a十a-1十..十ai;且取值大于0的 同理可得点N的横坐标为x=一 (x2十2). 表达式列表如下: 由题设xM-xl-2. 2+ “1+2+3 -2. “ 所以 (x1+2)(x2+2) +an+aat+++ +a +a+a+a a1+a+.+ 所以|x1-x2l=|(x1+2)(x+2). ++a5&+a 5 即(1+x)-4x1=|x1x+2(x1+x2)+4]l. -2+】++1++63+++a4++56 11 ##} 表中表达式的值互不相等,且每一列中的值从上到下增 可得。 #416^+16 4h^{十1 大,每一行中的值从左到右减小,最大值是a2十a十...+ a,且第二大的值是maxa2十a+a4十a,aì+a2十..+ 4^{十1 4^2十1 a. 由题设,表中所有表达式的值之和为1十2十...+20 -210. 解得--4. 所以5a:+10(ag+a)+12(a+a)+6a-210 20.解:(I)因为f(x)=eln(1十x), 故aì是偶数,且a<一2. 由题设,a2+a3+..十as-20. 所以a+a+..+a20-2-18. 所以f(0)-0.f(0)-1. 所以a2+a+a+a5-19,所以a6-1. ()由题,g()+n(1# 所以曲线y一f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=. 因为a>1,所以a2+a十a<18, 从而a+a+..十as-18. 综上得a=-2,a+a+..+a-17. 由题设,maxla2+aa+at.aa+a:+as+a}-16. 又5a:+10(a+a)+12(a+a)+6a-210. 所以a+a-12,a2+a5-7, 因为x0,所以g(x)0. 当a+a+a-16时,a-4,a5-3. 所以函数g(x)在[0,十o)上单调递增; 此时a+a+a+a6-16. (I)不妨假设10取定, 这与表中表达式的值互不相等矛盾。 令h(x)=f(x十t)-f(x)-f(t),xE[o,+oo). 当a3+a+a5+a6-16时,a5-3,a2-4. 则h(x)=/(r十t)-f(x),xE[o,+oo). 此时a2+a十a4-16,这与表中表达式的值互不相等 由(II)知,f(x)在[0,十o)上单调递增, 矛盾。 所以h'(x)=/(x十t)一f(r)>0. 所以,当a 0时,Q。不是20一连续可表数列 从而h(x)在[0,十oo)上单调递增. 因为h(0)一-f(0)-0. ③当a~0时,同理可证Q。不是20一连续可表数列. ④当存在/(2,3,4,5),使得a0时,由题设,a-+a 所以当 0时,h(s)>h(0)一0. 即f(s十t)一f(s)一f(t)>0. >1,a+a1>1. 综上,对任意的s,t(0,十oo),有f(s十t)>f(s)十f(1). 所以a+a1+.+a,<a+a+.+a<20. 21.解:(I)因为a-1,a-2,aì+a-3,aa-4,a+a-5. 所以Q。不是20一连续可表数列. 所以Q:2,1,4为5一连续可表数列. 综上可知,不存在6项的满足题设的20一连续可表数列 又因为a:十a十a3-7-6. 所以7. 所以Q:2,1,4不是6-连续可表数列. 2022年普通高等学校招生全国统一考试 (II)对于Q:a.a,...a, (天津卷) 所有形如a+a+..+a(i-1,2,.,;j-0,1,.... (h1)个. -i)的可能取值最多有n()一k十(一1)十...十1= 1.A 由题知,集合A-(0.1,2,CB-(-2,0,1),所以A O(CB)-(0,1),故选A. 由题设,n(k)一8,故k二4. 2.A 若x为整数,则2x十1为整数,故充分性成立;若2x十 对于Q:1,4,1,2,因为a=1,a-2,a+a-3,a-4, 1为整数,记2x十1-y,则x-1,若y是偶数,则x不 a+a2-5,aì+a2+a-6,a2+a+a-7,aì++ a+a.-8,所以Q:1,4,1,2为8-连续可表数列. 是整数,故必要性不成立,综上,“x为整数”是“2x+1为整 综上,的最小值为4. 数”的充分不必要条件,故选A 数学答案-52绝密★启用前 2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 第一部分（选择题共40分） 尔 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 郑 求的一项 1.已知全集U={x一3<x<3},集合A={x|一2<x≤1}，则C,A= A.(-2,1] B.(-3,-2)U[1,3) C.[-2,1) D.(-3,-2]U(1,3) 2.若复数x满足i·=3一4i,则= 非 A.1 B.5 C.7 D.25 3.若直线2x+y-1=0是圆(x一a)2十y2=1的一条对称轴，则a= B-司 C.1 D.-1 4.已知函数)=1十2则对任意实数，有 A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.-)-fx)=号 5.已知函数f(x)=cos2x一sin2x,则 蜜 A.f(x)在(-受，一若)上单调递减 B.f(x)在(-，)上单调递增 C.f(x)在(0，)上单调递减 D.f)在（不，段）上单调递增 6.设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N。,当n>N。时， am>0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2022·北京卷第1页（共8页） 7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现 绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和gP的关系，其中 T表示温度，单位是K;P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是 固态 超临界状态 液态 气态 2002503003504007 A.当T=220,P=1026时，二氧化碳处于液态 B.当T=270,P=128时，二氧化碳处于气态 C.当T=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态 D.当T=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态 8.若(2x-1)'=a1x十a3x十a2.x2十a1x十a,则a。十a2十a= () A.40 B.41 C.-40 D.-41 9.已知正三棱锥PABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合T= {Q∈SPQ≤5}，则T表示的区域的面积为 A B.π C.2π D.3x 10.在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1,则PA· PB的取值范围是 A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分， 1.函数/八)=十V一的定义城是 12.已知双曲线y+=1的渐近线方程为y= 3x,则m= 13.若函数f(x)=Asin一3cosx的一个零点为5，则A= -ax+1,x<a, 14.设函数f(x)= 若f(x)存在最小值，则a的一个取值为 :a的最大值 1(x-2)2,x≥a. 为 2022·北京卷第2页（共8页） 15.已知数列{a}的各项均为正数，其前n项和S。满足a,·S,=9(n=1,2,…).给出下列四个 结论： ①a,的第2项小于3：②a,为等比数列：⑧a,}为递减数列：④a,中存在小于100的项。 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.(本小题13分)在△ABC中，sin2C=√3sinC. (I)求∠C: (Ⅱ)若b=6,且△ABC的面积为63，求△ABC的周长. 2022·北京卷第3页（共8页） 17.(本小题14分)如图，在三棱柱ABCA1BC中，侧面BCC,B,为正方形，平面BCC1B⊥平面 ABB1A1,AB=BC=2,M,N分别为A1B1,AC的中点. (I)求证：MN∥平面BCC,B: B M (Ⅱ)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与 G 平面BMN所成角的正弦值. 条件①：AB⊥MN: 条件②：BM=MN. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 2022·北京卷第4页（共8页） 18.(本小题13分)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上（含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、 丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25： 乙：9.78,9.56.9.51,9.36,9.32,9.23： 丙：9.85,9.65,9.20,9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立， (I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率： (Ⅱ)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX; (Ⅲ)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 2022·北京卷第5页（共8页） 18.(本小题15分)已知箱圆E号+芳=1(a>b>0)的一个顶点为A0.1),指距为2， (I)求椭圆E的方程： (Ⅱ)过点P(一2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x 轴交于点M,N.当MN|=2时，求k的值. 2022·北京卷第6页（共8页） 20.(本小题15分)已知函数f(x)=e1n(1+x). (I)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (Ⅱ)设g(:x)=f(x),讨论函数g(x)在[0，十oo)上的单调性； (Ⅲ)证明：对任意的s,t∈(0，十o∞)，有f(s十t)>f(s)+f(t). 2022·北京卷第7页（共8页） 21.（本小题15分)已知Q:a1,a2,,a为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的n∈{1,2，…， m},在Q中存在a;,a+1,a+2,…,a+(j≥0)，使得a十a+1十a+2十…十a+=n,则称Q为 m一连续可表数列. (I)判断Q:2,1,4是否为5一连续可表数列？是否为6一连续可表数列？说明理由； (Ⅱ)若Q:a1,a2,…,a为8一连续可表数列，求证：k的最小值为4： (Ⅲ)若Q:a1,a2,…,a为20一连续可表数列，且a1十a2十…十a4<20,求证：k≥7. 2022·北京卷第8页（共8页）