9.数学·2023年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)-【名校强基卷】2020-2024年5年高考数学真题汇编

绝密★启用前 2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 尔 求的一项. 1.已知集合M={xx+2≥0}，N={xx-1<0},则M∩N= 郑 A.{x|-2≤x<1} B.{x-2<x≤1》 C.{xx≥-2} D.{.xlx<1} 2.在复平面内，复数对应的点的坐标是（一1，√3），则x的共轭复数x= A.1+√3 B.1-3 非 C.-1+3i D.-1-3i 3.已知向量a,b满足a十b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a2-1b12= A.-2 B.-1 C.0 D.1 4.下列函数中，在区间(0，十∞)上单调递增的是 A.f(r)=-In t B)= C.f(x)=- D.f()=3 x 5.(2x- 的展开式中x的系数为 A.-80 B.-40 C.40 D.80 6.已知抛物线C:y=8.x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5，则|MF1= A.7 B.6 C.5 D.4 7.在△ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),则∠C A.君 B晋 c D.a 2023·北京卷第1页（共8页） 8.若xy≠0，则“x十y=0”是“义+=一2”的 x y A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展 现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等 的等腰三角形.若AB=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平 面与平面ABCD的夹角的正切值均为 5 ,则该五面体的所有棱长之和为 A.102m B.112m C.117m D.125m 10.已知数列a,}清足a+1=(a.-6)3+6(n=1,2.3,….则 A.当a1=3时，{a.}为递减数列，且存在常数M≤0，使得a.>M恒成立 B.当a1=5时，{a.}为递增数列，且存在常数M≤6，使得an<M恒成立 C.当a,=7时，{an}为递减数列，且存在常数M>6,使得a>M恒成立 D.当a1=9时，{an}为递增数列，且存在常数M>0,使得a,<M恒成立 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分 1山.已知函数f()=+logx,则f（侵)= 12.已知双曲线C的焦点为（一2,0）和(2,0)，离心率为√2，则C的方程为 l3.已知命题p:若a,3为第一象限角，且a>B,则tana>tan3.能说明p为假命题的一组a,3的 值为α= ,B= 14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质 量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{α.〉，该数列的前 3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1,a5=12,a。=192,则a2= ;数列{an}所 有项的和为 x十2，x<-a, 15.设a>0,函数f(x)=√a一r,一a≤x≤a,给出下列四个结论： -x-1,x>a ①f(x)在区间(a一1，十∞)上单调递减： ②当a≥1时，f(x)存在最大值： ③设M(x1,f(x1))(x1≤a),V(x2,f(x2),(x2>a),则|MN|>1: ④设P(x3,f(x3)(x3<-a),Q(x1,f(x4))(x≥一a).若|PQ存在最小值，则a的取值范围 是0，： 其中所有正确结论的序号是 2023·北京卷第2页（共8页） 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(14分)如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=√3. (1)求证：BC⊥平面PAB: (2)求二面角APCB的大小. 2023·北京卷第3页（共8页） 17.(13分)设函数f(.x)=-sin rcos十cos rsin>0,pl<） 1)若0)=-求的值。 (2)已知八x)在区间[-子，]上单调递增，()=1，再从条件①、条件@、条件③这三个条 件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求w,9的值 条件①：f(）=2: 条件②：f(-5）=-1: 条件⊙：(x)在区间[一受，-]上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按 第一个解答计分， 2023·北京卷第4页（共8页） 18.(13分)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据， 如下表所示.在描述价格变化时，用“十”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高：用“一”表 示“下跌”，即当天价格比前一天价格低：用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同 时段 价格变化 第1天到第20天 0 0 0 第21天到第40天0+ +0 0 X 用频率估计概率。 (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农产品 价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率： (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格 “上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.（结论不要求证明） 2023·北京卷第5页（共8页） 9(15分)已知椭圆E:+1(a>>0)的离心率为A、C分别是E的上、下顶点B, 别是E的左、右顶点，|AC=4. (1)求E的方程： (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=一2 交于点N.求证：MN∥CD. 2023·北京卷第6页（共8页） 20.(15分)设函数f(x)=x一xe+,曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=一x+1. (1)求a,b的值： (2)设函数g(x)=f(x),求g(x)的单调区间： (3)求f(x)的极值点个数. 2023·北京卷第7页（共8页） 21.(15分)已知数列{an},{bn}的项数均为m(m>2),且an,b∈{1,2，…，m},{an},{bn}的前n项 和分别为An,B.,并规定A。=B。=0.对于k∈{0,1,2，…，}，定义r=mx{iB,≤A,i∈ {0,1,2,…,m},其中，maxM表示数集M中最大的数 (1)若a1=2,a2=1,a=3,b=1,b2=3,b=3,求r6,n1,r2r3的值： (2)若a≥b,且2r,≤r+1十r-1j=1,2,…,m-1,求r: (3)证明：存在p,q,s,t∈{0,1,2，…，m},满足p>q,s>t,使得A。十B,=A,十B. 2023·北京卷第8页（共8页）.F(-1.0.1),AF=(-1,0.0). 所以g(x)在(0,1)上是增岛数， 设平面DAB的法向量为n=(,y1,1), 因为g(0)=0,所以当0<x<1时，g(x)>0, DA·n=-x1十1=0， 即f(x)>0. 则 所以f(x)在(0,1)上是增函数 DB·n=-x1+y=0. 又因为f(0)=0, 令x1=1,则n=(1,1,1). 所以当0<x<1时，f(x)>0.即sinx-x+x2>0, 设平面ABF的法向量为m=(x2,y2,2), 所以x-x2<sinx, AF·m=-x2=0, 令h(r)=sinx-x,0<x<1, 则 AB·m=y2-2=0, 则h'(x)=cosx-1<0, 令y2=1,则m=(0,1,1), 所以h(x)在(0,1)上是减函数. 设二面角DABF的平面角为0， 又因为h(0)=0,所以当0<x<1时，h(x)<0, 由题图易知二面角DABF为钝角（易错：注意二面角的 即sinr一r<0,所以sinx<x. 大小)， 踪上，当0<x<1时，x-x2<sinx<x 2 (Ⅱ)f(x)=cos ar-ln(1-x2),x∈(-1,1)， 则cos0= m·n 6 m·n √3·2 3· 测f)一asin ar易得f()为奇函 ·sin0= 3 因为x=0是f(x)的极大值点，所以存在x0∈(0,1)，使 得f(x)在(0，xo)上是减函数， 、∴三面角DABF的正弦值为3. 即asin ax+20. 21.解：(1)由题意可知c=2V5,￡=5，则4=2， 所以B=16,所以C的方程为片方=1， 当0广时-esin+号(-。2+2 所以有a2>2, (Ⅱ)证明：设直线MN的方程为x=my一4，M(x1,y）, N(x22),易知A1(-2,0),A2(2,0) 当aE2,+o)时，令xe(0,a） x=my一4， 联立 整理得(4m2-1)y2-32my十48=0，其 则有f)=-asin+<-aar-2r)+ 中4m2-1≠0，且△>0，y1+y2= 32m 4m2-1'132 2-a2+a2r+a2z1-心<1.2a+2a 48 1-x 1-x2 4m2-11 (提示：当ae,+ox∈(0，）时，ar1-r)< 由题可得直线M,的方程：y=汁2中2，直线NA ara2r2<ar). 的方程：y一”2一2》（提示：写出两直我的方程联立 所以只要x<“2即可满足题意又周为←，所 2a3 求点P) 以可取“2（关键：通过放缩简化，估算这取使得不 联立直线MA和直线NA2的方程得 x+2y2(x1+2) 等式成立的区间端点)， x-2y1(x2-2) =2(my-2) 别当E0o)时：有了)=-asin a+<0成 y1(my2-6) 立，由f(x)是奇函数知，当x∈(-x0,0)时，f(x)>0, _my12-2(y1+y2)+2y1 所以x=0是f(x)的极大值点. my1y2一6y1 由a的正负对称性得a的取值范圆是（一o∞， 48 m212 n+2 32 n· 2)U(W2,+o∞). 48 2023年普通高等学校招生全国统一考试 m216y (北京卷) 一16m+2y =4mn2-1 1 1.A由题意，M=(xlx+2>0}={x|x≥一2}，N={xx 48m n2-1-6y 3· 1<0)=(xx<1}, 根据交集的运算可知，M∩N={x-2≤x<1, 解得x=一1， 故选：A. 所以，点P在定直线x=一1上 22.解：(I)证明：令f(x)=sinx-x十x2,0<x<1,则f(x) 2.D在复平面对应的点是（一1,5），根据复数的几何意 =cos x-1+2r, 义=一1+3i, 令g(.x)=cosx-1十2x,0<x<1, 由共軛复数的定义可知，=一1一√③1 则g'(x)=-sinx+2>0, 故选：D. 数学答案-31 3.B向量a.b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1), 所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2.xy=0,即(x+y)2=0, 所以|a2-1b2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3X1 所以x十y=0. -1. 所以必要性成立 故选：B 所以“x十y=0”是“亡十义=一2”的充要条件. 4.C对于A,因为y=lnx在(0，十∞)上单调递增，y=一x y r 在(0，十∞)上单调逼减， 解法三： 所以f(x)=一lnx在(0，十∞)上单调递减，故A错误： 充分性：因为xy≠0，且x十y=0, 对于B,周为y=2在(0，十6∞)上单调递增，y=1在(0. 所以上+义=2+y_2++2xy-2y y 十∞)上单调递减， (x+y)2-2xy=-2xy=-2, 所以)-在0，+四)上单调送或，故B错说 所以充分性成主： 对于C,因为y=在(0，十∞)上单调适减，y=一x在(0， 必要性：国为0，且号十之-2， 十∞)上单调递诚， 所以甚+卫=2+y-2+y+2xy-2y y 所以f(x)=一上在(0，十0)上单调递增，故C正确： (x+y)2-2xy_(x+y)2 -2=-2 xy 对于D,周为f(号）=3=3=5,0)=3-= 所以x土y)2 0,所以(x+y)2=0,所以x十y=0, 3°=1，f(2)=32-川=3， xy 显然f.x)=3一I在(0，十∞)上不单调，D错误. 所以必要性成立。 故选：C 所以“x十y=0”是“工十义=一2”的充要条件. y x 5.D(2x-）' 的展开式的通项为T,+1=C(2x)5- 故选：C 9.C如图，过E做EO⊥平面ABCD,垂足为O,过E分别做 (）广=(-1r2c5-” EG⊥BC,EMLAB,垂足分别为G,M,连接OG,OM, 令5-2r=1得r=2 所以(2x一）的展开或中上的系数为(-12-2C =80 故选：D. 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面 6.D因为抛物线C:y2=8.x的焦点F(2,0),准线方程为x 夹角分别为∠EMO和∠EGO, =-2,点M在C上， 所以M到准线x=一2的距离为MF引， 所以tan∠EMO-tan∠EGO=厘 51 又M到直线x=-3的距离为5， 因为EO⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以EO⊥BC, 所以|MF十1=5，故MF=4. 因为EG⊥BC,EO.EGC平而EOG,EONEG-E, 故选：D. 所以BC⊥平面EOG,因为OGC平面EOG,所以BCLOG, 7.B因为(a十c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB), 同理：OM⊥BM,又BM⊥BG,故四边形OMBG是矩形， 所以由正弦定理得(a十c)(a一c)=b(a一b),即a2-c2=ab 所以由BC=10得OM=5,所以EO=14,所以OG=5, -2, 则a2+-2=b,故cosC-02+2-2-的=1」 所以在直角三角形EOG中，EG=√EO+OG= 2ab 2ab 2' √（√14）2+52=√39 又0<C<,所以C=罗 在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=√EG+BG= 故选：B W(√39)2+52=8， 8.C解法一： 又因为EF=AB-5-5=25-5-5=15, 周为xy≠0，且乙+义=一2， 所有棱长之和为2×25+2×10+15十4×8=117m. y x 故选：C 所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x十y)2=0, 10,B法1：为e1-o,-60)3+6,故a1-6-a 1 所以x十y=0. 所以“x十y=0”是“工十y=一2”的充要条件. -6)3, y 对于A,若a1=3,可用数学归钠法证明：am一6≤一3即am 解法二： ≤3， 充分性：因为xy≠0，且x十y=0,所以x=一y, 证明：当n=1时，a1一6=一3≤-3.此时不等关系am≤3 所以x+义=二义+义=一1-1=一2 成立： ya y 一y 设当n=k时，a-6≤-3成立， 所以充分性成立： 则a+1-6=a-63∈(-54，-)故a41-6≤ 必要性：因为xy≠0，且工+义=一2， y x 一3成立， 数学答案-32 由数学归纳法可得a≤3成立. 则M-6≤（什）”板成立，故m≤1g(M-6),m的个数 而a+1-a,=a,-6)2-(a,-6) 有限，矛盾，故C错误， (a-6 [片a,-6-小 对于D,当a1=9时，可用数学归纳法证明：am一6≥3即 am≥9， 子a。-62-1>号-1=号>0,-6<0,故a1- 证明：当n=1时，41一6=3≥3，此时不等关系成立： 设当n=k时，a≥9成立， <0,故am+1<am, 故{am}为减数列，注意a贴-1一6≤一3<0 则a+1-6=子at-6)8>>3,故a+1≥9成立 故au1-6=a,-6=a,-6xa,-6)<号 由效学归纳法可得am≥9成立. (an-6),结合am+1-6<0, 而a1-a,=a-6[a,-6-小>0，故1> 所以6-a1≥号（6-a,6-1≥3（号），故 am,故{an}为增效列， 又a+1-6=(a,-6)xa,-62>号a-6),特合a -6>0可得： 若存在常数M≤0，使得a,>M恒成立，则6-3()广 +-6>(a-6()=3（号）》 ,所以dm+1≥6 >M, 故5M(得）”，t<1+lg4,技a>Ma成 +() 若存在常数M>0,使得am<M恒成立，则M>6+ 立仅对部分n成立， 故A不成立， 3(保) 对于B,若a1=5,可用数学归纳法证明：1≤an一6<0 故M>6+3(）,藏n<1og(M气)+1，这与n的 即5≤an<6, 证明：当n=1时，一1≤a1一6=一1≤0，此时不等关系5 个数有限矛盾，故D错误。 ≤am<6成立： 故选：B 设当n=k时，5≤a4<6成立， 法2：周为a+1-a,=}(a,-63+6-a.=a2-号a 1 则a1-6=au-6e(-0）,故-1a4+1-6 十26am-48, <0成立即 令)=号2+26x-48,则f)=是2-9 由数学归纳法可得5≤a+1<6成立， 十26. 而a+1-a.=(a,-603-(a,-6) 令f)>0,得0<x<6-2y或>6+2 3 3 a,-6[7a,-62-1小 令f<0,得6-25<<6+2， }（a,-62-1<0a。-6<0,故a+1-an>0,故a1> 3 am,故{am}为增数列， 所以)在（四6-2）和(6+29，+上单调 若M=6,则an<6恒成立，故B正确. 对于C,当a1=7时，可用数学归纳法证明：0<am一6≤1 递塘，在(6-2,6+2）上单调诞该， 即6<an≤7， 证明：当n=1时，0<a1一6≤1，此时不等关系成立： 令)=0，期2-号2+2-48=0脚- 设当n=k时，6<a≤7成立， (x-6)(x-8)=0,解得x=4或x=6或x=8, 则a1-6=a-6)∈(，]0<a1-6<1 注意到46-255,7<6+2y5+<8, 3 成立即6<a+1≤7 所以结合f(.x)的单调性可知在（一∞，4）和(6,8)上f(x) 由数学归鈉法可得6<m≤7成立. <0,在(4,6)和(8，十o)上f(x)>0, 而a1-a,=a,-0[}a,-62-]<0,a1< 对于A因为a+1=a。-6)+6,则a1-6=子a am,故(am}为减数列， -6)3, 又a+1-6=(a-6)X(a,-6)2≤(a-6),结合 当n=1时a1=3ae-6=a1-6)3<-3,则a2<3, a1-6>0可得：a1-6<(a1-6)(),所以a1≤ 假设当n=k时，a<3, 当m=+1时a+1-6=a-6<3-6<-3 6+(日)广， 则a+1<3, 若a+1<6+(),若存在常数M>6,使得a,>M恒 综上：am≤3，即an∈（-oo,4), 因为在(-oo,4)上f(.x)<0,所以a+1<an,则{am}为递 成立， 减数列， 数学答案-33 周为a+1-a+1=(a,-63+6-a+1=子a2 2 假设当n=k时，ak= () a+26am-47, 令)=-号2+26-47≤3，则W)= 3 当n=十1时，所以a+1=4(a-6)3+6= 4 x2-9x+26, [()"+6-+6-(传) 因为h'(x)开口向上，对称轴为x=一 -9 =6 综上：a,=( 73”-1 +6(n≥2). 所以h'(x)在（一∞，3]上单调递减，故h'(x)≥h'(3)= 3 7(3-1) 易知3-1>0，则0<（行】 <1 ×32-9×3+26>0, 故a,=(仔) (a -1) 所以h(x)在（一o,3]上单调递增，故h(x)≤h(3) +6∈(6,7)(n≥2)， 所以am∈(6.7]， 3-号×32+26×3-47<0， 因为在(6,8)上f(x)<0,所以am+1<am,则{am}为递减数 故aw+1-am十1<0，即an+1<am-1, 列， 假设存在常数M≤0，使得am>M恒成立， 假设存在常数M>6,使得aw>M恒成立， 取m=-[M0+4,其中M-1<[M0,且[M0∈Z, 记m0=log[21log+(M-6)+1],取m=[mo]+1,其中 因为am+1<am-1,所以a2<a1一1，a3<a2-1,…, m0-1<[m]≤m0,m0∈N*, a-[M0+4<a-[M+3-1, 则3m>36=210g4(M-6)+1, 上式相加得，a-[M们+4<a1-(-[M]+3)≤3+M 3=M, 故2(3-1)>16gM-6.所以() 4(3”-1) <M-6 则am=a[M+4<M,与an>M恒成立矛盾，故A错误； 对于B,因为a1=5, *(仔)知 +6<M, 当H=1时，a1=5<6a=子a1-63+6=×(5-6) 4 所以am<M,故am>M不恒成立，故C错误： +6<6. 对于D,因为a1=9, 假设当n=k时，a<6, 当n=1时g-6=a1-609=头>8，则ag>9. 当n=k十1时，因为a<6,所以a一6<0，则(a4一6)3<0， 假设当n=k时，a≥3， 所以a+1=a,-6)2+6<6. 当m=+1时a+1一6=子a-6>子9-6)>3，则 又当n=1时-5=a1-6)3+1=}×6-6)3+1 a+t>9, >0,即a2>5, 综上：am≥9， 假设当n=k时，a≥5， 因为在(8，十o∞)上f(x)>0,所以am+1>am,所以{an}为 当n=k十1时，因为a≥5，所以ak-6≥一1，则(a4一6)3 递增数列， ≥1. 周为a+1-a,-1=(a,-6)3+6-a,-1=a- 1 9 所以a41-a,-6+6≥5 a号+26am-49, 综上：5≤am<6, 因为在(4,6)上f(x)>0,所以am+1>a,所以(am}为递增 令g)=-号r2+26r-49(x≥90.则g)=是 数列， x2-9.x+26, 此时，取M=6,满足题意，故B正确： 因为g(x)开口向上，对称轴为x=一 一9=6， 对于C周为ar1=(a,-6)2+6,则a1-6=(a -6)3, 所以g)在[9，十四)上单润适将，故女)≥g《0)=号 注意到当a1=7时，a2=(7-6)3+6= 4 +6,a= ×92-9X9+26>0, (得+6-6)°+6=()）'+6 所以8)≥g9)=×9-号×92+26×9-49>0. a,=[()》广+6-6]+6=()“+6 故an+1-an-1>0,即am+1>am十1， 假设存在常数M>0,使得am<M恒成立， 取m=[M0+1,其中M-1<[M0≤M,且[M0∈Z, 因为aa+1>am十1，所以a2>a1+1,aa>a2十1，…， 当n=2与n=3时，a=+6与as=()广十6满足a a[M0+1>a[M十1， 上式相加得，aMn+1>a1+[M]>9+M-1>M, =() 则am=a[M+1>M,与am<M恒成立矛盾，故D错误. 故选：B. 数学答案-34 1.1函数/=+g,所以f(侵）=4+loe克=1点D0段题志e>0: 当x<一a时，f(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不 2-1=1. 到值的单调递增的射线： 故答案为：1. 当-a≤r≤a时，f(x)=√a-x,易知其图像是，圆心为 12.号-苦-1令双肉线C的实平轴，虚半轴长分别为@… (0,0),半径为a的圆在x轴上方的图像（即半园）： b,显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距 当x>a时，f(x)=一√反-1，易知其图像是一条端点取 c=2, 不到值的单调递减的曲线： 由双曲线C的离心率为2，得￡=√2，解得a=√2，则b 对于①，取a=号，则fx)的因像知下， ve2-a=√2， 所以南我C的方程为号-苦-1. 收器案为号苦 2 13.①要②号国为fx)=amx在(o,受）上单润递增， 若0<aa<A<受，则tan o<tanA, 显然，当x∈(a-1,+∞)，即xe（-2,+oo）时，fx) 取a=2k1r十amB=2k2元十，k1,k2∈Z, 则tana=tan(2k1r十au）=tan ao,tanB=tan(2k2r十) 在（一7,0）上单调递增，故①错送： =tan%,即tana<tan3, 对于②，当a≥]时， 令k1>k2,则a一B=(2k1x十am）-(2k2x十A)=2(k1一 当x<-a时，f(.x)=x+2<-a+2≤1： k2)x十(ao一B）, 当一a≤r≤a时，f(x)=V√a-x显然取得最大值： 周为21-)x≥2m,-受<0-<0.则a-月=21 当x>a时，f(x)=一E-1<-√a-l≤-2， -妇)+(w一A>受>0， 综上：f(x)取得最大值a,故②正确： 对于③，结合图像，易知在x1=a,x2>a,且接近于x= 即k1>k2,则a>3. d处， 不坊取=1，g=0,0=于=晋，即a-平，9吾满 M(x1,f(x1)(x1≤a),N(x2,f(x2)(x2>a)的距离 最小， 足题意. 故答案为要营 14.①48②384方法一：设前3项的公差为d,后7项公比 为q>0, 则g-e-1竖-16，且9>0，可得q=2. a512 对a=1+24-号脚1+24=3，可得=1， 当x1=a时，y=f(x1)=0,当x2>a且接近于x=a处， 空1：可得ag=3,a7=a39=48, y2=f(x2)<-a-1, 空2：a1+a2+…+ag=1+2+3+3×2+…+3×26=3 此时，|MN|>y1一y2>a+1>1,故③正确： +31-92=384 1-2 对于国，取a=青，则fx)的图像如下， 方法二：空1：因为{an),3≤n≤7为等比数列，则a号=asa9 =12×192=482, 且am>0,所以a7=48: 又周为a暗=aga1,时a--31 空2：设后7项公比为g>0,则2==4，解得q=2 可得a1十a2十a3 3(a1+a3) 2 =6,a3十a4十a5十a6十a7十 因为P(xg,f(rg)(rs<-a),Q(x4,f(x4)(x4≥-a), 结合图像可知，要使PQ取得最小值， s+ay-099_-3-192X2-=381, 1-g1-2 则点P在f()=x+2(<-音）上.点Q在fx) 所以a1+a2+…十ag=6+381-ag=384. 故答案为：48：384. 层(<) 数学答案-35 同时PQ的最小值为点0到f)=x+2(<-专)的 17.解析：【小问1详解】 距离减去半圆的半径， 因为f(x)=sin9十cossin:w>0,p<受 此时，因为f()=y=r十2(x<-专)的斜率为1，尉 所以f(0)=sin(u·0)cosp十cos(u·0)sing=sinp kp=-1,故直线OP的方程为y=一x, 联27g解释-1D 国为9<受，所以9=一导 显然P(-1,1)在f(x)=x+2(x<-）上，满足PQ 【小问2详解】 取得最小值， 即a=音色满足PQ存在最小值，故a的取值范国不权 图为fr)=sinrs+osin9,u>0.p<7, 是(0，]，t①错民， 所以f(x)=sin(our十p,w>0.g<受，所以f(u)的最 大值为1，最小值为一1. 故答策为：②③. 若选条件①：因为f(x)=sin(ax十)的最大值为l,最小 16.解析：【小问1详解】 因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, 值为-1，所以∫（受）=巨无解，故条件①不能使函数 所以PA⊥BC,同理PA⊥AB, f(x)存在： 所以△PAB为直角三角形， 又因为PB=VPA+AB=√2，BC=1,PC=3, 若选条件②：因为了x)在[-子]上单调递增，且 所以PB+BC2=PC2,则△PBC为直角三角形，故BC ⊥PB, f()=1(-）=-1 又因为BC⊥PA,PA∩PB=P, 所以BC⊥平面PAB. 所以号-号-（吾）=，所以T=2。-竿-1 【小问2详解】 所以f(x)=sin(x十g), 由(1)BC⊥平面PAB,又ABC平面PAB,则BC⊥AB, 以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y 又周为f(-号）=-1，所以sin(-苓十9）=-1， 轴，AP为￥轴，建立空间直角坐标系，如图， 所以一 +g=-受+2x,k∈. 所以p=一晋+2x,k∈乙，因为1g<受，所以9=-吾 所以=19=-吾 若选条件③：国为f)在[-吾]上单润递增，在 [一受·受]上单河递浅。 则A(0,0,0),P(0.0,1),C(1,1,0),B(1.0,0), 所以AP=(0,0,1).AC-=(1,1,0),BC=(0,1,0)PC=(1 所以f八)在x=-哥处取得最小值-1，即f(-号） 1,-1), -1. 设平面PAC的法向章为m=(x1y1·1), 以下与条件②相同， m·AP=0 则 ,即 1=0, 答案：1g=晋 m·AC=0 x1+y1=0, (2)条件①不能使函数f(x)存在；条件②或条件③可解得 令1=1，则y=一1，所以m=(1,-1,0)。 n.BC=0 w=19=-晋 设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,2),则 n.P心=0'18.解析：【小问1详解】 即/2-0 根据表格效据可以看出，40天里，有16个十，也就是有16 xg十y2-2=0' 天是上涨的， 令x2=1,则2=1，所以n=(1,0,1), 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： 16 所以a-沿后字 =0.4 又因为二面角APCB为锐二面角， 【小问2详解】 所以二面角APCB的大小为 在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是 答案：(1)证明见解析 上涨，下跌，不变的概率分别是0.4,0.35,0.25， 于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率 2) 是C7×0.42×C×0.35×0.25=0.168 数学答案-36 【小问3详解】 -6n2+4mn-8m+24 由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上派进行 9n2+72-18n2+6m-12m-36 分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌 -6n2+4mn-8m+24_2(-3n2+2mn-4m+12) 的有2次， -9n2+6mn-12m+363(-3n2+2mn-4m+12) 因此估计第41次不变的概率最大 2 答案：(1)0.4 3 (2)0.168 又kam-g号-号，即n=tm (3)不变 显然，MN与CD不重合，所以MN∥CD. 19.解析：【小问1详解】 依题意，得t=-则-5 答案号+号 3a, (2)证明见解析 又A,C分别为椭圆上下顶点，AC1=4,所以2b=4,即b20.解析：【小问1详解】 =2, 因为f(x)=x-x3er+0,x∈R,所以f(x)=1-(3.x2+ 所以g2-2=2-4,甲g2-昌02=音02=，则a2=9, ar)ewtb, 因为f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=一x+1, 所以精司E的方程为后+号-1 所以f(1)=-1+1=0,∫(1)=-1， 1-13×e+6=0 【小问2详解】 1-(3+ae-1解得8. 则 (b=1· 因为精圆E的方程为 4 =1,所以A(0,2).C(0, 所以a=-1,b=1. -2),B(-3,0),D(3.0), 【小问2详解】 因为P为第一象限E上的动点，设P(m,n)(0<m<3, 由(1)得g(x)=f(x)=1-(3.x2-x3)e+1(x∈R), 0<<2,则02+ 则g'(x)=-x(x2-6.x+6)e+1, 9 =1, 4 令x2-6x+6=0,解得x=3士√3，不妨设x1=3-√5，x2 =3十√5，则0<x1<x2, 易知er+1>0恒成立， 所以令g'(x)<0,解得0<x<x1或x>x2:令g'(x)>0, 解得x<0或x1<x<r2: 所以g(.x)在(0，x1),(x2,十∞)上单调递减，在（一0,0）， (x1,x2)上单调递增， 即g(x)的单调递减区间为(0,3-√3)和(3十√3.十∞)，单 易得k假= 0+2 3-0 ，则直线BC的方程为y= 2 2 调递增区间为（一，0）和(3一√3,3+√3). 【小问3详解】 x-2, 由(1)得f（x)=r-r3e+1(x∈R),f(x)=1-(3.x2 =0 =”号n”则直线PD的方程为厂产专红一3别 x3)e+1. 由(2)知∫(x)在(0，x1),(x2,十o∞)上单调递减，在 y=-2 2 3(3n-2m+6) (一∞，0)，(x1,x2)上单调递增， 3n+2m-6 联立 解得 当x<0时，f(-1)=1-4e2<0,f(0)=1>0, y- -3x-3) -12n y=3n+2m-6 即f(-1)f(0)<0 所以∫广(x)在（一∞，0）上存在唯一零点，不妨设为x8,则 中M(0+9n+”6: -12m -1x3<0, 此时，当x<x3时，(x)<0,剿f(x)单调递减：当r3<d 而p1=”名-”2，则直线PA方程为y=”昌+2， m一0m <0时，f(x)>0,则f(x)单调递增： 所以f(x)在（一∞，0）上有一个极小值，点： 令y=-2,则-2=”一 x十2，解得x= -4n n-21 当x∈(0，x1)时，了(x)在(0，x1)上单调递减 即N(行受-小 则f(x1)=f(3-√3)<f(1)=1-2<0, 故f(0)f(x1)<0, 1,8m2=72-18n2, 所以了(x)在(0，x1)上存在唯一零点，不坊设为x4,则0 <xgr1· -12n 3n+2m-6+2 此时，当0<x<x时，f(x)>0,则f(x)单调递增：当x 所以kMN=3(3m2m+6)--4m <x<x1时，f(.x)<0,则f(x)单调递减： 3n+2m-6n-2 所以f(x)在(0，x1)上有一个极大值点： (-6n+4m-12)(n-2) 当x∈(x1x2)时，厂(x)在(x1x)上单调递增， (9n-6m+18)(n一2)+4m(31+2m-6） 则f(x2)=(3+√3)>f(3)=1>0. -6n2+4mn-8+24 故f(x1)f(x2)<0, 9n2+8m2+6mn-12m-36 数学答案一37 所以f(x)在(x1,x2)上存在唯一零点，不妨设为x6,则 反证，假设存在正整数K,使得Sr≤一m, x1<x5<2 则Bx一AK≤-m,B1一AK>0,可得brK41=B 此时，当x1<x<x5时，(x)<0,则f(x)单调递减：当 B,.=(B,1-AK)-(Bx-AK)>m, x5<x<r2时，(x)<0,则f(x)单调递增： 这与brk,∈1.2.m}相矛盾，故对任意1≤n≤m,n∈ 所以f(x)在(x1,x2)上有一个极小值点： N,均有Sw≥1一m. 当x>x2=3十√3>3时，3.x2-x3=x2(3-x)<0, ①若存在正整数V,使得SN=B,、-AN=0,即AN 所以f(x)=1-(3x2-x3)e+1>0,则f(x)单调递增， =Brx· 所以f八x)在(x2,十o∞)上无极值点： 可取r=p=0,q=N,s=rN,使得Ap十B,=Ag十B,: 综上：f(.x)在（一∞，0）和(x1,x2)上各有一个极小值点， ②若不存在正整数N,使得SN=0, 在(0,1)上有一个极大值点，共有3个极值点. 因为Sn∈{一1，一2，…，1-m},且1≤n≤m, 答案：(1a=-1,b=1 所以必存在1≤X<Y≤m,使得Sx=Sy, (2)答案见解析(3)3个 即B,-Ax=B,一Ar,可得Ax+B,=Ay十B, 21.解析：【小问1详解】 可取p=X,s=ry,g=Y,r=rx,使得Ap十B,=Ag十B, 由题意可知：A0=0,A1=2,A2=3,A3=6,B0=0,B1= 综上所迷：存在0≤p<g≤m,0≤r<s≤m使得Ap十B, 1,B2=4,B3=7, A,十B. 当k=0时，则B0=A0=0,B:>A0,i=1,2,3,故r0=0: 答案：(1)ro=0,r1=1,r2=1,r3=2 当k=1时，则B<A1,B1<A1,B>A,i=2,3,故n=1: (2)rm=,n∈N 当k=2时，则B≤Ai=0,1.B>A2,B>A2,故=1： (3)证明见详解 当k=3时，则B,≤A3,i=0,1,2.B3>Aa,故r3=2: 2023年普通高等学校招生全国统一考试 综上所迷：r%=0,r1=1,r2=1,r3=2. (天津卷) 【小问2详解】 由题意可知：rm≤m,且rm∈N, 1.A由题可得CuB={3,5,所以CBUA={1,3,5,故 因为am≥1，bm≥1，则Am≥a1=1,Bm≥b1=1,当且仅当n 选A =1时，等号成立， 2.B由a2=b2得a=士b,由a2+62=2ab得(a-b)2=0,即 所以=0，r1=1, a=b,所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件， 又因为2r≤r-1十r+1,则r+1一r≥r:一r-1,即rm 故选B. rm-1≥rm-1-rm-2≥…≥r1r0=1, 3.D因为y=1.01在R上单调递增，所以1.0196>1. 可得r+1一r≥1， 0105.因为y=x0在(0，十∞)上单调递增，所以1.010.6 反证：假设满足r+1一rm>1的最小正整数为1≤≤m一1， >0.60.8,所以b>a>c,故选D. 当>j时，则r+1一r≥2：当≤j一1时，则r+1一r:=1,4,D由题图知，函数图象关于y轴对称，所以函数f(x)为 则rm=(rm一rm-1)十(rm-1一Tm-2)十…十(r1一r)0十r0 ≥2(m-j)+j=2m-j, 偶画数，所以排除选项A,B:对于y=5(e十e x2+2 2,y>0恒 又因为1≤j≤m-1,则rm≥2n-j2m-(m-1)=m+ 成立，与函数图象不特，所以排除选项C,故选D, 1>m, 假设不成立，故rm+1一Tw=1, 5.B由函数f(x)的一个周期为4可知y=sim(开x)与y 即数列{rn}是以首项为1，公差为1的等差数列，所以rm =0+1×n=,n∈N. cms(子不特合题意，故排徐选项C.D:对于y=m(受 【小问3详解】 x小，当x=2时y=0,则直线x=2不是y=sin(乏x)的对 (i)若Am≥Bm,构建Sm=Am一B,,1≤n≤m,由题意可 称轴，故排除远项A,故选B 得：Sm≥0，且S。为整数， 6.C因为aw+1=2Sm十2①，所以a2=2a1+2,当≥2时， 反证，假设存在正整数K,使得SK≥m, an=2Sm-1+2②，①-②得am+1-am=2Sm-2Sm-1,解 则AK-B,≥m,AK一B,<0,可得br1=B,一B, =(Ak-B)-(Ak-B)>m: 得a+1=3a,所以鼓列aa的公比g=3,即2_2a1十2 这与b,x,∈1,2，…，m}相矛盾，故对任意1≤n≤m,n∈ 3,解得a1=2,所以a4=a1g3=54,故选C. N,均有Sm≤m-1. 7.C从散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近，所以 ①若存在正整数V,使得SN=AN-B,=0,即AN 花瓣长度和花萼长度具有相关性.又相关系数r=0.8245, 所以呈正相关，排除A,B:从样本中抽取一部分，这部分的 =Br、' 相关系数不一定是0.8245，排除D,故选C 可取r=p=0,g=N,s=rN,使得Ap十B,=A,十B,: 8.B设点M到平面PAB的距离为hM,点C到平面PAB ②若不存在正整数N,使得SN=0, 因为Sn∈1,2m…,m-1},且1≤≤m, 的距高为hc则由已知得能子又国为PN=号PB,所 所以必存在1≤X<Y≤m,使得Sx=Sy, 即Ax-B,=Ar-B,,可得Ax十B=Ay+B,· 以△PN=2, S△PAB tn=Vw-PN=3 SAPAN·hM 可取p=X,s=y,g=Y,r=rx,使得Ap十B,=Ag十B, 专SaB·AC (i)若Am<Bm,构建Sn=Bnm一Am,1≤n≤m,由题意可 2 得：Sn≤0，且Sn为整数， 1= 3×3=，故选B 数学答案-38