5.数学·2024年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)-【名校强基卷】2020-2024年5年高考数学真题汇编

设h(x)=xlnx-x,0<x<1,则'(x)=lnx<0, 所以h(.x)在(0,1)上单调递减， 9.2解法-：设=1十i(6∈R且b≠0)，则：十2=1十+ 所以xlnx1-x1>x2lnx2-x2,即x2lnx2-x1lnx1< 防=1+h+200-1+平+().因为 2 x2-x11 1+b2 m∈R,所以b 2b 2 为。≤1<<1，所以0<2-x<1,0<√x2- 1中2=0，得=1，所以m=1十中 1,x2-x1</2-1, =2. 所以x2lnx2-xlnx1<√/x2-x1,即|f(x1)-f(x2)|< 解法二：由文十2=m得2-m十2=0，解得=m士 第5步：诗论0<<<<1的情况 8m西，依题意得受=1，解得m=2, 2 10.329由题意可知集合中最多有一个奇数，其余均为偶 ③当0K<<n<1时， 数.个位为0的无重复数字的三位正整数有P=72(个)： 个位为2,4,6,8的无重复数字的三位正整数有CCC喝 若f)<f2,则1f()-f()1</(是) 256(个).所以集合中最多有72+256=328（个）偶数，再 加上一个奇数，则集合中元素个数的最大值为328十1 -f(x2)· =329. 11.7.8°设∠BOT=0,则∠AOT=90°-0，在△BOT中，由 由知，f日）-)-<-， 正弦定理得限写+在△A0T中：由正 OT 所以|f(x1)-f(x2)|<x1-x2T; 弦定理得O4 OT 若f(x1)>f(x2),则|f(x1)-∫(x2)|<f(x) Fsin37=in(37+90°-0D0A=0B.两式 -(合) 相缘将-79”，血7如65叶 0)=sin16.5sin(37°+90°-0)，sin0(cos16.5°-sin16. 南⑩知，)-f(日)-<m- 5)sin37°=cos0(cos37°-sin37)sin16.5°，.tan0= 所以f(x1)-fx)<|x-x2 tan 37 一1 一≈0.1376，又0为锐角，.0=7.8. 若f(x1)=f(x2),则|f(x1)-f(x2)|=0,lx1-x2|7 tan16.5e-1 0,故f)-fx2)<|1-2 12.[2,十o∞)显然等比数列{am}递增，不妨设x≥y,若x,y 第6步：得出结论 ∈[a1,a2],则r-y∈[0，a2-a1],若x,y∈[amam+i],则 综上可知，x1,x2∈(0,1)，都有|f(x1)一f(.x2)<x x-y∈[0，am+1一an],若x∈[am,am+1],y∈[a1a2],则 r-yE[an-a2,an+1-a1], 2024年普通高等学校招生全国统一考试 ds-1 (上海卷) 0as-a1a,-:a-1-a. ,对任意正整n,In都是闭区间，am一a2≤am+1一am 1.1,3,5}A=(1,3,53. 如图，又a1>0.∴g"-2g"-1+g≥0，即g"-2(g-2)+1≥ 2.√3因为3>0，所以f(3)=5. 0,对任意正整数n,上式都成立，则必有g≥2. 3.(-1,3)由x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,得-1<x 13.C因为沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关 系数为正数，所以随着沿海地区气温由低到高，海水表层 <3. 温度呈上升趋势，故选C 4.0通解：因为f(x)是奇函数，所以f(一x)=一f(x),即 (-x)3十a=-(.x3十a),得a=0. 14A对于Ay=sinx十cosx=2sin(z+开)小共最小正 优解：因为f(x)是奇函数，所以f(0)=a=0. 5.15因为a∥b,所以2k=5×6,得k=15. 周期为2，A正确：对于B,y=5mx0sx=7in2红，共 6.10由题意得2"=32，所以n=5,则(x十1)5的通项T,+1 最小正周期为π，B错误；对于C,y=sin2x+cos2x=1,为 =C5x5-1",令5一r=2,得r=3,所以展开式中.x2的系数 常值函数，不存在最小正周期，C错误：对于D,y=sin2z 为C=10. 一cos2x=一cos2x,其最小正周期为π，D错误.故选A. 7.4√2设P(x0,yo),因为点P到准线x=一1的距离为9， 15.C因为存在不全为0的实数1，入21g,使得1OP+入2 所以x0十1=9，则x0=8,3y6=4x0=32,则y0=士4V2,即 OP2+A3OP=0,所以OP.OP,OP共面.只要三点对 点P到x轴的距离为4√② 应的向量共面就有(0,0,1)∈，否则就能得到(0,0,1)任 2.对于选项A,(0,0,0)对应的向量是零向量，零向量与 &Q5(支易)A题年占50网十微+80m音·B题丰古 5000 任意向量共线，故三点对应的向量共面，不能推出(0,0， 4000 1 3000 1)2,故A错误：对于选项B,若(1,0,0)，（一1,0,0） 5000+4000+300=3.C题库占5000+4000+3000 ∈2，且(1,0,0)，（一1,0,0）两点对应的向量共线，所以 子，则所求概单P-是×0.92+号×0.86+}×0,72=086。 (0,0,1)可以属于2，故B错误：对于选项C,显然，(1,0， 0),(0,1,0),(0,0,1)三点对应的向量不共面，故可以推 数学答案一16 出(0,0,1)正2，故C正确：对于选项D,(0,0,一1)与(0， (2.x-2>0 0,1)两点对应的向量共线，(1,0,0)，(0,0，一1)，(0,0,1) 由f(2x-2)<f（x)有{x>0,解得1<x<2. 三点对应的向量共面，故不能推出(0,0,1)任Q,故D错 2.r-2<x 误.故选C .原不等式的解集为{x1<x<2}. 16.B对于A,因为M=[-1,1门，所以f(x)<f(1)在( (2)第1步：由等差数列得方程 ∞，1)上恒成立，此时f(一1)<f(1)与f(x)是偶函数矛 f(x十1)，f(ax),f(x+2)依次成等差数列，∴.2f(a.x) (-1,x<-1 =f(x+1)+f(x+2), 盾，故A错误：对于B,不妨取∫(x)={x,-1≤x≤1，满 2logu (ax)=loga (x+1)+loga(r+2),r>0a>0,a 1,x>1 ≠1， 足f(x)在x=2处取到最大值，故B正确：对于C,若存在 第2步：通过对数运算分离出a f(x)在R上单调递增，则对任意x0∈R,当x<xo时都有 f(x)<f(xo),则此时M=R,与M=[-1,1]矛盾，故C 即log(ax)2=log[(.x+1)(x十2)].由f(x)=logx是 错误：对于D,若存在(x)在x=一1处取到极小值，则存 单调画数得(a)2=(x+1)(x+2),得a2=2+3r+2 在一个6>0，对于任意x满足0<|x+1|<6,都有 f-1)<f),-1-号∈(-1-d-1,而由-1∈M 2x(）广+3x+1>0. 第3步：运用函数的单调性求范国 以及M的含义知(-1-受)<f(-0,与f(-)< 设1=子，则>0，a2=2r2+3+1在>0时有解，设g) f(x)对于任意x满足0<x十1<6矛盾，故D错误.故 选B. =212+3t+1,则g(t)在(0，+o∞)上单调递增，故g(1)> 17.解：(1)第1步：利用勾股定理求AO,PO 1,即a2>1,得a>1. 在正四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，且PO ,.a的取值范国是(1，十oo). ⊥底面ABCD,.△AOD为等腰直角三角形，又AD= 19,解：(1)第1步：计算样本中日均体育锻炼时长不小于1小 32,.A0=3, 时的人数抽取的样本中日均体育炼时长不小于1小时 的人数为42+3+1+137+40+27=250. :AP=5.∴.P0=AP2-AO=4. 第2步：按比倒估计人数 第2步：求旋转体体积 设该地区29000名学生中有x人的日均体育饿炼时长不 ∴R1△AOP绕直角边PO旋转一周形成的几何体是底面 半径为3，高为4的圆锥， 小子1小时，则智-200解释x=1250 :被转华的体款为V=号×x×3X4=12 故该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小 (2)第1步：找线面垂直，定线面角 时的人数约为12500. (2)第1步：根据题中表格数据计算该地区初中学生日均 体育：炼时长 依题意得，该地区初中学生日均体有缏炼时长为(0.25× 139+0.75×191+1,25×179+1.75×43+2.25×28)÷ 580=540÷580≈0.9. 第2步：作答 如图，连接OE, 所以该地区初中学生日均体有锻炼时长约为0.9小时， ,AP=AD=AB,E为PB的中点，.PB⊥AE (3)第1步：写出2×2列联表 同理，PB⊥CE,又AE∩CE=E,AE,CEC平面AEC, 对数据重新组合，得到2X2列联表 .PB⊥平面AEC, ∴∠BOE是BD与平面AEC所成的角. 日均体有领炼时长/小时 学业成绩 第2步：计算线面角的大小 [1,2) 其他 合计 设AP=AD=2,则BO=2,BE=1, 优秀 45 50 95 在△BPD中，E,O分别为BP,BD的中点EO-号PD 不优秀 177 308 485 -AP=1. 合计 222 358 580 六△BE0是等腰直角三角形，∠BOE=冬，即BD与平 第2步：代入公式计算 提出原假设H。:学业成绩优秀与日均体育缎炼时长不小 西AEC所成角的大小为 于1小时且小于2小时无关。 18.解：(1)第1步：代入求a 确定显著性水平a=0.05,P(2≥3.841)≈0.05， f(.x)的图象过点(4,2)，.log4=2,解得a=2. x2-680×45X308-177X50 95X485×222×358 ≈3.976>3.841， 第2步：研究函数单调性解不等式 f（x)=log2x,显然其在定义域(0，十oo)上单调递增， 第3步：得结论 原假设不成立，所以有95%的把握认为学业成绩优秀与 日均体育镀炼时长不小于1小时且小于2小时有关 数学答案一17 20.解：(1)第1步：由双曲线的方程求a 21,解：(1)第1步：利用基本不等式求s(x)的最小值 由双曲线的方程知a=1, 第2步：由离心率公式与a,b,c间的基本关系求b 因为函载)=e(0,+o∞)，M0.0, c√1+， 所以)=-02+（任-0）=2+≥2. 因为离心率为2，所以二=十B =2,得b=5. 第2步：根据等号成立的条件求点P的坐标 a 1 (2)第1步：求出等腰三角形MA2P的腰长 当且仪当=是>0，中=1时。 当6-2时，双南线n2-8等=1，且A1.0 s(x)取得最小值2，f1)=1.所以P(1,1). 8 故对于点M(0,0),存在点P(1,1),使得P是M的“f最 图为点P在第一象限，所以∠PA2M为钝角. 近点” 又△MA2P为等腰三角形，所以|A2P|=|A2M川=3. (2)第1步：求(x)与'(x) 第2步：由点在双曲线上与两点间距离公式求，点P的 因为函数f(x)=e,M(1,0),所以s(x)=(.x一1)2+e2, 坐标 则s/(x)=2(.x-1)+2e2r 设点P(x0,),且x0>0,y6>0, 第2步：讨论s(x)的单调性，求出其最小值，得到“∫最近 √/(x0-1)+y%=3 点” 。 记m(:x)=s(.x)=2(x-1)+2e2,则m'(x)=2+4e2> 0,所以n(x)在R上严格单调递增. /0=2 因为m(0)=√(0)=0， 得 所以P(2.2V2)」 0=22 所以当x<0时，m(x）=8(x)<0:当x>0时，m(x)= s'(x)>0. (3)第1步：设出相关点的坐标 所以s(x)在（一∞，0）上严格单调递减，在(0，十∞)上严 由双曲线的方程知A1(一1,0)，A2(1,0),且由题意知Q, 格单调递增， R关于原，点对称】 因此当x=0时，s(x)取到最小值， 设P(x1y1),Q(x2,y2),则R(-x2,-y2. 又f(0)=e°=1，所以点M的“f最近点"为P(0,1). 第2步：设出直线PQ的方程，与双曲线方程联立，写出根 第3步：利用导数的几何意义求切线斜率，根据两直线垂 与系数的关系 直建立方程 设直线PQ的方程为x=my一2. 为判断直线MP与曲线y=f(x)在点P处的切线是否垂 a=my-2 直，可另设P(k,e),则由f(x)=e,知在P(k,e)处的 联立直线与双曲线的方程得 t2-y2 1消去，得 切线I的斜率为e, (bm2-1)y2-4b2my+36=0,且bm2-1≠0，即m2 由题老物MPL1,周光昌=一之，整理释十e4-】 *品 =0. 第4步：构造函数，根据函数的单调性求出点P的坐标 462m 由根与系教的关系，得y1十2m2一了 令h(k)=k十e-l,易知h(k)在R上严格单调递增， 又h(0)=0,所以方程k十e2张一1=0有唯一解k=0,所以 362 1业m2-1 点P(0,1). 第3步：由向量的数量积运算求m,b的关系式 综上，存在满足条件的一个点P(0,1) (3)解法一： 因为A1R=(-x2十1，-2)，A2币=(m-1y1), 1s1(x)=(x-1+1)2+(fx)-f)+g()2 由A求·A2户=1，得(-x+1)(x1-1)-yy9=1, 设 所以(x2-1)(x1-1)+y1y2=-1,即(my2-3) ea='D2+()-0)-0)e由条件.对 任意t∈R,存在P(xo,f(xo),使得x0同时是s1(x)和 (my1-3)+y1y2=-1, s2(x)的最小值点 整理，得(m2+1)y1y2-3m(y1十y2)+10=0, s1(o)s1(r） 所以a+·3m十10=0 3b2 于是，对任意x∈R, s2(xo)≤s2(x) (x0-t+1)2+(f(x6)-f(t)+g(t))2≤ 娄理，得+沙-10=0，所以-共(o,] (x-t+1)2+(f(.x)-f()+g(t))2 第4步：根据m的取值范围求出b的取值范国 (x0-1-1)3+(f(.x0)-f(t)-g(t)2)≤1 ，所以62≠10=1062 又m2≠1 +33+得≠3，所以€ (x-1-1)2+(f(x)-f()-g(t)2 特别地，当x=1时， 63 (x0-1+1)2+(f(.xo)-f1)+g()2 0,3U(,g]又6>0 ≤1+g2(t) 故6的取值范国是0vU(,] (x0-1-1)2+(f(xo)-f(t)-g(t)8 ≤1+g2() 数学答案一18 两式相加，得(.0一1)2+(f(x0)-f()2≤0. 3.D根据不等式组，画出可行战如图所示，作出直线x一5y 所以x0=1. =0并平移，则当平移后的直线过点A时，之取得最小值， 另一方面，求导得 4x-3y-3=0 s1(x)=2(x-t+1)+2(f(x)-f(t)+ 由 2x+6y-9=0得 g())f(x) y=1 3 7 s2(x)=2(.x-t-1)十2(f(x）-f(1) -5×1=- 2 故选D g(t))f(x) 因为s(x)(i=1,2)的最小值点也是极小值点， x-3y-3=0 所以s1(.x0)=0,s2(x0)=0, 米-2-2=0 即 (.x0-1+1)+(f(xo)-f(t)+g(1)f(x0)=0 A x-50 1(x0-1-1)+(f(xo)-f(t)-g(t)f(.xo)=0 两式相减，得g(1)∫(o)=一1. 代入0=1，并由g>0,得了()=- g)<0,1∈R 2x+6--0 所以「(x)在R上严格单调递减. 解法二：第1步：先证MP⊥1 4B由s,=So,得5a1+a=10a+a0,所以5ag 2 2 先证明一个结论：对于M(a,b),设P(xo,f(xo)为M的 “f最近，点”，曲线y=f(x)在，点P处的切线为1，则MP⊥L 5a+ag.所以as=0,公差d=gg=-日所以a1 8-5 证明： 因为s(x)=(x-a)2+(fx)-b)2,所以s'(x)=2.x-2a a-4d=1-4×(-子）=子故选B 十2∫(x)(f(x)-b),所以当s(x)在x=x4处取得最小值 5.C解法一（方程组法）根据焦点坐标可知c=4,根据焦 时，s'(x0)=0,即x0一a十f(xg)(f(xo)-b)=0, 所以fo)-b 1 点在)上：可设双由线的方程为芳-素-10>06 xo-a 了(xo)' 10).则2是=1a=2 又直线MP的斜率kp=fo)一 ,得 ,且切线1的斜率为k a2+b2=16 6=2尽所以离心率e=后=2 xo-a =fo.所以6e-f。fw)=-7同 解法二（定义法）根据双曲线的定义，得2a= 1w(-6-0)2+(4-4)2-√(-6-0)2+(4+4)= ·了(x0)=-1, 16-101=4, 所以MP⊥L. 第2步：证明线段M1M2的中点N与点P重合 报播低点业标可知=4，所以商心率一二-受-2 因为Ht∈R,M1(t一1，f(t)一g(1)),M2(t+1,f(t)+ 6.Af(.x)= g(t),存在对应的点P使得|M1P2为M1到曲线y= 《e+2s01+r)-(e+2sin）·2红，所以f(0)=3,所 (1+x2)2 f(x)的距离平方的最小值，|M2P2为M2到曲线y 以曲线y=f(.x)在点(0,1)处的切线方程为y一1=3(x一 f(x)的距离平方的最小值，连接M1M2,因为M1(t-1, 0),即3.x一y十1=0，切线与两坐标轴的交点分别为(0,1)， f(1)-g(t),M2(1+1,f(t)+g(t)), 所以设线段MM2的中点为N,则N(1,f(1)),则点N在 (一了0）小，所以切线与两坐标轴所国成的三角彩的面积 曲线y=f(x)上. 若M1,M2到曲线y=f(x)的距离最小时对应的点P与 点N不重合，则|M1PI<MN|,M2P|<M2N|, 7,B排除法。由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点对 所以|M1P|+M2P|<M1N|+|M2NI=|M1M|, 称，f(-x)=-(-x)2+(er-e)sin(-x)=-x2+(e 这与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以点P与点N 一e)sinx=f(x),所以函数f(x)为偶函数，函数图象关 必重合. 于y轴对称，排除A,Cf)=-1+(e-)sin1>-l 第3步：用结论判断f(x)的单调性 又直线MM的率为MM=2g0=g0D>0, 2 十(e-日)m吾=-1+号一之0，排除n故选B 2 f(L),所以由kMM,·1=g(u)·f()=kMr·k=一1< &B根据题客有四。-气，即1一m。=号所以 cos a 0,知f(t)<0,所以当1∈R时，有f(1)<0,所以函数 f(x)在R上严格单调递减. 2024年普通高等学校招生全国统一考试 m=1一答所以m+)-把。 3=23 (全国甲卷) 3 一1，故选B. 1.A因为之=5+i,所以乏=5-i,所以1(+)=10i,故9.Ca⊥b曰x2+x+2x=0曰x=0或x=-3,所以x=-3 选A. 是a⊥b的充分条件，x一0是ab的充分条件，故A错误， 2.DB={1,4,9,16,25,81},A∩B={1,4,9,则CA(A∩B) C正确.a∥b=2.x十2=x2曰.x2-2.x-2=0=x=1土3，故 =(2,3,5.故选D. B,D错误. 数学答案-19绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 尔 1.设全集U={1,2,3,4,5}.集合A={2,4},则A 粥 √x,x> 2.已知函数f(x) ,则f(3)= 1,x≤0 3.不等式x2-2x一3<0的解集为 4.已知f(x)=x3十a,且f(x)是奇函数，则a= 5.已知a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k的值为 孙 6.在(x十1)”的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为 称7.已知抛物线y=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为 8.某校举办科学竞技比赛，有A,B,C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题 库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题 库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是 毁 ,已知虚数，其实部为1，且：+号=m(m∈R,则实数m为 10.设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合 中元素个数的最大值为 11.海上有灯塔O,A,B,货船T,如图，已知A在O的正东方向，B在O的正北方向，O到A,B的 距离相等，∠BTO=16.5°，∠ATO=37°，则∠BOT= ·(结果精确到0.1°) 蜜 12.等比数列{an)的首项a1>0,公比q>1,记In={x-yx,y∈[a1,a]U[an,aw+1]},若对任意 正整数n,I.是闭区间，则q的取值范围是 2024·上海卷第1页（共4页） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且 只有一个正确选项， 13.已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是() A.沿海地区气温高，海水表层温度就高 B.沿海地区气温高，海水表层温度就低 C.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势 14.下列函数中，最小正周期是2x的是 A.y=sin x+cos B.y=sin xcos x C.y=sinr+cos'x D.y=sin'x-cos'x 15.定义一个集合2，其元素是空间内的点，任取P1,P2,P3∈2，存在不全为0的实数入1，入2，入3， 使得x1OP,+2OP2十入OP=0(其中O为坐标原点).已知(1,0,0)∈，则(0,0,1)年0的 充分条件是 () A.(0,0,0)∈2 B.(-1,0,0)∈2 C.(0,1,0)∈2 D.(0,0,-1)∈ 16.已知定义在R上的函数f(x),集合M={x对于任意x∈(-∞，x),f(x)<f(xo)},在使得 M=[一1,1]的所有f(x)中，下列说法成立的是 A.存在f(x)是偶函数 B.存在f(x)在x=2处取到最大值 C.存在f(x)在R上单调递增 D.存在f(x)在x=一1处取到极小值 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分， 如图，在正四棱锥P一ABCD中，O为底面ABCD的中心. (1)若AP=5,AD=32,求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积； (2)若AP=AD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小 2024·上海卷第2页（共4页） 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数f(x)=logx(a>0,a≠1). (1)若函数f(x)的图象过点(4,2)，求不等式f(2x一2)<f(x)的解集： (2)若存在x使得f(x十1)，f(ax),f(x十2)依次成等差数列，求实数a的取值范围. 19.(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分 6分. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中随机抽取 580人，得到日均体育锻炼时长（单位：小时）与学业成绩的数据如表所示： 学业 日均体育锻炼时长/小时 成绩 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5] 优秀 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长（精确到0.1小时）. (3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时 有关？ n(ad-bc)2 附：x=a+b+ac0h+Dn=a+b+c+d.P(X>3.841)≈0.05. 2024·上海卷第3页（共4页） 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8分. 已知双曲线：-岩-16>0)，左，右顶点分别为A,A,过点M-2,0)的直线交双曲线r 于P,Q两点. (1)若Γ的离心率为2，求h. (2)若=2后，△MA,P为等腰三角形，且点P在第一象限，求点P的坐标 (3)连接QO(O为坐标原点)并延长交下于点R,若AR·A2P-1,求b的取值范围. 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8 分.已知D是R的一个非空子集，y=f(x)是定义在D上的函数，对于点M(a,b),函数s(x) =(x一a)2十(f(x)一b).若对于P(x0,f(x。)),满足s(x)在x=x。处取得最小值，则称P是 M的“f最近点”. (1)若D=(0,十∞)，f(x)=,M0,0),求证：对于点M(0,0),存在点P,使得P是M的“f 最近点” (2)若D=R,f(x)=e,M(1,0),请判断是否存在一个点P,它是M的“f最近点”，且直线 MP与曲线y=f(x)在点P处的切线垂直. (3)若D=R,已知y=f(x)是可导的，y=g(x)的定义域为R且函数值恒为正，l∈R,M1(1一 1,f(t)一g(t)),M,(t十1，f(t)十g(t)).若对于任意t∈R,都存在曲线y=f(x)上的一点P, 使得P既是M1的“f最近点”，又是M2的“f最近点”，试判断y=f(x)的单调性 2024·上海卷第4页（共4页）