专题25 二次函数综合题角度问题分类训练（4种类型40道）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题25 二次函数综合题角度问题分类训练（4种类型40道） 目录 【题型1 角相等】 1 【题型2 已知角度数】 5 【题型3 角的倍数关系】 10 【题型4 角的和差关系】 14 【题型1 角相等】 1．如图，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，作直线，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接，过点C作，交x轴于点Q． (1)求点B，C的坐标； (2)连接，求的最大值； (3)连接，当时，请直接写出点P的坐标． 2．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______． 3．如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方的抛物线上一点，过点作轴交于点，垂足为，，垂足为，求出周长的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 5．已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A，其顶点为D，P是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式，并写出D点坐标； (2)如图1，点在抛物线上，连接，点P在抛物线对称轴左侧，满足，请求出点P的坐标； (3)如图2，连接，． ①判断的形状； ②当时，直接写出点P的坐标． 6．如图，平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，直线恰好经过B，C两点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知点M是线段上的动点，过点M作轴，交抛物线于点N，以线段MN为直径作，求的周长最大值； (3)设抛物线的顶点为D，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得?若存在，求出点P的坐标．若不存在，说明理由． 7．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． (1)若，求顶点D的坐标及线段的长； (2)当时，二次函数的最小值为，求m的值； (3)连接，，，若，求点C的坐标． 8．已知，如图，直线与轴、轴相交于点、点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点． (1) ， ， ， ； (2)延长至点，作的平分线，两条角平分线相交于点，求的值； (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 9．综合与探究 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．点为线段上的动点（与O，B不重合），过点D作x轴的垂线与线段交于点E，与抛物线交于点F．    (1)求直线的函数表达式和点A的坐标． (2)当点E为线段的中点时，求线段的长． (3)在抛物线上是否存在点G，使得？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴于点，作轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，点为点的对应点，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，在平移后的抛物线上是否存在一点使，若存在求出点的坐标，并写出其中一个的求解过程． 【题型2 已知角度数】 11．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接． (1)求B、C两点的坐标； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图1，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，过点B，C作直线． (1)求b，c的值和直线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上的点，轴与直线交于点D，设点P的横坐标为t． ①如图2，连接，当的面积最大时，试判断四边形的形状，并说明理由； ②如图3，抛物线的对称轴为直线l，直线与x轴交于点E，过点D作直线的垂线，与直线l交于点F，与y轴交于点G，连接．当时，求t的值． 14．如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，若，求点的坐标． 15．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与y轴交于点，点A是对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值； (3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，-4），连接AB，BC． 动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． 连接PQ，PC． (1)求抛物线的表达式； (2)在点P，Q运动过程中，当的面积为时，求点Q坐标； (3)在（2）条件下，时，在直线PQ上是否存在点M，使？若存在，请直接求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点A(，m)，与y轴交于点B，与x轴交于点C．抛物线经过点A交y轴于点D(0，6)． (1)求m的值及抛物线的表达式； (2)如图2，点E为抛物线上一点且在直线AC上方，若EAC的面积为，求出点E的坐标； (3)坐标轴上有一动点F，连接AF，当∠BAF=60°时，直接写出点F的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为C(3，6)，与轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与轴的交点．    （1）求抛物线的解析式； （2）如图①所示，直线AB交抛物线于点E，连接BC、CE，求△BCE的面积； （3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图， 已知函数 与x轴交于点 B、C， 与y轴交于点 D， 连接、， (1)该抛物线的顶点坐标为 ；（用m的代数式表示）； (2)如果点O关于直线 的对称点正好落在抛物线对称轴上，求此时m的值； (3)在（2）的条件下，在x轴上有一动点M，横坐标为t，过点M作x轴的垂线l，请问若在直线l上有且只有一个点P，使得此时t的值为多少． 20．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位长度得到新的抛物线．    (1)求，，的值； (2)抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为此抛物线上一点，直线交轴于点，若，求点的坐标； (3)如图3，点为轴上一点，过点的直线与抛物线交于点，，当时，求点的坐标． 【题型3 角的倍数关系】 21．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线在第一象限内的一动点，过P作交x轴于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线与y轴交于点N，M是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 22．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 24．已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为第四象限内抛物线上的点，连接，如图1，若的面积为1，求P点坐标； (3)设点M为抛物线上的一点，若时，求M点坐标． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．交轴于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，使得．写出所有符合条件的点的横坐标．井写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 26．已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接交于点D，当时，请求出点D的坐标； (3)如图2，点E的坐标为，点G为x轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点P的坐标； 27．已知抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，抛物线与y轴交于C点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），P是抛物线第一象限内的任一点，过点P作轴于D，直线与交于点E，当是以为底的等腰三角形时，求P点的坐标； (3)如图（乙），若点M是抛物线上任意一点，且满足，求M的坐标． 28．如图，抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点P，连接交直线于点D，若，求点P的坐标； (3)若在直线上方的抛物线上存在点Q，使，求点Q的坐标． 29．如图1，抛物线交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为与y轴交于点C，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，，轴，求周长的最大值； (3)如图2，连接，点P在抛物线上，且满足，求点P的坐标． 30．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作交直线于点Q，连接、、，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型4 角的和差关系】 31．如图，抛物线分别交轴于点和（在左侧），交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，连接，的面积是． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为，连接和，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，，直线和直线相交于点，为延长线上一点，连接，，点为上一点，连接，交轴于点，，且，在轴负半轴上一点，使，若求点的坐标． 32．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值； (3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值． 33．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点 ，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴于点B，交y轴于点C，直线经过A，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，交y轴于点D，若设线段的长为d，点P的横坐标为t，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，如图3，连接，点E为抛物线上第四象限上一点，，连接交x轴于点F，若，求点P的横坐标． 35．如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M是y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标； (3)如图2，过点C作交x轴于点E，交于点F．抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 36．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； (3)如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 37．如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)若点在点的上方，且，求的值； (3)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足=？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出点F的坐标． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后抛物线上一点G，使得，请写出所有符合条件的点G的坐标．并写出求解点G的坐标的其中一种情况的过程． 39．如图，在平面直角坐标系中抛物线经过和两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线上一动点，使得，请直接写出符合条件的点的横坐标． 40．如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题25 二次函数综合题角度问题分类训练（4种类型40道） 目录 【题型1 角相等】 1 【题型2 已知角度数】 32 【题型3 角的倍数关系】 61 【题型4 角的和差关系】 97 【题型1 角相等】 1．如图，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，作直线，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接，过点C作，交x轴于点Q． (1)求点B，C的坐标； (2)连接，求的最大值； (3)连接，当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为 【分析】（1）根据，利用待定系数法求得，分别令，，即可求解； （2）连接，过点P作轴，交于点E，由，知，利用待定系数法求得直线的表达式为，设，则，得，进而可得，即可求解； （3）如图，过点P分别作于点D，轴于点G，过点D作轴于点H，延长交于点F，则，先证，得，易知四边形是矩形，得，设，则．由，知．得，易证，可得，得点P的坐标为代入抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得，解得． ． 令，解得，． ∵点B在点A右侧， ． 令，得， ． （2）如图．连接，过点P作轴，交于点E． ， ． 设直线的表达式为． 将，代入，，解得． 直线的表达式为 设． 轴， ． ． ． ， 当时，的值最大，为． 的最大值为． （3）点P的坐标为． 如图，过点P分别作于点D，轴于点G，过点D作轴于点H，延长交于点F，则． ∵，，， ，． ． ． ． ∵ ． 易得， ． ． ． 易得四边形是矩形， 设，则． ∵， ． ． ∵，， ∴ ． ． 点P的坐标为． ，解得，（舍去）． 当时，，． 点P的坐标为． 【点睛】本题考查用待定系数法函数解析式，一次函数与抛物线的图象性质，一次函数和抛物线的交点问题，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，三角形的面积．熟练掌握一次函数与抛物线的图象性质是解题的关键． 2．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______． 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】（1）设二次函数解析式为，将点A和B两点代入即可求得二次函数解析式； （2）过D作于N，作于M，根据第一问可得点，结合矩形、三角形的面积公式即可求得答案； （3）连接，过C作交于E，过E作于F，根据题意得为等腰直角三角形，得到，结合角度正切值求得，进一步得，判定是等腰直角三角形，即可求得点，利用待定系数法求得直线直线的解析式，联立即可求得点P． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数解析式为， ∵二次函数的图象与轴交于两点． ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：过D作于N，作于M， 根据，则顶点的坐标为， ； （3）解：P是抛物线上的一点，且在第一象限， 当时，连接，过C作交于E，过E作于F，如图． ∵，则为等腰直角三角形，． 由勾股定理得：， ∵． ∴，即， ∴． 由，得， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的坐标为， 则过B、E的直线的解析式为， 令，解得，或， 所以直线与抛物线的两个交点为， 即所求的坐标为 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形和解方程组，解题的关键是熟悉二次函数的性质和解直角三角形． 3．如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方的抛物线上一点，过点作轴交于点，垂足为，，垂足为，求出周长的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在点 或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）可证，得到，即得周长，过点作直线的平行线，设直线的解析式为，可知当直线与抛物线只有一个交点时，最大，求出即可求解； （）分两种情况，画出图象，根据二次函数与一次函数的交点问题解答即可求解； 本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，周长 ∴， 即周长， ∴当取最大值时，的周长取得最大值， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作直线的平行线，设直线的解析式为，可知当直线与抛物线只有一个交点时，最大， 由得，， ∵两函数图象只有一个交点， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵轴， ∴ ∴，此时取最大值， ∴周长的最大值； （3）解：有两种情况：过点直线于点，交于点，连接并延长，交抛物线于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由得，， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由得，， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由得，或， ∴； 过点作，点在抛物线上，则， ∵直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得，， ∴直线的解析式为， 由得，或， ∴； 综上，存在点 或，使得． 4．如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①，且；②或或；③ 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①首先得到，抛物线开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，进而求解即可； ②根据题意分点M的纵坐标为和点M的纵坐标为两种情况讨论分别代入抛物线表达式求解即可； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，根据，得，，求出直线解析式，然后把点Q的坐标代入即可求解． 【详解】（1）∵抛物线过原点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）①∵抛物线； ∴抛物线开口向下，对称轴为 ∴当时，y随x的增大而增大， ∵是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为， ∴当，且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； ②∵，矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4 ∴当点M的纵坐标为时， ∴ 解得； 当点M的纵坐标为时， ∴ 解得， 综上所述，或或； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，顶点，    解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， 令点，则， ∴， 设直线解析式为，则， 解得， ∴， 将点Q代入可得：， 解得：， ∵点P在y轴下方， ∴， ∴， ∴P点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键． 5．已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A，其顶点为D，P是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式，并写出D点坐标； (2)如图1，点在抛物线上，连接，点P在抛物线对称轴左侧，满足，请求出点P的坐标； (3)如图2，连接，． ①判断的形状； ②当时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)①直角三角形；②或 【分析】（1）分别求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入求解即可； （2）连接，过B作于F，判断四边形是正方形，得出，，则可证，利用证明，可求出G的坐标，利用待定系数法求出的解析式，然后与抛物线解析式联立方程组求解即可； （3）①利用两点间距离公式，勾股定理的逆定理即可判断；②分在的上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， 把B、C的坐标代入， 得， 解得， ∴， ∴顶点D的坐标为； （2）解：把代入，得， ∴， ∴轴，则轴，， ∵，， ∴， 如图，连接，过B作于F， 则四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴ （3）解：①∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，其中； ②当在的上方时，如图， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴设的解析式为， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴P的坐标为； 当在的下方时， 如图，过B作，交于G，过G作于H 又①知， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴设的解析式为， ∴， ∴， ∴ 联立方程组， 解得或， ∴P的坐标为； 综上，P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与逆定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、等腰直角三角形求解是解题的关键． 6．如图，平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，直线恰好经过B，C两点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知点M是线段上的动点，过点M作轴，交抛物线于点N，以线段MN为直径作，求的周长最大值； (3)设抛物线的顶点为D，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得?若存在，求出点P的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）要求抛物线的表达式，先求出B，C两点的坐标，再代入抛物线的表达式中，用待定系数法求出抛物线解析式，化为顶点式即可解答； （2）的周长最大值即求出最大值即可，设出点P的坐标，将线段的长用含点t的式子表示出来，再利用二次函数的最大值求出的最大值，即可求解； （3）设对称轴与x轴的交点为点H，求点P的坐标，要得到PH的值，作交BC于点E，证，要得到AE的值，需证，从而求出点P的坐标． 【详解】（1）解：当时，，即点； 当时，，解得：，故点， 将点分别代入中， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； ∴， ∴抛物线的顶点坐标为 （2）如解图①，设，则， ， ∴当时，，此时以线段为直径作，的周长最大，最大值为 （3）存在． 由可得点D的坐标为，点A的坐标为， 由可知是等腰直角三角形，, 如解图②，过点A作，垂足为点E，设对称轴与x轴的交点为点H， ，, ， ，即， ， ， ， ， ，即， ∵点在对称轴上， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求二次函数解析式、相似三角形勾股定理等知识点，解本题的关键在明确题意，利用构造相似三角形求线段长和利用二次函数性质和数形结合思想解答问题． 7．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． (1)若，求顶点D的坐标及线段的长； (2)当时，二次函数的最小值为，求m的值； (3)连接，，，若，求点C的坐标． 【答案】(1)，6 (2) (3) 【分析】本题主要考查解直角三角形、一次函数的图象和性质、二次函数的图象与性质： （1）当时，抛物线的表达式为：，则抛物线的顶点坐标为：，令，则或5，即可求解； （2）当时，函数在时取得最小值，即；当时，同理可解． （3）过C作x轴平行线l，过D作于点M，求出，，，得，证明，根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， 顶点， 令， 则 解得：或 ，， ； （2）解：二次函数对称轴为直线， ①当时，当时，时函数值最小， ， ， ，所以舍去； ②当时，时函数值最小， ， ， ， ； ③当时，时函数值最小， ， ， ，舍去； 综上所述，； （3）解：由整理得：， ，， ， ， ， 过C作x轴平行线l，过D作于点M， 则， ， ， ， ， ， ，，， ∴ ，解得：（负值舍）， 8．已知，如图，直线与轴、轴相交于点、点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点． (1) ， ， ， ； (2)延长至点，作的平分线，两条角平分线相交于点，求的值； (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)0.5 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）将代入直线即可得出的值，得出，再利用待定系数法即可得出的值； （2）求出，，，由等边对等角得出，由角平分线的定义结合三角形内角和定理得出，最后根据正切的定义计算即可得出答案； （3）求出抛物线的对称轴为直线，设，作于，求出，得到点在以为圆心，为半径的圆上，作的垂直平分线交的延长线于，交于，则，，，证明，解直角三角形结合勾股定理得出，求出，以为圆心，为半径作圆，交对称轴于，则即为所求，连接，由圆周角定理可得，再利用勾股定理计算两点间的距离列出方程求解即可；作点关于直线的对称点，连接、，证明，根据对称性求出，再同理即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入直线得：， 解得：， 直线解析式为， 当时，， ， 将，，代入抛物线解析式可得：， 解得：； （2）解：由（1）可得：，，， ，，，， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：存在， 由（1）可得抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 设， 如图，作于， ， 由（2）可得：，， ， ，， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上， 作的垂直平分线交的延长线于，交于，则，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， ， 以为圆心，为半径作圆，交对称轴于，则即为所求，连接， 由圆周角定理可得， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； 作点关于直线的对称点，连接、， 由轴对称的性质可得：，，， ， ，， ， ， ， 以为圆心，为半径作圆，交抛物线对称轴于，则即为所求，连接， 由圆周角定理可得 ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定了、角平分线的定义、解直角三角形、圆周角定理、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 9．综合与探究 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．点为线段上的动点（与O，B不重合），过点D作x轴的垂线与线段交于点E，与抛物线交于点F．    (1)求直线的函数表达式和点A的坐标． (2)当点E为线段的中点时，求线段的长． (3)在抛物线上是否存在点G，使得？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在．点G的坐标为或； 【分析】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、解一元二次方程，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求得，，，再利用待定系数法求解即可； （2）用表示出和，根据，列方程，解之即可得解； （3）分两种情况讨论，点在轴下方和上方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得或； 令，则，解得或； ∴，，， 设直线的函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵点，且， ∴点，， ∴，， 由题意得， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：点在轴下方时，如图，    ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， 解方程， 得或， 此时点G的坐标为； 点在轴上方时，如图，    ∵， ∴， 同理求得直线的函数表达式为， ∴设直线的函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 联立， 整理得， 解得或， 此时点G的坐标为； 综上，点G的坐标为或； 10．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴于点，作轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，点为点的对应点，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，在平移后的抛物线上是否存在一点使，若存在求出点的坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1) (2)当时，取最大值为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）待定系数法求出直线的解析式，根据等腰直角三角形的判定和性质可得，根据勾股定理得出，设，则，结合二次函数的最值得出，即可求解； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，结合题意求出平移后抛物线的解析式，得出点、、坐标，过点作轴交于点，根据相似三角形的判定和性质得出，设，分情况计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 故将代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 则， 故， 设，则， ∴，， 故， ∴， 当时，取最大值为； 则， 故． （3）解：， 将向右平移1个单位得到新抛物线的解析式为， 则点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 抛物线与轴的交点坐标为， 过点作轴交于点，如图： 当在轴的下方时，设，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：或（负值舍去）， 则， ∴点的坐标为； 当在轴的上方时，设，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：或（负值舍去）， 则， ∴点的坐标为； 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的平移，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，解题的关键是根据勾股定理得出． 【题型2 已知角度数】 11．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， 由可得： ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接． (1)求B、C两点的坐标； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的最大值为，此时点P的坐标 (3)存在，所有符合条件的点Q的坐标为或 【分析】（1）时，，即，当时，，计算求解，然后作答即可； （2）由勾股定理得，，待定系数法求直线的解析式为，如图1，作轴，交于，则，，即，可得，当最时，最大，设，，则，，由，可知当时，最大，最大值为，进而可求的最大值和此时点P的坐标； （3）如图2，作于，使，连接，过作轴，作于，于，则，，，，同理（2）可求直线的解析式为，联立得，，计算求解，进而可得；如图2，作于，使，连接，作轴于，同理，，，，直线的解析式为，联立得，，计算求解，进而可得． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，， 解得，或， ∴，， ∴，； （2）解：由勾股定理得，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图1，作轴，交于， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴当最时，最大， 设，，则，， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴的最大值为，此时点P的坐标； （3）解：如图2，作于，使，连接，过作轴，作于，于， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理（2）可求直线的解析式为， 联立得，， 解得，或， ∴； 如图2，作于，使，连接，作轴于， 同理，，， ∴， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得，， 解得，或， ∴； 综上所述，存在，所有符合条件的点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，余弦，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，余弦，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式是解题的关键． 13．如图1，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，过点B，C作直线． (1)求b，c的值和直线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上的点，轴与直线交于点D，设点P的横坐标为t． ①如图2，连接，当的面积最大时，试判断四边形的形状，并说明理由； ②如图3，抛物线的对称轴为直线l，直线与x轴交于点E，过点D作直线的垂线，与直线l交于点F，与y轴交于点G，连接．当时，求t的值． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)①四边形是平行四边形，理由见解析；②或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可得到b，c的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）①设，则，根据最大时，得到，即可证明四边形是平行四边形；②根据题意易证是等腰直角三角形．抛物线的对称轴l的解析式为，得到，，，证明，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得． ∴． 当时，， ∴． 设直线的解析式为， ∴， ∴． ∴直线的解析式为； （2）解：①四边形是平行四边形． 理由如下： ∵， ∴． ∴． ， ∴最大时，． 当时，． 又， ∴． 又， ∴四边形是平行四边形． ②∵， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴是等腰直角三角形．抛物线的对称轴l的解析式为． ∴，，． ∴，． ∵，， ∴． ∴， ∴． 在中，． ∴， 整理得：． ∴或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质、一次函数解析式，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，综合性强，熟练运用相应知识是解题关键． 14．如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，最小值为， (3) 【分析】 （1）根据二次函数性质进行分析，即可得到答案； （2）由（1）可知，求得，作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小，利用坐标点的距离公式，得到，即可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而得到点的坐标，即可求得点Q的坐标． （3）如图，过作于，设，则，可得， ，，而，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：点在抛物线的对称轴上， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 是抛物线与y轴的交点， ， ； （2）解：存在最小值，理由如下： 由（1）可知，， 点D是抛物线上一点，坐标为， ， ， 作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，    由对称性可知，， ， 当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小， 抛物线的对称轴为直线，与抛物线对称轴垂直， ， ，轴， ， ， ， 的最小值为， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， ． （3）∵， 如图，过作于，设，则， ∴，    ∵， ∴，， ∴ ， 而， 解得：， ∵在第一象限，则， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，最值问题，勾股定理，一元二次方程的解法，待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 15．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与y轴交于点，点A是对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值； (3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)存在，Q点坐标为或 【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为，将代入可得，则可求解析式； （2）连接，设，分别求出， 所以， 当时，的最大值为； （3）设D点的坐标为，过D作对称轴的垂线，垂足为G，则，在中，，所以，求出，所以，连接，在中，，在以A为圆心，为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，，设，为圆A的半径，，求出或，即可求Q． 【详解】（1）抛物线顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， 将代入可得， ∴； （2）连接， 由题意，， 设， ∴， ， ， ， ∴， ∴当时，的最大值为； （3）存在，设D点的坐标为， 过D作对称轴的垂线，垂足为G， 则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍） ∴， ∴， 连接，在中， ∴， ∴， ∴在以A为圆心，为半径的圆与y轴的交点为Q点， 此时，， 设为圆A的半径， ， ∴， ∴， ∴或， 综上所述：Q点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，-4），连接AB，BC． 动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． 连接PQ，PC． (1)求抛物线的表达式； (2)在点P，Q运动过程中，当的面积为时，求点Q坐标； (3)在（2）条件下，时，在直线PQ上是否存在点M，使？若存在，请直接求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，， 【分析】（1）利用待定系数法代入计算即可； （2）过作轴于，利用求出的长，从而用t表示出，列出方程即可得出答案； （3）由（2）及可知，代入求得、，即可得出直线的解析式为，设，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出∠APM=90°，由的直角三角形即可推出，利用两点坐标距离公式列出方程，进行求解即可得出答案． 【详解】（1）解：将点、点的坐标分别代入，得 ， 解这个方程组，得， 则二次函数表达式． （2）过作轴于， 当时，， ∴， ∴． ∵、， ∴, ∴． ∵动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， 解得，，． ∵Q的横坐标为， ∴或． （3）存在，理由如下： 由（2）可知：，， ∵， ∴． ∴，此时点为的中点， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为， 将点P、Q坐标代入中，得： ，解得：， ∴设直线的解析式为， ∴设， ∵,, ∴,, ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵,， ∴， ∴ ∴，． 故答案为：存在，，． 【点睛】本题考查了二次函数与几何动点的综合应用，利用锐角三角函数求线段的长度，勾股逆定理，勾股定理，距离公式及坐标轴上点的特征等知识，较为综合，能够熟练应用知识是解题的关键． 17．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点A(，m)，与y轴交于点B，与x轴交于点C．抛物线经过点A交y轴于点D(0，6)． (1)求m的值及抛物线的表达式； (2)如图2，点E为抛物线上一点且在直线AC上方，若EAC的面积为，求出点E的坐标； (3)坐标轴上有一动点F，连接AF，当∠BAF=60°时，直接写出点F的坐标． 【答案】(1)m的值为4，； (2)E（0，6）或（3，0）； (3)F（，0）或（0，）． 【分析】（1）把点A代入一次函数解析式求得m，将A、D两点代入二次函数解析式，进而求得抛物线解析式； （2）作EF⊥x轴，交AC于G，是E、G两点坐标，表示出EG，根据三角形ACE的面积列出方程，求出方程的解，进而求得E点坐标； （3）分为点F在x轴，y轴两种情形，当F在x轴上时，作FM⊥AC，设出FM，CM，表示出AM，然后根据AC=AM+CM，列出方程，进而求得OF，从而得出F点坐标，当F在y轴上，同样方法求得F点坐标． 【详解】（1）解：由题意得， =4， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作EF⊥x轴于F，交AC于G， 由得，x=， ∴C(，0)， 设E（a，），G（a，）， ∴， ∵， ∴， ∴=0，=3， 当a=0时，y=6， 当a=3时，y=0， ∴E（0，6）或（3，0）； （3）解：如图2， 当F在x轴上， 作AN⊥FC于N，FM⊥AC于M， ∵AN=4，CN=2， ∴AC=2， ∵tan∠ACN=， ∴设FM=2x，CM=x， ∴CF=2x， 在Rt△AFM中，FM=2x，∠FAM=60°， ∴， ∵AM+CM=AC， ∴， ∴x=， ∴， ∴F（，0）， 如图3， ∵A（-，4），B（0，2）， ∴AB=， 当F在y轴上， 作FG⊥AC于G， 设BG=2m，FG=m， ∴BF=2m，AG=m， ∴m+2m=， ∴m=， ∴BF=2×=， ∴OF=OB+BF=2+=， ∴F（0，）， 综上所述：F（，0）或（0，）． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，一次函数及其图象性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力及正确使用解直角三角形． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为C(3，6)，与轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与轴的交点．    （1）求抛物线的解析式； （2）如图①所示，直线AB交抛物线于点E，连接BC、CE，求△BCE的面积； （3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）D点坐标为，存在，Q点坐标为(0，)或(0，) 【分析】（1）通过设顶点式，再用待定系数法求解即可； （2）先求出AB的解析式，进而求出E的坐标，从而利用割补法计算面积即可； （3）作DG垂直于对称轴，在中求解即可得到D的坐标，此时以A为圆心，AC为半径作圆弧，与y轴交于点Q，则满足∠CQD＝60°，从而在 中计算即可得到结果． 【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为C（3，6）， ∴设抛物线解析式为， 将B（0，3）代入可得， ∴,即． （2）设直线AB：，      将A(3,0)代入上式并解得， ∴直线AB：． 联立、，得， 解得， ∴E(9,-6)， ∴． （3）设D点的坐标为， 过D作对称轴的垂线，垂足为G，              则， ∴∠ACD＝30°，∴2DG＝DC， 在Rt△CGD中，CG＝DG， ∴， ∴t＝3+3或t＝3（舍） ∴D（3+3，﹣3）， ∴AG＝3，GD＝3， 连接AD，在Rt△ADG中， ∴AD＝＝6， ∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°， ∴在以A为圆心、AC为半径的圆与y轴的交点为Q点， 此时，∠CQD＝∠CAD＝60°， 设Q（0，m），AQ为⊙A的半径， ， ∴， ∴， ∴， 综上所述：Q点坐标为（0，）或（0，）． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，熟练求解函数解析式并进一步求解交点坐标是关键，同时灵活构造辅助线是解题的关键． 19．如图， 已知函数 与x轴交于点 B、C， 与y轴交于点 D， 连接、， (1)该抛物线的顶点坐标为 ；（用m的代数式表示）； (2)如果点O关于直线 的对称点正好落在抛物线对称轴上，求此时m的值； (3)在（2）的条件下，在x轴上有一动点M，横坐标为t，过点M作x轴的垂线l，请问若在直线l上有且只有一个点P，使得此时t的值为多少． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合题，掌握二次函数的图像和性质、三角形相似和判定、勾股定理是解题的关键. （1）利用配方法得到顶点坐标即可； （2）先求出、和D的坐标，设对称轴与x轴交于点E，连接，然后根据轴对称得到的长，再根据得到解题即可； （3）以为直径作圆S，则满足的点P在圆S的切线上，然后根据切线的性质解题即可. 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：如图，设对称轴与x轴交于点E，连接， 令 则或, ∴点、的坐标分别为: 、, 当时，， ∴点D的坐标为， ∵O关于直线 的对称点正好落在抛物线对称轴上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得； （3）当时，， ∴点D的坐标为， ∴， 以为直径作圆S， ∴点S的坐标为， ∵直线l上有且只有一个点P，使得 ∴直线l与圆S相切于点P， 如图，当直线l在点B右侧时，连接， 则，， ∴； 同理当当直线l在点B左侧时，； 综上所述，满足题意的值为或． 20．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位长度得到新的抛物线．    (1)求，，的值； (2)抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为此抛物线上一点，直线交轴于点，若，求点的坐标； (3)如图3，点为轴上一点，过点的直线与抛物线交于点，，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】 （1）由平移的性质，即可求解； （2）证明，即可求解； （3）证明，得到，即，即可求解． 【详解】（1） 解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位长度得到新的抛物线为； ，，． （2） 过点作轴于点，则 令，则，即点、的坐标分别为：、， 则，    ， ， 即，则， 则点； （3） 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，    设点的坐标为：，设直线的表达式为：， 设点、的坐标分别为：， 联立和得：， 则， ，则， ， ， ， ，即， 即， 则， 即点． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例，根和系数的关系等，有一定的综合性，难度适中． 【题型3 角的倍数关系】 21．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线在第一象限内的一动点，过P作交x轴于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线与y轴交于点N，M是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 【答案】(1) (2)，的最大值为8 (3) 【分析】（1）根据点，，得到，利用待定系数法即可求解； （2）过点B作，过点P作，交于点G，连接，根据，得到，易证四边形是矩形，得到，再根据得到，结合，易证，得到，根据两点间距离公式可求，结合，从而得到，即，可得，由此可知，当有最大值时，有最大值为，根据为定值，由最大时，有最大值，利用待定系数法求出直线的解析式为：，设，则，则，利用，得到关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求出m的值，即可求出点，点的坐标，利用即可求出的最大值，进而求出的最大值； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向左平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线，可得新抛物线的解析式为，设交x轴于点Q，过点Q作垂足为H，求出，易证是等腰直角三角形，即，进而证明是等腰直角三角形，根据，得到是的角平分线，即，设，根据角平分线的性质得到，进而得到，由，求出，即，再利用待定系数法求出直线的解析式为，联立，即可求出M的坐标． 【详解】（1）解： ，， ， 则， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：过点B作，过点P作，交于点G，连接， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， 当有最大值时，有最大值为， 为定值， 最大时，有最大值， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 设，则， ， ， 当时，的面积最大， ，， ， ， ， ， ， 的最大值为； （3）解：， 原抛物线沿射线方向平移个单位，即向左平移2个单位，向上平移1个单位， 新抛物线的解析式为， 设交x轴于点Q，过点Q作垂足为H， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是的角平分线，即， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， ， ，即， ，即， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，即， 解得：或（舍去，不符合题意）， M的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数图象上点坐标的特征，二次函数与相似三角形综合问题，二次函数的平移问题，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 22．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解； （3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故． 【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； （3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 23．如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可； （2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可； （3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）∵顶点D的坐标为， 设二次函数表达式为 将点代入得 ∴抛物线M的表达式为： 当时，或1， ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为； （2）当时，， ∴点C的坐标为 ∴设直线的表达式为： 故解得 ∴ 作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点 ∴点G的横坐标为 将代入得， ∴点G的坐标为， ∴点的坐标为 ∵，， ∴， ∴ 即周长的最小值为； （3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为 将点代入得：， ∴抛物线N的表达式为 ∴顶点P的坐标为， 将代入，， ∴， 作于H，则， ∵ ∴点H为点P和点Q的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ 或 ∴解第一个方程可得（舍）， 解第二个方程可得（舍）， 将代入P点坐标， P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键． 24．已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为第四象限内抛物线上的点，连接，如图1，若的面积为1，求P点坐标； (3)设点M为抛物线上的一点，若时，求M点坐标． 【答案】(1) (2) (3)M的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）过点P作轴交直线于点Q，先求出，再求出直线的解析式，设点，则点，求得，进而求解； （3）取点，连接，在上取一点，使得，连接，并延长交抛物线于点，求出直线的解析式为，设，由的长可求出，设直线的解析式为，求出直线的解析式，联立，解方程组可得出答案． 【详解】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得， ， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）如图所示，过点P作轴交直线于点Q， ， 又∵， ∴， 设直线为， ，解得， ∴， 设点，则点， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）如图，取点，连接，在上取一点，使得，连接，并延长交抛物线于点， ，点关于轴对称， ，， ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 设， ， 解得或（舍去）， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立， 得， 解得或（舍去）， 点的坐标为，， 由对称性可知点的坐标为，时，直线与抛物线的另一个交点也满足题意， 同理可求出此时点的坐标为，， 综上所述，点的坐标为，或，． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．交轴于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，使得．写出所有符合条件的点的横坐标．井写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，此时 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数图象的平移问题等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点作于点，求出，由三线合一定理可得，设， 求出，则，，可得则，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的解析式为，当点M在点C上方时，过点C作平行于x轴，作点B关于直线l的对称点E，则，由轴对称的性质可得，则可得，即可得到点M即为线段与抛物线的交点；当点M在点C下方时，如图所示，取中点H，连接，在上取一点F使得，则，求出直线解析式为，进而求出，证明，则点M即为射线与抛物线的交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图所示，过点作于点，    当时，， ∴ ， ∴， 设，直线的解析式为， 将点代入，得， 解得：， ∴，，， ∴ ∴ ∵，开口向下，且， ∴当时，， 此时 （3）解：∵ ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴相当于将抛物线向上移动个单位向左平移个单位； ∵原抛物线解析式为 ∴平移后的抛物线解析式为， 当点M在点C上方时，过点C作平行于x轴，作点B关于直线的对称点E，则， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴点M即为线段与抛物线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点M的横坐标为； 当点M在点C下方时，如图所示，取中点H，连接，在上取一点F使得， ∵， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴， 解得， ∴， ∴直线解析式为 ∵直线解析式为，直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M即为射线与抛物线的交点， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点M的横坐标为；    综上所述，点M的横坐标为或． 26．已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接交于点D，当时，请求出点D的坐标； (3)如图2，点E的坐标为，点G为x轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点P的坐标； 【答案】(1) (2)点 (3)点 【分析】本题主要考查了二次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，三角形外角的性质等等： （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据抛物线解析式求得的坐标，进而得出，根据得出则点到轴的距离为，即可得出点的坐标； （3）设直线交轴于点，利用三角形外角的性质得到，则，即，求得直线的表达式为，联立并解得（舍去正值），即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：令 ，得， 解得：， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴，， ∵，设点到的距离为， ∴， ∴， 过点作轴于点，则是等腰直角三角形，     ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， 联立，解得 (舍去正值)， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27．已知抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，抛物线与y轴交于C点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），P是抛物线第一象限内的任一点，过点P作轴于D，直线与交于点E，当是以为底的等腰三角形时，求P点的坐标； (3)如图（乙），若点M是抛物线上任意一点，且满足，求M的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （1）求出直线解析式，设点P坐标为：，则点E坐标为，当是以为底的等腰三角形时，点C在线段垂直平分线上，线段中点的纵坐标为3，由此求出x即可； （3）如图所示，取点，连，在上取点F，使得，连并延长交抛物线于点M，利用等腰三角形的性质和三角形内角和证明，再分别用待定系数法依次求出直线和直线的解析式，求出直线与抛物线交点M的坐标，再由对称性求出另一点M的坐标即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由题意点C坐标为， 由抛物线的对称性，点B的横坐标为， 则B点的坐标为：， 设直线解析式为：， 把，代入，得， ， 解得：， ∴直线解析式为：， ∴设点P坐标为：，则点E坐标为， 当是以为底的等腰三角形时， 点C在线段垂直平分线上，线段中点的纵坐标为3， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 故P点的坐标为． （3）解：取直线与x轴交点，记为点D， 连，在上取点F，使得，连并延长交抛物线于点M，    由题意可知，点关于y轴对称，则有，， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为：， 把，代入，得， ， 解得， ， ∴直线解析式为： 设点F坐标为， ，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， 则点F坐标为：， 设直线的解析式为， 把点，代入，得 ， 解得， 的解析式为， 当时， 解得（舍去） ∴点M的坐标为， 由对称性可知当F坐标为时，直线与抛物线的另一个交点也满足题意， 同理可以求出此时M的坐标为； 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合与一次函数的综合，勾股定理，等腰三角形的性质等等，解题的关键在于能够利用等腰三角形的性质构造出等角关系． 28．如图，抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点P，连接交直线于点D，若，求点P的坐标； (3)若在直线上方的抛物线上存在点Q，使，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点D作轴于E，过点P作轴于F，由，得到，进而推出；求出直线解析式为，设，则，，，证明，得到，则，解方程即可得到答案； （3）过点作轴交抛物线与点，过点作与于点，证明，即可证明，得到，设，则，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中得 ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图所示，过点D作轴于E，过点P作轴于F， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，当时，解得或， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，过点作轴交抛物线与点，过点作与于点， 轴， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：或（舍） ， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求出抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 29．如图1，抛物线交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为与y轴交于点C，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，，轴，求周长的最大值； (3)如图2，连接，点P在抛物线上，且满足，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）求出点C的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）表示出周长，求出直线解析式为，设，，得到，结合二次函数的性质即可得出答案； （3）在上截取，连接，过点E作，证明得到，再由三角形面积公式得出，从而得出，分两种情况：当点P在的下方时，设与y轴交于点N；当点P在的上方时；分别求出直线的解析式，联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵，点A的坐标为， ∴点C的坐标为， 将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得：，， ，而， ∴， 轴， ∴， ， ， 周长， 设直线的解析式为， 将点C的坐标为，代入解析式得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设，， ， 当时，最大， ∴周长最大； （3）解：如图2，在上截取，连接，过点E作， ∵点，点， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当点P在的下方时，设与y轴交于点N， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， ∴点P坐标为：， 当点P在的上方时，同理可求直线解析式为：， 联立方程组得：， 解得：或， ∴点P坐标为：， 综上所述：点P的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—周长问题、解直角三角形的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 30．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作交直线于点Q，连接、、，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）根据四边形的面积等于的面积加上的面积，转化为二次函数求最值即可； （3）取的中点，连接，作，勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据斜边上的中线和三角形的外角推出，进而求出，根据，得到，设，过点作于点，分点在的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）把，代入解析式，得： ，解得， ∴； （2）∵，当时，，解得：， ∴， 设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴， ∵点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作交直线于点Q， ∴， ∴， 设与交于点， 则：四边形的面积 ， ∴当时，四边形的面积最大，为；此时； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， 取的中点，连接，过点O作于点F， 则：，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，过点作于点，则：，， ∴， 当在下方时：， 解得：（舍去）或，经检验是原方程的解； ∴； 当在上方时：， 解得：（舍去）或，经检验是原方程的解； ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，分割法求面积，二次函数求最值，斜边上的中线，解直角三角形等知识点，综合性强，属于压轴题，正确的求出解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【题型4 角的和差关系】 31．如图，抛物线分别交轴于点和（在左侧），交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，连接，的面积是． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为，连接和，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，，直线和直线相交于点，为延长线上一点，连接，，点为上一点，连接，交轴于点，，且，在轴负半轴上一点，使，若求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，得到，进而根据的面积是，求出，则，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出对称轴，进而求出点B的坐标，则可求出的长，再求出点P的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可； （3）根据（2）所求，结合可得，求出直线解析式为，联立，可得；过点F作交轴于，可证明，设，利用勾股定理得到，可得，，，证明，求出，设，利用勾股定理可得，解方程可得；过点M作轴，延长交直线于Q，过点G、F分别作的垂线，垂足分别为S、R，过点G作轴于K，设，则，解直角三角形得到，，则，，可得；证明四边形是矩形，得到，则，，解，得到；进而得到；，证明，求出，则，可证明，推出，则；取，连接，可证明是等腰直角三角形，且，得到，则点H即为与y轴的交点，同理可得直线解析式为，则． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 把代入中得：， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， ∵点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为， ∴； ∵抛物线对称轴为直线， ∴点B的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得， 解得或（舍去）， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得， ∴； 如图所示，过点F作交轴于， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图所示，过点M作轴，延长交直线于Q，过点G、F分别作的垂线，垂足分别为S、R，过点G作轴于K，设， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵轴， ∴， ∴；， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（此时不满足，舍去）； ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，取，连接， ∴，， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴点H即为与y轴的交点， 同理可得直线解析式为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形，相似三角形和直角三角形是解题的关键． 32．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值； (3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合： （1）把抛物线设为顶点式即可得到答案； （2）先求出，进而求出直线解析式为；如图所示，过点D作轴，交于E，设，则，可得；进而得到，据此可得答案； （3）利用勾股定理得到，，，则，可得，利用三角形外角的性质证明，进而证明，得到，设，则，可得，则当时，有最大值，最大值为1，即点F的横坐标的最大值为． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图所示，过点D作轴，交于E， 设，则， ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1； （3）解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， ∴点F的横坐标的最大值为． 33．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点 ，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， (3)存在，， 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可． （2）分别代入，，易得点坐标，点坐标，设点坐标为，过作轴，可得，，①当时，，即，所以，②当时，，即，所以，所以． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，可得，，设，，所以，在由，可得，带入数值可得：，，所以，，，G过点作的垂线，垂足为，所以按照面积法可得的面积为，代入数值可得，所以，所以，因为，故，根据题意易得图形的抛物线为，然后分成两种情况分析①当在原抛物线上时，②当在翻折后的抛物线上时，根据，可得点坐标为和． 【详解】（1）由题意可得抛物线，过点 ， 故代入上式：， 可得， 故抛物线的表达式为． （2）将，代入抛物线中，即， 解得：，， 故点坐标为，点的坐标为， 将，代入抛物线中， 解得：， 故点坐标为， 由题设点坐标为， 过作轴， ∴轴， ∴，， ①当时，， 即， ∴， ②当时，， 即， ∴， ∴． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，如图所示： 根据翻折的规律可得，， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 带入数值可得， 解得：，， ∴，，， G过点作的垂线，垂足为， ∴按照面积法可得的面积为， 代入数值可得， 解得， 故由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 原抛物线解析式，可化为， 故抛物线顶点坐标为， ∵过点作轴的垂线：，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形， ∴翻折后抛物线解析式为 ，即 ， ∴图形的抛物线为， ①当在原抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得（舍），， ∴． ②当在翻折后的抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得，（舍）， ∴． 综上可得，点坐标为、． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，相似三角形、勾股定理解三角形，综合性较强，熟练掌握相关知识是解决这道题的关键． 34．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴于点B，交y轴于点C，直线经过A，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，交y轴于点D，若设线段的长为d，点P的横坐标为t，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，如图3，连接，点E为抛物线上第四象限上一点，，连接交x轴于点F，若，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的横坐标是 【分析】（1）先求出点，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，过点Р作轴于点K，再求出，即可求出答案； （3）过点D作交CA延长线于点M，于点N，证明，得到，再求出，待定系数法求出直线CF的解析式为．联立与求出点，设点，过点E作于点Q，则，根据求得，则，由 求出t的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线经过A，C两点， ∴当时，；当时，， ∴          ，           把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴， ∴         ，          过点Р作轴于点K， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点D作交CA延长线于点M，于点N， ∴ ∵四边形ADEC的内角和为，， ∴， ∵， ∴ ，                    ∵， ∴， ∴， ∴CD平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线CF的解析式为， ∴， 解得， ∴直线CF的解析式为．             联立与组成方程组得 , 得， ∴              设点，过点E作于点Q， ∴， ∴， ∴，解得        ，             ∴， ∴， 解得， ∴点P的横坐标是． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数的图象和性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和正确添加辅助线是解题的关键． 35．如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M是y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标； (3)如图2，过点C作交x轴于点E，交于点F．抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或或； (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解； （3）当点P在x轴上方的抛物线上时，证明，得到，求出，进而求解；当点P在x轴下方的抛物线上时，同理可解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线 的顶点D的坐标为， ∵， ∴，则， 设，则， 则， ①当时，有， 则， 解得：， 故； ②当时，有，则， 此时无解； ③当时，有，则， 解得：或； 故或； 综上所述，点M的坐标为或或； （3）解：存在，理由： 在抛物线上存在点P，使． 令， 解得：，， ∴抛物线交x轴于点， 则， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当点P在x轴上方的抛物线上时， 作于G，于H，延长与直线交于点I，过点I作轴于J， 则， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得： （不合题意的值已舍去）， 则； ②当点P在x轴下方的抛物线上时，延长与直线交于点K．过点K作轴于L， ∵，，， ∴， ∴， ∴点C为的中点， ∵，， ∴， 同理根据，可求出直线的解析式为： ， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）， 则点， 综上所述，点P的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的定义，中点坐标公式，勾股定理，两点间距离公式，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 36．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； (3)如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由已知易得是等腰直角三角形，则；求出直线的表达式为，设点，则点，进而可表示出，求出的最大值即可得E，F两点间距离的最大值； （3）分两种情况：点Q在下方时，设交y轴于点H，由题意得，从而其正切值相等，即，从而求得点H的坐标，用待定系数法求出直线的表达式，与抛物线表达式联立即可求得点Q的坐标；点Q在上方时，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接，易得四边形是矩形，则，；接着用证明，则有，进而得，最后求得点N的坐标；则可求得直线的表达式，联立抛物线表达式即可求得点Q的坐标；综合即可得结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线的表达式知，点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ，， 是等腰直角三角形， ， 由点A、C的坐标得：直线的表达式为：， 设点，则点， ， ， 故有最大值，当时，的最大值为：， 则的最大值为：； （3）解：当点Q在下方时，如图，设交y轴于点H， ， ， ， ∴，即， ， 故； 设直线的表达式为，把点A坐标代入得：， 得， 故直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 当点Q在上方时，如图，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， 则，； ， ， ， ， ， ， ； ， ； 设直线解析式为，则有， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合；考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正切函数，解一元二次方程等知识，综合性强，注意分类讨论与数形结合思想的应用． 37．如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)若点在点的上方，且，求的值； (3)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足=？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出点F的坐标． 【答案】(1)1， (2)m的值为1 (3)①当时，，  ；当时，，；；② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，三角函数的定义； （1）把、代入即可得到答案； （2）先求出直线的解析式，设点，可得 ，进而即可求解； （3）①先求出的解析式，的解析式，再表示， ，结合=，列出方程，即可求解；②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，推出，即可求解；当旋转后点F在点C右侧时满足的点F不存在 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与直线交于、两点， ∴，解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：1，； （2）∵直线过、两点． ∴直线的解析式是， 设点， ∴点M（m，）、N（m，），当点在点的上方时，则 ， 当时，，解得：； ∴m的值为1； （3）①由题意得：的解析式为， 的解析式， 当时，， ∴点E（3，）， ∴，， ∴， ， ∵=， ∴，解得： ∵点在直线的上方 ∴令=，解得： ∴ ∴存在，，满足= 当时，，  ； 当时，，； ②当旋转后点F在点C左侧时 过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，如图3， ∵直线的解析式为， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴和是全等的两个等腰直角三角形， ∴， ∵M（m，）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点F的坐标是， 当旋转后点F在点C右侧时 满足的点F不存在； 综上所述，点F的坐标是． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后抛物线上一点G，使得，请写出所有符合条件的点G的坐标．并写出求解点G的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)有最大值，此时 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交直线于点，交轴于点，过点作交于点，分别求得，，则，设，则，可得，当时，有最大值，此时； （3）平移后的抛物线解析式为，在轴上取点，连接，能推导出，过点作交于点，利用等积法能求，则，可得，过点作轴交于点，设，由方程，求得或． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴交直线于点，交轴于点，过点作交于点，如图1， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵ ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值，此时； （3）解：原抛物线沿射线方向平移个单位长度， 抛物线沿着轴负半轴平移2个单位长度，沿着轴正半轴平移个单位长度， 平移后的抛物线解析式为， 在轴上取点，连接，过点作交于点，如图2， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ， ， ， 过点作轴交于点，设， ， 解得或， ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，待定系数法求一次函数解析式，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 39．如图，在平面直角坐标系中抛物线经过和两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线上一动点，使得，请直接写出符合条件的点的横坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为9，； (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴交直线于点M，作轴于点N，则，求出直线的解析式为，求出，得到，得到，设点P的坐标为，则点M的坐标是，得到，即可得到答案； （3）由题意得到抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于向右平移4个单位，向下平移2个单位，求出平移后的抛物线为，分两种情况画出图形，分别利用相似三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）作轴交直线于点M，作轴于点N，则， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵点A的坐标为， 设直线的解析式为，则 解得， ∴直线的解析式为， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 设点P的坐标为，则点M的坐标是， ∴ ∵ ∴当时，的最大值为9， ， 即此时点P的坐标为； （3）∵ ∴ ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于向右平移4个单位，向下平移2个单位， ∵ ∴平移后的抛物线为，即，如图，    设点，过点作轴于点H， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，即， 解得或（不合题意，舍去） 则， 即点， 设点，过点作轴于点G， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，即， 解得或（不合题意，舍去） 则， 即点， 综上可知，点R的横坐标为或． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算、函数的最值等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 40．如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)最大值； (3)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，求出  ，求出直线的解析式为，由题意知，，，得到，即可得到答案； （3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 设该抛物线解析式为： ∵点在抛物线上 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为： （2）如图，过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E    令则 解得：， ∴   设直线的解析式为， 则 解得 ∴ 由题意知，， 所以， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴当时，的值最大，最大值是 （3）①如图，取点A关于y轴的对称点，连接，    直线与抛物线在第四象限的交点即为点M ∵ ∴且 ∴ ∴直线与x轴的交点坐标为 ②如图，    ∵ 若，则 将绕着C点逆时针旋转得到线段， 则直线与抛物线在第一象限的交点即为点M，过点M作轴于点N， 则， ∴， ∴ ∴， 设点M的坐标为，则， ∴ ∴ 解得或 则， 设直线的解析式为 则 解得 ∴的解析式为： 令，则 ∴直线与x轴的交点坐标为 综上可知，直线与x轴的交点坐标为或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$