专题20 二次函数综合题线段最值分类训练（4种类型35道）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题20 二次函数综合题线段最值分类训练 （4种类型35道） 目录 【题型1将军饮马】 1 【题型2求周长的最值】 6 【题型3胡不归】 9 【题型4将军造桥】 14 【题型1将军饮马】 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． 图1                     图2                          图3 (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标； (2)如图2，点Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时最小，求出Q点的坐标，并求出此时的周长； (3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足．求证：直线恒过定点，并求出定点坐标． 2．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使的值最小，此时P的坐标为 ； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由； (4)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 3．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，其中，．直线经过B，C两点．    (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点M，使最小，直接写出点M的坐标； (3)连接，求的面积． 4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，已知点A的坐标为，是抛物线上的点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，是否存在以A，B，M，N为顶点的平行四边形？若存在求出的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为． (1)抛物线及直线的函数关系式； (2)设点时对称轴上的一点，求使的值最小时的的坐标； (3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． 6．如图1，抛物线经过三点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)如图2，点M是线段上的点（不与A、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示的长，并求出的最大值． 7．二次函数的图象经过点，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接，交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)在对称轴上是否存在一个点M，使的和最小，存在的话，请求出点M的坐标．不存在的话请说明理由． (3)连接，当时，求直线的表达式． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已的点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式，及点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)当时．最大值为，直接写出n的值． 9．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线，已知：、． (1)求抛物线的解析式； (2)求出B点坐标； (3)在对称轴上是否存在一个P点，使最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由． 10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的对称轴及k的值； (2)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标； (3)点M是抛物线上一动点，且在第三象限，过点M作轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值． 【题型2求周长的最值】 11．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 12．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点的坐标； (3)若为抛物线在第一象限的一动点，则最大值 ． 13．如图，已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求出二次函数解析式； (2)连接，求证：是直角三角形； (3)在对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标和的周长；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点B． (1)求此抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，是否存在以点O、B、Q、P为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，且． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标； (3)连接，点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标． 17．如图抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点B，与y轴交点C，抛物线经过B，C两点，与轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作轴交于M． (1)求抛物线的解析式； (2)当是直角三角形时，求P点坐标； (3)若点P是直线上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点M， 作于点N， 当的周长最大时，请在轴上找到一点Q，使的周长最小，并求出最小值． 19．综合与探究 如图，抛物线交x轴于点、点B，交y轴于点C，直线经过B，C两点． (1)直接写出点B，C的坐标并求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，求点P的坐标． (3)在直线上方的抛物线上是否存在点Q，使得的面积有最大值?若存在，求点Q的坐标及此时的面积；若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由． 【题型3胡不归】 21．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F． ①求的边上的高的最大值； ②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由； ③如图，在①的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．    22．如图，已知抛物线与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在该二次函数的图象上，且，求点P的坐标； (3)设F为线段上的一个动点（异于点B和D），连接．是否存在点F，使得的值最小？若存在，分别求出的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由． 23．如图，已知抛物线（）与轴相交于点，与轴分别交于点和点A，且． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 24．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（9，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，连接PD与BC交于点E．设点P的运动时间为t秒（t＞0） （1）求抛物线的表达式； （2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）． ②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值； （3）点M为线段BC上一点，在点P，Q运动的过程中，当点E为PD中点时，是否存在点M使得PM+BM的值最小？若存在，请求出PM+BM的最小值；若不存在，请说明理由． 25．如图1，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，点D的坐标为（0，﹣1），直线AD交抛物线于另一点E，点P是第二象限抛物线上的一点，作PQ∥y轴交直线AE于Q，作PG⊥AD于G，交x轴于点H （1）求线段DE的长； （2）设d=PQ﹣PH，当d的值最大时，在直线AD上找一点K，使PK+EK的值最小，求出点K的坐标和PK+EK的最小值； （3）如图2，当d的值最大时，在x轴上取一点N，连接PN，QN，将△PNQ沿着PN翻折，点Q的对应点为Q′，在x轴上是否存在点N，使△AQQ′是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由． 26．如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，且． (1)求抛物线的解析式及直线BC的表达式； (2)在线段BC上找一点E（不与B、C重合），使的值最小，并求出这个最小值； (3)连接AC，是否在抛物线上存在点P，过点P作于点E，使以点A、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且，    (1)求抛物线解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点在第四象限且在抛物线上．    （1）如（图1），当四边形面积最大时，在线段上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标及的最小值； （2）如（图2），将沿轴向右平移2单位长度得到，再将绕点逆时针旋转度得到，且使经过、的直线与直线平行（其中），直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上．在线段上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）x轴上是否存在点P，使PC+PB最小？若存在，请求出点P的坐标及PC+PB的最小值；若不存在，请说明理由； （3）连接BC，设E为线段BC中点．若M是抛物线上一动点，将点M绕点E旋转180°得到点N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标． 30．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，抛物线顶点为H（1，2）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD．当S△PAD=3，若在x轴上存在一动点Q，使PQ+QB最小，求此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值； （3）若点E为抛物线上的动点，点G，F为平面内的点，以BE为边构造以B，E，F，G为顶点的正方形，当顶点F或者G恰好落在y轴上时，求点E的横坐标． 【题型4将军造桥】 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 32．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标； (3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 33．如图1，抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作交抛物线于点E，交y轴于点P． (1)点F是直线下方抛物线上点一动点，连交于点G，连，当的面积的最大值时，直线上有一动点M，直线上有一动点N，满足，连，，求的最小值； (2)如图2，在（1）的条件下，过点F作轴于点H交于点L，将沿着射线平移到点A与点C重合，从而得到（点A，H，L分别对应点，，），再将绕点逆时针旋转，旋转过程中，边所在直线交直线于Q，交y轴于点R，求当为等腰三角形时，直接写出的长． 34．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，若，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题20 二次函数综合题线段最值分类训练 （4种类型35道） 目录 【题型1将军饮马】 1 【题型2求周长的最值】 22 【题型3胡不归】 47 【题型4将军造桥】 80 【题型1将军饮马】 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． 图1                     图2                          图3 (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标； (2)如图2，点Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时最小，求出Q点的坐标，并求出此时的周长； (3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足．求证：直线恒过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点D的坐标为； (2)的周长的最小值为； (3)直线恒过定点，定点坐标为． 【分析】（1）求得点B的坐标为，点C的坐标为，利用待定系数法求解，再配成顶点式，即可得解； （2）先求得直线的解析式，再求直线与对称轴交点Q，将转化为，在中求，在中求即可求解； （3）如图，过点D作直线垂直轴，再过点M，N分别作直线的垂线，设点M的坐标为，点N的坐标为，证明，求得，再利用待定系数法求得直线的解析式为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线，顶点D的坐标为； （2）解：∵点A与点关于直线对称， ∴直线与对称轴的交点为Q，则Q为最小时位置， 设直线的解析式为， 代入点得，解得， ∴直线的解析式为， 当，， ∴， ∵点， ∵， ， ∴的周长的最小值为； （3）解：如图，过点D作直线垂直轴，再过点M，N分别作直线的垂线，垂足分别为H，G， 设点M的坐标为，点N的坐标为， ∵顶点D的坐标为， ∴，， ，， 由题意得， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点M的坐标为，点N的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 得， ∵， ∴， 将代入①得， 求得； ∴直线的解析式为， ∵，即， ∴， ∴当即时，， ∴无论为何值，直线总会经过定点， ∴直线恒过定点，定点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 2．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使的值最小，此时P的坐标为 ； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由； (4)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)能，或； (4)点的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到面积的计算，直角三角形的性质、点的对称性等，分类求解是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，则交抛物线对称轴于点，点为所求点，即可求解； （3）当直线能否把分成面积之比为的两部分时，即或，即可求解； （4）当是斜边时，由勾股定理列出等式，即可求解；当或为斜边时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，    点关于抛物线对称轴的对称点为点，则交抛物线对称轴于点，点为所求点，理由： 为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 即点， 故答案为：； （3）解：能，理由： 当直线能否把分成面积之比为的两部分时，即或， 设点，点， 则或， 解得：或， 则点或； （4）解：设点， 由点、、的坐标得，，，， 当是斜边时， 则， 解得：或， 即点或； 当或为斜边时，同理可得： 或， 解得：或， 即点或， 综上，点的坐标为：或或或． 3．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，其中，．直线经过B，C两点．    (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点M，使最小，直接写出点M的坐标； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、最短路径问题、三角形的面积． （1）根据抛物线与x轴交于，与y轴交于C点，可以求得该抛物线的解析式，然后即可求得点B的坐标，再根据点B和点C的坐标，即可求得直线的解析式； （2）根据两点之间线段最短和二次函数图象具有对称性，可以找到点M所在的位置，然后求出点M的坐标即可； （3）根据点D和点M的坐标，可以求得的长，再根据三角形的面积公式，即可求得的面积． 【详解】（1）将点，代入， 得 解这个方程组，得 抛物线的解析式为. 当时，， 解得， ∴点B的坐标为， ∵直线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （2）∵点A和点B关于对称轴对称， ∴当点M是直线和对称轴的交点时，取得最小值，    ∵抛物线， ∴点D的坐标为，对称轴为直线， 将代入直线，得：， ∴点M的坐标为； （3）∵点，点， ∴， ∵点， ∴， ∴． 4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，已知点A的坐标为，是抛物线上的点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，是否存在以A，B，M，N为顶点的平行四边形？若存在求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或，或，使得以A，B，M，N为顶点的平行四边形 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，根据对称性得到，则当B、P、C三点共线时，最小，即最小，求出点B的坐标，进而求出直线解析式为，在中，当时，，由此即可得到答案； （3）分当为对角线时， 当为对角线时当为对角线时，则由平四边形对角线中点坐标相同，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，连接， ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， ∴当B、P、C三点共线时，最小，即最小， ∵抛物线对称轴为直线， ∴ 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴存在，使得的值最小；    （3）解：设， 当为对角线时，则由平四边形对角线中点坐标相同可得： ， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴，； 当为对角线时，则由平四边形对角线中点坐标相同可得： ， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴，； 当为对角线时，则由平四边形对角线中点坐标相同可得： ， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴，； 综上所述，存在，或，或，使得以A，B，M，N为顶点的平行四边形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 5．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为． (1)抛物线及直线的函数关系式； (2)设点时对称轴上的一点，求使的值最小时的的坐标； (3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． 【答案】(1)抛物线为，直线为 (2)点坐标为 (3)面积的最大值为 【分析】（1）把点及代入，利用待定系数法求解解析式即可； （2）先求解点坐标为，作点关于直线的对称点，则，如图，此时，重合，当点，点，点点三点共线时，的值最小，此时，再利用一次函数的性质与抛物线的对称轴求解即可； （3）过点作轴交于点，交轴于点；过点作轴于点，由，再结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线过点及得，， 解得， 故抛物线为 又设直线为过点及得： ，解得 故直线为； （2）∵， 当时，， ∴点坐标为，作点关于直线的对称点，则，如图， 此时，重合， 由对称知识得，则，当点，点，点点三点共线时，的值最小，此时 设过的直线为， ∵抛物线的对称轴为直线，当时，， 则点坐标为； （3）如图，过点作轴交于点，交轴于点；过点作轴于点， 设，则 又， 当时，面积的最大值为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，熟练的构建与面积相关的二次函数是解本题的关键． 6．如图1，抛物线经过三点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)如图2，点M是线段上的点（不与A、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示的长，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为：，将点C坐标代入解析式，求出a即可得出结论； （2）先判断出点P是直线与抛物线对称轴的交点，再用待定系数法求出直线的解析式，即可得出结论； （3）点N在抛物线上，则，由上可得直线的表达式为：，再由轴，可得，进而可表达的长，再利用二次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴可设抛物线的解析式为：， 将代入解析式可得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴直线为， ∴点A，B关于抛物线对称轴直线对称， ∴直线与对称轴直线的交点为点P， 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴ （3）解：由（2）得直线的表达式为：， ∵点N在抛物线上， ∴ ∵轴， ∴， ∴ ∴的最大值为． 【点睛】本题属于二次函数与一次函数的综合应用题目．需要同学们具备扎实的函数基础． 7．二次函数的图象经过点，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接，交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)在对称轴上是否存在一个点M，使的和最小，存在的话，请求出点M的坐标．不存在的话请说明理由． (3)连接，当时，求直线的表达式． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)． 【分析】 此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、线段最值问题、角度问题，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）在对称轴上存在一个点M，使的和最小，连接交对称轴于M，则的和最小，进一步求出点M的坐标即可； （3）设交y轴于K，证明，设，则，求出，得到，利用待定系数法求出直线的表达式即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）在对称轴上存在一个点M，使的和最小，理由如下： 连接交对称轴于M，则的和最小，如图： ∵， ∴， 而C，M，A共线， ∴此时最小， 在中，令得， ∴， 设直线的表达式为，由，可得 解得 ∴直线解析式为， 由知抛物线对称轴为直线， 在中，令得， ∴； （3）设交y轴于K，如图： ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的表达式为，由，得到 解得 ∴直线的表达式为． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已的点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式，及点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)当时．最大值为，直接写出n的值． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）由对称轴可得，过点可得，从而可得解析式即B的坐标； （2）由，再结合一次函数的性质可得答案； （3）由当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，再结合最大值建立方程可得答案． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，即①． 抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标是， ②，联立①②，得 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， 点B的坐标为． （2）当，则， ∴． 点A，B关于直线对称， ， ． 设直线的解析式为， 将，代入， 得 解得 直线BC的解析式为， 当时，， ． （3）二次函数图象的对称轴是直线且开口向下， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 时，最大值为， 令时，则，即， 解得或， 或时， ∴或, 在时，最大值为， 或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，二次函数的性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 9．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线，已知：、． (1)求抛物线的解析式； (2)求出B点坐标； (3)在对称轴上是否存在一个P点，使最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象交点，路径最短问题等知识点．解题的关键是根据所学的知识确定点的位置是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴为直线及、，利用待定系数法即可求解； （2）令，可得，求解即可得点的坐标； （3）根据轴对称图形的性质和两点间线段最短可知，，，则（当、、在同一直线上时，取等号），直线与抛物线对称轴的交点就是所求的点．可先求出这条直线的解析式然后联立抛物线对称轴的解析式即可求得点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，则， 将、代入中，得 解得：， ∴解析式为：； （2）当时，，解得：，， ∴点的坐标为； （3）存在，理由如下， 如图，连接，交对称轴于点，连接， 由对称可知，，则（当、、在同一直线上时，取等号），此时点为直线与抛物线对称轴的交点， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即此时点的坐标为． 10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的对称轴及k的值； (2)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标； (3)点M是抛物线上一动点，且在第三象限，过点M作轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值． 【答案】(1)对称轴为直线， (2) (3) 【分析】（1）将代入，可求，则，然后作答即可； （2）如图1，连接，与对称轴交点为，由两点之间线段最短，可知点即为所求，当时，，可求或，则，待定系数法求 直线的解析式为，当时，，进而可得； （3）如图2，设，则，，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：如图1，连接，与对称轴交点为，由两点之间线段最短，可知点即为所求， 当时，， 解得，或， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：如图2， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，一次函数解析式，二次函数与线段综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，一次函数解析式，二次函数与线段综合是解题的关键． 【题型2求周长的最值】 11．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点D的坐标为； (2)点M的坐标为； (3)的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）作点B关于原点的对称点，连接交轴于点M，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）以为边在的下方作等边三角形，得到点在以为圆心，1为半径的上，据此求解即可． 【详解】（1）解：由于抛物线经过点和点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：∵点，对称轴为直线， ∴点， ∵，， ∴长为定值， 作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M， 则， ∴，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点M的坐标为； （3）解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，， ∵等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，1为半径的上， ， 当点在线段上时，有最小值为； 当点在射线上时，有最大值为； ∴的取值范围为． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 12．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点的坐标； (3)若为抛物线在第一象限的一动点，则最大值 ． 【答案】(1)； (2)的周长的最小值为，点P的坐标为 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）如图1中，连接与对称轴交于点，此时的周长最小．求出直线的解析式即可解决问题； （3）为抛物线在第一象限的一动点，则，，依据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长， 令，则， ， ，， ，， 的周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：为抛物线在第一象限的一动点， ， ， 当时取最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一次函数、最小值问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称的思想解决最小值问题． 13．如图，已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求出二次函数解析式； (2)连接，求证：是直角三角形； (3)在对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标和的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，的周长最小值为． 【分析】（1）把、代入，求出a和b的值，即可得出函数解析式； （2）先求出点D和点B的坐标，根据两点之间的距离公式，求出，再根据勾股定理逆定理，得出为直角三角形即可； （3）连接交抛物线对称轴于，连接，由，，知，由得抛物线对称轴是直线，而，关于抛物线对称轴对称，可知当、、共线时，最小，此时也最小，故此时的周长最小，设直线为，将，代入得直线为，令得，故． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得：， ∴此二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴，此二次函数对称轴为直线， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形； （3）解：存在点，使的周长最小， 连接交抛物线对称轴于，连接，如图： ，， ， 由得抛物线对称轴是直线， ，关于抛物线对称轴对称， ， ， 而当、、共线时，最小，此时也最小，因，故此时的周长最小， 设直线为，将，代入得： ，解得， 直线为， 令得， ； ，， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，勾股定理逆定理，以及轴对称的性质． 14．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 【答案】(1)； (2)的周长的最小值为，点P的坐标为； (3)的最大值为，此时． 【分析】 题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点，此时的周长最小，利用勾股定理以及待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）连接，设，根据列得二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长， 令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴的周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得, ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：连接，设， 依题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，此时． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点B． (1)求此抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，是否存在以点O、B、Q、P为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线为：； (2) (3)点的坐标为：）或． 【分析】（1）由题意设抛物线为，再进一步解答即可； （2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式是，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点，则，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴得对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点即为所求点的位置，即的周长为最小， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时， ∴，即； 当时， ∴， 即 ∴点的坐标为：）或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，且． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标； (3)连接，点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)则点P的坐标为：）或 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据二次函数解析式可求出，可得点的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式； （2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式是，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点，则，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，， ∴， ∴， ∴，，， 设抛物线的表达式为：， ∴， ∴， 故抛物线的表达式为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为， ∴点关于抛物线对称轴得对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点即为所求点的位置，即的周长为最小， 已知，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时，，即； 当时，，即 ∴点的坐标为：）或． 17．如图抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2)M点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题： （1）把，代入解方程组即可得到结论； （2）连接交对称轴于M，则此时，的周长最小，设直线的解析式为，解方程组求得直线的解析式为，当时，求得，于是得到结论． 正确的理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入中得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为： （2）存在， 连接交对称轴于M，则此时，的周长最小， 在中，令，则， ， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴M点的坐标为 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点B，与y轴交点C，抛物线经过B，C两点，与轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作轴交于M． (1)求抛物线的解析式； (2)当是直角三角形时，求P点坐标； (3)若点P是直线上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点M， 作于点N， 当的周长最大时，请在轴上找到一点Q，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)，的周长最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分当时，当，两种情况讨论求解即可； （3）由勾股定理得，则，证明，解，得到，则的周长，故当最大时，的周长最大，设，则，则，则当时，有最大值，即此时的周长最大，此时点P的坐标为；如图所示，作点P关于x轴的对称点H，连接，则，则当C、Q、H三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，利用勾股定理即可求出的周长最小值为．同理可得直线解析式为，可得． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴、； ∵抛物线的图象经过，两点 ∴ ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，则， ∵轴， ∴轴， ∴此时点C和点P关于抛物线对称轴对称， ∵， ∴点的坐标为； 如图所示，当，设直线与x轴交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴在中，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； ∵不可能垂直， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解；在，由勾股定理得， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴在，， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长最大， 设，则 ∴， ∵， ∴当时，有最大值，即此时的周长最大， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，作点P关于x轴的对称点H，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴的周长， ∴当C、Q、H三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为， ∵， ∴的周长最小值为． 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合，勾股定理，轴对称最短路径问题等等，解（2）的关键在于分两种情况，解（3）的关键在于把求的周长最大值转换成求线段的最大值。 19．综合与探究 如图，抛物线交x轴于点、点B，交y轴于点C，直线经过B，C两点． (1)直接写出点B，C的坐标并求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，求点P的坐标． (3)在直线上方的抛物线上是否存在点Q，使得的面积有最大值?若存在，求点Q的坐标及此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为 (3)在直线上方抛物线上存在点Q，使得的面积有最大值．点Q的坐标为，此时的面积为8 【分析】（1）对于，令，求出；令，求得，从而求出点的坐标，再把A、B、C三点坐标代入，求出的值即可； （2）求得抛物线的对称轴，根据垂直平分线的性质得出点P使得的长度最短； （3）过点Q作轴，交直线于点D，设点，则，利用的面积，求出的面积关于m的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）对于，令，得， ∴， 令，则，解得， ∴， ∵二次函数图象经过A，B，C三点且， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）在抛物线的对称轴上存在点P使得的长度最短．点P的坐标为，理由： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 设抛物线的对称轴与直线交于点P， ∵直线为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴此时点P使得的长度最短． 当，则． ∴在抛物线的对称轴上存在点P使得的长度最短，点P的坐标为； （3）在直线上方抛物线上存在点Q，使得的面积有最大值．点Q的坐标为，此时的面积为8，理由： 过点Q作轴，交直线于点D，如图， 设点，则， ∴. ∵， ∴． ∴的面积 ． ∵， ∴当时，的面积有最大值8，此时点Q的坐标为． ∴在直线上方抛物线上存在点Q，使得的面积有最大值．点Q的坐标为，此时的面积为8． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，函数的极值，理由点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 20．如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在使得的周长最小 (3)存在使得面积最大，最大为 【分析】（1）根据题意可知，将点、代入函数解析式，列得方程组即可求得、的值，求得函数解析式； （2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求； （3）存在，设点的坐标，将的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中得， ． 抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵A、C为定点， ∴为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小， 在中，当时， 的坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 在中，当时， ， ∴存在使得的周长最小； （3）解：设，过点P作轴于E， ， ∴当有最大值时，有最大值， ， ， ∵， 当时，最大值， 最大， 当时，， 点坐标为， ∴存在使得面积最大，最大为． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合． 【题型3胡不归】 21．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F． ①求的边上的高的最大值； ②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由； ③如图，在①的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】(1) (2)①；②存在，，．③ 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案； ②分和两种情况进行求解即可； ③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）①设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②存在． ∵ ∴只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形． （i）当时， ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点F的纵坐标为3，把代入， 得， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． （ii）当时，如图：作于点G， 则， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． 综上所述，符合条件的点F的坐标为，． ③以点A为顶点作，过点G作于点M， ∴， ∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置， 由①可知，当时，， ∴有最大值时，点E的坐标为， 则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 22．如图，已知抛物线与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在该二次函数的图象上，且，求点P的坐标； (3)设F为线段上的一个动点（异于点B和D），连接．是否存在点F，使得的值最小？若存在，分别求出的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点坐标为或 (3)存在，最小值为， 【分析】（1）求出点D的坐标，利用待定系数法求出a的值即可． （2）如图1中，设直线交y轴于J，则．连接，．由，推出，推出，再构建方程求出点P的坐标即可． （3）如图2中，过点D作平行于x轴，首先证明，过F作于H，则有，推出，推出，当A、F、H三点共线时，即时，取最小值． 【详解】（1）解：把代入， 解得， ∴， 把代入， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵， 当时，则， ∵， 当，则， 当时，则， 解得：，， ∴，，， 如图1中，设直线交y轴于J，则．连接，． ∴ ∴， ∴， ∴， 当时， ， 解得：， ∴或， 当时， ∴ 方程无解， ∴满足条件的点P的坐标为或． （3）如图2中，过点D作平行于x轴，作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则有， ∴， ∴，当A、F、H三点共线时， 即时，取最小值． 把代入可得， ∴； 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了利用待定系数法求解解析式，二次函数与图形面积，解直角三角形的相关计算，运算量大，综合性强，（1）（2）步按照题目要求逐步解题即可，第三步解题关键是要根据一次函数解析式得到． 23．如图，已知抛物线（）与轴相交于点，与轴分别交于点和点A，且． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)存在， 【分析】（1）根据点的坐标，可求出点A的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，根据题意分别计算出直线的解析式，根据直线与抛物线由交点，联立方程组求解即可； （3）如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，根据点的坐标可得是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可得，当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，根据抛物线的特点可得点的坐标，由此可求出的长，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将，，代入得， ，解得，， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：存在一点，使得，理由如下： 如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于， ∵， ∴，即点是满足题意的点， ∵，， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：，， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， ∵关于轴对称， ∴直线的解析式为：， ∴，， ∴是满足题意的点， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， 综上所述，点坐标为或． （3）解：在轴上存在一个点，使的值最小，理由如下： 如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，，则， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴最小即是最小， ∴当运动到，和重合时，的值最小，最小值是， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式，几何图形的变换特点，一次函数与二次函数联立方程组求解，等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 24．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（9，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，连接PD与BC交于点E．设点P的运动时间为t秒（t＞0） （1）求抛物线的表达式； （2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）． ②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值； （3）点M为线段BC上一点，在点P，Q运动的过程中，当点E为PD中点时，是否存在点M使得PM+BM的值最小？若存在，请求出PM+BM的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）P ，D； ；（3）存在，故PM+BM的最小值为． 【分析】（1）把A（﹣3，0），B（9，0）两点，代入解析式即可 （2）先求出BC的解析式①把P,Q代入解析式即可解答 ②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标，在代入解析式即可 （3）根据点E是PQ的中点，求出点E的坐标，将其代入解析式②即可求出P，作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN⊥y轴于点N，再证明△P′MC≌△PNC（AAS），即可解答 【详解】解：（1）将A（﹣3，0），B（9，0）代入y＝ax2+bx+3，得： ，解得： ， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+ x+3①； （2）由题意得：∠ACO＝∠OBC＝30°，∠ACB＝90°， 将点B、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣x+3②； ①点P的坐标为（﹣3+t，t）， 点Q（9﹣2t，0），将点Q的坐标代入①式并整理得：点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]； ②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标， 即： [（6t﹣t2）]＝t， 解得：t＝； （3）点P的坐标为（﹣3+t，t）、点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]， 点E是PQ的中点，则点E[3﹣t，t+（6t﹣t2）]， 将点E的坐标代入②式并整理得：t2﹣6t+9＝0，解得：t＝3， 即点P（﹣，）即点P是AC的中点， 作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN⊥y轴于点N， 则MH＝MB， 则此时，PM+BM＝PM+MH＝P′H为最小值， ∵∠ACB＝90°，PC＝P′C，∠P′CM＝∠NCP，∠P′MC＝∠PNC＝90°， ∴△P′MC≌△PNC（AAS），∴MC＝NC＝OC， OM＝OC＝ ＝P′H， 故PM+BM的最小值为． 【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于作辅助线 25．如图1，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，点D的坐标为（0，﹣1），直线AD交抛物线于另一点E，点P是第二象限抛物线上的一点，作PQ∥y轴交直线AE于Q，作PG⊥AD于G，交x轴于点H （1）求线段DE的长； （2）设d=PQ﹣PH，当d的值最大时，在直线AD上找一点K，使PK+EK的值最小，求出点K的坐标和PK+EK的最小值； （3）如图2，当d的值最大时，在x轴上取一点N，连接PN，QN，将△PNQ沿着PN翻折，点Q的对应点为Q′，在x轴上是否存在点N，使△AQQ′是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)8．(2)K（﹣2，﹣3），最小值为8．(3)满足条件的点N坐标为（6﹣5，0）或（，0）或（﹣3，0）或（﹣6﹣5，0）． 【详解】试题分析：（1）先求出点A坐标，求出直线AD的解析式，利用方程组求出点E坐标，利用两点间距离公式即可解决问题． （2）构建二次函数，求出d最大时点P坐标，作EM⊥PQ交PQ的延长线于M，作KN⊥EM于N．只要证明PM就是PK+EK的最小值即可解决问题． （3）分四种情形①如图2中，当Q′Q=AQ′时，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°，连接PA，在PF上取一点E，使得PE=EN．设FN=x，则PE=EN=2x，EF=x，列出方程求解即可．②如图3中，当N与A重合时△AQQ′是等腰三角形．此时N（，0）．③如图4中，当N与B重合时，△AQQ′是等腰三角形，此时N（﹣3，0）．④如图5中，当Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一点E，使得PE=BE．在Rt△PEF中解直角三角形即可解决问题． 试题解析：（1）对于抛物线y=﹣x2﹣x+3， 令y=0，得﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或，∴A（，0），B（﹣3，0）， ∵D（0，﹣1）， 设直线AD的解析式为y=kx+b，则有解得， ∴直线AD的解析式为y=x﹣1． 由解得或，∴点E坐标为（﹣4，﹣5）， ∴DE==8． （2）如图1中，设P（m，﹣ m2﹣x+3）则Q（m， m﹣1）． ∵tan∠OAD==，∴∠OAD=30°，∵PG⊥AE，∴∠AGH=90°，∴∠AHG=∠PHF=60°， ∴PH=， ∴d=PQ﹣PH=﹣m2﹣m+3﹣×（﹣m2﹣m+3）=﹣（m+2）2+， ∵﹣＜0， ∴m=﹣2时，d的值最大，P（﹣2，3）， 作EM⊥PQ交PQ的延长线于M，作KN⊥EM于N． ∵∠AEM=∠OAD=30°， ∴KN=EK，QM=EQ， ∴PK+EK=PK+KN≤PM， ∴当K与Q重合时，PK+EK的值最小， 此时K（﹣2，﹣3），最小值为8． （3）①如图2中，连接PA，在PF上取一点E，使得PE=EN． ∵PF=3，AF=3，∴tan∠AFP=，∴∠PAF=30°，∠PAQ=60°，∵PF=FQ，AF⊥PQ， ∴AP=AQ，∴△PAQ是等边三角形，当Q′Q=AQ′时，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°， ∴∠NEF=30°，设FN=x，则PE=EN=2x，EF=x，∵PF=3，∴2x+x=3，∴x=6﹣3， ∴OF=2﹣6+3=5﹣6，∴N（6﹣5，0）． ②如图3中，当N与A重合时△AQQ′是等腰三角形．此时N（，0）． ③如图4中，当N与B重合时，△AQQ′是等腰三角形，此时N（﹣3，0）． ④如图5中，当Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一点E，使得PE=BE． 在Rt△PEF中，∵PF=3，∠PEF=30°，∴PE=NE=2PF=6，EF=PF=3， ∴ON=6+5，∴N（﹣6﹣5，0）． 综上所述，满足条件的点N坐标为（6﹣5，0）或（，0）或（﹣3，0）或（﹣6﹣5，0）． 【考点】二次函数综合题．一次函数、等边三角形的判定和性质、最小值问题． 26．如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，且． (1)求抛物线的解析式及直线BC的表达式； (2)在线段BC上找一点E（不与B、C重合），使的值最小，并求出这个最小值； (3)连接AC，是否在抛物线上存在点P，过点P作于点E，使以点A、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）先求出抛物线与y轴交于点，可得，从而得到，，进而得到B（3，0），A（－1，0），再利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点E作EN⊥x轴于点N．先求出抛物线顶点D坐标为，再由，可得∠CBO＝30°，从而得到，进而得到当D，E，N三点共线且垂直于x轴时，值最小．即可求解； （3）过点P作PE⊥BC于点E，根据勾股定理逆定理可证得∠ACB＝90°，从而得到当PE＝AC＝2时，以点A、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形．然后过点P作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点G，可得∠PFE=60°，从而得到，然后设，则再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解∶∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴B（3，0），A（－1，0）， 把B（3，0），A（－1，0）代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点E作EN⊥x轴于点N． ∵， ∴抛物线顶点D坐标为， 在Rt△BOC中，， ∴∠CBO＝30°， ∵EN⊥x轴， ∴， ∴， ∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当D，E，N三点共线且垂直于x轴时，值最小． ∴ （3）解：存在，理由如下： 如图：过点P作PE⊥BC于点E， ∵A（﹣1，0），B（3，0），， ∴AB＝4，AC＝2，， ∴， ∴∠ACB＝90°， ∵PE⊥BC ∴∠PEC＝90°， ∴PE∥AC， ∴当PE＝AC＝2时，以点A、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形． 过点P作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点G， ∴∠BFG＝∠OCB＝60°， ∵∠BFG    =∠PFE， ∴∠PFE=60°， 在Rt△PFE中， ， 设直线BC的解析式为y＝mx＋n， 将B（3，0），代入得： ， 解得，， ∴直线BC的解析式为， 设，则 当0＜t＜3时， ， 整理得，， ∴， ∴此方程无实根． 当t＜0或t＞3时， 整理得，， 解得（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，平行四边的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 27．如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且，    (1)求抛物线解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)存在， 【分析】（1）根据点的坐标，可求出点的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，根据题意分别计算出直线的解析式，根据直线与抛物线由交点，联立方程组求解即可； （3）如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，根据点的坐标可得是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可得，当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，根据抛物线的特点可得点的坐标，由此可求出的长，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，将，，代入得， ，解得，， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：存在一点，使得，理由如下： 如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，    ∵， ∴，即点是满足题意的点， ∵，， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：，， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， ∵关于轴对称， ∴直线的解析式为：， ∴，， ∴是满足题意的点， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， 综上所述，点坐标为或． （3）解：在轴上存在一个点，使的值最小，理由如下： 如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，    ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，，则， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴最小即是最小， ∴当运动到，和重合时，的值最小，最小值是， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式，几何图形的变换特点，一次函数与二次函数联立方程组求解，等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点在第四象限且在抛物线上．    （1）如（图1），当四边形面积最大时，在线段上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标及的最小值； （2）如（图2），将沿轴向右平移2单位长度得到，再将绕点逆时针旋转度得到，且使经过、的直线与直线平行（其中），直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上．在线段上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点，的最小值；（2）存在，点的坐标可以为，，或 【分析】（1）设，根据正切函数的定义求出点C，将其代入二次函数的表达式中，求出a，过点E作EH⊥OB，垂足为H，根据四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积得到一个二次函数，进而可求出取最大值时点E的坐标，过点M作MF⊥OB，垂足为F，要使最小，则使最小，进而求解； （2）分两种情况考虑，①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H，②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O，分别利用中点坐标公式进行求解． 【详解】解：（1）设， ∵，， ∴，即点， 将点C代入中， 解得， ， ∴， 设点，过点E作EH⊥OB，垂足为H， ∴四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积 ， ∴当时，四边形面积最大， ∴点， 过点M作MF⊥OB，垂足为F， ∵， ∴要使最小，即使最小， ∴过点E作EH⊥OB交BC于点M，垂足为H，此时取得最小值， ∴的最小值；    （2）存在； 由题意知，，线段所在的直线方程为， 分两种情况讨论：①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H， ∵ ， 解得，点K，H的横坐标分别为，， ∵四边形BCPN为平行四边形，设点， 当N取点K时，由中点坐标公式知， ， 解得，， ∴，即点， 同理可知，当点N取点K时，点； ②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O， ∴点， ∴由中点坐标公式得，， ∵， ∴解得，或， ∴点或， 综上所述，点的坐标可以为，，或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了正切函数，二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，学会运用分类讨论的思想进行解题，是中考压轴题，难度较大． 29．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）x轴上是否存在点P，使PC+PB最小？若存在，请求出点P的坐标及PC+PB的最小值；若不存在，请说明理由； （3）连接BC，设E为线段BC中点．若M是抛物线上一动点，将点M绕点E旋转180°得到点N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P（，0）；PC+PB的最小值；（3）N（，）或（，）． 【分析】（1）先按抛物线与x轴的交点坐标设出抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），展开，即可得出结论； （2）在x轴下方作∠ABD=30°，交y轴负半轴于D，先求出OD=，BD= ，进而求出CD=3+ ，再判断出当点C，P，B在同一条直线上时，PC+最小，最小值为CB'，即可得出结论； （3）先判断出点M在x轴上方的抛物线，再构造出△BEM∽△CFM，得出即可得出结论． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴﹣3a＝3， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图， 在x轴下方作∠ABD＝30°，交y轴负半轴于D，则BD＝2OD， ∵B（3，0）， ∴OB＝3， 根据勾股定理得，BD2﹣OD2＝32， ∴4OD2﹣OD2＝9， ∴OD＝ ，BD＝ ， ∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3， ∴CD＝3+ ， 过点P作PB'⊥BD于B'， 在Rt△PB'B中，PB'＝PB， ∴PC+ PB＝PC+PB'， 当点C，P，B在同一条直线上时，PC+PB最小，最小值为CB'， ∵S△BCD＝CD•OB＝BD•CB'， ∴ 即PC+PB的最小值 ， ∵OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠DBC＝45°+30°＝75°， ∴∠BCP＝90°﹣75°＝15°， ∴∠OCP＝30°， ∵OC＝3， ∴OP＝ ， ∴P（，0）； （3）如备用图， 设M（m，﹣m2+2m+3）， 以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形， ∴∠BMC＝90°， ∵点A在x轴负半轴，且∠BOC＝90°， ∴点M在x轴上方的抛物线， 过点M作MK⊥x轴于K，作MF⊥y轴于F， ∴∠MKO＝∠MFO＝90°＝∠KOF， ∴四边形OKMF是矩形， ∴∠KMF＝90°， ∴∠BMK＝∠CMF， ∵ ∠BKM＝∠CFM＝90°， ∴△BKM∽△CFM， ∴ ∴ ∴m＝ ， ∴M（ ， ）或（ ， ）， ∵点N是点M关于点E（，）的对称点， ∴或 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，构造出△BKM∽△CFM是解本题的关键． 30．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，抛物线顶点为H（1，2）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD．当S△PAD=3，若在x轴上存在一动点Q，使PQ+QB最小，求此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值； （3）若点E为抛物线上的动点，点G，F为平面内的点，以BE为边构造以B，E，F，G为顶点的正方形，当顶点F或者G恰好落在y轴上时，求点E的横坐标． 【答案】（1）y=﹣x2+x+；（2）；（3）或1+或2+． 【分析】（1））由抛物线的顶点为H（1，2），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+2，把A（-1，0）代入得到，a=-； （2）如图1中，连接PA，PD，在y轴上取一点M（0，-），连接BM，作QN⊥BM于N．设AD交对称轴于K．首先证明QN=BQ，推出PQ+BQ=PQ+QN，根据垂线段最短可知，当HN⊥BM，且P，Q，N共线时，PQ+BQ的值最小，最小值=线段PN的值； （3）设P（m，-m2+m+3），有三种情况：①如图2，当G在y轴上时，过E作EQ⊥y轴于Q，作EM⊥x轴于M，证明△EQG≌△EMB，则EQ=EM，列方程可得m的值；②当F在y轴上时，如图3，过E作EM⊥x轴于M，同法可得；③当G在y轴上时，如图4，作EM⊥OB于E，EN⊥OG于N．只要证明EM=EN，构建方程即可解决问题. 【详解】（1）∵抛物线的顶点为H（1，2）， ∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+2， 把A（﹣1，0）代入得到，a=﹣， ∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2，即y=﹣x2+x+； （2）如图1中，连接PA，PD，在y轴上取一点M（0，﹣），连接BM，作QN⊥BM于N．设AD交对称轴于K， 由题意C（0，），D（2，），A（﹣1，0），B（3，0）， ∴直线AD的解析式为y=x+,， ∴K（1，1），设P（1，m）， 则有×（m﹣1）×3=3， ∴m=3， ∴P（1，3）， ∵OB=3，OM=， ∴BM=， ∴sin∠ABM==， ∴=， ∴QN=BQ， ∴PQ+BQ=PQ+QN， 根据垂线段最短可知，当HN⊥BM，且P，Q，N共线时，PQ+BQ的值最小，最小值=线段PN的值, ∵直线BM的解析式为y=x﹣， ∴当PN⊥BM时，直线PN的解析式为y=﹣2x+5，此时Q（3，0）， 由，解得， ∴N（，﹣）， ∴PN==， ∴PQ+BQ的最小值为； （3）设F（m，﹣m2+m+）， 有三种情况： ①如图2，当G在y轴上时，过E作EQ⊥y轴于Q，作EM⊥x轴于M， ∵四边形EBFG是正方形， ∴EG=EB， ∵∠EQG=∠EMB=90°，∠QEG=∠MEB， ∴△EQG≌△EMB， ∴EQ=EM， 即m=﹣m2+m+， 解得：m1=，m2=﹣（舍）， ∴E的横坐标为； ②当F在y轴上时，如图3，过E作EM⊥x轴于M， 同理得：△EMB≌△BOF， ∴OB=EM=3， 即﹣m2+m+=﹣3， m1=1﹣（舍），m2=1+， ∴E的横坐标为1+； ③当G在y轴上时，如图4，作EM⊥OB于E，EN⊥OG于N， 同法可证：EN=EM， ∴m=﹣（﹣m2+m+）， 解得m1=2+，m2=2﹣（舍弃）， ∴点E的横坐标为2+ 综上所述，点E的横坐标为或1+或2+． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、垂线段最短、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造三角形相似是解题的关键，在（3）中确定出E的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 【题型4将军造桥】 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)符合条件的点的坐标为或． 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 32．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标； (3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为（1，4）； (2)点N坐标为（4，-5）； (3)当m=时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3+3． 【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标； （2）设N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=AB•OC建立关于t的方程，解之可得； （3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由点M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3，即M′Q+QN=3，据此知m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴，解得：， ∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， 则抛物线的顶点M坐标为（1，4）； （2）解：∵N是抛物线上第四象限的点， ∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3）， 又点C（0，3）， 设直线NC的解析式为y=k1x+b1， 则， 解得：， ∴直线NC的解析式为y=（-t+2）x+3， 设直线CN与x轴交于点D， 　　 当y=0时，x=， ∴D（，0），BD=3-， ∵S△NBC=S△ABC， ∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC-yN|= [3-（-1）]×3， 即×（3-）[3-（-t2+2t+3）]=6， 整理，得：t2-3t-4=0， 解得：t1=4，t2=-1（舍去）， 当t=4时，-t2+2t+3=-5， ∴点N坐标为（4，-5）； （3）解：将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ， 则MM′=3， ∵P（m，3）、Q（m，0）， ∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3， ∴PQ∥MM′，且PQ=MM′， ∴四边形MM′QP是平行四边形， ∴PM=QM′， 由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值， 设直线M′N的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）， 将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得：， 解得：， ∴直线M′N的解析式为y=-2x+3， 当y=0时，x=， ∴Q（，0），即m=， 此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E， 在Rt△M′EN中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3， ∴M′N=，   ∴M′Q+QN=3， ∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置． 33．如图1，抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作交抛物线于点E，交y轴于点P． (1)点F是直线下方抛物线上点一动点，连交于点G，连，当的面积的最大值时，直线上有一动点M，直线上有一动点N，满足，连，，求的最小值； (2)如图2，在（1）的条件下，过点F作轴于点H交于点L，将沿着射线平移到点A与点C重合，从而得到（点A，H，L分别对应点，，），再将绕点逆时针旋转，旋转过程中，边所在直线交直线于Q，交y轴于点R，求当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）作轴交于H．设，求出直线的解析式，联立方程得到时，的值最大，求出答案；作点G关于的对称点T，交于R，连接交于N，作于M，连接，，此时的值最小，求出答案即可； （2）当是等腰三角形时，易知，易知直线与x轴的夹角为，得到直线的解析式为，进而求出答案，当是等腰三角形，同理求出答案． 【详解】（1）如图1中，作轴交于H．设． 由题意可知，，， 抛物线的对称轴，C，D关于直线对称， ， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 由，解得或， ，， ，的面积为定值， 的面积最大时，的面积最大， 的值最大时，的面积最大， 的值最大时，的面积最大， ， ．开口向下， 时，的值最大，此时． 如图2中，作点G关于的对称点T，交于R，连接交于N，作于M，连接，，此时的值最小． 直线的解析式为：， 由， 解得， ， ， 直线的解析式为， 由，解得， ， ， ， ． 的最小值为． （2）如图3中，如图当是等腰三角形时，易知， 易知直线与x轴的夹角为，， 直线的解析式为， ， ． 如图4中，当是等腰三角形， ， 是等边三角形， 同法可得， 综上所述，满足条件的PR的值为或． 【点睛】本题属于二次函数证明题，考查了二次函数的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题． 34．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解； （3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故． 【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； （3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 35．如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，最小值为， (3) 【分析】 （1）根据二次函数性质进行分析，即可得到答案； （2）由（1）可知，求得，作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小，利用坐标点的距离公式，得到，即可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而得到点的坐标，即可求得点Q的坐标． （3）如图，过作于，设，则，可得， ，，而，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：点在抛物线的对称轴上， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 是抛物线与y轴的交点， ， ； （2）解：存在最小值，理由如下： 由（1）可知，， 点D是抛物线上一点，坐标为， ， ， 作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，    由对称性可知，， ， 当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小， 抛物线的对称轴为直线，与抛物线对称轴垂直， ， ，轴， ， ， ， 的最小值为， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， ． （3）∵， 如图，过作于，设，则， ∴，    ∵， ∴，， ∴ ， 而， 解得：， ∵在第一象限，则， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，最值问题，勾股定理，一元二次方程的解法，待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$