专题19 二次函数性质综合题（共40道）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题19 二次函数性质综合题（共40道） 一、单选题 1．如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：    ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，抛物线交轴于点和，点在点左侧，交轴于点，抛物线的顶点为．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③抛物线上有点和，若，且，则； ④当时，对于抛物线上两点，，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 4．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在该二次函数的图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．②③ C．②④ D．②③④ 5．如图，抛物线（是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是，过一、二、四象限的直线（是常数）与抛物线交于轴上一点，则下列结论正确的有（    ）个．    ①，②，③，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则，⑤为任意实数，则有． A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论： ①； ②； ③若点，，在抛物线上，则； ④当时，以A，B，C为顶点的三角形是等边三角形． 其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（　　）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 8．拋物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是拋物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②是抛物线上的两个点，若,且 ，则；③点为轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为；④若关于的方程无实数根，则的取值范围是．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 9．已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．如图，抛物线（）与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为.其中正确结论的是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 11．如图，抛物线交x轴于，，交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①；②；③若方程的两根分别为m，n，则；④当是等腰直角三角形时，；⑤抛物线上有两点、，且，若，则．正确的有（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 12．如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，顶点坐标为，有以下结论：①；②；③若点，，，均在函数图象上，则；④对于任意m都有；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为．其中结论正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 13．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论： ； ；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 14．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，顶点坐标为．对于下列结论：①；②；③若关于x的一元二次方程无实数根，则；④）（其中）﹔⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有（    ） A．②③④ B．②③⑤ C．②③ D．④⑤ 15．如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线；下列结论：①；②；③；④若方程（为常数）有四个根，分别为，则．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（    ） ①    ② ③方程的两个根为 ④抛物线上有两点和，若且，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 17．二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点．下列说法∶①；②；③；④ 若，是抛物线上的两点，则；⑤．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 19．如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为直线． 有以下结论∶ ；；若点，，均在函数图象上，则 ；若方程的两根为、，且则 ；点 ，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点， 使得， 则的范围为．其中结论正确的个数为（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 20．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 21．如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 22．二次函数的图象的一部分如图所示，己知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有 （填序号）．    23．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中结论正确的是 ． 24．如图，抛物线的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①；②；③对任意实数x，；④，是抛物线上两点，若，则；⑤使为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有 （填序号）． 25．如图，二次函数（）．图象的顶点为，其图象与轴的交点的横坐标分别为，下面四个结论： ； ；只有当时，是等腰直角三角形；使为等腰三角形的的值可以有三个．那么，其中正确的结论是 ．（只填你认为正确结论的序号） 注：二次函数（）图象的顶点坐标为 26．如图，二次函数，其对称轴为直线，且与x轴交于点、，其中，下列结论： ①；②；③；④；⑤ 其中正确的有 ．（填写正确的序号） 27．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论： ①当时，则，②， ③当时， x的取值范围是， ④当时， 有． 其中正确结论的序号为 ． 28．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②，③； ④方程的解为； ⑤．其中正确的结论有 （填序号）． 29．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点与点也在该抛物线上下列结论：点的坐标为；方程有两个不相等的实数根；；当为常数时，其中正确结论的序号是 ． 30．二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确的结论是 ． 31．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有 ．（填写序号） 32．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ； ； 若点在此抛物线上，则； 若点在此抛物线上且，则． 所有正确结论的序号是 ． 33．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，下列结论： ①； ② (m为常数)． ③方的两根为和． ④方程 (，k为常数)的所有根的和为8．其中正确的结论序号是 (填写序号)．    34．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有 个． 35．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1，轴，垂足为E，下列结论：①当时，y随x增大而减小；②；③；④；⑤当时，．其中结论正确的有 ．（填序号）（多填错填倒扣一分） 36．已知二次函数的对称轴是直线，图像如图所示．给出下面五个结论：①；②；③；④为实数，且；⑤．其中正确的有   写出所有正确结论的序号． 37．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①ac>0；②9a+3b+c>0；③若m>n>0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；④点（﹣，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是 （填写所有正确结论的序号）． 38．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，则下列结论：①2a﹣b＜0，②4a﹣2b+c＞0，③b2+8a＞4ac，④当x＞0时，函数值随x的增长而减少，⑤a+c＜1．其中正确的是 （填序号）． 39．二次函数的部分图象如图所示．对称轴为，图像过点，且，以下结论：①；②；③关于不等式的解集：；④；⑤若点，在此函数图象上，则．其中正确的结论是 ． 40．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题19 二次函数性质综合题（共40道） 一、单选题 1．如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤； 【详解】解：①抛物线开口向上，，， ∴当时，，故①不符合题意； ②∵抛物线过点， ∴函数的最小值， ∴有两个不相等的实数根； ∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意； ③∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，且， ∴，而， ∴， ∴，故③不符合题意； ④∵抛物线过点， ∴， ∵时，， 即， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤∵，， ∴， 由根与系数的关系可得：，， ∴ ∴， ∴，故⑤符合题意； 故选：C． 2．如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：    ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确． 【详解】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 3．如图，抛物线交轴于点和，点在点左侧，交轴于点，抛物线的顶点为．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③抛物线上有点和，若，且，则； ④当时，对于抛物线上两点，，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的掌握．先根据抛物线解析式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，根据函数的最值判断①；根据函数的图象可判断②；根据抛物线的对称轴和二次函数的性质可判断③；当时求出函数解析式，再求出A，B坐标，根据m的取值范围得出的取值范围，从而判断④． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵，抛物线开口向上，抛物线与x轴的交点为点和， ∴当时，x的取值范围为，且最小值为，故①②正确； ∵对称轴为直线，，且， ∴到x轴的距离小于到x轴的距离， ∴，故③错误； 当时，， 令，则， 解得， ∴， 若，则， ∴， ∴，故④正确． ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 4．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在该二次函数的图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象与系数的关系等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有至少有一个交点，推得关于x的一元二次方程至少有一个实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 由图象可得时，，即， ∵， ∴．故①错误； ②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线． 故当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴，故②正确； ③∵图象经过点，对称轴为， ∴二次函数与直线有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，故③错误； ④∵图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数必然经过点， ∴时，的取值范围，故④正确； 综上，②④正确， 故选：C． 5．如图，抛物线（是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是，过一、二、四象限的直线（是常数）与抛物线交于轴上一点，则下列结论正确的有（    ）个．    ①，②，③，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则，⑤为任意实数，则有． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．熟练掌握一次函数与二次函数的交点坐标，二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数的对称性，顶点坐标，是解题的关键． ①根据直线（k是常数）的过一、二、四象限，得到，根据抛物线的开口向上，对称轴为，推出，得出，判断①正确； ②根据直线与x轴交点为，得到抛物线也交于，根据抛物线的对称轴为直线，得到抛物线与x轴的另一个交点为，得到方程的两根为，，根据根与系数的关得到，；得到，，得到，判判断②正确； ③根据，，得到，判断③正确； ④根据抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上，得到，得到，结合，得到，判断④正确； ⑤根据抛物线的最小值为：结合时， ，得到，推出，结合，，推出，得到 ，判断⑤正确． 【详解】①∵直线（k是常数）的过一、二、四象限， ∴， ∵抛物线的开口向上， ∴ ， 又抛物线的对称轴为， ∴， ∴，故①正确； ②中， 令，得， ∴直线与x轴交点为， ∴抛物线与也交于， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的两根为，， ∴，； ∴，， ∴，故②正确； ③由②知，抛物线过点， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④根据题意知，当时，直线与抛物线的y值相等， ∴， ∴， 由②知，， ∴，故④正确； ⑤当时，抛物线取得最小值，最小值为， 当时，代入， 得， 两边同时加上a， 得， ∴ ∵，， ∴， ∴ ，故⑤正确， ∴正确的结论有5个． 故选：D． 6．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论： ①； ②； ③若点，，在抛物线上，则； ④当时，以A，B，C为顶点的三角形是等边三角形． 其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题是二次函数的应用，考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程的关系，等边三角形的判定等，利用二次函数的图象与性质一一判断即可，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴在轴的右侧， ， 抛物线交轴的负半轴， ，故①正确，； 由图象可知，当时，， ，故②错误； 若点，，在抛物线上， 由图象法可知，，故③正确， 设抛物线的对称轴交轴于． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形．故④正确． 综上，结论正确的是①③④， 故选：B． 7．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（　　）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系①利用图象信息即可判断；②根据时，即可判断；③根据是方程的根，结合两根之积 ，即可判断；④根据两根之和 ，可得，可得；⑤根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断． 【详解】抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确， 时，， ，即，故②正确， 的图象过点和， ，，则， ， ，故③正确， ， ， ， ∵， ∴，故④正确， 对于，可得：， 由函数图象交点可知或， ， ， ，故⑤正确， 故选：D． 8．拋物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是拋物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②是抛物线上的两个点，若,且 ，则；③点为轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为；④若关于的方程无实数根，则的取值范围是．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴， ∵交y轴的负半轴， ∴， ∴， 故①正确． ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 又，且， ∴， ∴．故②错误． 作点C关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P，连接， 此时的值最小． 将代入二次函数解析式得，， 又∵， ∴ ∴，即 又抛物线与y轴的交点坐标为， ∴点C坐标为， ∴点坐标为． 又∵当时，即． 设直线的函数表达式为 将点D坐标代入得，， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入得，． ∴点P的坐标为．故③正确． 将方程整理得，， ∵方程没有实数根， ∴抛物线与直线没有公共点， ∴， ∴， 解得， 又， 所以． 故④正确． 所以正确的有①③④． 故选：B． 9．已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式等知识．数形结合是解题的关键． 由题意知，图象开口向下，即，对称轴为直线，则，，当时，，可得，可判断①的正误；图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，可判断②的正误；将代入得，，可判断③的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，则关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1，由图象可知，，；可判断④的正误；由，可知过点，如图2，由图象可知，关于x的不等式，即的解集为，可判断⑤的正误． 【详解】解：由题意知，图象开口向下，即， 对称轴为直线，则， ∴， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求； 将代入得，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∵关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1， 由图象可知，，；④正确，故符合要求； ∵， ∴过点，如图2， ∴关于x的不等式，即的解集为，⑤正确，故符合要求； ∴正确结论的个数为4个， 故选：B． 10．如图，抛物线（）与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为.其中正确结论的是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数的图象和性质依次判断即可，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴交于正半轴， ，，， ， ①正确． 当时，， ， ②错误． 抛物线过点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ③正确． 如图： 设，， 由图知，时，， 故④正确． 故选：C． 11．如图，抛物线交x轴于，，交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①；②；③若方程的两根分别为m，n，则；④当是等腰直角三角形时，；⑤抛物线上有两点、，且，若，则．正确的有（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】依据题意，由抛物线交轴的负半轴于点，从而令，又对称轴是直线，故可判断①；抛物线过，从而，又，即，进而，最后可以判断②；依据，代入方程，可化为，根据一元二次方程根与系数关系即可判断③；由是等腰直角三角形，为顶点，从而，结合顶点为，对称轴是直线，故，再由抛物线为，又抛物线过点，计算可以判断④；根据，判断出点在直线左侧，点在直线右侧，根据二次函数增减性即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线交轴的负半轴于点，开口向上， ∴令． ∵ ∴对称轴是直线， ∴．， ∴，故①错误． ∵抛物线过， ∴． 又，即， ∴． ∴，故②错误． ∵， 则可化为，即， 若方程的两根分别为m，n，即方程的两根分别为m，n， 则；故③正确； 是等腰直角三角形， 又为顶点， ∵抛物线交x轴于，， 故设顶点为，对称轴是直线， ， ∴可设抛物线为， 又抛物线过点， ∴． ∴，故④正确． 因为， 所以点在直线左侧，点在直线右侧， 又因为， 则． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以，故⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键． 12．如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，顶点坐标为，有以下结论：①；②；③若点，，，均在函数图象上，则；④对于任意m都有；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为．其中结论正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据抛物线开口方向可判断a的取值范围，由对称轴的位置及a的符号可判断b的符合，由抛物线与y轴交点位置可判断c的符号，从而可判断①错误；由图象过 及对称轴可判断②正确；由抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y越大，可判断③正确；根据函数开口向上，在对称轴处有最小值，即可判断④正确；由M，N到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得，即，得可判断⑤正确． 【详解】解：∵函数开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∵顶点坐标为，即对称轴为直线， ， ， ，故①错误； 由图可知，当时，， ，即，故②正确； 抛物线开口向上， ∴离对称轴距离越大，y越大， 又∵，，， ∴；故③正确； ∵函数开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， ∴，即故④正确； 由题意可知：M，N到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到x轴的距离刚好等于时，此时顶点与M、N两个点恰好构成等腰直角三角形， ∴当抛物线的顶点到x轴的距离大于等于时在x轴下方的抛物线上存在点P，使得， ∴， 把代入解析式得， ∴， ， ， 解得：，故⑤正确； 故选：B． 13．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论： ； ；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象得，，，即得，即可判断；根据对称轴及图象过点，得，，即可判断；由点是图象上任意两点，且，得点离对称轴近，点离对称轴远，再结合，即可判断；求出抛物线与轴的另一个交点，由可得方程的所有整数根为，即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，，，， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵点是图象上任意两点，且， ∴点离对称轴近，点离对称轴远， ∵， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线为轴的另一个交点为， ∵， ∴方程的所有整数根为， ∴所有整数根的绝对值的和为，故错误； ∴正确的结论有，共个， 故选：． 14．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，顶点坐标为．对于下列结论：①；②；③若关于x的一元二次方程无实数根，则；④）（其中）﹔⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有（    ） A．②③④ B．②③⑤ C．②③ D．④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与直线交点问题，掌握二次函数图象与系数关系，二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键． 根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可． 【详解】解：抛物线开口方向向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与抛物线与轴交点在正半轴上， ∴， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把代入，可得：，故②正确； ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴二次函数的图象与直线无交点， ∵抛物线的顶点坐标为，抛物线开口方向向下， ∴，故③正确； ， ， ， 又，， ， 即（其中，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， 可知二次函数，在时，随的增大而减小， ， ，故⑤错误， 正确的有②③④， 故选：A． 15．如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线；下列结论：①；②；③；④若方程（为常数）有四个根，分别为，则．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点可判断①，由时，可判断②，由抛物线的顶点在直线上可判断③，由抛物线的对称性可判断④． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴下方， ∴， ∴，①正确． 由图象可得时，， ∴，②错误． 将代入得， 将代入得， ∵抛物线顶点在直线上， ∴， ∴，③正确． 由抛物线对称轴为直线可得函数的对称轴为直线， ∴直线与函数图象交点关于直线对称， ∴，④正确． 故选：C． 16．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（    ） ①    ② ③方程的两个根为 ④抛物线上有两点和，若且，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】此题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质．根据抛物线开口方向及对称轴的位置以及抛物线与y轴的交点的位置，可确定a，b，c的符号，由此可判断①；根据抛物线的对称轴为直线，以及抛物线与x轴的一个交点为，可得抛物线与x轴的另一个交点为，由此可判断②；由抛物线与x轴交于点和，可得，，进而可得方程的两根，由此可判断③；由且，可得P点到对称轴的距离小于Q点到对称轴的距离，由此可判断④．熟练掌握二次函数的图像与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】由抛物线的开口可知：，由抛物线与y轴的交点可知：，由抛物线的对称轴可知：， ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线， 则另一个交点为， ∴时， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴交于点和， ∴的两根为6和， ∴，， 则，， ∴方程可变为， ∵， ∴， 解得，， 故③不正确； ∵， ∴P、Q两点分布在对称轴的两侧， ∵， ∴， 即P点到对称轴的距离小于Q点到对称轴的距离， ∴，故④正确． 综上，正确的有①②④， 故选：B． 17．二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点．下列说法∶①；②；③；④ 若，是抛物线上的两点，则；⑤．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像与性质判断、、的正负，即可判断①；根据函数图象经过点，代入计算即可判断②；根据对称轴为直线，得出，代入整理即可判断③；根据二次函数的图象与性质，对称轴为直线，明白自变量离越远，则函数值越小，即可判断④；推出，，用含的代数式表示出函数最大值，再得出整理，即可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点， ∴，， ，即， ， ∴， ， ∴①错误，②正确， ∴， ∴③正确，， ∴， ∵对称轴为直线，图象开口向下， ∴当，函数取最大值，即离顶点越远函数值越小， ∴， ， ，即，故⑤正确， ∵，是抛物线上的两点， ∴离顶点更近， ∴，故④错误， ∴正确的结论有②③⑤这个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握根据二次函数的图象与性质列式计算判断是解题的关键． 18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 19．如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为直线． 有以下结论∶ ；；若点，，均在函数图象上，则 ；若方程的两根为、，且则 ；点 ，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点， 使得， 则的范围为．其中结论正确的个数为（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵对称轴为直线，函数图象与轴负半轴交于 ， ∴， ∴， 由图象可知 ，， ∴， ∴，故错误； 由图可知，当时， ， ∴，即，故正确； ∵点，，均在函数图象上，对称轴为直线，开口向上， ∴， 则 ，故错误； 由抛物线对称性可知，抛物线与轴另一个交点为， ∴抛物线解析式为：， 令，则， 如图，作，    由图形可知 ，故正确； 由题意可知：，到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到轴的距离不小于 时，在轴下方的抛物线上存在点，使得，即， ∵， ∴，， ∴， 解得：，故正确， 综上可知正确，共个， 故选：． 20．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点．关键是掌握二次函数的性质．根据对称轴、开口方向、与轴的交点位置即可判断、、与0的大小关系，然后将由对称轴可知，图象过代入二次函数中可得，再由图象与轴有两个交点及系数的特点即可判断． 【详解】解：①由图可知： 故①正确； ②由题意可知： ，故②正确； ③对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为． 与轴的另一个交点坐标为， 将代入，得， 故③正确； ④ ， 故④正确； ∴正确结论的个数是4个． 故选：D． 二、填空题 21．如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④ 22．二次函数的图象的一部分如图所示，己知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有 （填序号）．    【答案】①③⑥ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据二次函数图象，确定字母系数的符号和相关式子；根据二次函数图象的性质，逐项判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知， 抛物线开口向下，， 因为抛物线的对称轴为直线， 所以，即， ∵抛物线与y轴交点在正半轴， ∴ 所以． 故①正确． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以． 故②错误． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即， 所以， 即． 故③正确． 因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 则． 又因为， 所以． 故④错误． 当点在抛物线对称轴的右侧时， 因为抛物线开口向下， 所以在对称轴右侧的部分，y随x的增大而减小， 即时，． 故⑤错误． 方程的根可看成函数的图象与直线的交点的横坐标， 因为抛物线经过点， 所以函数的图象与直线的一个交点的横坐标为． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以函数的图象与直线的另一个交点的横坐标为5， 所以关于x的一元二次方程的两根分别为． 故⑥正确． 故答案为：①③⑥． 23．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中结论正确的是 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查二次函数的性质．根据图象利用数形结合逐一判断即可，具体见详解． 【详解】解：图象开口向下 图象与轴交点在正半轴 ，①不正确； 时， ，②正确； 时， ，③不正确； 过点 由得 即 依题得， ，④正确． 故答案为：②④． 24．如图，抛物线的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①；②；③对任意实数x，；④，是抛物线上两点，若，则；⑤使为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】主要考查抛物线的顶点坐标、根与二次函数系数的关系、二次函数图象特点以及等腰三角形的定义．由抛物线与轴的交点坐标判断系数、、之间的关系、二次函数图象的特点，进而对所得结论进行推断． 【详解】解：①抛物线与轴交于、， ， ． 故①正确． ②：由①分析知：， ，， ， 若，即，且， ． 根据题目已有条件，无法推断出， ②无法定论． ③对于任意实数，成立， 即对于任意实数，成立． 令． ， ， 关于实数的二次函数图象开口向下． 若对于任意，，故需判断与0的数量关系． ，， ， 对于任意实数，． 故③正确． ④， ． ， ． ，，， ，， ， ， ． 故④正确． ⑤：经分析，，． 若为等腰三角形，则或． ，，， ，． 当时，则， （不合题意，舍去）． 当时，则， （不合题意，舍去）． 综上所述：值有两个． 故⑤不正确． 故答案为①③④． 25．如图，二次函数（）．图象的顶点为，其图象与轴的交点的横坐标分别为，下面四个结论： ； ；只有当时，是等腰直角三角形；使为等腰三角形的的值可以有三个．那么，其中正确的结论是 ．（只填你认为正确结论的序号） 注：二次函数（）图象的顶点坐标为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的定义，先根据图象与轴的交点的横坐标分别为确定出的长及对称轴，由对称轴即可判断；根据对称轴及函数图象即可判断；由为等腰直角三角形，必须保证到轴的距离等于长的一半，得到，与、联立方程组解答即可判断；由为等腰三角形，则必须保证或或，分三种情况利用勾股定理解答即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵图象与轴的交点的横坐标分别为， ∴， ∴对称轴， ∴， ∴，故本选项正确； ∵对称轴，当时，， ∴，故本选项错误； 要使为等腰直角三角形，必须保证到轴的距离等于长的一半， 而到轴的距离就是当时，的值的绝对值， 当时，， 即， ∵当时，， ∴， 又∵图象与轴的交点的横坐标分别为， ∴当时，，即， 当时，，即， 解方程组得， ， ∴只有当时，是等腰直角三角形， 故本选项正确； 要使为等腰三角形，则必须保证或或， 当时， ∵，为直角三角形， 又∵的长即为， ∴， ∵由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， 与、联立组成方程组得， ， 解得； 同理当时， ∵，为直角三角形， 又∵的长即为， ∴， ∵由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， 与、联立组成方程组得， ， 解得； 同理当时， 在中，， 在中，， ∵， ∴，此方程无解， ∴满足条件的只有两个，故本选项错误； ∴正确的结论是， 故答案为：． 26．如图，二次函数，其对称轴为直线，且与x轴交于点、，其中，下列结论： ①；②；③；④；⑤ 其中正确的有 ．（填写正确的序号） 【答案】④ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，对称轴判断①，对称性判断②，最值判断③；对称轴结合特殊点判断④，抛物线与轴的交点个数结合特殊点判断⑤．从图象中有效的获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴；故①错误； ∵，且关于直线对称， ∴；故②错误； ∵抛物线的开口向上， ∴当时，函数值最小， ∴， ∴；故③错误； 由图象可知，当时，， ∵， ∴，即：，故④正确； ∵抛物线的开口向上， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∵抛物线与轴有2个交点， ∴， ∵， ∴；故⑤错误； 故答案为：④． 27．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论： ①当时，则，②， ③当时， x的取值范围是， ④当时， 有． 其中正确结论的序号为 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由图象开口方向可知，由对称轴可知，与x轴的另一个交点坐标为，结合图象可判断③，根据对称轴可求得时，函数有最大值为，进而可判断①，根据与x轴的一个交点坐标为，可求得，进而可知，即可判断②，根据当时，可知，，，得，即，再结合，，即可判断④． 【详解】解：由图象开口方向可知：， ∵抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴，与x轴的另一个交点坐标为， 结合图象可知，当时， x的取值范围是，故③错误； ∴，则当时，， ∴，则当时，函数有最大值，最大值为， 当时，， ∴当时，则，故①正确； ，故②错误， 当时，则，，，即：， ∴，即：， ∴， ∵，则， ∴，即：，亦即：， ∴，故④正确； 综上，正确的有①④， 故答案为：①④． 28．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②，③； ④方程的解为； ⑤．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】③⑤ 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，各项系数的符号与解析式的关系，根据图象先判断，，，再结合函数的对称轴，最值，与坐标轴的交点，逐一分析判断即可． 【详解】解：由图象可知：，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为， ∴， ∵，， ∴，故②错误， ∵抛物线与轴的交点在与之间，对称轴为，另一个交点在与之间， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； ∵二次函数当时，有最大值， ∴， 若方程的解为，则， ∴④错误； 当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∴， ∴，即，故⑤正确； 综上：正确的有③⑤， 故答案为：③⑤． 29．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点与点也在该抛物线上下列结论：点的坐标为；方程有两个不相等的实数根；；当为常数时，其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据点与点也在该抛物线上，可求出抛物线的对称轴，根据点的坐标即可求出点坐标，可以判断选项；根据图象可知抛物线与有两个交点，可以判断选项；将，点坐标代入抛物线解析式，可得，再根据，即可判断选项；根据对称性可知当时和时函数值相等都是，即可判断选项． 【详解】解：点与点也在该抛物线上， 该抛物线的对称轴为直线， ， ，故符合题意； 图象开口向上，与轴交于，两点， 抛物线与直线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根，故符合题意； 将，点坐标代入抛物线解析式，得， 解得， ， ， ，即，故符合题意； ，抛物线的对称轴为， 当时和时函数值相等， ∴当时，；当时，； 当时，，故不符合题意； 故答案为：． 30．二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确的结论是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出的正负； ②将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围； ③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小； ④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令，得到，即，因为，所以得出； ⑤化简不等式，用a表示b，根据及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：①根据图象可知， ∵对称轴是直线， ，即，，．故①正确． ②方程，即为二次函数与x轴的交点， 根据图象已知一个交点，关于对称， ∴另一个交点． 故②正确． ③∵对称轴是直线， ， ∴点离对称轴更近，， 故③错误． ④，，， 根据图象，令，，，，， 故④错误． ⑤，， 即证：，， ∴m为任意实数，恒成立． 故⑤正确． 综上①②⑤正确． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，考察查学生在函数图象中数形结合的能力．运用待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．这类题型是中考常考题，很有参考价值． 31．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法得到，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，即可得到③正确，①错误，根据抛物线与与轴两个交点可以判断出②正确，根据，，，，可以得到，从而得到④正确；根据抛物线的对称性和增减性可以判断出⑤错误，问题得解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得： ， 解得， ，故③正确； 抛物线开口方向向下， ， ，， ，故①错误； 抛物线与轴两个交点， 当时，方程有两个不相等的实数根， ，故②正确； ，， ， 又，， ， 即（其中，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， 可知二次函数，在时，随的增大而减小， ， ，故⑤错误， 正确的有②③④，共3个， 故答案为：②③④． 32．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ； ； 若点在此抛物线上，则； 若点在此抛物线上且，则． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口方向判断；由对称轴可判断；由函数的性质判断；由抛物线的对称性即可判断；解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故错误； ∵对称轴为直线，经过点， ∴抛物线经过另一个点 ∵抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， 又∵， ∴，故正确； ∵抛物线与轴的交点为，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴若点在此抛物线上且 ，则或，故错误； 综上，正确， 故答案为：． 33．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，下列结论： ①； ② (m为常数)． ③方的两根为和． ④方程 (，k为常数)的所有根的和为8．其中正确的结论序号是 (填写序号)．    【答案】①②④ 【分析】根据二次函数图象特征可判断①，根据对称轴及开口方向可判断②，将方程看作二次函数与x轴的交点，求出交点可判断③，将方程 (，k为常数)的根可看作二次函数与直线和的交点及对称轴可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵对称轴为直线， ∴当时，y有最大值为， ∴， 即：，故②正确， ∵对称轴为直线，图象过点 ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 方程可看作二次函数与x轴的交点， ∵， ∴， ∴二次函数的对称轴为：， 即抛物线向左平移4个单位， ∴二次函数与x轴的交点为与， ∴方程的两根为和1，故③错误， 方程 (，k为常数)的根可看作二次函数与直线和的交点，方程与方程的两根之和均为,则所有根的和为： ∵对称轴为直线， ∴所有根的和为：. ∴所有根的和为8，故④正确． 故答案为：①②④. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握各个知识点是解决本题的关键． 34．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有 个． 【答案】3 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得：，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)， ∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)， ∴代入(-2,0)、(1,0)得：， 解得：，故③正确； ∵抛物线开口朝下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴两个交点， ∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根， ∴方程的判别式，故②正确； ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下， ∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小， ∵， ∴，故⑤错误， 故正确的有：②③④， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键． 35．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1，轴，垂足为E，下列结论：①当时，y随x增大而减小；②；③；④；⑤当时，．其中结论正确的有 ．（填序号）（多填错填倒扣一分） 【答案】③④⑤ 【分析】①根据抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，判定当x<1时，y随x增大而增大；②根据a<0，， 得到b=-2a，代入a+b=a-2a=-a>0；③x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a，得到9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,根据，a<0，得到b>0，推出3a+b+c>0；④根据3a+c=0，得到c=-3a，推出 ；⑤根据抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B坐标为（3，0），对称轴为直线x=1，得到A(-1,0)设抛物线解析式为，推出当时，-3a>2． 【详解】①当时，y随x增大而减小， ∵抛物线顶点D的横坐标为1， ∴对称轴为直线x=1， ∵抛物线开口向下， ∴当时，y随x增大而增大， ∴不正确； ②， ∵，a<0， ∴b=-2a>0， ∴a+b=a-2a=-a>0， ∴不正确； ③， ∵x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a， ∴9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0, ∵b>0， ∴3a+b+c>0， ∴正确； ④， ∵b=-2a，3a+c=0， ∴c=-3a， ， ∴正确； ⑤当时，， ∵抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B坐标为（3，0），对称轴为直线x=1， ∴A(-1,0) ∴设抛物线解析式为， 当时，-3a>2， ∴正确． 故答案为，③④⑤． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决此类问题的关键是熟练掌握图象开口与a的关系，图象与y轴交点与c的关系，对称轴与a、b的关系，图象与x轴的交点特征． 36．已知二次函数的对称轴是直线，图像如图所示．给出下面五个结论：①；②；③；④为实数，且；⑤．其中正确的有   写出所有正确结论的序号． 【答案】②③④ 【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴直线，图像与坐标轴的交点及其二次函数的最值逐项判断即可． 【详解】∵二次函数的图像开口向下，对称轴直线在y轴的右边，且y轴交于正半轴， ∴，，， ∴，故①不正确； ∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； ∵二次函数的图像与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵二次函数的图像开口向下， ∴二次函数有最大值，且时，， ∴当，且时，， ∴， ∴，故④正确； 由图像可得，当时， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤不正确， 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 37．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①ac>0；②9a+3b+c>0；③若m>n>0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；④点（﹣，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】②④ 【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对③进行判断；抛物线的对称性得出点（-2，0）的对称点是（4，0），由c=-8a 即可得出-=4，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴ac＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0）， ∴x=3时，y＞0，则9a+3b+c＞0，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1， ∴横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n， ∵若m＞n＞0， ∴1+m＞1+n， ∴x=1+m时的函数值小于x=1-n时的函数值，故③错误； ∵抛物线的对称轴为-=1， ∴b=-2a， ∴抛物线为y=ax2-2ax+c， ∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0）， ∴4a+4a+c=0，即8a+c=0， ∴c=-8a， ∴-=4， ∵点（-2，0）的对称点是（4，0）， ∴点（-，0）一定在此抛物线上，故④正确， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点位置；抛物线与x轴交点个数由Δ决定． 38．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，则下列结论：①2a﹣b＜0，②4a﹣2b+c＞0，③b2+8a＞4ac，④当x＞0时，函数值随x的增长而减少，⑤a+c＜1．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④⑤ 【分析】由对称轴大于﹣1可知①正确；当x＝﹣2时，由函数值可得出结论②错误；将点（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c中得出a、b、c的数量关系，再根据对称轴大于﹣1得到不等式，将此不等式变形后知结论③正确，由对称轴大于﹣1可知④正确；当x＝1时，y＝a+b+c＜0且a﹣b+c＝2，两式相加即可判断⑤正确． 【详解】解：由﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，可知对称轴＞﹣1，且a＜0， ∴2a＜b，即2a﹣b＜0，故①正确； 当x＝﹣2时，函数值小于0， 即4a﹣2b+c＜0，故②错误； 将点（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c中，得a﹣b+c＝2，即c＝2﹣a+b， 由图象可知对称轴＞﹣1得2a﹣b＜0，则（2a﹣b）2＞0， 即b2＞﹣4a2+4ab， ∴b2+8a＞8a﹣4a2+4ab＝4a（2﹣a+b）＝4ac， 故③正确； 又∵＞﹣1， ∴当x＞0时，函数值随x的增大而减少，故④正确； ∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，a﹣b+c＝2， ∴2a+2c＜2，即a+c＜1，故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是根据图象得出开口方向、对称轴、与坐标轴的交点与系数的关系，自变量取±1，±2时的函数值的符号，利用所得的等式或不等式变形． 39．二次函数的部分图象如图所示．对称轴为，图像过点，且，以下结论：①；②；③关于不等式的解集：；④；⑤若点，在此函数图象上，则．其中正确的结论是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】由抛物线开口向下，抛物线交y轴正半轴，，对称轴为，， 可判定① ，由，，计算可判定②，由x=3时，，抛物线过点A（3，0），对称轴为，可求抛物线与x轴另一交点为（-1,0），由抛物线开口向下，将不等式变形关于不等式，可得的解集为：，，可判定③关于不等式的解集：，由，可判定④，由，可知，关于x=1对称，则，可判定⑤若点，在此函数图象上，则． 【详解】解：抛物线开口向下，抛物线交y轴正半轴，，对称轴为， ∴， ∴， ∴①正确， ∵， ∴， ， ∴②正确， ∵， ∵x=3时，，A（3，0），对称轴为， 抛物线与x轴另一交点为（-1,0）， 由抛物线开口向下， 关于不等式， ∴的解集为：，， ∴关于不等式的解集为：，， ∴③关于不等式的解集：不正确； ∵， ∴④不正确， ∵，，， ∴，关于x=1对称，则， ∴⑤若点，在此函数图象上，则正确． ∴其中正确的结论是①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查抛物线系数符号确定，抛物线对称轴，抛物线与x轴交点，抛物线与不等式的解集，掌握抛物线系数符号确定方法，抛物线对称轴性质，抛物线与x轴交点求法，抛物线与不等式的解集关系是解题关键． 40．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 ． 【答案】①③④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确； 抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确； x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确； 抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$