专题18 一元二次方程根的判别式+根与系数的关系（共30道）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题18 一元二次方程根的判别式+根与系数的关系（共30道） 一、单选题 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 2．若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值可能为（    ） A．1 B．0 C．3 D．5 3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．， D．， 4．若关于的一元二次方程有实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．已知方程的两根是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知a，b是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 8．已知实数满足，，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 10．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C．2024 D．2025 二、填空题 11．已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 13．关于的一元二次方程有实数根．则的取值范围 ． 14．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．则k的值是 ． 15．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 16．如果关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值是 ． 17．设是方程的两个根，则 ． 18．方程的两根分别为，，且，则 ． 19．已知关于x的一元二次方程 ，若方程的两个实数根为、，且 ，则m的值为 ． 20．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为 三、解答题 21．已知关于的一元二次方程 (1)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； (2)设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求m的值． 24．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若，判断动点是否在某定直线上，如果是，请求出这条定直线的函数解析式；如果不是，请说明理由． 25．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程一定有两个不相等的实数根． (2)若是方程两个不相等的根，且，求k的值？ 26．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 27．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求的值． 28．已知关于的一元二次方程. (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值. 29．已知关于的一元二次方程有两个不同的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根的差为2，求的值． 30．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围 (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题18 一元二次方程根的判别式+根与系数的关系（共30道） 一、单选题 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 2．若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值可能为（    ） A．1 B．0 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 且． 故选：B． 3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由于关于的一元二次方程有实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且． 故选C． 4．若关于的一元二次方程有实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 5．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了本题主要考查了一元二次方程根的判别式与实数根的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据方程有实数根，可得，带入数值求解即可． 【详解】解：当时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 即， 化简可得， 当时，一元二次方程变为一元一次方程， 解得， 即当时，方程有实数根， 综上可得，的取值范围是， 故选． 6．已知方程的两根是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键；由根与系数的关系得，再直接代入即可求解． 【详解】解：∵的两根是， ， ． 故选：D． 7．已知a，b是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键． 首先得到，，然后将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 8．已知实数满足，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识，由题意得到是一元二次方程的两个实数根，再由根与系数的关系得到，再化简代值即可得到答案． 【详解】解：实数满足，， 是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 9．已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，根据题意得、为方程的两个根，得到，，将转化为，然后代入计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵两个不等实数，满足，， ∴、为方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：A． 10．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ， 故选：A． 二、填空题 11．已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不等的实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据一元二次方程根的判别式，即可求得m的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：； 故答案为：8． 13．关于的一元二次方程有实数根．则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 14．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先利用判别式的意义得到，再解方程，即可确定k的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：2． 15．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键． 将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案， 【详解】解：将代入，得， 解得， ， ， ， 故答案为：． 16．如果关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式等知识点，由根于系数的关系得到是解题的关键． 先根据根与系数的关系用k表示出,然后根据结合完全平方公式得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 17．设是方程的两个根，则 ． 【答案】9 【分析】此题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 根据根与系数的关系得，根据方程解的定义得，即，代入所求的式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ，，， ， ． 故答案为：9． 18．方程的两根分别为，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为，，， ∴，， 解得：， ∴． 故答案为：． 19．已知关于x的一元二次方程 ，若方程的两个实数根为、，且 ，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．由一元二次方程根与系数的关系可知，，再整体代入中，求出m的值，代入原方程，判断是否有两个实数根即可． 【详解】解： 、是的两个实数根， ，， ， ， ， ， ，， 当时，原方程为，， 不合题意，应舍去； 当时，原方程为，， 符合题意； 即m的值为． 故答案为：． 20．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 21．已知关于的一元二次方程 (1)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，另一个根为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）通过计算判别式的值得到，从而可判断方程根的情况； （2）把代入方程可求的值，根据根与系数的关系得到方程的另一个根． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，， 解得， 根据根与系数的关系可得：， ∵， ∴ 22．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； (2)设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）求出即可证明结论； （2）利用根与系数的关系得到，进而得到，解之即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∴m取任意实数、该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两根分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． （1）计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， ∵ ∴ 无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：根据根与系数的关系得， ∵， ， 解得， 即的值为． 24．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若，判断动点是否在某定直线上，如果是，请求出这条定直线的函数解析式；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)动点在定直线上上，理由见解析 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、函数图象上点的坐标特征等； （1）先求出该一元二次方程的的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式的关系进行说明即可； （2）根据和，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴该一元二次方程总有两个实数根； （2）解：∵x的一元二次方程的两个实数根分别为，． ∴ 又∵， ∴， 设在上，则，将代入，得 ∴ ∴ ∴在定直线上上， 25．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程一定有两个不相等的实数根． (2)若是方程两个不相等的根，且，求k的值？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）计算出判别式，再配方即可判断； （2）利用根与系数关系得，把配方为，便于利用根与系数的关系，解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：由题意得：关于 x 的一元二次方程， ， 故该方程一定有两个不相等的实数根． （2）解：由题意得：， ， ∴， 即， 解得， 综上或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，配方法的应用，正确运用配方法是解题的关键． 26．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是掌握相关的知识． （1）由关于的一元二次方程有两个实数根，可得，继而求得实数的取值范围； （2）由方程的两个实数根为、，且，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：； （2）由根与系数的关系可知：，， ， ， 解得：，， ∵， 的值为． 27．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为1 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． （1）计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得， ， ， 解得， 即的值为1． 28．已知关于的一元二次方程. (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值. 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，及根与系数的关系． （1）计算一元二次方程根的判别式得，根据“当时，一元二次方程有两个不相等的实数根”即可得证得结论； （2）根据一元二次方程的跟与系数的关系，得，，然后利用完全平方公式变形，求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ，恒成立，与无关， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解： ，为方程的两个实数根， ，， ， 解得，． 29．已知关于的一元二次方程有两个不同的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根的差为2，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用； （1）由一元二次方程有个不同实数根，可得 再列不等式，解不等式即可得到答案. （2）设方程的两根分别为： 且 由根与系数的关系可得结合再求解 从而可得答案. 【详解】（1）解： 关于x的一元二次方程有两个不同实数根， 整理得： 解得： （2）设方程的两根分别为： 且 则 又 经检验，符合题意， 所以的值为8. 30．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围 (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值 【答案】(1) (2)3 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程有实数根得到，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根． ∴，即， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$