暑假结业卷（测试范围：第1-2章）-（暑期衔接课堂）2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

九年级数学暑假结业卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第1-2章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24九年级上·海南海口·期末）若将一元二次方程化成的形式，则b的值是（    ） A． B．4 C． D．14 【答案】D 【分析】根据配方法解方程的步骤求解可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程，解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）关于x的方程（m为常数）的两实数根之和是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键． 由根与系数的关系可直接求得． 【详解】解：∵是一元二次方程的两实数根， ∴， 故选：A． 4．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田．现需在试验田中修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意有：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 5．（福建省厦门市2023-2024学年九年级上学期期末模拟数学试题）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程． 【详解】解：把代入一元二次方程得： ， 解得，， ∵， ∴的值为， 故选：． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点式形式，通过将给定的抛物线方程与顶点式对比，即可直接得出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为． 故选B． 7．（24-25九年级上·福建厦门·期末）二次函数的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数顶点式的特点，掌握顶点式的特点，二次函数最值的计算方法是解题的关键． 根据二次函数顶点式可得顶点坐标为，二次函数图象开口向上，由此即可求解． 【详解】解：二次函数中，， ∴图形开口向上，顶点坐标为， ∴最小值为， 故选：D ． 8．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与y轴交点的坐标，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．令，求出y的值即可． 【详解】解：令，则， ∴抛物线与y轴交点坐标为． 故选：C． 9．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间t（单位：）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的运用，掌握二次函数图象的性质，理解小球从飞出到落地的含义是解题的关键． 根据题意，小球从飞出到落地，则高度，代入计算，结合题意即可求解． 【详解】解：小球从飞出到落地， ∴高度， ∴，即， ∴（不符合题意，舍去），， ∴小球从飞出到落地的所用时间为， 故选：A ． 10．（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）如果二次函数与轴只有一个交点，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与轴交点个数的判断方法是解题的关键．利用与轴只有一个交点，则其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【详解】解：由二次函数与轴只有一个交点， ∴二次函数对应的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 12．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）设一元二次方程的两根为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两实数根， ∴， 故答案是：． 13．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）一份摄影作品[七寸照片（长7英寸，宽5英寸）]，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露出衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），则可列方程为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程在图形中的应用，表示出矩形衬纸的长和宽，即可根据矩形衬纸的面积为照片面积的2倍列出方程． 【详解】解：∵矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，矩形衬纸的长和宽分别为：， ∴ 故答案为： 14．（23-24九年级上·北京·期中）已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b= ． 【答案】-4 【详解】解：由对称轴公式得=2， 求得b=-4． 故答案为：-4． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝ ． 【答案】 【详解】分析：利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根．（也可利用对称性解答） 详解：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（-1，-3.2） ∴-=-1则-=-2 ∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根 ∴x1+x2=- 又∵x1=1.3 ∴x1+x2=1.3+x2=-2 解得x2=-3.3． 点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点坐标；熟悉二次函数的顶点坐标公式与一元二次方程两根之和的关系是解决问题的关键． 16．（23-24九年级上·北京·期中）我们把横、纵坐标都为整数的点称为格点 （1）如图，直线上的格点坐标为 ； （2）若抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）令即可求出格点坐标； （2）画出抛物线的大致图像，求出取值范围即可得出答案． 【详解】（1）横、纵坐标都为整数的点称为格点， 由图可知，当时，， 直线上的格点坐标为， 故答案为：； （2）抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点， 如图所示： 当时，，即， 当时，，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数性质以及二次函数性质，掌握格点的定义是解决本题的关键． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，； (2)3． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设，是一元二次方程的两个实数根，则，． （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ，． 故答案为：1，． （2）解：， 故答案为：3． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 19．（23-24九年级上·天津南开·课后作业）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1＝x2+1，求 m的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）m=5． 【分析】（1）由题意列出一元二次方程“根的判别式”的表达式，化简后判断其值可得结论； （2）由（1）中所得求出两根（用含“m”的式子表达），在代入2x1=x2+1中可得关于“m”的方程，解方程即可求得“m”的值． 【详解】解：（1）∵在关于的方程中，， ∴∆= = =， ∴关于的方程总有两个不相等的实数根； （2）由（1）可知：∆=36， ∴原方程的两根为：， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 解得：． 20．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米. 【详解】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米． 21．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，连结，将沿折叠，使点落在点处，与轴交于点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求过点的双曲线的解析式． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 (3)过点的双曲线的解析式为： 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握折叠的性质，等边对等角，勾股定理，锐角三角函数的计算，待定系数法求反比例含解析式等知识的综合是解题的关键． （1）首先根据轴对称的性质可知，得出，再由，根据平行线的性质得出，那么，最后根据等角对等边得出； （2）根据轴对称的性质可知，得出，．如果设，用含的代数式表示．在直角中，运用勾股定理列出关于的方程，求出的值即可； （3）欲求过点的双曲线的解析式，只需求出点的坐标．为此，过点作轴，垂足为点．在直角中，先求出，的值，再由，得出，最后在直角中，运用三角函数的定义得出的值，从而得出点的坐标． 【详解】（1）证明：∵将沿折叠， ∴， ∴， ∵轴于点， ∴轴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：已知点的坐标为，轴于点， ∴， ∴根据折叠可得，， 设，则，， 在直角中，，即， 解得，， ∴， ∴的长为； （3）解：由（2）可知，，， ∴，， 如图所示，过点作轴，垂足为点， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴过点的双曲线的解析式为：． 22．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）已知二次函数．求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点． 【答案】见解析 【分析】根据函数表达式，求出对应方程的，再对的值进行判断即可． 【详解】解：证明：令， 则， 该二次函数图象与轴有两个交点． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，学会用方程解决函数问题是关键． 23．（23-24九年级上·河南郑州·期末）“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？ 【答案】每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元． 【分析】分类讨论，当售价（元）时，计算出最高日收入；当售价（元）时，列出二次函数，并判断二次函数的最大值，由此即可求解． 【详解】解：当售价（元）时，该店日纯收入为，当时，日纯收入为元； 当售价（元）时，该店日纯收入为， ∴二次函数的图像在平面直角坐标系中，开口向下，有最大值， ∴， 售价（元）取整数， 则售价或元时，日销售量最大， 要吸引顾客，销售量较大， ∴售价为元时，最大利润为元， ∴每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，分析题目中的数量关系，列出函数表达式，掌握二次函数的知识是解题的关键． 24．（23-24九年级上·广西防城港·期中）抛物线的图象与x轴交于A，B两点，利用图象解答下列问题： （1）点A，B的坐标分别是A ，B ； （2）若函数值y>0，则x的取值范围是 ； （3）函数值y的最小值是 ； （4）若点P为抛物线上的一点，且=4，求点P的坐标． 【答案】（1）(-2,0)，(2,0)；（2）x＜-2，或x＞2；（3）-4；（4）P的坐标为（,2），（-,2），，． 【分析】（1）由图像可得A，点B与点A关于y轴对称，故可得B； （2）函数值y>0，图像在x轴上方，由图像可得x的取值范围； （3）函数值y的最小值即是图像最低点的纵坐标，由图像可得； （4）由图像可求得抛物线的解析式，设点P的纵坐标为b，由=4可求b，代入解析式可求点P的横坐标，从而点P的坐标即可求解． 【详解】解：（1）由图像可得A（-2,0）， ∵点B与点A关于y轴对称， ∴B（2,0）； 故答案为：(-2,0)，(2,0)； （2）∵函数值y>0， ∴图像在x轴上方， ∴x＜-2，或x＞2； 故答案为：x＜-2，或x＞2； （3）函数值y的最小值即是图像最低点的纵坐标， 由图像可得函数值y的最小值是-4； 故答案为：-4； （4） 由图像可得，抛物线的顶点为（-4,0）， 设抛物线的解析式为， 则， ∵A（-2,0）， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵=4，设点P的纵坐标为b， ∴， 即=2， ∴b=2，或b=-2， 当b=2时，，解得x=±， 此时点P的坐标为（,2），（-,2）， 当b=-2时，，解得x=±， 此时点P的坐标为（,-2），（-,-2）， 由上可知，点P的坐标为（,2），（-,2），，． 【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的图像和性质，利用好数形结合的思想． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学暑假结业卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第1-2章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24九年级上·海南海口·期末）若将一元二次方程化成的形式，则b的值是（    ） A． B．4 C． D．14 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）关于x的方程（m为常数）的两实数根之和是（    ） A．2 B． C． D． 4．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田．现需在试验田中修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（福建省厦门市2023-2024学年九年级上学期期末模拟数学试题）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·福建厦门·期末）二次函数的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D． 8．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间t（单位：）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）如果二次函数与轴只有一个交点，那么（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 12．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）设一元二次方程的两根为，，则 ． 13．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）一份摄影作品[七寸照片（长7英寸，宽5英寸）]，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露出衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），则可列方程为 14．（23-24九年级上·北京·期中）已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b= ． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝ ． 16．（23-24九年级上·北京·期中）我们把横、纵坐标都为整数的点称为格点 （1）如图，直线上的格点坐标为 ； （2）若抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，则c的取值范围是 ． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 19．（23-24九年级上·天津南开·课后作业）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1＝x2+1，求 m的值． 20．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 21．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，连结，将沿折叠，使点落在点处，与轴交于点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求过点的双曲线的解析式． 22． （23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）已知二次函数．求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点． 23． （23-24九年级上·河南郑州·期末）“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？ 24．（23-24九年级上·广西防城港·期中）抛物线的图象与x轴交于A，B两点，利用图象解答下列问题： （1）点A，B的坐标分别是A ，B ； （2）若函数值y>0，则x的取值范围是 ； （3）函数值y的最小值是 ； （4）若点P为抛物线上的一点，且=4，求点P的坐标． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$